D CO thg mo phon gM trong khong gian dg{n) vdi mot h^ng so
S tiep tuc soi xet va danh dau cho tdi khi khong mot dinh nao con
kha nang duac danh daụ Cuoi ciing, may S chap nhan ngu hinh thai ban dau cua M tren w dUdc danh daụ
So cac hinh thai cua M tren w la 2°l-f(")l bdi vi /(n) > logn.
Ro rang do thi tinh toan ciia M trgn w co 2°[-^(")l dinh va vi the viec xay dung n6 duoc thuc hien trong thdi gian O [(2°t-^(")l)^] = 2°[-^(")l. Viec soi xet va danh dau doi hoi mot luong thdi gian cung khoang
chttng aỵ Do do tdng thdi gian can dgn la 2^t-^(")l. •
Bo de 5.1.7 Doi vdi f{n) > logn ta c6
A S P A C E( / ( n ) ) D TIME(2°[-^(")1).
I
I
5.1 Tinh toan kinh luan 303
Chiing minh Ta trinh bay each thiic ma nhd do may Turing kinh
luan S chi can sijf dung mot khoang khong gian 0[f{n)] de mo phong may Turing Af vdi do phUc tap thdi gian 2^[^(")1. Viec mo
phong nay kha tinh te, bdi vi khong gian c6 duac cho S nhd han rat nhieu so vdi thdi gian tinh toan cua M. Trong trudng hap nay, may S chi cd du khoang khong gian dg luu tru nhiing tigu digm trong
hoat bang cua M trgn w, nhu duac the hien trgn hinh ve sau daỵ
20[/(n)
20[/(n)
Hinh 5.2 Tigu diem trong hoat bang cua may M
Ta sijf dung each bigu dign cac hinh thai nhu da duac trinh bay trong chiing minh Dinh ly 4.3.4, theo do ky tu phiic hap cd kha nSng thg hien trang thai ciia may va ca noi dung cua o trgn bang ma may doc duac bdi dau doc-ghị Noi dung d cua mot o nao do,
nhu tren Hinh 5.2, dugc xac dinh bdi cac than sinh a, b va c. (Cac 0 thuoc cot bign trai hoac cot bign phai chi cd hai than sinh.)
May S tien hanh tinh toan de quy, bao gom viec phong doan va kiem chiing noi dung cua tiing o rieng le trong hoat bang cua M.
De kigm chilng noi dung d cua cac o ke t i i hang thii hai, may 5" phong doan hien huu cac than sinh, kigm tra xem lieu ho cd sinh ra
304 Cac giai phap
d theo ham chuyen cua M hay khong va tien hanh phan nhanh pho
quat d i kiem chiing cac phong doan % mot each de quỵ K h i d la
noi dung cua o thuoc hang t h i i n h i t , may S kigm chiing true tiep theo hinh thai ban dau cua M. Theo gia thigt, k h i chap nhan dau vao ID, dau doc-ghi cua i \ 6 o dau tien tren bang. Do vay, S c6 t h i xac dinh xem lieu M c6 chap nhan w hay khong, bang each k i i m
tra noi dung ciia 6 dau tien tren hang cuoi ciing trong hoat bang
cua M. Tai m6i thdi digm, may S chi can luu trfl m o t tieu d i l m
trong hoat bang, nen no siJt dung khoang khong gian 0[f{n). •
5.1.2 Ve t r a t t\i t h d i gian da thiJc
May Turing kinh luan cho t a each xac dinh t r a t i\i thai gian da
thirc doi vdi cac bai toan.
D i n h nghia 5.1.8 Cho so tu nhien ị May Turing Hi-kinh
ludn Id may Turing kinh luan c6 khong qua i Ian su: dung phep phd
quat hoac hien hHu vd bat dau bdi phep hien hHụ May Taring Ui-kinh ludn Id may Turing tuong tU, hat dau bdi phep phd quat.
Bay gid t a dinh nghia cac 16p phiic tap:
EjTiME(/(n)) Id Idp cac ngon ngU duac khang dinh bdi may Turing Y^i-kinh ludn thdi gian 0[/(n)].
n i T i M E ( / ( n ) ) Id Idp cac ngon ngU duac khdng dinh bdi may
Turing Ui-kinh luan thdi gian 0[f{n)]. K h i do t a c6 trat tu thdi gian da thitc duoc xac dinh m o t each tit
nhien bdi nhiing ho cac Idp phufc tap sau day:
E i P = US^TIME(n'^), n^P = Un.TiME(/í=).
Ta dinh nghia P H = E , P = (J, n,P. Ro rang, N P = E i P va '
c o - N P = H i P . Hon nua, MIN-FORMULA thuoc U^P.
5.2 Tinh toan song song 3 0 5
5.2 T i n h toan song song
May tinh song song {parallel computer) la may c6 kha nang thuc
hien dong thdi nhieu phep toan phiic tap (multiple operations). May tinh song song c6 thg giai nhigu bai toan nhanh hon dang kg so vdi
may tinh tudn t% tile may thuc hien chi mOt phep toan t a i mdi
thdi diem. Trong thuc tien, su khac nhau giiia hai loai may t i n h nay hau nhu khong mach lac, bdi v i phan Idn cac may tinh thuc te (kg ea may tinh "tuan tu") duoc thiet ke nh^m tign hanh mot su song song nao do giong nhu chiing thuc t h i nhi5ng chi dan rigng lẹ
0 day t a luu tarn den song song cao do {massive parallelism)
ma theo do mot so Itrong khQng 16 (cd hang trieu hoac nhieu hon) cac chi tiet v i xijt ly tham gia thuc su vao mot t i n h toan.
Trong phan nay t a gidi thieu ngan gon ly thuygt tinh toan song song. Ta mieu t a mot mo hinh may tinh song song va sii dung no dg trinh bay t h i du ve nhiing bai toan rat thich hdp vdi song song hdạ Vdi muc tieu kham pha nhiing han che cua tinh toan song song, t a xem xet m o t vai bai toan khac khong phii hop vdi t i n h toan naỵ
5.2.1 Cac mach Boole dong bo
Mot trong nhiing mo hinh thong dung nhat duoc sii dung trong cac
nghien ciiu ve thuat toan song song la may truy cap ngdu nhien
song song {Parallel Random Access Machine). Trong khuon kh6
han che nay t a khong thg dign t a mot each can ke mo hinh may truy cap n g l u nhien song song. Thay vao do t a sii dung mach Boole lam mo hinh may tinh song song. Mach Boole da duoc gidi thieu trong ChUdng 4 vdi mot muc dich khac.
Cac mach Boole eo nhflng loi thg va bat loi cho mo hinh t i n h toan song song. Ve loi the, mo hinh nay duoc dign t a don gian va kigm chiing dg dang. Mach Boole con thg hien sir giong nhau ro rgt vdi nhiing thiet ke phan ciing va do do mo hinh nay mang tinh hien thuc. Ve bat loi, mach Boole to ra thieu thuan thuc vdi
"chudng trinh", do cac bo x i i ly rieng le cung kem coi nhir vaỵ Hon nila, t a khong thCta nhan chu trinh trong dinh nghia mach Boole,
trai ngiroc vdi nhiing mach mk thtrc te ta c6 the xay dung.
