M khong vuot qua so tat cacac hinh thai khac nhau Ct = UtqiVt
(iudc xay dung sau cp(n) budc de quy va cii sau moi budc dg dai cua cCng thiic de quy lai tang gap doi, cho ngn 0^ c6 do dai cd ham
238 Do phiic t a p k h o n g g i a n
mu, i t nhat la 2"="^"). Nguyen nhan dan den tinh trang tang do dai
nhir vay la do cf m6i bildc de quy cong thilc Y) duoc dinh nghia nhc) hai cong thutc con (j)j{X, Z) va (j)j{Z,Y).
Dg kh^c phuc t i n h trang tang do dai n h u vay, ngoai luong tijt
3 da C O , t a siJt dung them luong tiJt V va d i n h nghia (pj+i{X, Y) b d i
cong thiic tuong dirong:
Y) 3Z {^{A, B ) e {{X, Z), (Z, Y)}) [<j>,{A, B)].
Viec dua them luong tiJt V cung v6i nhflng bien mdi AvkB cho phep
t a hop nhat hai cong thflc con lai vdi nhaụ Trong cong thflc nay t a
c^n luu y rang ( V ( 4 , B ) e { ( X , Z), {Z, Y)}) 5 ) ] tUdng duong
ydi\/A\/B[{A = X A B = Z)y {A = Z A B = Y) ^ (pjiA, B)]. 6
day, de de hieu, t a dung ky hieu = de chi su b^ng nhau logic, thay cho ky hieu c h u i n xac ^ . Hay nhd r^ng, t r o n g Muc 0.1.4, cac phep
to^n Boole va ^ luon duac dign dat qua cdc phep A v^ Do
do, do dai cua cong thflc t h u dudc sau m o i bfldc de quy tang them cd tuyen t i n h theo do dai cua hinh thai, tflc tang them cd 0 [ p ( n ) .
Cu6i Cling, cong thflc dUdc dinh nghia nhfl sau:
= 3X 3 y [ I N I T ( X ) A AcCEPT(y) A (^ep(n){X, V)]-
De k i t thflc chflng m i n h , t a can chflng to r^ng cong thflc (pw
cd do dai da thflc. T h a t vay, 0 ^ dUdc xay dung sau cp{n) budc
de quy trep cd. s6 cong thflc 0 o vdi Qo d a i 0 [ p ( n ) ] va cfl sau mdi
budc do dai cung dfldc tang them 0\p{n)], nghia la 0^, cd do dai
0\p{n)] + cp{n) 0[p{n)] = 0{p^{n) .
Nhfl vay, tren cd sd nhflng hinh thai" cua may Turing M khang
dinh ngon ngfl cho trudc L, doi vdi mdi tfl vao w, t a xay dung dUdc
trong thdi gian da thflc m o t cong thflc Boole dinh ludng hokn toai
(pu,, sao cho t f l w thuoc L k h i va chi k h i cong thflc (p^ \h dflng. Diế
nay cd nghia la L TQBF. I
Dinh l y dUdc chflng m i n h .
3.3 DO phitc tap khong gian da thiic 239
• C h i e n thuat chdi thang cuoc
Nhflng t r o chdi g6m hai d^u t h u (two-player games) la mOt ngudn phong phu cung cap cac bai toan PS-day d u . 6 day, m o t each
khdng chat che, trd chai duoc dinh nghia la m o t cuoc t h i dau gifla
hai dau t h u ( h a i ben, hai nhdm) ma trong do cac dau t h u c6 gang gianh dudc muc tieu nao do theo mot the thflc da dinh. Tro chdi x u i t hien rat da dang trong nhieu linh vuc khac nhau, t f l nhflng cuoc vui chdi giai t r i đn gian dgn nhflng canh t r a n h kinh te-xa hoi phflc tap.
