M CO diTng hay khong tren w la yeu to quyet dinh su ton tai thuat
1. Cho ca hai may Mi va A/2 tmh toan song song tren w.
2 . Neu Ml chap nhan, chap nhan; neu A/2 chap nhan, bdc bọ"
Cho ca hai may t i n h toan song song c6 nghia la may A/ c6 hai bang, bang t h i i nhat diing dg mo phong may Mi va bang thu: hai
diing dg mo phong may A/2. Vdi nhQng trang bi ay may M c6 kha nang mo phong moi budc t i n h toan cua titng may mot cho den k h i mot trong hai may chap nhan til vaọ
Bay gid ta chiing to r^ng M khang dinh L . M 8 i til vao w ho&c
thuoc L hoac thuOc //. V i the hoac Mi hoSc A/2 phai chap nhan w.
Do M diing m6i k h i A/i hoac A/2 chap nhan, cho ngn M luon diing va do do no la may quyet dinh. Hon niJa, no chap nhan tat ca cac tijt trong L va bac bo moi tit khong thuoc L . Vay M la may quyet
dinh doi vdi L, va do do L la khang dinh dttdc. •
H e qua 1.4.7 Ngon ngU ATU^ la khong doan nhan duac.
ChUcng minh Ta da biet r^ng A-ru la doan nhan d U d c . Neu ^ T M ^
cung la doan nhan diroc, t h i ^ T M se la k h i n g dinh duoc. Theo
Dinh ly 1.4.1, ^ T M la khong khang dinh d U d c , do do A^u^ khong
the la doan nhan duoc. •
Vay la, ngoai ngon ngfl khong khang dinh duoc ^ITM t a c6 them ca ngon ngii khong doan nhan duoc ^TM''- Ngon ngO: khong khang dinh duoc ^ T M chuing to r^ng bai toan chap nhan la khong giai duoc, c6n ngon ngii ^ T M " 1^ m i n h chiing cu thg cho He qua 1.4.5.
1.4 Mot vai bai toan khong gidi duac 9 9
1.4.2 B a i toan diifng
Tren day t a vCfa t r i n h bay mot bai toan duoc chiing m i n h gan n h u
true tigp la khong giai duoc, bai toan A T M - Trong muc nay va muc
tiep theo, trgn co sd da biet bai toan khong giai duoc nay, ta khao sat thgm t i n h khong giai duoc d6i vdi hai bai toan khac. De lam nhu vay, t a gidi thieu mot phuong phap nguyen so thudng duoc suf dung k h i chiing m i n h cac bai toan la khong giai duoc. Do chinh la phuong phap quy dan sau daỵ
• Phifdng p h a p quy dan
Mot each p h i hinh thiic, phep quy đn {reduction) Ih s\i chuygn d6i mot bai toan nay sang mot bai toan khac sao cho 16i giai bai todn thu: hai c6 the sii dung duoc dg giai bai toan thu: nhat. Phuong phap quy d i n xuat hien thudng xuygn trong đi song hang ngay, tuy i t duoc nhan thiic mot each than dao nhu vaỵ
T h i du, k h i muon t i m dudng d i trong mot thanh pho mdi la, t a biet r^ng viec nay se dg dang neu c6 duoc ban do thanh phọ Vay
la ta CO the chuygn đi bai toan t i m dudng d i trong thanh pho sang
bai toan kiem duoc ban do thanh phọ
Phep quy d i n thudng dinh dang den hai bai toan ma t a goi la A va B. K h i A quy d i n dgn B, t a c6 thg sii dung Idi giai cua bai
toan B de giai bai toan A . Trong t h i du ngu trgn, A la bai tôn t i m dudng d i trong thanh pho va B la bai toan kiem d U d c ban do
thanh phọ Nhan thay r^ng phep quy dan khong hg noi gi cu t h i
vigc giai A hay B, ma chi de cap den kha nang giai A trong sir
hign dien Idi giai cua B.
Phuong phap quy dan cung duoc sii dung rQng rai trong todn hoc. T h i du, bai toan t i n h dien tich cua hinh chii nhat quy d i n ^^n bai toan t i n h chieu dai va chigu rong cua hinh aỵ Bai toan giai he cac phuong t r i n h tuyen t i n h quy dan den bai toan t i m ma tran nghich dao (hoac nguoc lai).
100 May Turing va Thuat toan Phirong phap quy dan dong vai tro quan trong trong viec phan Idp cac bai toan thco tinh giai dUdc va sau nay trong ly thuyet do phufc tap tinh toan cung vaỵ K h i A quy d i n den B, viec giai A khong the kho hon viec giai B b5i vi Idi giai cua B cho t a 15i giai cua A . Theo thuat ngfi cua ly thuyet ve kha nSng t i n h toan, neu A dan daoc den B va B la giai diioc, t i n A ciing la giai dircic. Mot each tirong duong, neu A la khong giai duac va dan dugc dSn B, t h i B la khong giai diroc. Day chinh la di6m mau chot de chiing m i n h nhieu bai toan la khong giai ditdc.
Tom lai, k h i sijt dung phuong phap quy dan dg chilng m i n h mot bai toan cho trildc la khong giai diroc, ta can lira chon mot bai toan khong giai duoc da biet nao do va chilng to rang no quy dan duoc den bai toan da chọ , ,, .
• B a i toan dijfng la khong giai d\idc
Ta Vila mdi chilng to tinh khong giai duoc ciia A T M , bai toan kiem tra xem lieu may Turing c6 chap nhan hay khong dau vao cho trxldc.
Bay gid t a xem xet mot bai toan lien quan, bai toan kigm t r a xem lieu may Turing c6 diing (chap nhan hoac bac bo) hay khong tren
dau vao cho trudc. Bai toan nay duoc goi la bai todn ditng {halting problem) doi vdi may Turing va diroc ky hieu la H A L T T M - Ta sil dung tinh khong giai dUdc cua A T M dg chilng m i n h H A L T T M la khong giai dagc bang each quy d i n A T M dgn H A L T T M - Gia sil
HALTTU = {(^ A tt') I M la may Turing va ditng tren dau vao w}
la ngon ngu: tuong ilng vdi H A L T T M - K h i do t i n h khong giai duoc ciia H A L T T M diroc th6 hien nhu saụ
D i n h ly 1.4.8 HALTTM la khong khang dinh duac.
Chang minh D i n h ly duoc chilng m i n h bang phan chilng. Gia t h i l
HALTTM la k h i n g dinh dildc. Sut dung gia thiet nay ta chiing to rang .4TM la khang dinh diroc, tilc mau t h u i n vdi D i n h ly 1.4.1.
1.4 Mot vdi bai todn khong giai duoc 101 Gia sii CO may Turing S khang dinh HALTTU- K h i do ta sil Gia sii CO may Turing S khang dinh HALTTU- K h i do ta sil dung S de xay dung may Turing T khang dinh A T U - Dg thau h i i u each xay dung T , ta hay t h i l dat minh vao vi t r i cua T . Nhiem vu ciia ta la khang dinh ATU- Dau vao ma t a can x i l ly c6 dang { ^ ( , w ) .
Ta phai chap nhan dau vao {M,w)nt\i M c h i p nhan w, va ta phai
bac bo {M, w) ngu M bac bo hoac khong difng tren w. Ta c6 gang mo phong tinh toan cua Af tren w. Neu Af chap nhan hoac bac bo, ta Cling xuf ly n h u thg. Nhung ta khong biet x i l ly the nao khi ma
Af khong dilng (kigu "thong long"), va trong trudng hop nay viec mo phong cua t a khong thg ket thiic. Day la dieu r l c roi, bdi vi ta phai dua ra quyet dinh trong moi trudng hdp va do do khong duqc phep keo dai v6 han vigc mo phong.
Dg khac phuc khau rac roi nay, ta sil dung gia thiet rang ton tai
may Turing 5* k h i n g dinh HALTTU- Vdi 5 t a c6 thg kigm t r a xem, khi tinh toan trgn t i l w, may Turing Af c6 dimg hay khong. Ngu S
bao hieu r^ng Af khong ditng tren w, ta bac bo bdi v i {Af, w) khong thuoc ATM- Tuy vay, neu S bao hieu rang Af dilng trgn w, ta cd thg thuc hien viec mo phong ma khong so nguy cd thong long naọ Vdi giai phap nay, trgn cd sd gia thiet cd may S khang dinh
HALTTM, may T khang dinh ATM dudc xay dung nhu saụ
T = "Trgn dau vao {Af, w ) , ma hda cua may Turing Af va tir w:
1. Cho may Turing S tinh toan trgn dau vao {Af, w ) .
2. Ngu S bac bd, bac bọ
3. Ngu S c h i p nhan, mo phong Af cho t d i khi no dilng. 4. Neu Af c h i p nhan, chap nhan; ngu Af bac bo, bac bọ"
Vay la, ngu nhU may S ton t a i , t a cd may T khang dinh A T U -
Thg nhung t a biet rang ngon ngii ATU la khong k h i n g dinh dugc. Nhd tinh hiiu ich cua mau t h u t n nay ta cd thg ket luan r i n g may Turing S khong thg ton taị V i the, ngon ngfl HALTTU la khong
102 May Turing va Thuat toan
1.4.3 Bai toan ttfcfng vtng Post
Trong muc nay ta chiing to tinh khong giai dmc cua mot bai toan lien quan den nhflng thao tac don gian tren cac tiit. Bai toan c6 ten
goi la bai toan tiidng iJCng Post {Post correspondence problem)
va duac ky hieu la PCP. Moi du: kien cua bai toan PCP la mot cap
{A,B), trong do A B la hai danh sach chiia k tir tren mot bang chfl n^o do:
A = (ai,a2, . . . ,afe), B = (61,62, . . .
Noi dung cua PCP bao gom viec k i i m tra xem, doi vdi m8i du: kien (.4, S), lieu c6 hay khong mot day cac chi so ( i i , 12, • ••, ih) vdi
1 < ij < k vạ khong nhdt thiet khdc nhau, sao cho:
ai, ạ
Ta CO thg mieu ta bai toan PCP ro rang nhix mot k i i u tro chdi
dominọ Ta hay bat dau vdi bo quan c6 dominọ 0 day m6i quan
ccJ domino, dildc goi tat la dominô gom hai dong va tren m5i dong
CO mot xau cac ky t u . T h i du,
ab
diroc coi nhir mot domino, va sau day la mot bo domino:
•
b a c a c a ab 1 a 1
ab c
Nhiem vu dugc dat ra la xac lap mot danh sach theo hang ngang nhiing domino cua bo nay, duac phep lap lai, sao cho cac ky tir d
dong tren tao thanh mot t i i giong nhir t i i diioc tao thanh ci dong
dudị Danh sach nay duoc goi la mot phep ghep thanh cong cua
bo domino doi vdi tro choị Bo domino c6 phep ghep thanh cong
1.4 Mot vdi bai toan khong gidi duac 103
dtroc goi la ghep dxidc. Chang han, danh sach sau day la mOt phep
ghep thanh cong cua bo domino neu tren:
a ab
• b " c a a c a a ab
ab c
K h i doc dong tren ta duoc ttf abcaaabc, va do cung chinh la \M ma ta doc duoc 5 dong dudị D i dg hinh dung, ta c6 the mieu ta phep ghep nay bang each bop meo cac domino sao cho cac ky t u 5 dong tren va 6 dong dudi trong phep ghep duoc tuong iJng nhau:
a b c a a a b c a b c a a a b c
Doi vdi mot so bo domino, viec t i m kiem mot phep ghep thanh cong CO thg khong thuc hi^n ducJc. T h i du, bO domino
ab c
ab c a a " b T ac c
- /
khong the c6 phep ghep thanh cong, bdi vi m6i xau 5 dong tren cua tiing domino deu c6 nhieu ky tir hon xau 6 dong dudị
Vdi thg hien nhir vay, bai toan PCP doi hoi kigm tra xem lieu mot bo domino bat ky cho trirdc c6 phep ghep thanh cong hay khong. Ta se chilng to rang bai toan nay la khong giai duoc.
Dg trinh bay mot each hinh thiic va chilng minh dieu khang ^inh nay, ta hay phat b i i u bai toan mot each chinh xac va dign dat no nhu mot ngon ngfl hinh thiic. Moi dfl kien cua PCP la mot bp domino P,
104 May Turing va Thuat toan
va phep ghep thanh cong cua P la day cac chi so ( i i , 12, • • •, ih)
til U2 • • • UH = K K • • • K • tố^ ^^^^ ^
CO phep ghep thanh cong (tiic la ghep diiac) hay khong.
Gia suf
PCP = { ( P ) I P la da kien ghep duoc cua PCP}.
K h i do t i n h khong giai duoc cua PCP dudc phat bigu n h u saụ
Dinh ly 1.4.9 PCP la khong khang dinh duac.
Y ticdng chiing minh Dinh ly duoc chiing m i n h dua theo mot y
tudng d d n gian, t u y doi hoi nhieu chi tigt ky thuat. Y tudng chinh
d day la quy dan bai toan H A L T T M den bai toan PCP thong qua cac chi tiet ky thuat mo phong qua trinh t i n h toan cua may Turing tren dau vaọ Ta se chilng to rang, doi vdi m5i may Turing i \ va dau vao oi, t a xay dung duoc mot bo domino P sao cho, k h i M dCtng tren w, P c6 phep ghep thanh cong dign t a qua t r i n h t i n h toan diing cua M tren w. Neu mot k h i t a c6 duoc phep ghep thanh
cong cua P, t h i k h i ay t a cung xac dinh dUd c rkng M ditng trgn w. Cu thg hdn, bang each quy d i n , m5i d i i kien {M,w) cua H A L T T M dildc ling vdi mot du: kien P cua PCP sao cho, may Turing M d t o g trgn w neu va chi neu b o domino P c6 phep ghep thanh cong, dign
ta qua t r i n h may M chuygn d6i t i l hinh thai ban dau den hinh thai
dirng. K h i do, d o H A L T T M la khong giai d U d c ( D i n h ly 1.4.8), n e n
ta suy ra rang, PCP cung la khong giai d U d c , tiic PCP la khong khang dinh duoc.
