M CO diTng hay khong tren w la yeu to quyet dinh su ton tai thuat
1.4 MQt vdi bdi toan khong gidj duac
thijc. Bdi vay t a khong t h i sii dung phuong phdp dem dg so sdnh luc luong cua cae tap v6 han.
T h i du, ta xet tap cac so nguygn chan va tap t a t ea eae t i i trgn bang ehfl { 0 , 1 } . Ca hai tap deu vo han va do d6 Idn hon bat ky mot tap hiiu han, nhung trong hai tap nay lieu c6 tap nao Idn hon
tap kia hay khong? Bang each nao ta c6 t h i so sdnh duoc luc luong
ciia chiing?
Cantor da de xuat mot giai phap kha hay cho van de nkỵ Nhan thay rang hai tap c6 eiing luc luong neu cae phan t i i eua tap no c6 t h i ghep doi dUde vdi cac phan t i i eiia tap kiạ Bang phuong phap
nay ta hoan toan so sanh duoc luc luong eua hai tap ma khong can
phai dem cAc phan t i i eua chung. Y tudng n^y c6 t h i dudc sii dung
rong rai cho eae tap v6 han va duge t h i hien ro rkng hdn trong
dinh nghia sau daỵ
D i n h nghia 1.4.2 Cho hai tap X vd Y, vd cho mot ham f tH X
den Ỵ Ta noi rhng f Id ham mot-mot neu no khong dnh xg, hai phan tit khdc nhau vdo cimg mot; nghia Id, neu f{xi) ^ f{x2) moi khi xi ^ X2. Ta noi rang f Id ham len neu no den duac mpi phan tit cua Y; nghia Id, neu doi vdi mdi y E Y ton tai mot x ẹ X sao cho f{x) f= ỵ Ta noi rdng X va Y cd cung liXc IvCdng neu ton tQ,i mot hhm mot-mot-len f : X —> Ỵ Ham mgt-mQt-len dU0c gQi
Id phep tuCcfng vCng.
N h u vay, theo phep tUdng urng, moi phan t i i eiia X dnh xa den
duy nhat mot phan t i i eua Y va moi phan t i i ciia Y c6 duy nhat mot phan t i i eua X dnh xa den n6. Trong ly thuyet tap hop, phep
tuong ling thudng dude goi la song dnh. Su tuong ling la mpt cdch
don gian ghep doi cac phan t i i cua X vdi cac phan t i i eua Ỵ
d u 1.4.1 Ta xgt tap eae s6 t u nhign N = { 1 , 2 , 3 , . . . } vd tap c^c so t u nhien c h i n E = {2,4, 6 , . . . }. Ph6p tUOng ling / dnh xa N
88 May Turing va Thuat toan
hkng nhau, ta c6 th§ thay rang N va E c6 cung luc litong. Ta c6
t h i hinh dung / ro rang hon nhd bang sau day:
n fin)
1 2
2 4
3 6
•
DI nhien, day la mot dieu ky quaẹ Theo true giae, E dudng nhxt
nho hon N b5i v i E la tap eon thac su eua N . The nhung viee ghep doi tirng thanh phan eua N vdi moi phan t i i cua E dg dang thuc hien duoc; cu thg la: (1, 2), (2,4), ( 3 , 6 ) , . . . , va nhd do ta qua quyet
rang hai tap nhy c6 ciing lire liTdng. •
D i n h nghia 1.4.3 MQI tg,p duac goi la dim duCdc neu no hHu
hfin hoQC CO cung luc luang vdi tap N .
V i du 1.4.2 Bay gid ta kham pha mot dieu con ky la hon. Neu nhu ta ky hieu Q+ = | m , r i e N } la tap eac so hiiu t i duong, thi du5ng nhu Q+ Idn hdn rat nhieu so vdi tap cac so t u nhien N. Vay ma theo dinh nghia cua ta, hai tap nay lai c6 cung luc ludng. Ta se chufng to rang Q+ la dem duoc bang each xay dung phep tuang ling gifla Q+ va N . Digu nay duoc thue hien bang each lap danh sach tat ea eac phan tut eua Q+ theo mot t h i l t u nao dọ Sau do ta ghep doi phan t i i thii nhat trong danh sach vdi 1 cua N , phan t i i thU hai trong danh sach vdi 2 cua N vk eii tiep tuc nhu vaỵ Ta phai dam bao r^ng moi thanh phan eua Q+ chi xuat hien mot Ian trong danh sach. Vay la moi phan t i i cua Q+ dudc tudng ilng vdi mot phan t i i eua N . Do do Q+ va N eo cung lue luang.
1.4 Mot vai bai todn khong gidj duac
89 Dg CO duoc danh sach nay, dau tign ta lap mOt ma tran vo h?in ehuta tat ea cae so hflu t i duong, nhu Hinh 1.8. Hang thU i ehiJa tat ea eae so vdi t i i s6 i va cot thU j c6 tat ea eac so vdi mhi so j . NhU vay so nam d giao digm cua hang thU i va cot thU j .
Bay gid ta sang loc cac phan t i l cua ma tran nay dg thu dUde danh sach. Ta t h i i lap danh sach bang each bat dau liet kg iki ea eac phan t i l d hang thii nhat. Ro rang day khong phai la each tiep can t6t bdi v i hang t h i i nhat dai vo han, do d6 viee liet kg khSng t h i den dUdc hang thut haị Thay the cho each tiep can nay, ta sang loc va liet ke nhung phan tut tren cac dudng eheo, bat dau tir diem goe va dUdc tien hanh theo sd do chi dan tren hinh ve sau day:
H i n h 1.8 Danh sach cac phan t i i cua Q^.
Dudng eheo t h i l nhat chi chtita phan tut va dudng cheo thut hai chUa hai phan t i i f va i . Nhu the ba phan t i i dau tign trong danh sach la i , ^ va - . Dgn dudng eheo t h i i ba xuat hien su r^e r6ị DucJng cheo nay chiia cac phan t i i f, | va i . Neu đn thuan t a