Tro chdi lien quan mat thiet den ludng t f l . M o i menh de dinh lUdng tUdng flng vdi mot t r d chdi; ngudc lai, m o t t r o chdi thudng cd mot menh dg dinh luong tUdng flng. M o i tUdng quan nay cd ich Idi nhieu mat. M o t la, viec dien dat m o t menh de toan vdi nhflng luong t f l dfldi dang t r d chdi cho phep t a than higu y nghia cua menh dẹ Hai la, viec dien t a t r d chdi bdi mot cong thflc dinh ludng giup ta thay dudc mflc do phflc tap cua t r d chdi aỵ Dg lam sang to m o i tfldng quan gifla t r d chdi va Ifldng t f l , t a tap t r u n g xem xet m o t t r d
chdi nhan tao, dfldc goi la trd chdi cong thUc {formula game).
Gia sfl
<p = 32-1 VX2 3X3 • • • Qxk B{xi,X2, X3,..., Xfc)
la mot cong thflc Boole dinh Iflong toan phan d dang chudn tien (3inh Ifldng, trong do cac ludng t f l V va 3 dan xen nhau xuat hien,
Ifldng t f l dau tign va ludng t f l cuoi cung Q cd t h i la V hoac 3. Ta
gSn kgt t r d chdi vdi cong thflc 0 nhu saụ H a i dau t h u , dau t h u A
dau thij E, Ian ludt chdi bang each chon nhflng gia t r i chan ly cho cac bign x i , . . . , Xk- Dau t h u A chon cac gia t r i cho nhflng b i i n dugc gan vdi Ifldng t f l V va dau t h u E chon cac gia t r i cho nhflng bi^n duoc gan vdi ludng t f l 3. T h f l t f l chdi chinh la thfl t f l xuat hien cua cac Ifldng t f l trong cong thflc. K h i cuoc chdi ket thflc, t a
S'Jf dung nhflng gia t r i m a cac dau thu da lua chon cho cac bien d i
240 Do phutc tap khong gian luang t i i , tuyen bo rang dau thu E th^ng cuQc neu gia t r i ay duoc xac dinh la DUNG. Dau thu A thang cuoc neu bay gid gia t r i cua B{xi,..., xjfc) duoc xac dinh la SAI, tufc dau thu E thua cuoc.
V i d u 3.3.1 G i a t h i i n h u *
(1)1 = 3xi Vx2 33:3 [{xi V X2) A ( X 2 V X3) A {X2 V X 3 ) .
Trong tro choi cong thiic tUOng ling vdi 0i, dau tien dau thu E chon gia t r i cho xi, tigp dgn dau thu A chon gia t r i cho X2 vk cuoi cung dau thu E chon gia t r i cho X 3 .
Dg dg minh hoa tr5 choi nay, nhu thudng le ta bieu t h i gia t r i chan ly DUNG bdi 1 va SAI bdi 0. Hay thii xem, dau tien dau thu E chon xi = I , tiep den dau thu A chon X2 = 0 va cuoi ciing dau thu E chon X 3 = 1. Vdi nhiing gia t r i duoc chon nhir vay cho cac bign
x i , X 2 va X 3 , cong thufc con
( x i V X 2 ) A (x2 V X s ) A (x2 V X 3 )
nhan gia t r i 1 va do do dau thu E thang cuoc. That ra, hhng cAch. chon gia t r i 1 cho ca hai bien x i va X 3 nhu vay, dau thu E c6 kha nang luon thang cuoc, cho dii dau thu A chon bat cii gia t r i nao cho bien X 2 . K h i do ta noi rang dau thu E c6 c h i i n thuat chdi thang cuoc.
Bay gid ta hay thay doi đi chiit cong thiic neu tren d i thu duoc mot tro choi khac ma trong do dau thu A c6 chien thuat choi thang
cuoc. Chang han nhu
(1)2 = 3 x i VX2 3X3 V X 2 ) A ( X 2 V X 3 ) A ( X 2 V X 3 ) .
Trong tro choi duoc rang buoc bdi cong thiic 0 2 ) dau thu A c6 chign thuat choi thang cuoc, bdi v i dii vdi bat cil nhiing gia t r i chan ly nao ma dau thii E lua chon cho cac bien x i va X 3 , dau thu A cung chon X 2 = 0 va b^ng each ay buOc phan cong thutc Boole trong dau
ngoac vuQng nhan gia t r i 0. : . 0
3.3 Do phitc tap khong gian da thiic 241 Gid day ta c6 the xem xet bai toan tro choi cong thUc Gid day ta c6 the xem xet bai toan tro choi cong thUc F O R M U L A - G A M E vdi noi dung bao gom viec xac dinh xem dau thu nao CO chien thuat choi thang cuoc trong tro choi gifla hai dau thu A va E, duoc rang buoc bdi cong thufc 0 dudi dang ca biet neu
tren. Day la tro choi giua hai dau thii ma ket qua la mot bgn thang
va mot ben thuạ Bdi vay, ta c6 thg dinh nghia ngon ngii tUOng ilng vdi bai toan nay nhu sau:
FORMULA-GAME = {(0) | Dau t h u E cd chien thuat choi
thang cuoc trong tro choi cong thilc duoc rang buoc bdi 0}.
Dinh ly 3.3.5 FORMULA-GAME Id PS-day dụ
Chxtng mink R6 rang ngon ngu FORMULA-GAME thuoc Idp PS,
bdi V I bai toan F O R M U L A - G A M E la mot trudng hop rieng cua bai toan T Q B F .
Bay gid ta chiing to rang moi ngon ngii cua PS deu dSn duoc
trong thdi gian da thiic den ngon ngU FORMULA-GAME, bang each chirng to r^ng TQBF FORMULA-GAMẸ That vay, ta
CO TQBF i^p FORMULA-GAME, bdi v i moi cong thiic Boole tien
dinh luong toan phan deu cd mOt cong thiic tuong duong vdi su xuat hien dan xen nhau ciia cac lUdng tijt V va 3. Chang han, doi vdi cong thilc chiia hai luong tiJt 3 lien nhau
0 = ... 3Xi3xj ... B , ' ;
b^ng each siJt dung bien mdi y va chen luong t i l Vt/ vao gifla hai l^dng tiJt ay, ta thu duoc cong thflc tuong duong
*^ 0' = . . . 3 x , V y 3 x j. . . / ? A ( y V y ) .
vdi cong thiic chfla nhflng luong t i i V lien nhau, viec bien doi ^ung tuong t u nhu vaỵ
242! Do phijfc tap khong gian
3.4 D o phiJc tap khong gian loga
Trirdc day, vdi quan niem ph6 bien ve thdi gian wh khong gian tinh toan cua may Turing, do phufc tap thdi gian vh do phiic tap khong gian thudng duoc khao sat trong pham vi vdi rank gidi tuyen tinh, phii hdp vdi nhiing yeu ck\i toi thigu vg thdi gian truy cap cung nhu
ve khong gian diing dg ghi dii lieu dau vaọ Trong Muc 3.1.2, vdi
quan niem mang tinh thuc tg ve khong gian tinh to4n, bang each phan dinh cu the phan khong gian luu tru va phan khong gian tinh toan, ta da gidi thieu may Turing nhigu bang vdi bang chuyen doc. Day la may Turing nhieu bang, trong do bang thii nhat dudc danh rieng cho viec luu tru: dii lieu dau vao ma may chi dudc phep doc dg
khai thac chii khong duoc thay đi, do do dudc goi la bang chuyen
doc; cac bang con lai diing cho viec tinh toan nen dUdc goi la bang thao tdc va dUdc coi la khong gian tinh toan, tao cd s6 dg dinh
nghia do phiic tap khong gian cho loai may nay (Dinh nghia 3.1.4). D6i vdi may Turing vdi bang chuygn doc, ta cd thg khao sat do phiJc tap khong gian trong pham vi vdi ranh gidi dudi tuyen tinh,
ndi rigng la ran/i gidi logạ Thuc tg chiing to rang ranh gidi loga
la kha dị Trong Vi du 3.1.4 ta da xay dung dUdc mot may Turing
tat dinh hai bang, vdi bang chuygn doc va vdi do phiic tap khong
gian logn, khang dinh ngon ngii L = {Ól' | i > 0}.
Trong tam ciia phan nay la khao sat khong gian log n thay cho
cac khong gian dudi tuyen tinh ndi chung, chang han nhu nhiing
khong gian y/ri hay log^ n. Khong gian loga la vifa du de giai mOt s6
bai toan ly thii va no cd nhiing tinh chat kha hap dan nhu vln du
diing ngay ca khi thay đi mo hinh may hoac thay đi phudng phap ma hda dii lieu dau vaọ Ma hda cua dii lieu dau vao, theo quy dinh-
ludn bigu dign dUdc trong khong gian loga, nhd do ta c6 thl xen^
xet kha nang ton tai cac may Turing vdi do phiic tap khong gian
logạ Hon nua, theo Dinh ly 3.1.5 ve miic do tUdng duong khdnt'
gian giiia cac may Turinsr nhieu bang, khong gian loga chi can diidc
3.4 Do phitc tap khong gian loga
243. khao sat doi vdi may Turing hai bang, trong do bang thil nhat la bang chuyen doc va bang thii hai la bang thao tac, ma ta da goi
vdn t^t la may Turing vdi bang chuyen doc.
Bay gid ta triln khai cac nghign ciiu ve do phiic tap khong gian
loga doi vdi cac loai may Turing vdi bang chuygn doc, ca tat dinh
lan khong tat dinh, bat dau txl viec dinh nghia cac Idp phiic tap
den viec khao sat tinh day du cung nhu tinh bat bien dudi tac dong phep lay phan bu cua ngon ngii doi vdi nhiing Idp phiic tap aỵ
3.4.1 Cac Idp phufc tap LS va NLS
Trudc tien, tuong tu nhu khi khao sat thdi gian va khong gian da thiic; đng thdi, vdi nhiing ly do neu tren, ta xac dinh cac Idp phiic tap quan trong sau daỵ
Dinh nghia 3.4.1 Cac Idp phiic tap L S va N L S dtnac dinh nghia
nhu sau:
L S la Idp cdc ngon ngii duac khdng dinh trong khong gian loga bdi mdy Taring tat dinh vdi bdng chuyen doc. Noi each khdc,
L S = SpACE(logn);
N L S Id Idp cdc ngon ngii duac khdng dinh trong khong gian loga bdi mdy Turing khong tat dinh vdi bang chuyen doc. Noi cdch khdc,
N L S = NSpACE(logn).
Theo dinh nghia, Idp L S chiia ngon ngii L = {ÓV | < > 0} bai vi, nhu tren da ngu, L dudc khang dinh trong khong gian loga
boi may Turing tat dinh.
Bay gid ta xem xet thi du ve mOt bai toan thi;c te ma c6 ngon
ngii tuong ling thuoc Idp N L S . Do la bai toan kigm tra su ton tai ^«c)ng di trong do thi cd hudng, vdi ngon ngfl tUdng ling:
244 Dp phuic tap khong gian
DIPATH = { { G , u, v) I trong do thj c6 hu6ng G ton tai dudng di t\i dinh u den dinh v } .
Nhir da thay, Dinh ly 2.2.4 chilng to r^ng ng6n ngvJ DIPATH
dtrdc khang dinh trong thdi gian da thilc bdi may Turing t i t dinh. Dg thiy rang may Turing ay c6 do philc tap khong gian tuyen tinh. Cho den nay khong xay dung duoc mot may Turing tat dinh nao dg khang dinh DIPATH trong khong gian logạ Ngon ngu: nay duoc khing dinh trong khong gian loga bdi may Turing khong tat dinh.
Dinh ly 3.4.2
DIPATH elSiLS.
Chting minh Di khang dinh ngon ngil DIPATH trong khong gian loga, ta xay dung may Turing khong tat dinh v6i bang chuyen doc Á'. Theo quy dinh, bang thir nhat cua Á' la bang chuyen doc, tren do ghi tit vao {G, u, v ) , vh bang thii hai la bang thao tac. Tit
vao (G, u, v) la ma hoa cua dfl kien (G, u, v) bang each, doi vdi do thi G gom rn dinh, moi dinh Vk cua G dUdc bigu thi b5i bilu dign
nhi phan k cua so nguygn duong k va m5i cung {vh, Vk) duoc bigu
thi bdi (h, k) vdi 1 < /t, fc < m. May Turing khong tat dinh duoc
mo ta nhir saụ
TV = "Tren moi dau vao (G, u, u), trong do G \h. mot do thi c6 hudng
chiia hai dinh u va v: