wLngH NP-đy du ndo do md phan bv. cua no thuQC N P . •
W Tom lai, van de N P = co-NP ciing nhu van de P = N P deu nhiing van de hoc biia va lign quan dgn nhaụ K h i thita nhan
^ 7^ N P va N P 7^ co-NP, ta c6 mot vai ket luan lign quan den Phep l^y phan bii cua cac ngon ngfl trong Idp N P . Thii nhdt, phan
200 Do phiJTc tap th5i gian
bien dtrdi tac dong cua phep lay phan bu, tiic P = c o P . Thii hai,
phan bu cua bat ky mot ngon ngu: NP-day dii nho cung deu khong thuoc N P , va do do Idp N P C bien d5i hoan toan du6i tac dong cua phep lay phan bii, tiic N P C n c o - N P C = 0. NhiJng ket luan nay duoc minh hoa tren hinh ve sau daỵ
H i n h 2.13 Toan canh ve cdc Idp N P va co-NP,
khi P 7^ N P va N P 7^ co-NP.
Cuoi cung, cung lien quan dgn phep \iy phan bu cua ngon ngfl, mot vai cau hoi duoc dat ra nhu saụ Thii nhdt, lieu Idp N P I c6 bat bien dudi tac dong ciia phep lay phan bu hay khong? Thii hai, lieu P = N P n co-NP, biet rang P C N P n co-NP. Tra Idi nhiinj cau hoi nay ro rang la khong he đn gian. Bdi v i chiing i t nhieu lien quan dgn Idp N P I , mot Idp phiic tap cho den nay van con i t dud khao sat va than higụ
I
Bai tap
201
Bai tap
2.1 Cho bai toan thanh vien (MEMBERSHIP) vdi d i i kien {A,b),
trong do A = {ai, a 2 ,. . . , ak} \h tap gom k so nguyen duong,
fc > 1, va M a mot so nguyen duong. Hay xay dung mOt may Turing dg k h i n g dinh ngon ngu:
MEMBERSHIP = {{A,b)\ chila b}
va hay xac dinh do philc tap thdi gian cua maỵ
2.2 Chiing minh rang Idp P dong kin (tiic bat bien) d6i vdi phep hop va phep ghep; nghia la, neu Avh R thuoc P t h i AuB vh hop va phep ghep; nghia la, neu Avh R thuoc P t h i AuB vh
AoB cung thuoc P , trong do AoB = {xy \x e A why e B}. Chiing minh rang Idp N P dong kin doi vdi phep hop va • phep ghep.
2.4 G i a s i i
CONNECTED = { ( G ) | G la do thi vo hudng lien thong;. Chiing minh r^ng CONNECTED thuoc P .
2.5 Clique gom 3 dinh trong do thi dudc goi la tam gidc (triangle). Chiing minh rang TRIANGLE G P , trong do Chiing minh rang TRIANGLE G P , trong do
TRIANGLE = { ( G ) | G la do thi vo hudng chiia tam giac}.
2.6 Ta nhac lai rang hai do thi G va ^ la đng cau (isomorphic)
neu cac dinh ciia G c6 the duoc sap xep lai sao cho no giong het nhu H. Gia sil
ISO = {{G,H)\G va H la cac do t h i dang cau}. Chiing minh rang ISO G N P .
202: Do phiic tap thdi gian
2.7 Chiing minh rSlng viec kiim tra tinh nguyen to doi v6i s6
nguyen duong thuc hien duoc trong thdi gian da thiic, khi cac so ay duoc bigu dign du6i dang nhat phan. Noi each khac, cac so ay duoc bigu dign du6i dang nhat phan. Noi each khac, hay chilng to rSng ngon ngu:
UNARY-PRIMES = { T | n Ik nguyen to}
thuoc P. (Nhu da bigt each day khong lau [1], ngon ngu:
PRIMES = {h\h\a bilu dign nhi phan cua so nguyen to n}
duoc chilng minh \h thuoc P, nhilng kha phiic tap.)
2.8 Giasii
MODEXP = {dMcf^P I a,b,cvhp la cac so nguyen
duong ma = cmodp}.
Hay chiing to rang MODEXP e P.
2.9 Cho bai toan UNARY-SSUM, dadc phat bigu tirong til nhu
bai toan SUBSET-SUM nhung chi khac la moi so nguyen duong trong du: kien ciia no duoc bieu dien dudi dang nhat duong trong du: kien ciia no duoc bieu dien dudi dang nhat phan. Tai sao each chilng minh tinh NP-day du doi vdi bai toan SUBSET-SUM lai khong thanh cong khi ap dung cho bai
toan UNARY-SSUM ? Hay chilng to rSng UNARY-SSUMe P.
2.10 Chilng minh rang ngon ngu:
DOUBLE-SAT = {(0) | cong thiic Boole 0 thoa dxiac
hdi It nhat hai phep gan tri} la NP-day dụ la NP-day dụ
2.11 Giasil
HALF-CLIQUE = {(G) | G la do thi v6 hudng chila
clique vdi it nhat m/2 dinh,
trong do m \h so dinh cua G ^
Chiing minh rang HALF-CLIQUE la NP-day dụ ^
Bai tap
203
2.12 Cho G la mOt do thi vo hudng chila hai dinh a va b. Gia sil
SPATH = {(G, a, b,k)\G chila dudng di tiir a den b
vdi do dai nhieu nhat la A;}
LPATH = {(G, a, b,k) \ chila dudng di a den b
vdi do dai it nhat b^ng k}.
