D CO thg mo phon gM trong khong gian dg{n) vdi mot h^ng so
1 trong cac trudng hop ngUOc laị Ham NOT cho ket qua nguoc la
vdi dau vao cua no; cu the, no cho ket qua 1 neu dau va,o ciia n6 1^ 0 v^ cho ket qua 0 neu dhu vho cua no la 1. Mot trong cac cdng
^ugc chon lam cdng ra {output gate). Hinh 4.2 sau day minh hoa
2801 T i n h nan giai
H i n h 4 . 2 T h i du ve mot mach Boole
Mach Boole tien hanh t i n h toan d i cho ra k i t qua dau ra d cong ra, bat dau til viec t h u nap cac gifi t r i dau vao roi phan phat theo
cac day dan va t i n h cac ham dUOc gin vdi c6ng lien quan. Qua t r i n h phan phat va t i n h toan dtrqc tiep dign cho den k h i c6ng ra duoc trao gia t r i dau rạ Hinh ve sau day t h i hien qua t r i n h t i n h toan cua mach Boole tren cac gia t r i dau vao duoc t h u nap.
0 1 0 c4c gid tri dau
0 gi& trj diu ra
ffinh 4 . 3 T h i d u ve mot t i n h toan cua mach Boole
Ta sii dung cac ham d l mieu t a each ling x i i vao/ra eiia maci Boolẹ Mach Boole C vdi n bien dau vao duoc lien ket vdi mot ham
fc : { 0 , 1 } " — > { 0 , 1 } , trong do neu C cho ket qua b k h i cac bie-
x i , . . . , x„ cua no duoc gan t r i a i , . . . , fln, t a viet fc{ai,. • •, On) = |
4.3 Mach Boole doi vdi van di P=NP 281
Ta noi Ang C t i n h ham fc- Doi khi t a cung xem xet ca mach Boole vdi nhieu cong ra d i t i n h cac ham da t r i .
V i d u 4 . 3 . 1 Ta xet ham ch&n-le {parity function) vdi n bien: p a t i t t) „ : { 0, l} " ^ { 0, l } ,
trong do patitt) ^ ( x i , . . . , x„) = 1 neu so cac ky t u 1 duoc gdn cho cac bien x i , . . . ,x„ la 1^. Mach Boole sau day t i n h patitt)4, ham,
xhan-le vdi 4 bien.
ffinh 4 . 4 Mach Boole t i n h hhm chSn-le vdi bon bien •
!!• Ta t r i i tinh.sii dting mach Boole d6 kigm t r a tU cdch t h k n h vien
doi vdi êc ngOn ngii, k h i nhiing ngon ngii ky duqc ma h6a mOt each thich hop tren bang chii {0,1}. Van de la 6 cho m o i mach Boole chi c6 thg xijf ly nhiing dau vao vdi mpt dO dai c6 dinh nao do, trong k h i mot ngon ngfl c6 the ehila cac tir do dai khac nhaụ Bdi vay, d i thue t h i nhiem vy nay, thay v i sii dung don thuan mOt
282 T i n h nan giai ^
ruQch Boole, moi mach diroc dung cho mot Idp cac t i l vdi cung do ^
daị Dieu nay duoc hinh thilc hoa nhu saụ
D i n h n g h i a 4.3.2 Hg mach {circuit family) C la mot danh sdch
vo han cac mach, C = (Co, C i , C2, . . . ) , trong do mach c6 n bien dau vaọ Ta noi rang C khdng dinh ngon ngU A tren bang chU {0,1}
neu, doi vdi mdi tH w,
w e A < ^ Cn{w) = 1,
trong do n Id do dai cua w vd Cn{w) Id kit qua xiC ly cua Cn tren w.
