. Bai toan SAT Day la bai toan thoa duoc d6i vdi cac cong thiic
Dinh ly sau day bigu thi mot phep quy din thdi gian da thiic tii bai toan 3-SAT den bai toan CLIQUẸ
tii bai toan 3-SAT den bai toan CLIQUẸ
^nh ly 2.4.6
3-SAT dp CLIQUẸ
ChUng minh Ph^p quy dan thdi gian da thiic / tii bai toan 3-SAT ^^n bai toan CLIQUE duoc t h i hien bdi viec bien dpi moi dfl kỉn ^^n bai toan CLIQUE duoc t h i hien bdi viec bien dpi moi dfl kỉn ^ua 3.SAT thanh mot dii kien ciia CLIQUE, tiic trgn co sd moi
^^ng thiic 0 d dang 3-CNF ta xac dinh mot d6 thi vo hudng vk
174 Do phurc tap th5i gian t h i CO m o t do t h i con day du gom k dinh. Han the niia, viec xay
dung do t h i diroc thuc hien trong thdi gian da thiic.
Gia sii 0 la cong thiic Boole chiJta cac bign x i , X2, • • •, va dugc b i i u dign dudi dang 3-CNF gom A; c y m tuygn ( i = 1, 2 , . . . , /o):
0 = v/ 2[ i ] V / 3 [ I] )A . . . A {h[k\yl2[k]yh[k\),
trong do = V l2[i\ h chufa cac ludng bien h
K h i do phep quy d i n / tao ra mot dxl kien (G^, k) ciia bai toan CLIQUE, trong do k chinh la so cac cum tuygn cua cong thiic 0 va
G^ la do t h i v6 hudng diioc xac dinh nhu saụ
Tap dinh cua do t h i vdi so luong 3A; dugc chia thanh k nhom,
ti,t2,. • • ,tk, m5i nhom gom 3 dinh ngn dudc ggi la bo bạ M5i bg
ba ti tucng ling vdi cum tuygn TJ, va cac dinh trong bo ba ay dugc
dan nhan b5i nhiJng ludng bien kli], hli-] cua cum tuygn tUdng
ling. N h u vay m5i dinh cua do t h i G^ dudc dan nhan b d i mOt luOng bien trong cong thilc 0.
Tap canh cua G^ bao g5m hau nhu t a t ca cac canh noi hai dinh trong G^, ngoai trCr nhflng canh noi hai dinh trong ciing mOt bg hs
va nhiing canh noi hai dinh vdi nhiing nhan trai ngugc nhau, ching han n h u Xj va x].
H l n h 2.8 Do t h i trong d i i kien ciia CLIQUE irng vdi cong thii
0 = ( x i V X2 V x l ) A ( x i V V X 3 ) A (xT V X2 V X3)
24 Tinh NP-day du
175 Hinh 2.8 m i n h hga viec xay dung do t h i G^ xuat phat tiJ cong thiic 0 = (âi Vx2 V X J)A(X I V x ^ V x 3) A( x r V x 2 V x 3 ) . R o r a n g , doi vai m5i cong thiic Boole 5 dang 3-CNF, viec xay dung d6 t h i tuong ling G^ hoan toan thuc hien dugc trong thdi gian da thiic theo do dai cua (0).
B\ng each xay dung nay t a dg dang chiing to rSng, cong thiic (P la thoa dugc k h i v^ chi khi do t h i tuong ling G^ chiia d6 t h i con
day d u k dinh.
That vay, gia sii 0 thoa dugc bdi mot phep gan t r i nao dọ K h i do, theo phep gan t r i ay, trong moi cum tuygn cua 0 c6 i t nhat
mot luQng bien nhan gia t r i dung. Trong m5i bg ba cua G^ t a chgn
mot dinh vdi nhan nhan gia t r i diing, va do do t a t h u dugc mot
tap gom k dinh. Tap nay tao thanh mot do t h i con day d u k dinh
trong do t h i G^. Theo each xay dung do t h i G^, m6i cap dinh dugc lua chgn n h u the deu dugc noi vdi nhau bdi mot canh, bdi v i chiing khong thugc ciing mot bg ba va nhiing nhan cua chiing khong thg trai ngugc nhau do ciing nhan gia t r i diing.
Ngugc lai, gia sii G^ chiia do t h i con day d u k dinh. Dg thay
r^ng, khong thg c6 hai dinh ciia d5 t h i con day d u ay ciing thugc mot bg ba bdi v i , theo each xay dung G^, nhiing dinh trong ciing mot bg ba khong dugc noi vdi nhau bdi cac canh. Do do m5i bg ba chiia diing mot dinh ciia do t h i con day dụ Hon niia, cung theo each xay dung G^, khong thg c6 hai dinh cua do t h i con day d i i vdi nhiing nhan trai ngugc nhaụ Bdi vay, cac bign ciia 0 c6 thg dugc gan t r i nhu sau: Nhiing bien lign quan den dinh ciia do t h i con day dugc gan t r i sao cho moi nhan cua dinh thugc do t h i con day deu nhan gia t r i diing; cac dinh con lai dudc gan t r i t i i y ỵ Phep S^n t r i nay thoa cong thiic 0, bdi v i mOi bg ba chiia m o t dinh ciia
t h i con day d i i va do do moi cum tuygn cua 0 chiia mot ludng ^'^n nhan gia t r i diing. N h u vay cong thiic 0 la thoa dugc.
176 Do phijc tap thdi gian Cac Dinh ly 2.4.4 va 2.4.6 chirng to rang, neu bai toan C L I Q U E