. Bai toan VERTEX COVER Day \h mOt trong nhiing hh
188 Do phi3:c tap thQi gian
bien" trong phu d^u nhan g i ^ t r i 1, va khi do nhan cua dinh con lai trong moi bo ba cung nhan gia t r i 1. Dieu nhy chilng to rkng,
theo each gan t r i nhu vay, m5i cum tuygn trong bigu dien 3-CNF
cua cong thilc 0 dgu chiia it nhat mOt lu3ng bign nhan gi6 t r i 1, vk do do cong thiic 4> la thoa dildc.
Djnh ly duoc chiJng minh. •
• B a i toan S U B S E T - S U M . Day la mot bai toan thuoc N P
m^ ta da xem xet trong Muc 2.3.2. Trong bai toan nay moi d\i kien (5, t) bao gom mot ho cac so nguyen duong S = { s i , S 2 , . . . , s ^ }
cung vdi mot muc tieu t, va doi hoi xac dinh xem lieu trong ho n^y
CO hay khong mot ho con vdi tSng c^c s6 b^ng t. Bay gid ta chilng to rang bai toan nay \h NP-day dụ
D i n h ly 2.4.15 SUBSET-SUM la NP-đy dụ
CMng minh Theo Dinh ly 2.3.7, ngon ngfl SUBSET-SUM thuoc Idp N P . De chiJtng to rang moi ngon ngfl: cua N P deu quy dan dudc den SUBSET-SUM trong thdi gian da thiic, ta t i m each quy d i n ngon ngfl: NP-day du 3-SAT dgn SUBSET-SUM. Doi vdi moi dfl kien cua 3-SAT, tilc cong thiic Boole 5 dang 3-CNF 0, ta xdc dinh mot dfl kien cua SUBSET-SUM bao gom mot ho S cac so nguygn dudng v^ mot so nguygn dudng t, sao cho S chila mOt ho con T vdi tong cac so dat muc tigu t khi va chi khi 0 la thoa dudc.
De dat dUdc viec quy dan nay, ta c6 t i m kiem trong cd cau cua bai toan SUBSET-SUM nhflng yeu to ma c6 kha nang thg hien
dugc cac bien va cac cum t u y l n cua 4>- Qua vay, moi cong thflc (p
dudi dang 3-CNF duoc tudng flng vdi mot dfl kien dac biet (5, t)
cua SUBSET-SUM. Dfl kien bao gom cac so kha Idn dudc trinh bay trong he thap phan, va chi chfla cac chfl so 1 va 0. Cac bien
duoc the hien bdi cac cap so, va cac cum tuygn dUdc migu ta bdi cac v i t r i xac thuc trong b i l u dien thap phan ciia nhflng so aỵ
2.4 Tinh NP-đy du
189
& cac phan t u cua S. D6„g phfa d . d i dudng ke kep a m«c tKu
1 2 3 4 . . . m 2/1 1 0 0 0 . . . 0 1 0 . . . 0 Zi 1 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 2/2 1 0 0 . . . 0 0 1 . . . 0 Z2 1 0 0 . . . 0 1 0 . . . 0 2/3 1 0 . . . 0 1 1 . . . 0 Z3 1 0 . . . 0 • 0 0 . . 1 Vm * • Vm 1 0 0 . . . 0 s Zm 1 0 0 . . . 0 91 1 0 . . . 0 fh 1 0 . . . 0 92 1 . . . 0 h2 1 . . . 0 9c 1 he 1 t 1 1 1 1 • • • 1 3 3 . . 3
Bang 2.11 Dfl kien {S, t) cua SUBSET-SUM duoc bign d6i t f l
190 Do phutc tap thdi gian
Nhir vay S chiJa mot loai cap c^c so yi vh Zi, tmng ling v6i moi
bien cua 0. Bigu dign thap phan cua nhiing so nay duoc chia thanh hai phan, n h u duoc the hien trong Bang 2.11. Phan ben trai
chiia mot chO so 1 va tiep den m - i chfl: so 0. M 6 i v i t r i trong phan ben phai tuong ilng vdi mot cum tuygn, trong do chu: so thu: j cua yi la 1 ngu cum tuygn r, chiia luOng bien Xj va chu: so t h i i j cua Zi
la 1 neu cum tuygn r, chufa luSng bien x j . NhiJng vi t r i ma khong duoc an dinh 1 deu la 0.
Ngoai ra, trong S con c6 them mot loai cSp cac so QJ va /tj, tuang ling vdi cum tuygn r,. Hai so QJ V ^ hj ky bang nhau, chung
chiJa mot chu so 1 va tiep den c — j chu: so 0.
Cuoi cung, muc tigu t la so duoc t r i n h b^y b d6ng dudi cung
trong Bang 2.11, bao gom m chu: so 1 va tiep den c chfl so 3. Bay gib t a giai thich t a i sao viec xay dung nhtr vay lai thich hop, bang each ehflng to rang eong thfle 0 la thoa duoc k h i va ehi
khi S chfla mot ho con T vdi tong cac so bang t.