Do rong {size) cua mach Boole la so cac cong ciia nọ Hai mach
la tuang dicang neu chiing c6 ciing cac bien vao va cho kgt qua nhu nhau doi vdi tiing phep gan t r i dau v^ọ Mach Boole duoc goi la
rong tSi tiiu {size minimal) neu khong mot mach nao nho hon
tuong diiong vdi nọ Van de toi t i i u hoa cac mach ro rang c6 nhieu ling dung ky thuat nhiTng that kho dilOc giai quyet trong trirdng hap tong quat. Ngay ca bai toan k i i m t r a xem lieu mot mach ca biet CO la t o i tieu hay khong cung chua ro la thuoc P hay thuoc N P .
Ho mach C = {Co,C\,C2, • • • ) la rong toi tieu neu m o i mach Cj cua no Ik rOng t o i tigụ Do phUc tap rong {size complexity) ciia
ho mach C la mot ham / : N — > N , ma f{n) la do rong cua C^.
Do sau {depth) cua mach la do dai, tiic so cac day dan, cua
dudng d i dai nhat tilt bien dau vao den c6ng ra ciia mach. Ta dinh
nghia mach sau toi tiiu {depth minimal circuit), hg mach sau toi tiiu {depth minimal circuit family) va do phUc tg,p sau {depth
complexity) cua hp mach, tuong t u nhu doi vdi dO rong cua mach.
D i n h n g h i a 4.3.3 Do phttc tg,p mach rong {circuit size
complexity) cua mpt ngon ngU Id do phUc tQp rong cua mach tSi
tiiu khdng djnh ngon ngU aỵ Do phUc tg,p mg.ch sau {circuit
depth complexity) cua ngon ngU dU0c dinh nghia tuang tU, bang each SIC dung dg sau thay cho dp rdng.
4.3 Mach Boole doi vdi van de P= NP 283
Do phiic tap mach sau duqc quan tarn dac biet trong Phan 5.2,
lien quan dgn t i n h to6,n song song.
V i d u 4.3.2 Ta c6 the dg dang tong quat hoa V i du 4.3.1 dg t h u
duoc mach vdi 0[n] cong nh^m tinh hkm chSn-le chiia n bien. Cach
đn gian la xay dung mot cay nhi phan vdi n la, nhiing dinh bac mSt, duoc tuong ling vdi n bign dau vao ciia mach. Cac dinh khac
\k cAc c5ng cua mach, trong do dinh duy nhat bac hai (g6c cay) la cong rạ M o i cong ciia mach deu c6 kha nSng tinh ham XOR, duoc
goi la cong XOR, trong do ham XOR cho kgt qua 1 neu va chi neu hai bien ciia no duoc gan nhiing gia t r i khac nhaụ Cong XOR thuc hien viec t i n h toan nhd 2 c6ng NOT, 2 c6ng AND vh 1 cQng OR. Noi dung ciia cong XOR c6 thg duoc migu ta nhu saụ
H i n h 4.5 Cong XOR
Gia sii A la ngon ngii bao gom nhiing t i i chiia mot s6 le cdc ky
t u 1. K h i do ro rang A c6 do phiic tap mach rong 0[n]. •
Do phiic tap mach rong cua mot ngon ngii c6 lign quan den đ phiic tap thdi gian ciia ngon ngii aỵ Dinh ly sau day chiing to r^ng
2841 T i n h nan giai moi ngon ngu: deu c6 do phiic tap mach rong khong khac nhieu so vdi do phiic tap thdi gian cua nọ
Dinh ly 4 . 3 . 4 Gid sttt-.N —> N la ham ma t{n) > n. Khi do, neu A thuoc T i M E( i ( n ) ) thi A c6 do pMc tap mach rong 0[t^{n)].
Dinh ly nky cho ta mot each tiep can de t h i i chiing minh rang
P ^ N P , bang each c6 gang chi ra mot ngon ngii trong N P c6 do
phiic tap mach Idn hon da thiJc.
Chxtng minh Gia sii M la may Turing k h i n g dinh A trong thdi gian t{n). (Ta bo qua he so trong 0[t{n)], thdi gian thuc te hoat dong cua M). Doi vdi m8i n ta xay dung mot mach C„ de mo phong
M tren nhiing dau vao do dai n. Cac c6ng cua C„ duqe sap xep thanh tirng hang. MQi hang c6ng thuc t h i mot trong s6 t{n) phep bien doi thuoc qua trinh tinh toan cua M tren dau vao do dai n
va dong thdi bieu t h i hinh thai cua may tai thdi digm tuang ilng. Cac c6ng ci hang dudi duoc dau noi vao hang tren sao cho hinh thai tiep theo cua may duoc tinh toan dua vao hinh thai 6 hang tren.
