I Doi vdi may Turing khong tat dinh diing N, quat rinh tinh toan trgn moi t i i vao w duqc dien ra theo mot nhanh nao do ma may lua
2. Cho kgt qua dau ra x."
152 Do phiic tap th5i gian Bay gia ta xay diing thuat toan R cho bai todn RELPRIME, trong d6 sii dung E nhu mot chuong trinh con.
R = "Tren dau vao (x, y), bieu dien nhi phan cua cac so nguyen duong X va y:
1, Thuc hien viec tinh tokn E tren ( x , y ) .
2. Neu cho ket qua 1, t h i chap nhq,n; nguoc lai, bdc bọ" Ro rkng, neu E doi hoi thdi gian da thutc t h i R cung vay, va do
do ta chi ckn phan tich E dg xac dinh thdi gian hoat dong ciia nọ Tinh chudn xkc cua E kha quen thuoc nen khong can de cap den. D l xkc dinh do phiic tap thcii gian cua E, trudc tien ta chilng to r^ng moi khi Budc Ikp l a duoc thuc hien (c6 the t r i i Ian thuc hien dau tien), gia t r i cua x giam di it nhat mot niJtạ K h i Budc l a duoc thuc hien, x < y la duong nhien do ban chat cua ham mod. Sau Bade l b , x > y bdi v i chiing duoc hoan d6i v i t r i . Neu x / 2 > y, t h i x m o d y < y < x / 2 vk x duoc bdt di i t nhat mot nijtạ Neu x / 2 < y, t h i x m o d y = x - y < x / 2 va do do x duoc bdt di it nhat mot niiạ
Nhu vky, gik t r i cua x vk y duoc thay the nhau moi khi Budc l b duoc thuc hien, vk gia t r i ban dau cua x vk y tttng budc giam di
it nhat mSt niia trong suot quk trinh Ikp. Bdi vay, so Ian mk ckc Budc l a vk l b duoc Ikp lai chinh Ik so nho hdn trong hai so 2 logj x
vk 2 log2 ỵ Cac so nky ty le tuyen tinh vdi dO dki cua dau vko, vk
do đ so Ian Ikp duoc cho bdi 0[n. M6i budc ciia E duqc thuc hien trong thdi gian da thutc, vk do đ tokn bo qua trinh tinh tokn ciing
c h i t h e t h o i . • Vay Ik ta da xem xet mot vki t h i du ve nhiJng bki tokn cu t h i
thuSc Idp P. Lien quan den nhiing bki tokn ay cung c6n doi dieu dang luu ỵ Dd Ik vi?c xay dung thuat tokn thdi gian da thutc cho ^ nhiing bki tokn bii ciia chiing cung khk đn gian, b^ng ckch hokn
d6i vai t r d "chap nhan" vk "bkc bo" trong ckc thuat tokn da biet.
2.3 May Turing khong tat djnh thdi gian da thUc 153
giai bki toan tuong utng. Nhu vay, cac bki tokn bu ciia DIPATH, 2-SAT vk RELPRIME cung thuoc Idp P.
Chkng han, bki toan DIPATH cd bki tokn bu, duoc ky higu Ik DIPATH, vdi ngdn ngfl tuong ling
DIPATH = { ( G , u, v) I G Ik d6 t h i cd hudng chuta hai dinh u, v vk trong G khong ton tai dudng di tdt u den v). Ttt thuat tokn da biet M giai bki toan DIPATH (trong chiing minh Dinh ly 2.2.4) ta cd ngay thuat toan Jl cho bki tokn DIPATH. Hai thuat tokn nky chi khac nhau d mot d i i m , đ Ik doi vdi moi d^u vko
{G,u,v), thuat toan M chap nhan {G,u,v) neu vk chi neu thufit
toan A / b k c bo (G,u, u).
2.3 May Turing khong tat dinh th5i gian da thiJc gian da thiJc
Ckc khao skt tren day cho ta thay r^ng khi giai quyet nhieu bki tokn, ta t i m each trknh viec duyet tokn bo vk thu duoc nhiing thuat toan thdi gian da thutc cho cac bki toan nkỵ Tuy nhien, d6i
vdi nhien bki tokn khac ngay ca trong nhiing llnh vuc thvrc tien dang duoc chii y, dii cd rat c6 gkng nhung van khdng may thknh cong, nhiing thuat toan hihi hieu van chua dupe phkt hign.
