D CO thg mo phon gM trong khong gian dg{n) vdi mot h^ng so
2. Doi vdi mot phep gan tri rieng biet, tinh gia tri cua (p.
3. Neu 0 nhan gia t r i 1, chap nhan; ngUdc lai, bdc bọ"
Bxidc 1 clia thuat toan chon mot each khong ta t dinh phep gan
t r i vdi su phan nhanh phQ quat. Dieu do doi hoi tat ca cac nhanh phai chap nhan dg toan bo qua trinh t i n h toan dan den chap nhan-
Cac Budc 2 va 3 tien hanh k i i m t r a mot cAch tat dinh xem lieu
phep gan t r i duoc chon d mot nhanh tinh toan rieng biet c6 thoa c5ng thiic hay khong. Do do thuat toan chap nhan dau vao, neu no xac dinh dUde rang tat ca cac phep gan t r i deu thoa cong thiic.
R6 rang TAUT Ik ngon ngii thuoc c o - N P . T h a t ra, ta ed thg
dg dang chiing to rang moi bai toan trong c o - N P deu thuoc A P ,
bang each sii dung thuat toan tUdng t u nhu trgn. • V i d u 5.1.2 Ta ehi ra mdt ngon ngu: eiia A P ma khong ro la
thuoc N P hay thuoc c o - N P . Gia sijt 0 va 0 la hai cong thufc Boolẹ Ta n d i rang 0 va -0 la tuong dudng neu chung nhan gia t r i n h u nhau
doi v d i moi phep gan t r i cho cac bign cua chiing. Cong thiic toi tiiu
(minimal formula) la cong thiic ma khong mot cong thiic ngan hon nao tUdng dUdng. (DO dai cua cong thiic la so cac ky t u cd trong cong thiic.) Gia sii
MIN-FORMULA = {(0) | 0 la cong thiic Boole t o i tieu}.
Thuat toan sau day chiing to r^ng MIN-FORMULA thuOc A P :
"Trgn dau vao (0):
1. Chon kh^p tat ca cac cong thiic 0 ngdn hon 0. 2. Chon r i e n g biet mot phep gan t r i cho cac bign cua 0. 3. T i n h gia t r i cua ca 0 va V tren nhiing gia t r i dudc gan.
4. Ngu 0 va 0 nhan cac gia t r i khac nhau, chap nhan; nguge lai, neu chung nhan gia t r i nhu nhau, hdc bd."
Thuat toan b^t dau bdi phan nhanh ph6 quat de chon t a t ca cac cong thiic n h u Budc 1 va sau do chuygn sang phan nhanh hien
hflu de chon mOt phep gan t r i nhu Budc 2. Q
Thuat ngu: kinh luan duoc dung 6 day la do qua t r i n h t i n h
toan xuat phat tU ky nang thay the hay hoan đi gifla phan nhanh pho quat va phan nhanh hien hiiụ
300 Cac giai phap
T m h tôn kinh luSn cho phep ta thiet lap moi quan he dfing luu y gifla mot vai 16p phiic tap ve thdi gian va khong gian. Cu t h i hen, dinh ly sau day bieu t h i su bang nhau gifla thdi gian kinh luan
va khong gian tat dinh ci mute do phutc tap da thufc va su b&ng nhau
khac giiia khong gian kinh luan va t h d i gian t a t dinh k h i miic do thdi gian t a t dinh Idn han cd ham mu so vdi khong gian kinh luan.
D i n h ly 5.1.3
(i) Ddi vdi / ( n ) > n ta c6
A T i M E ( / ( n ) ) C S p A C E ( / ( n ) ) C A T i M E ( / 2 ( n ) ) .
(ii) Doi vdi f{n) > l o g n ta cd
. A S P A C E( / ( ' n ) ) = TIME(20[-^(")1).
Do do, A L S = P , A P = P S , v^ A P S = E . Dinh ly nay duoc
chiing m i n h trong bon b6 de sau daỵ .
B 6 de 5.1.4 Doi vdi f{n) >ntac6
A T i M E ( / ( n ) ) C S P A C E ( / ( n ) ) .
Chiing minh Ta cai bien may Turing kinh luan M vdi do philc
tap thdi gian 0 [ / ( n ) ] thanh may Turing t a t dinh 5" vdi do phiic tap
khong gian 0[f{n)] sao cho S mo phong M. Tren dau vao w, may
S thuc hien viec t i m kigm theo chieu sau (depth-first search) trong
cay t i n h toan cua M de xac dinh nhflng dinh nho Ih chip nhan. K h i S chap nhan neu nhu nd xac dinh duoc r^ng goc cay, tudng ling vdi hinh thai ban dau cua M, la chap nhan.
