ph6p quy dan thoi gian da thUc. ^
D i n h nghia 2.4.9
N P C ^= {L\h Id ngon nga NP-đy du).
TVong muc t i i p theo ta se chiing to r^ng N P C ^ 0 b^ng each Chi ra cu the cac bai toan NP-đy dụ K h i do ta c6 thg noi rang
N P C la Idp cac bai toan kho con P la Idp cac bai toan dg trong NP.'
D i n h ly 2.4.10 Gid sit R Id ngon nga NP-đy dụ Khi đ
ReP =^ P = N P .
Ch^ng minh Dinh ly duqc suy ra true t i l p txt D i n h nghia 2 4 7 vg
ngon ngU NP-dky du va tH Dinh ly 2.4.4. Q
H i n h 2.9 NhUng hinh anh gia dinh ve Idp N P ,
178 Do phurc tap thdi gian Nhir vay, neu P 7^ NP t h i hai Idp P NPC khong thg c6 Nhir vay, neu P 7^ NP t h i hai Idp P NPC khong thg c6 phan tijt chung. Trong trirdng hop nay, c6 thg xay ra hai kha nSng
Uen quan den P va NPC trong 16p NP, nhu duoc minh hoa tren
Hinh 2.9. Phan cuoi chuong nay se cho ta thay kha nang nao la dung dan. dung dan.
2.4.3 Dinh ly Cook-Levin ve tinh NP-day du
Tren day ta viia khao sat mot each hinh thiic tinh NP-day du doi
vdi cac ngon ngiị Nhung dieu neu tren chi c6 y nghia don thuan ve mat ly thuyet, neu ta khong dua ra duoc mot ngon ngO: NP-day du mat ly thuyet, neu ta khong dua ra duoc mot ngon ngO: NP-day du nao cu thẹ Nhung mot khi da c6 duoc mot ngon ngu: NP-day du nao do, ta c6 thg thu dudc ngon ngfl: NP-day du khac, bang each
thiet lap phep quy dan thcii gian da thilc t\i ngon ngii NP-day du da biet den ngon ngO: aỵ Vi vay, kham pha ra ngon ngu: NP-day dii da biet den ngon ngO: aỵ Vi vay, kham pha ra ngon ngu: NP-day dii dau tien c6 mot y nghia quan trong. Tuy nhign, viec lam nay hoan toan khong don gian do phai chiing to rang, moi ngon ngiJ cua Idp
NP deu quy din duoc trong thdi gian da thiic den ngon ngfl ma
ta xem xet. '^^ ,
Bay gid ta se tim each chiing minh rang SAT \h NP-day dụ Day la noi dung c6t loi ciia Dinh ly Cook-Levin. Day la noi dung c6t loi ciia Dinh ly Cook-Levin.
Dinh ly 2.4.11 (Dinh ly Cook-Levin (9, 21])
SAT la NP-day dụ
Chiing minh Nhu da biet SAT thuoc NP, cho nen ta chi con phai chiing to r^ng moi ngon ngfl cua NP deu quy dan dUdc trong thdi chiing to r^ng moi ngon ngfl cua NP deu quy dan dUdc trong thdi
gian da thflc den SAT. Ta lay bat ky mot ngon ngfl L trong NP
Gia sii la may Turing khong tat dinh thdi gian da thflc p{n)
khang dinh L. Dg chflng to rang L SAT, doi vdi moi tfl vao ta xay dung mOt cong thflc Boole (P^ dudi dang CNF sao cho A ta xay dung mOt cong thflc Boole (P^ dudi dang CNF sao cho A chap nhan w khi va chi khi 0^ thoa dUdc. May c6 tap trang.