Vky dau Ik nguyen nhan that bai trong viec t i m ki^m nhiing thuat tokn thdi gian da thiic cho ckc bki tokn aỷ Cau hoi quan trqng nky den nay van chua duoc ly giaị Cd le cac bki tokn ay chua duoc khkm phk mot ckch ckn ban, hokc ckc thukt tokn thdi gian da thutc cdn chd đi d nhflng nguyen ly chua duqc biet den, hokc cd t h i don gian Ik trong so cac bki tokn ay cd nhiing bki tokn khdng ^hl giai duoc bdi thuat tokn thdi gian da thutc. V^ bkn chkt, chiing
154 Do phiifc tap thdi gian Sau day ta se khao sdt mot Idp kha rong rai bao gom cdc bai
toan thudng gSp trong rat nhieu linh vuc khac nhau, Idp N P , trong
do nhieu bai toan thoat nhin tudng nhir don gian, nhirng cho den nay van kho c6 hy vong tim duoc thuat toan thdi gian da thufc giai chiing. Mot kham pha dang liru y Hen quan den cau hoi neu tren
cho thay rang do phiic tap cua nhieu hki tokn c6 s\i Hen ket moc
xich vdi nhaụ Mot khi tim duoc thuat toan thdi gian da thiic giai
mot hhi toan bat ky trong so do, thi dua theo thuat toan ay ta cd
duoc thuat toan cho moi bai toan thupc Idp NP.
2.3.1 Ldp N P va ngon ngiJ kigm chufng nhanh
Tudng tir nhir Idp phiic tap thdi gian TiME(f(n)) trong tinh toan
tat dinh, ta dinh nghia Idp philc tap thdi gian khong tat dinh
NTiME(i(n)) nhu saụ
Dinh nghIa 2.3.1 Cho mqt ham t : N —> R+. Ta dinh nghla
Idp phiic tap NTiME(t(n)) Id Idp tat cd cdc ngon ngU duac khdng
dinh bdi mdy Turing khdng tat dinh thdi gian 0[t{n)
Bay gid ta dinh nghla Idp NP, mot trong vai Idp phiic tap quan
trong nhat cua ly thuyet do phiic tap tinh toan.
Dinh nghia 2.3.2
N P = UNTiME(n'^).
k
N6i each khdc, N P la Idp tat cd cdc ngon ngU dU0c khdng dinh bdi
mdy Turing khong tat dinh thdi gian da thtic.
Ldp N P khong phu thuoc vao each liia chon mo hinh tinh toan
khong tat dinh thich hop, mot bang hay nhieu bang, bdi vi moi md
hinh ay deu tuong dirong da thiic vdi nhaụ Khi dien ta vh phan
tich cac thuat toan khong tat dinh thdi gian da thiic, ta thildng
2.3 Mdy Turing Mwngjâ^ ^^^^
155
f
theo sat nhung thong le nhir doi vdi thuat toan tat dinh thdi gian da thiic. Viec phan tich thuat toan khong tat djnh nh^m chiing to rJing moi nhanh tinh toan cua thuat toan sii dung khong qua mdt s6 da thiic cac phep bien đi co ban.
Ta hay xem xet thi du ve mot bai toan cu thg thuoc ldp NP,
do la bai toan dudng di Hamilton quen thuoc.
Dudng di Hamilton trong d6 thi c6 hirdng la mot dudng di cd
hudng qua moi dinh cua do thi va moi dinh chi qua mot Ian. Bai toan duoc phat bilu nhu saụ
DIHAMPATH
Da kien: Cho mot do thi cd hudng G vh hai dinh u, v thudc G. Cdu hoi: Phai chang trong G ton tai ditdng di Hamilton i\i u
d^nt;?
Ngon ngiJ tuong ling vdi bai toan nay duoc xac dinh bdi
DIHAMPATH = { ( G , u , v ) \ la mot do thi cd hudng chiia
dudng di Hamilton i\i u den v].
D i n h ly 2.3.3
DIHAMPATH e NP.
Chang minh Gia sii G la mot do thi cd hudng vdi m dinh dugc
g^n "ten" bdi cac so tu nhien i\l 1 den m. Khi do mOt day so
(^1, k2,km), bao gom cac so tU nhien i\i 1 den m, se tao thanh
nidt dudng di Hamilton trong G cd hudng t i i dinh u dSn dinh v,
ôu cac dieu kien sau thoa man: Trudc tien, tat cac so ki ay phai khac nhaụ Tiep den, u = ki vk v = km- Cuoi ciing, doi vdi mdi
1 < i < m - 1, trong do thj G cd cung {k^, ki+i). Tuong tu nhu d6i ^ ^ i bai toan DIPATH, ta de dang thu duoc thuat toan thdi gian ham cho bai toan DIHAMPATH, bang each Ian luot kilm tra toan ^0 cdc day neu tren xem day nao tao thanh dudng di Hamilton.
156 ' Do phucc tap th5i gian Dg xay dung mi,y Turing khong tat dinh thdi gian da thutc
khang dinh DIHAMPATH, thay vi duyet toan bo cdc day, ta lua chon mot c^ch khong tat dinh mot day nko do vh tien hanh kiem
tra xem lieu day ay c6 thoa man cac dieu kien neu tren hay khong.
B^ng c^ch n^y ta thu duoc may Turing khong tit dinh TV cho bgii
toan DIHAMPATH.
May Á^ duoc m6 ta nhu saụ
= "Tren ttr v^o {G, u, v), trong do G la do thi c6 hudng vdi m dinh chiia hai dinh u va i;: