M khong vuot qua so tat cacac hinh thai khac nhau Ct = UtqiVt
2. Moi ngon ngUA cua Idp NLS deu quy đn dU0c trong khong gian loga din ngon ngU B.
gian loga din ngon ngU B.
Trudc k h i khao sat cac ngon ngiJ NLS-day du, t a hay xem x6t mot vai dac t i n h cO ban ciia phep quy dan khong gian loga, tuong t u n h u t a tiirng thuc hien doi vdi phep quy dan t h d i gian da thilc. Dinh ly sau day c h o t a cdc t i n h chat quan trong cua phep quy dan khong gian loga, dac biet la t m h bac caụ
D i n h ly 3.4.7
(i) Niu Âi^B va B ^LC, thi A^^C.
(ii) Niu A ^ L B va Be L S , thi AeLS.
248 D6 phufc tap khong gian
Chitng minh Dinh ly dupe chutng minh b^ng chmh phirong phap ma ta da sii dung trong cac Dinh ly 2.4.4 va 2.4.5 ve nhflng dac tinh tuong t u cua phep quy dan thdi gian da thurc.
Gia sii Ml \h may b i l n d5i vdi khong gian loga thuc hien phep quy dan f tii A den B, va M2 la may bien d6i tit B den C (may Turing tat dinh hoac khong tat dinh vdi bang chuyen doc khang dinh B, tUdng ling vdi trudng hdp (ii) hoac (iii)) trong khong gian logạ De quy d t n tit A den C (de khang dinh A, tUOng ling), ta xay dung may M hKng each dong nhat bang dau ra ciia mky Mi v6i bang dau vao cua may M2 thanh bang chuyen viet/doc. Dau tien may M bien doi t i i vao w thanh f{w) nhd phep quy dan / , thong qua m^y Mi, va sau do thuc hien tinh toan tren f{w) hhig each mo phong may M2. R6 rang, trong qua trinh tinh toa,n cua may M, cOng
doan dau bien d6i w thanh f{w) thuc hien dUdc khong chi trong khong gian loga ma con ca trong thdi gian da thilc. Do do, doi vdi moi tir vao w do dai n, til f{w) c6 do dai khong vugt qua n*^ vdi mot h^ng so k nho dọ V i the, viec tinh toan tren f{w) d cong doan sau c6 thg thuc hien diioc trong khong gian logn'' = k\ogn = 0 [ l o g n . Vay may M c6 do phiic tap khong gian logạ
Dinh ly dudc chiing minh. 1 •
H e q u a 3.4.8 Gid svl A la mOt ngon ngU NLS-đy dụ Khi do
AeLS ^ LS = N L S . •
Bay gid, nhu mot t h i du ve hhi toan NLS -day du, ta hay chiing minh tinh N L S-day dii ciia DIPATH.
D i n h ly 3.4.9 DIPATH la NLS-đy dụ \
Chiing minh Theo Dinh ly 3.4.2, ngon ngtt DIPATH thuoc Idp N L S , do do ta chi can chiJng to r^ng moi ngon ngfl A cua N L S f
d^u quy dan dudc trong khong gian loga den DIPATH.
3.4 Do phtic tap khong gian loga 249
Gia sii A la ngon ngii tren bang chii T, va N Ih mfiy Turing khong tat dinh vdi bang chuyen doc khang dinh A trong khong gian logạ Khong mat tinh tdng quat, ta cd the gia thigt rang, trudc khi chuyen den hinh thai chap nhan doi vdi nhflng t i l thuoc A, may N
xoa tat ca cac ky t u tren bang thao tac va di chuygn dau doc-ghi bang chuyen doc ve 6 dau tien tren bang; nghia la, doi vdi moi til
vao thuoc A, may N chi cd duy nhat mot hinh thai chap nhan v^
hinh thai ay duoc ky hieu la t. Dg đn gian, hinh thai ban dau ciia
N tren tit vao w dudc ky hieu la s.
Bay gid ta thiet lap phep quy dan tijf ngon ngiJ A den ngdn ngii DIPATH. Muon vay, moi tit w e E* dudc ilng vdi mOt di i kign (G, s, t) cua bai toan D I P A T H , trong do G la do t h i cd hudng m ^ tap dinh dUdc xac dinh bdi tap tat ca cac hinh thai cua may N
tren tit w (trong trudng hdp w ^ A, tap dinh ciia G dUdc b6 sung
thgm hinh thai t neu trgn). Hon niia, doi vdi hai dinh bat ky ci va
C2, trong G cd cung (ci, C 2 ) neu va chi neu may Á' chuyin true tiep tiit hinh thai ci sang hinh thai C2. Moi tudng ting nay cho ta mot phep quy d i n tilt A den DIPATHhdi v i , mdi khi may iV chap nhan ttt vao w, trong qua trinh tinh toan cua Á' trgn w cd mpt nhdnh nao do d i n den thanh edng, tUdng irng vdi mot dudng di trong G tvi hinh thai ban dau s den hinh thai chap nhan t. NgUdc lai, khi trong G ton tai m^t dudng di tiJt s den t, trong qua trinh tinh toan cua may N tren til vao w cd mot nhanh nao đ thanh edng vh do do yy chap nhan w.
Cuoi Cling, ta chiing to rkng phep quy dan nay thire hien dUde trong khong gian logạ Dua theo su tinh toan ciia may N tren til
vao w, ta xay dung mot may chuygn đi khong gian loga, sao cho mdi tit vao w dUdc chuyen doi thanh mot do t h i G va dien ta G
trgn bang dau ra bdi hai danh sach: Danh sach edc dinh va danh sach cac cung.
Viec liet ke cac dinh kha đn gian, bdi v i mdi dinh la mOt hinh
250 Do phijc tap khong gian trong khong gian fclogn v6i mot h^ng so k nao dọ Tiep den, viec Uet ke cac cung ditgc thirc hien mot each tuan ttr. D6i vdi hai dinh bat ky ci C 2 , may chuygn doi can kigm tra xem lieu hinh thai
c i CO thg chuyin ditoc true tiep den hinh thai C2 hay khong. Viec k i i m tra diTdc tien hanh tren bang thao tac b^ng cdch, tren cO s6 cac trang thai va cac ky t u 5 vi t r i dau doc-ghi diroc thg hien trong hinh thai ci cung nhir trong hinh thai C2, xem xet ham chuygn cua
N d i xac dinh khi nao hinh thai ci chuygn diioc trite tiep den hinh thai C2. K h i ket qua kigm tra khing dinh r^ng c i chujen diioc true tiep den C 2 , cap {01,02) duoc ghi len bang dau ra nhit mot cung
t\l dinh ci den dinh 02. Cii m5i Ian kiem tra, may chuygn doi chi can x i i ly trgn bang thao tac hai hinh thai cua vdi do dai khong vtrot qua k log n, do do doi hoi mot khoang khong gian tinh toan c9 0 [ l o g n ] .
Dinh ly diroc chiJng minh. • Do phep quy dan khong gian loga manh hon phep phep quy dan
thdi gian da thiic va do bai toan DIPATH giai dtroc trong thdi gian da thilc. Cho nen, ttt dinh ly nay ta c6 thg suy ra moi tuang quan sau day giiia Idp N L S va 16p P .
He qua 3.4.10
N L S C P .
ChUng minh Dinh ly 3.4.9 chiing to r^ng moi ngon ngu: cua N L S
deu quy dan dUdc trong khong gian loga den ngon ngii DIPATH.
Nhu trgn da ngu, moi phep quy d i n khong gian loga cung la mot phep quy dan thai gian da thiJc. V i the, moi ngon ngii cua N L S
deu quy d i n dxiac trong thdi gian da thilc den ngon ngii DIPATH-
Theo Dinh ly 2.2.4, DIPATH \h mot ngon ngii ciia P . Hon niia, theo Dinh ly 2.4.4 (i), bat cuf ngon ngii nao ma quy dan diioc trong thdi gian da thiic dgn mot ngon ngii nao do cua P cung deu thuoc P - ^
Vay moi ngon ngii cua Idp N L S ciing deu thuoc Idp P . D
3.4 Do phiic tap khong gian loga
251
Mac du phep quy dan khong gian loga to ra rkt han c h i nhung van thoa dang vdi nhi^u phep quy d i n trong ly t h u y i t do phiJc tap, bdi vi nhiing phep quy d i n l y thudng duoc tinh toan mdt each dOn gian. Chang han, trong Dinh ly 3.3.4 ta da chirng to r^ng mpi ngon ngfl ciia Idp P S deu quy d i n duoc trong thdi gian da thiic den ngon nga TQBF. Su lap di lap lai nhieu Ian la ygu to dua dgn kha nang dg phep quy d i n cd thg tinh duoc trong khong gian loga va do do ta
CO thg ket luan r^ng TQBF la PS-day du theo quy d i n khong gian logạ Day la mot kgt luan quan trong bdi vi He qua 4.1.5 chiing to r^ng N L S C P S . Vdi su phan biet nay va nhd phep quy dan khong gian loga ta khang dinh rang TQBF ^ N L S .
3.4.3 Quan he givCa NLS va co-NLS
Trong muc nay ta se trinh b^y mot ket qua rat dang ngac nhign, lign quan den quan he giiia cac Idp phiic tap khong gian. Nhu da thay trong Muc 2.5.2, kha nang cac Idp N P va c o- N P khac nhau la rat Idn. Thoat nhin cac Idp N L S va c o- N L S cd ve cung nhii vay, song chiing lai nhii nhaụ Dieu nay chiing to r^ng true giac cua ta ve tinh toan con nhigu 16 hong.
Ve hien tiiong khac biet lign quan den moi quan he giiia cac Idp phiic tap thdi gian va moi quan he giiia cac Idp phiic tap khong gian tiiOng ling, ngoai su khac biet viia neu, ta nh^c lai mot su khac biet tUdng t u . Cu thg, kha nang P 7^ N P la rat Idn, trong khi
P S = N P S (He qua 3.3.2). Nguyen nhan d i n dgn hien tuong nhu vay CO le ciing phii hop vdi quy luat t u nhign. Dd la do thdi gian da troi qua t h i khong thg quay lai duoc, con khong gian cd thg duoc suf dung lai khong chi mOt Ian ma tham chi rat nhieu Ian.
Dg chiing to rang cac Idp N L S va c o- N L S la nhu nhau, tile
N L S = c o- N L S , ta phat bigu mot menh dg ma noi dung cung nhu chiing minh hoan toan tuong t u nhu Dinh ly 2.5.8 ve moi quan hg
252 Do phdc tap khong gian
Dinh ly 3.4.11 N L S = co-NLS khi va chi khi ton tai mot ngon |
ngv: NLS-đy du nao do ma phan hu cua no cung thuoc N L S . • Khi khao sat moi quan he giiia cac 16p N P va co-NP ta da
thay ring, vỉc tim kiem mot bai toan NP-day du ma bai toan bu
cua no cung thuoc N P hau nhu la v6 vong. May thay, trong tru5ng
hop nay, ta c6 thg chiJng minh Ang bai toan NLS-day du DIPATH
CO bai toan bii thuoc N L S . Dinh ly 3.4.12
DIPATH e N L S .
ChUng minh Di khSng dinh DIPATH, ta xay dUng may Turing
khong tat dinh vdi khong gian loga, sao cho trong qua trinh tmh toan cua may tren dau vao (G, u, v) c6 mot nhanh chap nhan khi nao trong do thi G khong ton tai dudng di t ^ u den v.
Dau tien ta hay xem xet bai toan rong hon. Gia sii r la so cac dinh cua G dgn duoc tir u va r duoc coi nhu mot thanh phan ciia du: kien. Nhu vay, ta tam thdi x6t bai toan vdi dii kien bao gom G, u, V va r, roi sau do tim each xac dinh r.
