I Dinh ly 5.4.2 Khi P^ NP, moi thuat todn xap xi thdi gian da thiic giai bai todn M A X C L Q U E deu co hi^u suat tuyet doi bang 0 0
MAX-CLI QUE
so c > 0 (xem [5]). N o i each khac, doi vdi bat cii thuat toan thdi gian da thutc x i p x i A nao cho bai toan M A X - C L I Q U E , dgu ton tai mot d5 t h i G = {V, E) nao do sao cho hieu suat RA{G) > \V\^-'.
5.4 Thuat todn xap xi
jT
D i nhien, viec khao sat t m h khong xap x i duoc cua cac bai toan NP-kho duqc dua trgn co sd thilfa nhan P 7^ NP. Dg d i hinh dung, ta phat bigu ket qua ngu tren mot each khong that cu the n h u saụ
I Dinh ly 5.4.2 Khi P ^ NP, moi thuat todn xap xi thdi gian da thiic giai bai todn M A X - C L I Q U E deu co hi^u suat tuyet doi bang 0 0 . thiic giai bai todn M A X - C L I Q U E deu co hi^u suat tuyet doi bang 0 0 .
Tuy vay, doi vdi bai toan M A X - C L I Q U E vdi han ch^ n^o do, tile bai toan con, v l n cd thg ton tai thuat toan xap x i thdi gian da thiic vdi hieu suat hQu han, nhu theo Dinh ly 5.5.1. K h i do D i n h l y 5.4.3 sau day giup t a viing t a m t i m kigm thuat toan tot hon.
Trudc k h i phat bieu dinh l y nay t a dinh nghia tich cua hai do t h i va cd vai nhan xet, tao dieu kien cho viec chiing m i n h .
. Tich cua hai do thj G = {V, E) va H = {W, F) la do t h i
GxH = {VxW,É),
trong do tap canh É duqc xac dinh nhu sau:
É = {{v,wi){:v,W2) \veV, wi,W2eW, wiW2€ F}
u {ivi,w){v2,w)I vuV2ev,wew, V1V2eE}
U {{vi;Wi){v2,W2) I Vi,V2 e V, Wi;w2 e W, V1V2 e E, W1W2 e F}.
Ro rang tich cua mSi clique cua G va mdi clique cua H la m o t clique trong GxH. M a t khac, gia sijt K la mot clique trong GxH.
Ta ky hieu / = {u\3w:{v,w)eK} va J = {w\3v:{v,w)G K} la cac hinh chieu cua K. K h i do / v a J la cac clique cua G va H tuong ling. That vay, neu hai dinh nao do vi, V2 E I khong kg nhau trong
G t h i nhQng dinh khdi ngudn ciaa chung tijf K at khong ke nhau trong GxH, man thuan vdi gia thiet K la cliquẹ
Dinh ly 5.4.3 Gia su; ton tai thuat todn thdi gian da thitc r-xap xi cho bdi todn M A X - C L I Q U E , trong do r la mot hang so tuy ỵ Khi do, doi vdi moi r ' > 1, ton tai thuat todn thdi gian da thUc r'-xdp xi cho
338 Cac giai phap
Chiing minh Dg don gian, 6 day ta viet t ^ t MAX-CLIQUE 1^ M C .
Gia sijt ^ M C la thuat toan r-xap x i da biet cho bai toan M C . Bay
gid, doi vdi mOt so nguyen duong k cho trudc, t a xay dung thuat toan xap x i Á^^ bang each, doi vdi mSi dau vao G, ap dung thuat toan da biet Auc eho C". Tit nhung-nhan xet neu tren, t a suy
ra rang OTPuc{G) = ^OPTMC{G') va /1'MC(G) = ^Auc{G'^).
Do do RÁ^JG) = V^AuciG') < V~r. Chon k = t a c6
- RÁ ( G ) <A< ^ l o g j r ' / l o g j r ^ ^ l o g ^ 2 1 o g 2 r ' ^ 2 ' ° S 2 ' ' ' = r'. r i
N h u vay, Á^^ la thuat toan r'-xap x i . Thuat toan c6 do phufc
tap thdi gian da thiic, b5i vi no ap dung thuat todn thdi gian da
thiie Auc tren luy t h i J t a cua dau vao G vh viee lay luy thCta bac k
cua do t h i G duoc thue hien trong thdi gian da thiiẹ
D i n h ly duoc chiing minh. •