Trong mo hinh mach Boole cua may tinh song song, t a xem tiing
cong nhu la mot bo xxt ly rieng le, cho nen t a dinh nghia dp phUc
tap xxi ly {processor complexity) cua mach Boole la do rong cua nọ Ta can nhac tirng bo x i l ly de xac dinh chiic nang cua no t a i mot thdi digm trong qua trinh tinh toan, cho nen t a dinh nghia
dp phUc tap thdi gian song song {parallel time complexity) cua mach Boole la do sau cua no, hoac la khoang each Idn nhat t i i
bien dau vho den c5ng rạ •
Moi mach rieng biet deu c6 mot so nhat dinh cac bien dau vao,
hd\y ta sii dung ho mach duoc dinh nghia n h u trong Phan 4.3 (Dinh nghia 4.3.2) dg doan nhan ngon ngu:. Ta can phai dp dat mot doi hoi ky thuat len cac ho mach sao cho chung tUdng ling v6i cac mo hinh tinh toan song song giong nhu cac may t r u y cap ngau nhien song song, trong do mot may don le c6 kha nang xijt ly tat ca cac do dai dau vaọ Doi hoi mot each dSng bo nhu vay la phii hop v5i song song hoa va no khien t a d i den dinh nghia sau daỵ
D i n h n g h i a 5 . 2 . 1 Ho mach {Ci,C2, . . . ) diicfc goi la dong bp
{uniform) neu c6 mpt may chuyin dSi khong gian loga nao do T bien xau 1 " thanh (C„).
Hay nhd rang trong Dinh nghia 4.3.3, do phiic tap rong va do phiic tap sau cua ngon ngu: duoc dinh nghia thong qua ho cac mach v(3i do rong va do sau toi tigụ O day ta khao sat dong thdi do rong
va do sau cua ho mach nham t i m ra duoc bao nhieu bo x i i ly chn
thiet dg dat duoc do philc tap thdi gian song song hoac nguoc laị
Ta noi rang mot ngon ngiJ c6 dp phvCc tap mach rpng-sau dong
thdi {simultaneous size-depth circuit complexity) khong vuot qu6
{f {'<•}, <j{n)) neu ngon ngu: ay duqc khang dinh b5i mot ho mach
dong bo nao do vdi do phiic tap rong f{n) va do phiic tap sau g{n)-
5.2 Tinh toan song song 3071
V i d u 5 . 2 . 1 Gia sii A la ngon ngii tren { 0 , 1 } bao gom t a t ca
nhiing tiJt vdi m o t so le ky tir 1 . Ta c6 thg k i i m t r a ttr cdch thanh
vien trong A dua theo gia t r i cua hkm chan-le nhir trong V i du 4.3.2.
Gia t r i cua ham chan-le duoc tinh toan bdi mach diidi dang cay nhi
phan ma mSi c6ng g cua no thuc hien phep toan x®y thong qua
cac phep toan Boole co sd AND, OR va NOT nhu (xA-iy) V ( - . x A y ) .
Gia sijt cac bien dau vao cua mach la x i , X 2 , . . . , X n - K h i cay duoc xay difng c6 dang "khang khiu", bang each "nhi phan" t\i than ra la,
qua trinh tinh gia t r i ciia ham chln-le duoc thuc hien bdi cac c6ng
g\ xx® X2 va gi = X i ® gi-i doi vdi i < n. R6 rang, trong trudng hop nay, do phiic tap rong va sau cua mach tuong ling deu la 0[n.