May S doi hoi mot khoang khong gian d i l u u t r f l nhflng thong
t i n hoi quy dudc sfl dung trong qua t r i n h t i m kiem. M o i tang dg
quy luu trfl mot hinh thaị Do sau de quy chinh \h dO phflc tap thdi gian cua M. M 5 i hinh thai can mot khoang khong gian 0 [ / ( n ) cho viec l u u t r f l va do phflc tap thdi gian cua M la 0 [ / ( n ) ] . Do dc* khoang khong gian can den la 0[p{n)].
5.1 Tinh todn kinh luan 3Q2
Tuy nhien, ta c6 the giam bdt khoang khong gian c^n sfl dung
nhd phat hien r^ng may S khong can phai luu trfl toan bo mOt
hinh thai 5 moi tang de quỵ Nd chi can luu lai su lua chon khong
tat dinh ma theo do may M chuygn den hinh thai ay t f l hinh thai trudc. K h i can thigt, may S cd thg khdi phuc dudc hinh thai ay
bang each t i n h toan lai t f l dau va Ian theo cac "dau moc". Vdi each xfl ly nhu vay, khoang khong gian can sfl dung d mdi tang de quy
la mot hang sọ Bdi the, toan bo khoang khong gian ma may S can
sfl dung bay gid chi la 0[f{n)]. •
B 6 de 5.1.5 Doi vdi f{n) > n ta c6
SpACE(/(n)) C A T i M E ( / 2 ( n ) ) .
ChUng minh Ta x u i t phat t f l may Turing tat dinh M vdi do phflc
tap khong gian 0 [ / ( n ) ] v^ xay dung may Turing kinh luan S sao
cho nd md phong M trong thdi gian 0 [ / ^ ( n ) ] . Cach tiep can tUdng
t u nhu nhflng gi da duoc sfl dung trong chflng m i n h Dinh ly 3.2.4
(Dinh ly Savitch), trong do ta da xay dung t h u tuc R E A C H A B L E cho bai toan den duoc doi vdi may Turing.
Trong bai toan dSn dugc, ta cho hai hinh thdi C va C cua may
M va mot so j . Ta can phai kigm t r a xem lieu M cd t h i chuygn
tfl hinh thai C den hinh thai C bdi khong qua 2^ phep bign đi cd
ban hay khong. Doi vdi bai toan nay, thu tuc kinh luan b^t dau t f l
viec phan nhanh hien hflu de phong doan mot hinh thai d gifla
C va C. Sau do nd tien hanh phan nhanh pho quat thanh hai qua trinh con, mdt qua t r i n h kigm t r a xem lieu C cd dUdc chuyen den
Cjt bdi khong qua 2^^^ phep bien đi va qua trinh kia kigm t r a xem
lieu Cjfc cd duoc chuygn d^n C bdi khong qua 2-'"^ phep bien đị May S sfl dung t h u tuc kinh luan de quy n^y d l kigm t r a xem
lieu hinh thai ban dau cd duoc chuygn dgn hinh thai chap nhan bdi
khong qua 2 ''•^("^ phep bien đi cd ban. 6 day, c la mot h^ng so v^ dudc lua chon sao cho M cd khong qua 2=-^(") hinh thai trong pham
302 Cac giai phap
Thdi gian toi da dircJc siJt dung tren mot nhanh bat ky theo
thij tuc de quy nay la tich cua thdi gian 0[f{n)] dung dg ghi mot
hinh thdi tren titng tang de quy va dO sau cua qud trinh de quy
cf{n) = 0[f{n)]. Do do thuat toan kinh luan S hoat dong trong
thdi gian 0[p{n)]. • •
B6 de 5,1.6 Doi vdi f{n) > l o g n ta c6
A S P A C E ( / ( n ) ) C T I M E ( 2 0 I - ^ H 1 ) .
Ch-dng minh Ta xay dung may Turing tat dinh S vdi do philc tap
thdi gian 2'^f-^("^l nham mo phong may Turing kinh luan M vdi do phiic tap khong gian 0[f{n)]. Tren dau vao w, may S xay dung do thi tinh toan cua M tren w nhu saụ Cac dinh do thi la nhflng hinh thai cua M tren w trong pham vi khong gian c/(n), trong do c la mot hang so thich hap doi vdi M. Do thi c6 cung t\l Ci den Ck neu va chi ngu may M chuygn t\l hinh thai Cj den hinh thai bdi mot
phep bign d 6 i cd ban. Viec xay dung dudc xuat phat t i i hinh thai
ban dau cua M tren w. Sau khi xay dung do thi, may S soi xet
va danh dau nhiing hinh thai quan trong nhu chap nhan. Theo do,
Itic dau chi nhUng hinh thai chap nhan thuc su cua M duoc danh
daụ Hinh thai ma t i i do thuc hien viec phan nhanh p h 6 quat dUdc danh dau chap nhan neu nhu moi con cua no duoc danh daụ May