Ta chinh sijta M d i tinh d i u vao da duoc ma hoa tren bang chii
{ 0 , 1 } . Hon niia, trude khi M di den chap nhan, no di chuygn dau
doc-ghi ve o dau tien tren bang va ghi ky t u 0 vao o ay roi mdi chuygn sang trang thai chap nhan. Bang each nay ta c6 thg chon cOng dau tien trong hang cuoi ciing ciia mach lam cOng rạ
Bay gid t a xay dUng C„ dg mo phong M trgn tiit vao dp dai n. Gia sijf M = {Q, E, F, 5, q^,q^,q^) la may Turing khang dinh A trong thdi gian t{n) va gia sii w la dau vao do dai n cnạ M. Ta dinh nghia hoat hang cua M tren if;, tiic bang dign ta stf hoat dong cua
M k h i t i n h toan tren w, la bang kich thudc i ( n ) x i ( n ) m k mdi hang
cua no la mot hinh thai cua M . Hang trgn ciing chiia hinh thai ban
d^u cua M trgn to, hang t h i i i chiia hinh thai tai thdi digm ị
Dg thuan tien, trong chiing minh nay ta siia đi each thiic di§n ta doi vdi cac hinh thai ciia may, thay cho each dign t a quen thuoc,
Ạ3 Mach Boole doi vdi van di P=NP 285
theo do trang thai hien thdi cua may vk ky t u ma may dang doc
hau nhtr tach biet nhaụ O day, ta gop trang thai cua may va ky t u ma may doc duoc thanh mot chii phiic hop. T h i du, hinh thai cua
may M, khi d may trang thai g*vdi noi dung 1011 tren bang va dau
doc-ghi dang doc ky tU 0, thudng duoc dign ta bdi I 9 O I I . Nay c6
^0 bao gom
each bigu dign mdi la 1 ^011, trong do chu: phiic hop
trang thai q cua may va ca ky tU 0 ma may dang doc.
M5i d trong hoat bang cua M chiia ky t u bang (phan t i i cua T) hoac chiia hon hap trang thai vh ky tU bang (phan t i i cua Q x T). 0 tai giao digm cua hang i va cot j dudc ky hieu \h cell[i,j]. Ukng tren ciing cua hoat bang khi ay la ceZ/[l,l], . . . ,cell[l,t{n)] vh
chiia hinh thai ban daụ
ce//[l, 1
cell[t{n), 1 —
(vi tri chap nhan)
1 2 3
gol 0 1 0
t{n)
0 0 1 0 0
0 hinh th&i ban dku
hinh thai thiJ hai
hinh thfii thi} t{n)
H i n h 4.6 Hoat bang cua M tren dau vao 1011
K h i xac dinh hoat bang, ta dua ra hai gia thiet doi vdi may M. Thii nhat, nhu tren da neu, may M chap nhan t i i vao khi dau doc-
ghi cua no d 6 dau tien tren bang va 6 ay chiia 0 . T h i i hai, trudc
khi chap nhan til vao do dai n, may M c6 thg thuc hien thgm mot sd phep bien doi phu dg dung het thdi gian t{n). Bdi vay, b^ng each quan sat o dau tign cua hang cuoi ciing, o cell[t{n), 1], ta c6 t h i
286 T i n h nan giai Noi dung cua m5i o dugc xac dinh b-^i v^i ba o thuoc hang tren. Neu ta biSt gia t r i t a i cac 6 cell[i - 1, j - 1], cell[i - 1, j ] va
cell[i - 1, j + 1] 5 hang t h i i i - 1, ta c6 t h i t h u dUdc gia t r i tai o cell[i,j] d hkng t h i l i tiep theo, thong qua hhm chuyln cua M.