2.4 Tinh NP-day du
179 thai Q = {go, 91^ •. •, 9a}, trong do 90 la trang thai ban dau c6n thai Q = {go, 91^ •. •, 9a}, trong do 90 la trang thai ban dau c6n la trang thai chap nhan, vk c6 bang chfl bang V = { 7 0 , 7 1 , . . . , 7 b } ,
trong do 7^ la ky tu trong. Do may N c6 do phflc tap thdi gian p(n), ngn khi tinh toan tren moi tfl vao do dai n, dau doc-ghi cua may ngn khi tinh toan tren moi tfl vao do dai n, dau doc-ghi cua may
di chuygn den nhieu nhat la p(n) + 1 6 dau tien tren bang. Nhflng 6 nay duoc danh so Ian luot la 0,1,... ,p(n). Cong thflc <Py, duoc 6 nay duoc danh so Ian luot la 0,1,... ,p(n). Cong thflc <Py, duoc xac dinh bdi
I def
0^ = 01 A 02 Ạ.. A 07,
trong do mdi cong thflc bo phan 0^ dildc tao thanh tfl cac bien Boole Ci^k,u K,t Sj,t, nham dien ta nhflng nguygn t^c chung va su Boole Ci^k,u K,t Sj,t, nham dien ta nhflng nguygn t^c chung va su tinh toan cua may Turing tren dau vao w. Nhflng bien nky c6 noi dung cu thg nhu sau:
o Ci,fc,t vdi noi dung "0 thfl i chfla ky tu 7 ^ tai thdi diim f,
o hi^t vdi noi dung "dau doc-ghi soi xet 6 thfl i tai thdi digm V\
o Sj^t vdi noi dung "may d trang thai QJ tai thdi digm t", d day mdi chi so cung c6 nhflng quy dinh rieng: d day mdi chi so cung c6 nhflng quy dinh rieng:
* 0 < i < p{n) : so hieu cua cac o trgn bang, * 0 < j < a : chi so cua cac trang thai, * 0 < j < a : chi so cua cac trang thai,
* 0<k<b: chi so ciia cac ky tu thuoc bang chfl bang, * 0 < ^ < p{n) : thdi digm trong qua trinh hoat dong. * 0 < ^ < p{n) : thdi digm trong qua trinh hoat dong.
Dg đn gian hoa viec trinh bay, ta se viet B!x(0 < x < m) : Â,
vdi ngfl nghia "ton tai duy nhat x trong pham v i t f l 0 den m sao cho  la dung", thay the cho cong thflc tfldng dudng dugc bigu cho  la dung", thay the cho cong thflc tfldng dudng dugc bigu dign dudi dang CNF. Cu thg
3!x(0 < X- < m) •.Â=\/ÂA f\
0<i<m 0<x^y<m
180 Do phijfc t a p thdi gian Bay gid, tCtng cong thiic bp phan 0 r vdi mQt ngu: nghia rieng le
dtrdc xay dvrng nhu sau:
0 1 : " Tai m 6 i t h d i d i i m may N chi 5 mot trang thai". M o t each hinh
thiic t a CO
0 1 = A 3!j(0 < J < a) :
0<t<p(n)
0 2 : " Tai moi t h 5 i di6m moi o chiJa dung mot k y tir". M o t c^ch hinh
thiic t a CO
0 2 = A 3!A;(0 < fc < 6) : Ci,fc,t.
0<i,t<p(n)
03: " Tai m5i thdi di6m dau doc-ghi soi xet dung mot o". Tuong t u ta CO
0 3 = A 3!t(0 < i < p{n)) : hi^f
0<t<p{n)
0 4 : " Tai t h d i digm ban dau t = 0 may 6 trang t h a i qo, dau doc-ghi soi xet 6 so 0, va noi dung cua cac o so 0 , 1 , . . . , n — 1 , n , . . . , p{n)
Ian luot la 7fco- 7 f c i , • • • , 7 f c „ _ i , 7 6 , • • •, 7b, m a jkolk^ • • • 7 f c n - i la
tit vao l y " ; nghia la 0 4 digm t a hinh t h a i ban dau cua maỵ
Vay t a C O -
0 4 = So,0 A /lo,o A A ^i,ki,0 ^ A Ci,b,ọ
0< t < n - l n<i<p(n)
0 5 : " Tai m o i thdi digm chi duy nhat ky t u trong 6 mh dau doc-ghi dang soi xet m d i c6 the duoc thay the bang mot k y t u khac". Noi each khac: " Tai moi thdi digm moi k y t u trong cdc 6 ma dau doc-ghi khong soi xet phai duoc giiJ nguygn". T a c6
<^5 = A (Kt V Ci,fc,t V Ci,fc,t+i) A {hi^t V V Ci,fc,t+i).
0<i,t<p{n)
0<k<b I
LmyvKngÂ{R^C) = {A ^ B VC) A {A VB V C).
24 Tinh NP-đy du
181 06: " T ^ i m6i t h d i d i i m k h i may d trang thdi QJ doe duoc ky t u 7jfc tren bang, viec t i n h toan duoc chi dan bdi su lua chon mOt trong nhflng each bien đi m a ham chuyen 8 xac d i n h . " Gia sii
<5(9j,7fe) = { ( 9 j e , 7 f c e , H e ) I e = l , . . . , d j , f c } ,
trong d6 dj^k 1^ s6 kha nang lua chon k h i may d trang t h a i qj
va doc duoc ky t u 7^. Ta ky hieu
. ^hk = { ( j e , A;e, Ae) I e = 1, . . . , dj^k), trong do [ - 1 , neu He = L, Ae = i 0, neu = S, 1, neuHe = R. K h i do t a c6 < ^ 6 = A (sI7Vc-)-7V/i,,,v V (s 0 < j < a <5=6A,-t 0<it<6 ' 0<i,t<p(n)
trong d6 be = (je, ^e, Ae). Liru y rang A A B A C -> D tuong dudng vdi34 V " ^ V C V D .