Vay t h i b ^ n g each nao t a c o ' t h e xay dung duoc b o domino P
tuong ling vdi {M,w) sao cho phep ghep thanh cong the hign dUd c
qua t r i n h chuygn d6i lign tiep hinh thai cua may A/? Dg dat duoc digu nay, t a can dua vao P nhflng domino thich hdp vk tirng domino duoc lua chon cho phep ghep ay phai tao ra moi lign ket mot hoac nhi^u v i t r i trong mot hinh thai cua may vdi mot hoac nhieu v i t r i trong hinh t h a i ke tiep.
1.4 Mot vai bai toan khong giai duac 105
De thuan tien cho vice xay dung bo domino P, ta can luu y
va x i i ly ba chi tigt nho mang tinh ky thuat sau daỵ ThvC nhat, theo quy dinh, k h i tinh toan tren dau vao w may Turing M khong
bao gid di chuygn dau doc-ghi ra khoi pham vi dau trai cua bang. Khong mat t i n h tSng quat doi vdi dinh nghia may Turing, hanh v i
nay duoc ngan ngfta bang each danh dau dau bang cua M bdi mot
ky t u nao do khong thuoc bang chiJ bang cua may, c h i n g han n h u dau tl. Tha hai, doi vdi dau vao w = theo nguyen tac k h i xay
dung ta sijf dung ky tU 0 vao vi t r i cua ẹ ThU ba, k h i xay dung P
ta mong muon rSng P c6 phep ghep thanh cong duoc bat dau bang domino t h i i nhat,
Doi hoi nay gay ngn han che nhu thg nao se duoc lam sang to d phan cuoi chiing minh.
Bai toan vdi doi hoi n h u vay dUdc goi la hai toan tiidng iUng
Post cdi bien {modified Post correspondence problem) va duoc ky
hieu la MPCP. Ta c6
MPCP = { ( P ) I P la da kien cua PCP va c6 phep ghep thanh
cong dUdc bat dau bang domino t h i i n h a t } .
Chang minh De quy dan H A L T T M den PCP, doi vdi moi may Turing A/ va dau vao a;, bang each hien thuc hoa y tudng ngu trgn ta titng budc thuc hien nhiing chi tiet ky thuat va xay dung bo domino P sao cho, trong mot phep ghep nao do cac domino dudc chon t i i P, xau ky t u 5 dong dudi thg hien cac hinh t h a i kg tiep
nhau cua may Turing M trgn dau vao w, kg t i i hinh t h a i ban daụ
D i nhign, t a de dang t h u thap day du cac domino cho P va c6 lua <^hon trtng domino cho phep ghep ay mong sao xau d dong tren giSng xau a dong dudị Ta se thay r^ng, mong mu6n nay chi dat
106 May Turing va Thuat toan Cho
la mot may Turing, trong do nhu thudng le Q, S, F va 6 tuong ling la tap trang thai, bang chu: v^o, bang chu: bang va ham chuygn cua
may, cho w la mot dku vko cua hf.
Bay gi6 ta tien hanh xay dung d u kien P cua PCP, sao cho P c6 phep ghep thanh cong ngu va chi neu Af diTng k h i t i n h toan tren w.
Budc dku ta xay dung dfl kien P' cua MPCP. Du: kien P' duac
xay dung bao gom bay bo phan, moi bo phan dam duong mot khia
canh rieng biet trong viec dien ta qua trinh tinh toan cua may Af tren dau vko w. D6 giai thich each 1km, trong qua t r i n h xSy dung
khi can thiet t a xen them cac t h i du phu hoa cho each sSp xep cac
domino vho phep ghep.
B o p h a n 1 . Vi^c xay dung bat dau theo cung each sau: Dua vao P' v6i vai tro domino t h i i nhat
V i P' la du: kien cua MPCP, nen phep ghep phai duoc bat dau
bang domino naỵ Theo do, xau d dong dudi chiia qocri(y2... cr„, tilc
hinh thai ban dau trong qua trinh tinh toan cua may A f tren dau vao w - ai02- • - On, nghia la budc dau yeu cau dat ra duqc dam baọ Do do, mieng ghep dau tien duoc minh hoa nha sau:
H i n h 1.12 Khdi dau ctia mot phep ghep doi vdi M P C P
1.4 Adot vai bai toan khong gidi du0c 107!
Trong mieu t a nay mOt phan phep ghep chi dat t d i mot miic nhat dinh, xau 6 dong dudi chuta (19ocri<72 • • o-ntt xau 6 dong tren chi chila fl. D i t h u duoc phep ghep thknh cong, t a can phai danh