ạ Chilng minh rang SPATH e P.
b. Chiing minh rang LPATH la NP-day dụ Co the thiia
nhan HAMPATH, hki toan dudng di Hamilton trong
do thi vo hudng, la NP-day du va tim each quy dan
HAMPATH den LPATH.'
2.13 Giasii
CNFk = {{(f))\4>lh. cong thilc Boole d dang CNF thoa dudc,
trong do moi bien xuat hien nhieu nhat A; Ian}.
ạ Chilng minh rang CNF2 eP.
b. Chilng minh rang CNF3 la NP-day dụ
.14 Mot tap con gom cac dinh cua do thi G duoc goi la tap khong
chi {dominating set) neu moi dinh kha,c cua G deu ke vdi mot
dinh nao do cua tap con naỵ Gia sii
DOMINA TING-SET = {(G, it) | G c6 tip khong che k dinh}.
Chilng minh r^ng DOMINATING-SET la NP-d^y du, b^ng each dan t\i VERTEX-COVER. each dan t\i VERTEX-COVER.
Chilng minh rang, nfm P = NP thi mgi ngon ngfl A cua P,
204 Do phijc tap thdi gian
2.16 Cho 0 la cong thiic Boole dudi dang 3 - C N F . Mot i^-gdn tri
cho cac bien cua 0 la phep gan tri ma hai trong ba ludng bign
cua moi cum tuyen nhan dUdc cac gia tri chan ly khac nhaụ
Noi each khac, mot T^-gan tri thoa (p khong t h i gan gia tri
D U N G cho ca ba ludng bien trong ciing mot cum tuyln.
ạ Chiing minh rang phu dinh cua ^-gan tri bat ky cho 0
cung la mot 7^-gan trị
b. Gia sijt y^-SAT la tap tat ca cac cong thilc Boole dudi
dang 3 - C N F ma c6 7^-gan t r i . Chiing minh rkng ta se thu duoc phep quy din thdi gian da thiic tit ^-S'^Td^n thu duoc phep quy din thdi gian da thiic tit ^-S'^Td^n
^-SAT bang each thay the tirng cum tuygn TJ
(yi V j/ 2 V1 / 3 )
bdi hai cum tuygn
( y i V y s V Z i ) va ( l - V y a V u ) ,
trong do Zi la bien mdi cho chinh tuyen TJ va u lạ bien
mdi don thuSn phu thgm.
c. Nhu vay, ta ket luan rang ^^-^^Tla NP-day dụ
2.17 Ldt cat (cut) doi vdi do thi v6 hudng la su chia tdch tap
dinh V cua do thi thanh hai tap con r6i nhau S \h T. Kick cd
cua lat c^t la so cac canh cua G c6 mot dau mut trong S va
dau mut con lai trong T. Gia sii
CUT= {{G, k)\G CO lat cat kich c3 it nhat bang k].
Chiing minh rkng CUT la NP-day dụ Co thg thita nhan ket
qua cua Bai tap 2.16. (Dg chiing to ^-SAT^pCUT, doi vdi
moi cong thiic Boole dudi dang 3 - C N F vdi k cum tuygn, xay
dung mot do thi b^ng each cho moi bien x tUOng ling vdi 3k
dinh duoc dan nhan bdi x vh 3k dinh khac duoc dan nhan
bdi X. Tkt ca cac dinh vdi nhan x dudc noi vdi tat ca cac dinh^
vdi nhan x. D6i vdi moi cum tuyin, chgn tuy y mqt bO
Bdi tap
205 dinh vdi cac nhan y nhu cac ludng bign c6 trong cum tuygn dinh vdi cac nhan y nhu cac ludng bign c6 trong cum tuygn va noi cac dinh ay vdi nhau thanh mot tarn giac. Viec nay chi can thuc hien vdi mOt bo bạ Chiing minh r^ng day la mSt
phep quy dan t i l j^-SAT dgn CUT.)
2.18 Gia sil
k-COLOUR = {{G)\c dinh cua do thi G c6 the duoc t5
bdi k mau sao cho bat ky hai dinh
ke nhau deu c6 cac mau khac nhau } .
Chiing to rkng 2-COLOUR 6 P va 3-COLOUR la NP-day dụ
2.19 GiasiJt
SET-SPLITTING = {(5, C) | 5 la mot tap hflu han ma cac
phan tii duoc to do hoac xanh
v a c = {Ci,...,Cfc},fc > 0, la
ho cac tap con cua S ma khong
mot Ci nao chi chiia cac phan
• '" tii duoc to bdi cung mot mau •.
Chiing minh rang SET-SPLITTING la NP-d^y dụ
2.20 Xet bai toan lap lich. Cho mdt danh sach cac mon thi tot
K nghiep F i , . . . , Fjt cho cac sinh vign ^ i , . . . , 5^, bigt rang moi
B sinh vien phai du thi mot so mon theo quy dinh trong cdc
H mon thi trgn. Ta phai sap xep cac mon thi nay vao ckc bu6i