. Bai toan SAT Day la bai toan thoa duoc d6i vdi cac cong thiic
168 Do phutc tap thdi gian
Vi^c chi5ng minh P = N P (hay tuong duong P 7^ N P ) c6 y ^
nghia Idn lao khong chi ve ly thuyet ma ca ve ling dung thtrc tien,
nhu trong cong nghe bao mat n6i rieng.Vi vay van de P = N P dugc
Vien Toan hoc Clay chon la mot trong 7 bai toan cua the ki XXI
va treo giai thirdng 1 trieu do-la My cho ai tim duoc 15i giaị
. Nhiing thuat toan tot nhat dugc biet den cho den nay doi v6i
cac hki toan thuoc N P deu doi hoi thdi gian khong qu^ h^m mụ
Noi cdch khac, theo Dinh ly 2.1.4, ta de dang chiing minh rKng
N P C E = U T I M E ( 2 " ' ) ,
nhung ta vtn chua ro lieu N P c6 thg chiia trong mot 16p phiic tap
thdi gian tat dinh be hon hay khong.
2.4 Tinh NP-day du
7
Bu6c tien quan trong dau tien ve van de P = N P 1^ nhiing ket qua
da sdm dat dugc bdi Stephen Cook va Leonid Levin vko nhiing nam dau thap nien 70 cua the ki XX. Cac chuyen gia nay da kham
pha mot bai toan cu t h i trong Idp N P , bai toan thoa dugc doi vdi
cong thiic Boole, ma do philc tap cua no lien quan den do phiic
tap cua moi bai toan khac cua N P . Neu ton tai thuat toan thdi gian da thiic cho bai toan ay, thi tat ca cac bai toan cua N P cunj.
se giai dugc trong thdi gian da thiic. Mot bai toan nhu vay dugc
ggi la NP-day du {NP-complete), bdi vi t i i do philc tap cua no U
suy ra do phiic tap cua tat ca cac bM todn khac ciia Idp N P . Ph^t hien tinh NP-day du cua bai toan trong N P 1^ mot hien tiignj quan trong doi vdi viec khao sat Idp N P , cd y nghia to Idn ca v^ \
thuyet lan thuc tien.
Tren phuong dien ly thuyet, khi nghien cilu van de P = N P , t?
CO t h I tap trung khao sat cac bai toan NP-day dụ Neu ta tim diidi^
thuat toan thdi gian da thiic cho mot bai toan NP-day dii nao dô
24 Tinh NP-day du 169
thi P va N P bang nhaụ Khi bat cii mOt bai tokn nho trong N P
doi hoi thdi gian Idn hon da thilc, mgi bai toan NP-day du cung se doi hoi nhu vaỵ
Ve mat thtrc ti6n, hien tugng NP-day dii cho ta nhiing hudng
dan can thiet khi xem xet do phiic tap trong cac tinh huong cu the,
giup ta khong phi hoai cong silc tim kiem thuat toan thdi gian da thiic "chua ton tai" cho bai toan thiic tẹ Cho du ta khong c6 du cd sd chac chan d6 churng minh mot bai toan NP-day du nao do la khong giai dugc trong thdi gian da thiic, thi ta vin tin rang P khac
N P , bdi vi bang chiing NP-day du cua bai toan la dau hieu vflng
"lac ve do phiic tap khong da thiic cua bai toan aỵ
Bai toan NP-day du dau tien dugc phat hien la bai toan thoa duac SAT ma Dinh ly 2.3.8 vCfa de cap den. Dinh ly Cook-Levin sau day ket noi do phiic tap cua bai toan SAT vdi tat ca cac bai toan trong Idp N P .
Dinh ly 2.4.1 ( D i n h ly Cook-Levin [9, 21])
SAT e P < ^ P = N P .
Sau day ta se trinh bay nhiing kien thiic cd ban, tao co s6 6k
chiing minh dinh ly quan trong naỵ
2.4.1 Quy dan thdi gian da thiJc
Trong Muc 1.1.3 ta da dinh nghia khai niem "ham tinh dugc". Do la mot ham / : X ' —> X\a doi vdi no ton tai mot may Turing
t^t dinh mot bang diing M vdi bang chii vao E = X, sao cho ham
/ xac dinh tai x e X* khi va chi khi may Turing M chap nhan x, hon thg niia, may M chuygn t i i hinh thai ban dau q^x den hinh ^h^i chap nhan (/^/(x); nghia la khi tinh toan tren t i i vao x, may
^/ chap nhan X va cho ta ket qua /(x) tren bang. Khi do ta noi
170! Do phiJc tap thdi gian
D i n h n g h i a 2.4.2 Cho mot ham f : X* — > X * . Ta noi rang f la ham tinh dztcfc trong thdi gian da thUc {polynomial time computable function), neu n6 la ham tinh duac hdi may Turing thdi gian da thi2c.
Tren cO sd nay ta dinh nghia mot khai niem quan trong, rit can thiet khi khao sat t i n h NP-day du ciia ngon ngỤ
D i n h n g h i a 2.4.3 Cho hai ngon ngU A va B tren bang chU Ẹ Ta noi rdng ngon ngU A quy dan dUdc trong thdi gian da thvlc {polynomial time reducible) den ngon ngU B, va ta viit A :<p B, neu ton tai mot ham tinh duac trong thdi gian da thUc f : E* — > S*
sao cho, doi vdi moi £ E*, . we A <^ f{w) G B.
Ham f duac goi la phep quy đn thdi gian da thUc {polynomial time reduction) tii A den B.
H i n h 2.6 Phep quy dan / tiT / I den S
Phep quy d i n thdi gian da thiic f i\l A den B cho ta mot c a d chuygn dSi hiJu hieu viec k i i m tra t u each thanh vien ciia A viec kiSm tra t u each thanh vien cua B. D6 k i i m tra xem Heu w ct^ thuoc A hay khong, ta dilng phep quy d i n / dg bien w thanh f{^^^
24 Tinh NP-day du
171
va tien hanh k i i m t r a xem Heu /(u;) c6 thuoc B hay khong. neu nhu da biet B la ngon ngfl k h i n g dinh dugc trong thdi gian da thiifc, t h i ta cung de dang c6 duoc may Turing thdi gian da thiic k h i n g dinh ngon ngfl Ạ Dieu nay duac k h i n g dinh trong dinh ly sau daỵ
D i n h ly 2.4.4
(i) Neu A B va B eP, thi A e P. (ii) Niu Âp B va B e N P , thi A e N P .
Chting minh Khong mat t i n h tdng quat, ta c6 thg gia thigt rang A va B \h nhflng ngon ngfl tren ciing mot bang chfl Ẹ Gia sfl ham
/ i la phep quy d&n thdi gian da thflc t f l ngon ngfl A den ngon ngfl
B va t i n h duoc bdi may Turing Mi trong thdi gian da thflc p i ( n ) ,
v^ gia sii ngon ngfl B duoc khSng dinh bdi may Turing M2 trong
thdi gian da thflc p2{n). K h i do ngon ngfl A dflcc k h i n g dinh bdi
may Turing Af sau daỵ
M = "Tren m5i t f l vao w thuoc E*:
1. Dilng may A/i t i n h toan tren t f l w. Neu Afi chap nhan, dflong nhien cho ket qua fi{w), t h i chuygn sang budc