4>r- " V ^ o m 6 t thdi digm nao do khong muon hon p ( n ) , mdy A/' d
trang t h a i chap nhan qd'. Cu6i eiing, t a c6
07 = V ^a,t-
0<f<p(n)
Cong thiic ro rang c6 dang CNF (sau k h i cong thiic bo phan
'i^^ duqc bign đi ve dang CNF bang each ap dung luat phan phoi). ^i^c xay dung cong thiic dUdc thuc hien trong t h d i gian da thiic
vi do dai cua cong thiic nay khong vUdt qua 0[p^(n)]. Thong each xay dung nhflng cong thflc bo phan, cong thfle dign
182; Do phiic tap th5i gian ta mot cdch hinh thiic tôn bO qua tfmh tinh to§,n cua may Á" tren ta mot cdch hinh thiic tôn bO qua tfmh tinh to§,n cua may Á" tren m8i til vao w, bat dau t i i nhiing nguyen tic cO ban den viec lira chon phep bien d6i va cuoi cung la viec ket thtic. Hign nhien rang,
<Pjj^ thoa dirge khi va chi khi yV chap nhan w trong thdi gian p{n).
Dinh ly duoc chiing minh. • Nhir vay ta da ket thiic chiing minh Dinh ly Cook-Levin ve bai Nhir vay ta da ket thiic chiing minh Dinh ly Cook-Levin ve bai
toan NP-day du dau tien - bai toan SAT. TiT day, khi tien hanh chiing minh tinh NP-day dii cua mot ngon ngfl B nao do, ta khong chiing minh tinh NP-day dii cua mot ngon ngfl B nao do, ta khong can phai thirc hien mot each dai dong nhfl thg. Theo Dinh ly 2.4.5 ve tinh chat bac cau cua phep quy dan thdi gian da thflc, thay cho viec chiing minh "moi ngon ngfl cua Idp NP deu quy din diroc den B", ta chi can chiing to rkng "mot ngon ngfl NP-day du da biet nao do quy dan dflOc den B" (Dinh ly 2.4.8). Sau day la nhflng thi du minh hoạ
2.4.4 Mot vai bai toan NP-day du
Phat hien hki toan NP-day du dau tien la mot kham pha quan trong. Tuy nhien, sau mot khoang th5i gian khong lau, hien tirong trong. Tuy nhien, sau mot khoang th5i gian khong lau, hien tirong NP-day du cung trd nen pho bien. Chi dam bay nam sau khi bai toan NP-day du dau tien dflOc kham pha, hon ba tram bai toan NP-
day du duac phat hien trong nhieu linh virc khae nhau (xem [11]). Cae bai toan NP xuit hien kha tir nhien, nhflng khong th6 nao than Cae bai toan NP xuit hien kha tir nhien, nhflng khong th6 nao than higu VI sao ehung hoac thfldng la NP-day du hoac thuoc P va rat hiem nhflng loai khaẹ V i vay, khi tien hanh khao sat do phfle tap doi vdi mot bai toan NP mdi, sir n5 lire tim each chflng minh tinh NP-day du cua no la kha hop ly, bdi vi dieu do eo the phdng ngfla nhflng lang phi eong siic cho viec tim kiem thuat toan thdi gian da thflc ma It kha nang ton taị , | :
Trong muc nhy ta se trinh bay cae dinh ly ve mot vai ngon ngO NP-day dii khde nhaụ Cae dinh ly ay cho ta nhflng thi du ve ky NP-day dii khde nhaụ Cae dinh ly ay cho ta nhflng thi du ve ky
24 Tinh NP-day du
1831 thuat chflng minh tinh NP-day du ciia ngQn ngfl. Tinh NP-day dii thuat chflng minh tinh NP-day du ciia ngQn ngfl. Tinh NP-day dii cua cac ngon ngfl dfloc xem xet d day duoe quy dan tfl ngon ngfl
3-S AT. Bdi vay, trude tien ta hay khao sat ngon ngfl naỵ
• Bai toan 3-SAT. Bai toan 3-SAT la mOt trudng hop rieng ciia bai toan SAT, khi dfl kien bigu dien dudi dang 3-CNF, tflc dang hoi bai toan SAT, khi dfl kien bigu dien dudi dang 3-CNF, tflc dang hoi chuin t^c ma mdi cum tuyin dgu chfla dung 3 ludng bien (bien hoac phu dinh cua bien). Tuy nhign, dinh ly sau day cho ta thay rang bai toan 3-SAT khong he dg hon so vdi bai toan tong quat SAT, con bai toan 2-SAT giai dupe dg dang trong thdi gian da thflc. Dinh l y 2.4.12 3-SAT Id NP-day dụ
CMng minh R6 rang 5-5ylT thuoc NP, cho nen ta chi c^n chflng to rang moi ngon ngfl cua N P deu quy dan dflOc den 3-SAT txong to rang moi ngon ngfl cua N P deu quy dan dflOc den 3-SAT txong
thdi gian da thflc. Theo Dinh ly 2.4.8, dieu do c6 thg dflOc thay the bang each quy din thdi gian da thflc tfl ngon ngfl NP-day du SAT bang each quy din thdi gian da thflc tfl ngon ngfl NP-day du SAT
den ngon ngfl 3-SAT. Ve thflc chat, ta can bien dSi (trong thdi gian da thflc) moi cong thflc Boole ve dang 3-CNF. da thflc) moi cong thflc Boole ve dang 3-CNF.