Gia sii 0 la thoa duoc. Ho con T cua S duoc xdc dinh n h u saụ
Trudc tign, doi vdi m6i 1 < i < m , ta chon so j/j neu bien Xj nhan
gia t r i 1 (DUNG) theo phep gian t r i thoa (p va chon Zi neu Xj nhan
gia t r i 0 (SAl). Neu t a eong nhflng so dugc lua chon ay vdi nhau
t h i t a t h u duoc mot so vdi m chfl so dau deu la 1, bdi v i doi vdi moi i t a chi chon mOt trong hai so yi hoac Zj. Hon nfla, d6i vdi m5i 1 < j < chfl so thfl j trong c chfl so cuoi ciia tdng t h u dugc deu
nam trong khoang t f l 1 den 3, bdi vi moi cum tuygn deu thoa duoc va chfla t f l 1 den 3 ludng bien nhan gia t r i DUNG. Tigp theo, doi
vdi moi 1 < j < c, t a eo thg chon them cho T mot hoac ca hai so Qj va hj dg du nang chfl so thfl j ay Ign 3. Vay la T dat muc tigu t-
Gia sfl S chfla mot ho con T vdi tdng ckc so dat muc tigu t.
Trudc k h i xay dung phep gfin t r i thoa 0, ta eo mot v^i nhan xet^ quan trong sau daỵ Dau tien, tat ea nhflng chfl so tao ngn cac s6
thuOc S chi la 1 hoac 0. Tiep theo, trong bang dien t a S moi cdt
2.5 Cau true cua cac Idp NP va co-NP
191
chfla t o i da nam chfl s6 1, rieng doi vdi m cot dau moi cOt eo dung hai chfl so 1 thuoe cung mot cap va Zị Do do, d i m chfl so dau cua t dgu la 1, ho T ehi chfla mot trong hai so hoac Zi, vk k h i T da dat muc tigu t t h i viec thgm hoac hj la khong t h i dugc.
Phgp gan t r i dieh thuc thoa eong thfle 0 dugc xay dflng n h u
saụ Ngu T chfla y, t h i ta gan cho bien Xj gia t r i DUNG. Ngugc lai, neu T chfla Zj, t a gan cho Xi gia t r i SAL Phep g^n t r i nay nhat dinh thoa (j). T h a t vay, doi vdi mdi 1 < j < c, trong cot TJ C6 hhieu nhat hai chfl so 1 thuge gj hoac hj vh, theo gia thiet ve su ton t a i T d^t muc tigu t, trong cot r, c6 i t nhat mot chfl so 1 thuge yj hoac Zj. Neu no thuge yt t h i bien X i xuat hien trong cum tuyen r, vh dugc gan t r i DUNG, nen r, thoa dugc. Neu no thuge Zi t h i xi xuat hỉn
trong cum t u y i n r, va bien X i dugc gan t r i SAI, ngn r,- eung thoa
dflgc. V i vay eong thflc (p \h thoa dirgẹ
Cuoi Cling, t a can ehflng to rang phep quy dan dugc thiie hien
trong thdi gian da thflẹ Bang 2.11 bigu t h i {S,t) c6 kich cd ehflng khoang ( m + c)^, va ngi dung eiia n6 dflgc truy nhap mot ckch de dang doi vdi m o i 0. Bdi vay bang nay dugc hohn thanh sau 0[n^
bude don giajị
D i n h ly dugc ehflng minh. •
2.5 Cau true cua cac Idp NP va co-NP
•
Ve cau true cua Idp NP, tren Hinh 2.9 ta da gidi thieu mgt each khong chae chan hai so do don gian eo thg xay rạ Dieu mo ho d6 se dugc lam sang to hon ngay sau daỵ Cung lign quan den cau true cua Idp NP, d cuoi Muc 2.2.2 va Muc 2.3.1 t a da de cap den van de:
Bai toan bu DIPATH cua DIPATH G P de dang dugc ehflng m i n h la cung thuge P, trong khi do doi vdi bai toan bu DIHAMPATH mạ DIHAMPATH e NP t a lai rat kho biet la thuge NP hay khong. Trong phan nhy t a se xem xet van de doi vdi cac ngon ngfl eiia,NP,
192 Do phufc tap thdi gian
2.5.1 Ldp trung gian N P I giufa P va N P C
Nhu da biet, 16p N P chtita 16p con P vh Idp con N P C gom c^c ngon ngii NP-day dụ K h i thira nhan P ^ N P , nhflng 16p con nay khong giao nhaụ Dong th5i, P tuong ilng vdi "16p cac bai toan
de" va N P C tUOng ling vdi "Idp cac bai toan kho". Ngoai ra c6 the chiJng to rang, ve mat ly thuyet, Idp N P con chira nhflng hhi tokn
vdi "do kho" n^m gifla P va N P C . D i n h nghia 2.5.1
Ldp N P I dit^c ggi Id trung gian {intermediate) giUa P vd N P C .
N P I = N P \ ( P U N P C ) .