Dg giam t h i l u do phiic tap sau cua mach, t a c6 thg xay dung cay
vdi "tan x u m xug" t o i da bkng each "nhi phan" tit goe ra ea,nh vh
ttf canh Idn ra canh be roi mdi den cac lạ Dg thay rang mach
tirong ling vdi cay "tan x u m xug" co do phiic tap rong 0[n] vh do phiic tap sau 0 [ l o g n ] . Vay do phiic tap rong-sau cua ngon ngii A
la (0[n],0[logn]). •
V i d u 5.2.2 Ta nhac lai r^ng mach vdi nhigu cong ra cd thg duoc sii dung dg tinh ham da t r i . Noi each khae, t a ed t h l sii dung nhieu
mach de tinh ham ma dau ra la cac xaụ Ta xet ham nhan ma tran
Boole {Boole matrix multiplication function). Dau vao ed 2m^ = n bien, b i l u dign hai ma tran A = {aik} va B = {bik} ckp m x m. Dau ra la g\k t r i , bigu dign ma tran tich C = {cjjt} cap m x m ,
trong đ
Cik = \/{aij /\
j
Mach diing dg tinh ham nay ed cac eOng gijk vdi nhiem v u tfnh
aij A bjk doi vdi moi i,j vk k. Hon niia, doi vdi mSi i \k k, mach chiia cay n h i phan vdi cac edng OR dg tinh V j 9ijk- M o i cay n h i phan nay bao gOm m - 1 c6ng OR va cd do sau log n. Bdi vay, mach tinh ham nhan ma tran Boole cd do rong 0[m^] = 0[n^/^] yk dS
308 Cac giai phap
Vi du 5.2.3 Gia sii /I = {aij} la ma tran Boole cap m x m. Ta
dinh nghia bao dong bac cau cua A la ma tran Ay Ây yA
trong do la ma tran tich i Ian cua A va V Ik phep toan OR tren
nhflng phan t i i tuong ling cua cac ma tran. Phep lay bao dong bSc
cau lien quan mat thiet vdi bai toan DIPATH do do thuoc Idp
NLS. Neu A la ma tran ke cua do thi c6 hudng G, thi Á la ma
tran ke cua do thi c6 ciing tap dinh vdi G ma trong do cung bao hieu su hien dien cua dudng di do dai i trong G. Bao dong bSc cau cua A la ma tran ke ciia do thi, ma trong do thi ay cung bao hieu su hien dien cua dudng di do dai bat ky trong G.
Ta trinh bay viec tinh toan  b^ng cay nhi phan v6i do rong i
va do sau log i , trong do dinh tien hanh nhan hai ma tran dudi nọ
M8i dinh thuc hien viec tinh toan bdi mach vdi do rong 0[n^/^
vk do sau logạ Mach tinh toan c6 do rong 0[n^] vk do sau
0[log^n]. Do do do phiic tap rOng-sau cua bao dong bac cau la
{0\iv'/\0[\og^n]). •
n vdi
5.2.2 Ldp phu-c tap N C
Nhigu bai toan thii vi c6 do phdc tap rong-sau (O
hang so k nao dọ Nhiing bai toan ay c6 t h i dugc coi la giai diroc
mot each song song cao do vdi mot lugng vilta phai cac bo xii lỵ Dieu nay gdi len dinh nghIa sau daỵ
Dinh nghIa 5.2.2 Doi vdi mdi k>l,ta dinh nghia NC*" la Idp
cac ngon ngU duoc khdng dinh bdi ho dong bo cac mach vdi do rong da thilc va do sau 0[log*^n]. Ham tinh duoc bdi ho cac mach nhil
VQ.y du0c goi Id NC'^-tinh ditcfc hay dan gidn la NC-tinh duCdc CuSi ciing, ta dinh nghla Idp phiic tap NC = [j,. NC*".^
1 Steven Cook dat ten N C cho "Idp Nick" ("Nick's class") bdi vl Nick Pip- ' penger Ik ngudi dau tien nhan ra tarn quan trgng cua Idp phiic t^p nkỵ penger Ik ngudi dau tien nhan ra tarn quan trgng cua Idp phiic t^p nkỵ
5.2 Tinh toan song song 309
Ta khao sat moi quan he giUa cac Idp philc tap nhy vdi mot vki
Idp phufc tap da biet. Dau tien ta c6 gang kham pha su lien quan giflia khong gian cua may Turing va do sau cua mach. Ket qua khao sat cho thay rang cac bai toan giai dugc trong do sau loga cung giai dugc trong khong gian logạ Ngugc lai, cac bai toan giai dugc trong khong gian loga, ngay ca khong tat dinh, la giai dugc trong do sau loga binh phuong.
Dinh ly 5.2.3