Tuy nhign-, mot each don gian hon trong boi canh nay, d i chflng to rang moi ngon ngfl cua NP deu quy din dfldc dgn 3-SAT txong to rang moi ngon ngfl cua NP deu quy din dfldc dgn 3-SAT txong
thdi gian da thflc, tja c6 thg thflc hien tigp chflng minh Dinh ly 2.4.11 bang each bien dQiVong thflc ve dang 3-CNF. Nhfl da thay trong bang each bien dQiVong thflc ve dang 3-CNF. Nhfl da thay trong chflng minh Dinh ly 2.4.11, eong thflc ^y, dflOc xay dflng dfldi dang
CNF.* Bdi vay, dg hoan thanh viec chflng minh dinh ly, ta chi con phai chflng to r^ng moi cong thflc d dang CNF deu cd t h i bien doi phai chflng to r^ng moi cong thflc d dang CNF deu cd t h i bien doi (3uae ve dang 3-CNF tflong duong. Cu thg, ta chi can bien đi ckc
cum tuygn chfla 1, chfla 2, va chfla nhieu hon 3 Ifldng bien ve nhutig dang 3-CNF tfldng dfldng. dang 3-CNF tfldng dfldng.
That vay, doi vdi nhflng cum tuyen chfla 1 Ifldng bien, ehSng h^n nhu TI = /, ta xay dflng cong thflc tfldng dfldng T[ dfldi dang h^n nhu TI = /, ta xay dflng cong thflc tfldng dfldng T[ dfldi dang 3-CNF nhfl sau:
184 Do phfe tap thai gian trong do y i va 1/2 1^ nhiing bign m6ị
Doi v6i cac cum tuyen chufa 2 luOng bien n h u T2 = h \ I 2 , cong thiJc tuong duong ditdi dang 3-CNF dugc xay dtrng don gian hon:
r^ = (/i V / 2 V y) A( y V/ i V/2),
trong do y la bien m6ị
Cuoi cung, doi vdi cac cum tuyen chiia nhieu hdn 3 ludng bien nhu r = {h V... V/fc) vdi A; > 4, t a b6 sung cdc bien m 6 i 2 1 , . . . , Zk-3
va xay dung cong thiic r ' dir6i dang 3-CNF nhir sau:
T' = (/i V ^2 V 2I) A (ZI V /a V Z2) A ( 2 i V /4 V 73) A ... ... A ( z ^ V lk-2 V Zk-z) A {zj^ V Ik-i V Ik). ... A ( z ^ V lk-2 V Zk-z) A {zj^ V Ik-i V Ik). Gia sii r thoa dixqc j la chi so be nhat mh Ij nhan gifi t r i 1.
K h i do T' thoa dtrqc b6i phep gan t r i
{1, neu 1 < i < j - 1, 0, neu j - 1 < i < fc - 3.
NgUdc l a i , gia sijf T' thoa duoc. K h i do khong thg moi liiang bien
l i , . . . J k deu nhan gia t r i 0, va do do r thoa duoc. N h u vay r va r '
tuong duong nhaụ
D i n h ly dudc chiing m i n h . , • •
• B a i toan C L I Q U E . N h u t a da biet, ngon ngfl CLIQUE
thuoc lap N P (Dinh ly 2.3.6) \h ngon ngfl: 3-SAT Ih NP-day du
(Dinh ly 2.4.12). Hon the nOa, D i n h ly 2.4.6 chilng to rang 3-SAT
quy dan duoc den CLIQUE trong thdi gian da thiic. K h i d6, theo
D i n h l y 2.4.8, t a c6. ^
H e q u a 2.4.13 CLIQUE la NP-day dụ D
2.4 Tinh NP-day du _ 185