Ldp N P I khac r5ng, khi thtta nhan P 7^ N P , dudc suy ra true tiep til mot ket qua tdng quat hon cua R. Ẹ Ladner. Ket qua nay diioc phat bigu nhu saụ
D i n h ly 2.5.2 (Ladner [17]) Gid sii LQ Id ngon ngU khdng djnh
duac vd khong thuoc P . Khi do trong P ton tQ,i mot ngon ngU A sao cho Li = LoC\A khong thuoc P vd L \p Lo nhung LQ 2<P
Nhu thudng le, d day ta dung ky hieu L 2<P V dg chi rang ngon ngii L khong quy dan duac den ngon ngii: L ' trong thdi gian da thiJc. Dinh ly dildc chiing minh bSing each phi k i l n thiet. Bay gid ta siJt dung ket qua nay dg lam sang to doi digu ve cau triic ciia ldp phile tap N P . Trude tien ta dinh nghIa khai ni^m ve mgt k i i u tuong duong giiia cac ngon ngiị
D i n h nghia 2.5.3 Ta ndi r&ng hai ngon ngU B vdC Id tiidng dveang thdi gian da thUc hay ngdn ggn la p-ttCcfng dUdng, vd ta Viet B ~p C , neu B C vd C :<P B. Tap cdc ngon ngU titng'^ đi mgi p-tuang duang lap thdnh ldp p-ti£dng dtidng.
\
2.5 Cdu true cua cdc ldp NP vd co-NP 193
Dinh ly Ladner neu tren la co sd d i ta de d^ng chiing minh dinh ly sau daỵ
D i n h ly 2.5.4 Gid svcl> ^ N P . Khi do ldp trung gian N P I khdc
rong vd chUa vd sS cdc ldp con p-tuang dicdng khong giao nhaụ Chiing minh Bkng each ap dung Dinh ly Ladner, de chiing to rang
N P I 7^ 0, ta CO t h i chon LQ la mot ngon ngii NP-day dti bat ky da biet, ching han nhu SAT, 3-SAT, CLIQUE, v.v... Do P ^ N P nen
LQ thoa man nhiing yeu cau trong gia thiet, tfic la mpt ngOn ngO khang dinh duoc va khong thuoc P . K h i đ ngon ngU L j = LQ n ^ khong thuoc P , nhung van thuoc N P bdi v i LQ € N P v^ / I € P .
Hdn niia, do LQ 2<P L^, cho nen ngon ngii L i khong la NP-dfiy dụ Vay la ton tai L i G N P I , tire N P I 7^ 0.
Bay gid doi vdi moi j > 1, bang each ap dung Dinh ly Ladner cho ngon ngii L^, ta thu duoc ngon ngfl L^+i thuoc N P I v^ Lj+j :<p Lj nhung Lj y<p Lj+x. Tiep theo, ta dinh nghia
NPI, = {L\Le N P I va L ~p Lj}. Ro rang, doi vdi moi j , A; = 1,2,... va j ^ k, ta co
NPij n NPifc - 0.
Vay N P I chiia v6 so ldp eon p-tudng duong khong giao nhaụ
Dinh ly duoe chiing minh. • Trong chiing minh dinh ly nay ta nhan thay r^ng, do Lj+i •<p Lj
vk Lj 7<p Lj+i, cho nen NPIj bao gom cac ngon ngii kho hon so vdi cac ngon ngfl thuoc NPI^+ị Bdi vay ta co t h i sap x i p cdc ldp eon p-tuong dudng NPIj cua N P I theo trat t u phiic tap cua chiing. Cu6i Cling, khi thira nhan P ^ N P , cau triic cua ldp N P dugc minh hoa tren Hinh 2.12, trong đ NPI, khd hon NPI_,+i doi vdi moi j >l,vk ldp NP-day dii N P C cung la mOt ldp p-tuong duong
194: Do phutc tap thdi gian
JTinh 2.12 Tôn canh ve Idp NP, khi P 7^ NP \
I •
Ta can Imi y rllng nhiing ngon ngfl diroc sii dung dg minh chiing cho c^c dinh ly vita neu, dac biet la nhflng ngon ngfl thuoc Idp NPI,
deu mang tinh "nhan tao" dfla tren co sd khing dinh sir ton tai cua chung. Vay thi Ueu trong Idp NPI c6 hay khong nhu:ng ngon. ngfl "tfl nhien" hay, cu thg hon, nhflng ngon ngfl tUOng flng vdi bki toan thuc te nao dỏ Cau tra Idi dudng nhtr la khSng dinh. Tren thflc te ta van gap phai nhflng bai toan thuoc Idp NP ma ta kho c6 thi
tim diioc thuat toan th6i gian da thflc dg giai chung va cung chfla chflng to dfloc vKng chung la NP-day dụ Thi du ve mot bai todn
vdi nhieu kha nSng thuQC NPI la bai toan ding cau gifla hai do thi: • ')
GRAPH ISOMORPHISM ~
Da kien: Cho hai do thi vo hirdng G = {V, E) va G' = (V, É).
Cdu hoi: Phai chSng G vk G' ding cau nhau, tflc ton tai chSng mot song anh / : V —> V sao cho canh { u , v] thuQc