Trong toỏn học hiện đại, số tự nhiờn được hỡnh thành theo quan điểm bản số tập hợp hữu hạn thụng qua cỏc bước sau:
+ Thứ nhất: Lực lượng của một tập hợp
Định nghĩa: Cho X và Y là hai tập hợp. Ta núi tập hợp X tương đương với tập hợp Y, kớ hiệu X ∼ Y khi và chỉ khi cú một song ỏnh từ X lờn Y.
Hai tập hợp tương đương cũn được gọi là hai tập hợp cú cựng lực lượng.
Vớ dụ: Cho X = {1,2,3,4} và Y = {a, b, c, d}; U = { m, n, p}. Ta thấy X và Y cú cựng lực lượng vỡ cú thể thiết lập được song ỏnh từ X lờn Y, chẳng hạn song ỏnh f cho bởi bảng f:
Trỏi lại, U và X khụng cựng lực lượng vỡ khụng thể cú song ỏnh từ U lờn X được. Tuy nhiờn U cựng lực lượng với tập con {1, 2, 3} của X vỡ chẳng hạn, ta cú song ỏnh g:
+ Thứ hai: Bản số của một tập hợp
Khi cỏc tập hợp A và B tương đương với nhau thỡ ta núi rằng chỳng cú cựng một lực lượng hay cựng một bản số (bản số là số cỏc phần tử trong một tập hợp). Kớ hiệu lực lượng của tập A là Card(A). Vậy A ∼ B ⇔
Card(A) = Card(B).
1 2 3 4 a b c d
1 2 3 m n p
Nếu núi a là một bản số thỡ ∋ một tập A: Card(A) = a.
+ Thứ ba: Tập hữu hạn và tập vụ hạn
Một tập hợp mà tương đương với một bộ phận thực sự của nú gọi là tập vụ hạn. Hay núi một cỏch khỏc, tập A là vụ hạn ⇔ ∋ f: A→A là đơn ỏnh sao cho f(A) ≠ A.
Một tập hợp khụng phải là tập hợp vụ hạn gọi là tập hợp hữu hạn. Núi một cỏch khỏc, tập hợp A là hữu hạn nếu mọi đơn ỏnh f: A→A đều là toàn ỏnh.
Vớ dụ: Tập ∅ là một tập hợp hữu hạn vỡ ∅ khụng cú bộ phận thực sự nào. - Tập đơn tử {a}là một hữu hạn vỡ ∅ là bộ phận thực sự duy nhất của nú nhưng rừ ràng {a} khụng tương đương với ∅.
- Tập hợp cỏc điểm trờn mộtt đoạn thẳng là tập vụ hạn.
+ Thứ tư: Định nghĩa số tự nhiờn
Định nghĩa: Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự nhiờn. Tập hợp cỏc số tự nhiờn được kớ hiệu là N. Nh vậy, nếu x là số tự nhiờn (x∈N) thỡ tồn tại một tập hữu hạn X sao cho Card(X) = x.
Vớ dụ: ∅ là một tập hợp hữu hạn nờn Card(∅) là một số tự nhiờn. Ta kớ hiệu Card(∅) = 0 và gọi là số khụng.
- Tập đơn tử A = {a} là một tập hữu hạn nờn Card({a}) là một số tự nhiờn ta kớ hiệu Card({a}) = 1 và gọi đú là số 1. Rừ ràng 0 ≠ 1.[9]
Như vậy, trong mụn toỏn ở tiểu học, đặc biệt là ở lớp 1, khỏi niệm số tự nhiờn đó được xõy dựng dựa theo tinh thần của lớ thuyết tập hợp nhưng khụng dựng ngụn ngữ của lớ thuyết tập hợp, mà sử dụng cỏc hỡnh ảnh trực quan để giới thiệu về từng lớp cỏc tập hợp cú từng phần tử (lớp cỏc tập hợp cú cựng lực lượng) từ đú giới thiệu khỏi niệm ban đầu về số. Chẳng hạn, cỏc khỏi niệm tập hợp, phần tử của tập hợp, lực lượng một tập hợp khụng nờu ra một cỏch tường minh mà thể hiện ẩn tàng dưới cỏc tranh vẽ. Đối với học sinh lớp 1, mới chỉ hỡnh thành ý niệm đầu tiờn về tập hợp và về phần tử của
tập hợp thụng qua việc kể tờn đồ vật của tập hợp sau đú dựng cỏc từ quen thuộc, tương đương để núi về tập hợp. Vớ dụ: “cú 3 con vịt hợp thành một đàn vịt”.
Khỏi niệm về lực lượng của một tập hợp, tập hợp tương đương được thể hiện rất rừ trong việc hỡnh thành cỏc số.
Vớ dụ: ở bài “Cỏc số 1, 2, 3”, khi giới thiệu về số 1, sỏch giỏo khoa đưa ra cỏc tập hợp khỏc nhau nhưng cựng một lực lượng (cựng số lượng là một). Ở đõy, cỏc tập “con chim”; “em bộ”; “chấm trũn”; “con tớnh” là tương đương nhau và chỳng cú cựng một lực lượng hay cựng một bản số.
Trong mụn toỏn 1, nội dung ỏnh xạ cũng đó được giới thiệu ở mức độ đơn giản nhất thụng qua việc hỡnh thành cho cỏc em khỏi niệm “tương ứng 1 - 1” giữa cỏc phần tử của 2 tập hợp. Vớ dụ, trong bài “Nhiều hơn, ít hơn”, khi học sinh so sỏnh “số thỡa” và “số cốc” bằng cỏch đặt 1 chiếc thỡa vào trong một chiếc cốc tức là học sinh đó tiến hành thiết lập được tương ứng 1 - 1. Đõy chớnh là việc xỏc lập một đơn ỏnh từ tập “số thỡa” lờn tập “số cốc”. Ở tiểu học, việc nhận thức về số tự nhiờn của cỏc em học sinh dựa trờn 2 mặt đan xen với nhau, tức là ngoài mặt bản số (đặc trưng của lớp cỏc tập hợp tương đương), cỏc em cũn dựa trờn mặt số thứ tự (theo quan điểm thứ tự).