Tren m6i dii kien (G, ix, u, r ) , may N tien hanh xijt ly nhu saụ May tiing budc xem xet tat ca rn dinh cua G va mot each khong tat dinh kigm tra xem lieu tiitng dinh ay c6 den duoc tii dinh u
hay khong. Doi v6i moi dinh x, may c6 g^ng kigm chiing phan doan nay theo dudng di dudc du doan tvr u den x vdi do dai khong vuot qua m. Ngu viec kiem chutng that bai, thi loai bọ Khi tat ca cac dinh cua G duoc xem xet, may N tinh so cac dinh den dUdc
til u ma thu duoc nhd kgt qua kiem chiing aỵ May N so sanh xem lieu so cac dinh dgn duoc tii u c6 bang r hay khong, tiic r c6 thuc
su la s6 dinh cua G den duoc til u, wk bac bo neu hai so iy khdc nhaụ Trong trudng hop chiing bang nhau, may N kigm tra xem ^ lieu dinh v c6 nSim trong so nhflng dinh den dUdc tH u hay khong-
Neu CO thi bac bo; nguoc lai, chap nhan. »
3.4 Do phUc tap khong gian loga 253
Noi each khac, may T\:ring khong t^t dinh N ch4p nhan dfl kien (G, u, V, r), n^u va chi n^u G c6 dung r dinh d^n dugc tH u ma trong so do khong c6 dinh v.
Tiep theo, ta trinh bay each tinh toan s6 cac dinh cua G ma dgn
dUdc tir dinh ụ Ta m5 ta mot thu tuc khong tat dinh vdi khOng gian loga ma theo do it nhat mot nhanh tinh toan dat duoc gia tri chinh xac cua r.
Doi vdi moi i , 0 < i < m, ta dinh nghia Ri la tap cac dinh each
u khong qua i (tiic cac dinh ma den day c6 dudng di t i l u vdi do dai nho hon hoac hlng i ) . Vay \k = {u], Ri G R^^i va bao
gom tat ca cac dinh cua G ma den dUdc t i l dinh ụ Gia sijf ^ la so
tkt ca cac dinh trong R^. Sau day ta mo ta thu tuc tirih T J + I dua
vao Tị Ap dung nhieu Ian thu tyc nay ta thu duqc gia tri mong
muon r = Tn
Thuat toan tinh ri+i dua vao duoc xay dung theo y tudng
ngu trgn. Thuat toan bat dau til viec xem xet moi dinh cua G, kigm tra xem lieu tilng dinh nay cd la thanh vien cua Ri^^i hay khong,
va cuoi Cling dem so cac thanh vien aỵ
Dg xac dinh xem khi nao dinh y la thanh vien cua ta sii dung "vong lap trong" bao gom viec xem xet tat ca cac dinh x cua G va du doan xem lieu tilng dinh x cd thuoc Ri hay khong. M5i du doan chinh xac dgu duoc kigm chiing bdi dudng di t i l u den x vdi do dai khong vuot qua ị Doi vdi nhilng dinh x dugc kigm chiing la thuOc Ri, thuat toan tien hanh kiem tra xem lieu (x, y) cd la cung cua G hay khong. Neu đ la cung, thi y la thanh vigri cua RiJ^ị
Thgm niia, so cac dinh ma theo kiim chiing thuoc Ri ciing duoc
Xac dinh. Khi "vong lap trong" ket thiic, neu so cac dinh nay khac '^i, nghia la cac dinh cho Ri chua duoc tim kiem day du, bdi vay nhanh tinh toan dan den bac bọ Neu so cac dinh vila neu bing
va viec kiem tra khong chiing to duoc y thuoc ta kgt luan r^ng y khong la thanh vien cua Ri+ị Khi đ ta xem xet dinh tiep theo y d "vong lap ngoai".
254 Do phutc tap khong gian May N diioc xay dung nhil saụ
AT = " Tren dau vao (G, u, v), trong do G la do t h i c6 hu6ng v6i m
dinh va chiia hai dinh u, v.
1. Goi ro = 1-