T h i du, trong hoat bang cua M treh Hinh 4.6, mot chi tiet kha pho bien dudc de cap den, trong do ba ky t u tai ba o thuoc hang tren, 0, 0 va 1, la nhung ky tU bang khong chiJa cac trang thai, cho nen ky tU 0 6 giuia chac ch^n duoc giu nguyen tai o tudng ufng 5 hang tiep theọ Nguoc lai, ngu noi dung ciia mot trong ba 6 nay la chu: phiic hdp chiia trang thai, t h i cac o 5 hang tiep theo c6 the c6 noi dung khac vdi cac 6 tuong ilng d hang tren, t u y thuoc vao ham chuyin cua M. Su anh hudng nay la tieu diem ma t a can l u u ỵ
Bay gi5 t a c6 the bat dau xay dung C„. Mach C„ c6 nhieu c6ng nh^m xac dinh noi dung cua tiing o trong hoat bang cua M. Cac cong nay t i n h gia t r i trong o cua hang tigp theo, dua v^o nhiing gia t r i 6 ba o cua hang tren c6 anh hu5ng dgn nọ
Dg dg dang mo ta each xay dung, ta dua them c^c cong tic
nhKm bigu lo dau ra cua mot so cong trong mach. Cac cong tac chi mang tinh m i n h hoa va khong anh hudng den viec x i i ly cua mach. Goi k la so t a t ca cac phan t i i ciia T U (r x Q). Ta tao ra k cong t^c cho m5i c6ng trong hoat bang, mOt loai cong t^c cho tilng phan t i i cua r va mot loai cho tiing phan tut ciia (r x Q), vay la c6 tong cong kt^{n) cong tac. Ta ky hieu cac cong t^c nay la lig}it[i,j, s],
trong do 1 < i,j < t{n) va s G T U (F x Q). Trang thai bat/tat ciia cong t^c cho m8i 6 bao hieu noi dung cua o aỵ Ngu cong tac
light[i,j, s] bat t h i 6 cell[i,j] chiJa ky tU s. Duong nhign, khi mach dUdc xay dung c h u i n xac, chi mOt cong tac duoc bat cho moi 6.
Ta hay xem xet mot trong nhflng cong tac nay, t h i du light[i, j , s
cho 6 cell[i, j]. Cong tac nay da dugc bat neu nhu 6 ay chiia ky tU Ta quan sat ba o ma c6 thg anh hudng den noi dung cua 6 cell[ij
va xac dinh xem yeu to nao dan dgn cell[i,j] chiia s. Viec xac dinh nay dg dang duoc thuc hien bang each khao sat ham chuygn 6.
I
4.3 Mach Boole dSi vdi vein de P= NP 287
N h u vay, theo ham chuyen 5, neu n h u cac 6 cell[i - I J - 1],
c e l l [ i v a cdl[i-IJ + l] chiia a,bvac tuong l i n g t h i o cell[i, j cMa s. K h i xay dung mach ta can dau noi cac chi tigt sao cho, n^u cac cong tac light[i - 1, j -1, a], light[i - 1, j , 6] va light[i - 1, j +1, c bat, t h i cong t^c ltght[i,j, s] cung vaỵ Ta dat dugc dieu nay b^ng each dau noi cac cong tac cho hang j - 1 vao c5ng AND ma loi ra dugc noi vdi cong tac light[i,j, s .
Noi C h u n g , CO nhigu bo gia t r i khac nhau (ai, fei, ci), (02,62, C2),
• • • , ("m, bm, Cm) dxioc dua vao cac 6 cell[i -Ij-i]^ cell[i \h cell[i - 1, J + 1] CO thg dan dgn vigc o cell[i, j] chiia s. Trong trudng
hgp nay t a ket noi mach sao cho, doi vdi moi su bo t r i (â, bk, cjt),
cong tac tuong ling dugc noi vdi c5ng AND va tat ca cac cQng AND dugc noi vdi cQng OR. Viec ket noi nay dugc m i n h hga bdi hinh ve phong dai sau daỵ
(sf® ••• O