X =y (modp) M5i sd bit ky ludn tUOng duong modul op vdi mot
8. Khi tat cacac phep thiJt deu qua, chap nhan.'"
Hai be de sau day chiJng to r^ng thuat todn ^ P R I M E hoat dong
chuan xac. Ro rang thuat toan la chuin xac khi p chan, bdi vay ta chi can xem xet trudng hop khi p lẹ Ta noi r^ng Oj la bdng chUng
{khdng dinh p la hap so) neu thuat toan bac bo p tai Bu6c 4 hoac
tai Budc 7, nhd sii dung ậ
B6 de 5.3.5 Neu p la mot so nguyen to le, thi 1
Pr[ ^ P R i M E chap nhan p] = 1.
ChUng minh Ta chiing to rang neu p la nguyen to, thi khong mot hKng chilng nao ton tai va do do khong mot nhanh tinh to^n nao
cua thuat toan dan den bac bọ Khi a Ih hKng chiing tai Budc 4,
(aP~^ modp) 7^ 1 va Dinh ly Fermat nho suy ra r^ g p \h hop sọ Khi a la b^ng chiing tai Budc 7, ton tai b nho do trong Zp ma
6 ^ ±1 (modp) va = 1 (modp). Bdi vay 6^ - 1 = 0 (modp). Phan tich 6^ - 1 ra thifa s6, ta c6
( 6 - 1 ) ( 6 + 1 ) = O(modp)
vadod6 „ ' ( 6 - l ) ( 6 + l ) = cp,
I
5.3 Thuat toan xac sudt 321
trong do c la mot so nguyen duong nao dọ Vi 6 ^ ±1 (mod p), nen
ca hai 6 - 1 va 6 + 1 deu thuc sii d giiia 0 va p. Do d6 p la hop s6,
bdi VI bOi so cua mot so nguyen to khong t h i bieu dien dirge dirdi
dang tich cua hai so nho hon so nguyen to aỵ •
B6 de sau day chiing to r^ng thuat toan neu tren nhan biet duqc cac hop so vdi xac suat tucfng d6i Idn. Dau tien ta gidi thieu
mot cong cu quan trong cua ly thuyet sọ Theo dinh nghia, hai
so la nguyen to cung nhau neu chung khong cd udc so chung nao khac 1. Dinh ly s6 duC Trung Hoa {Chinese remainder theorem)
ndi rang giiia Zp, va Zp x Z , ton tai tuong ilng mot-mot neu p va
q la nguyen to ciing nhaụ Tiing so r cua Zp, tUOng iJng vdi cap
(a, 6), trong do a G Zp va i € Z, sao cho:
r = a (modp), r = b{modq).
B6 de 5.3.6 Neu p Id mot hap so le, thi
Pr[ ^ P R i M E chap nhan p] < 2'^
Chiing minh Ta chiing to rang, neu p la mot hop so le vk a dugc
chon ngau nhien trong Zp, thi
Pr[a la bang chiitng] > |,
bang each ly giai rang, trong Z° so cac bang chiing khong ft hon so
cac chiing CUT phan bac. D l cd duqc dieu nay, doi vdi moi chiing cii phan bac ta chi ra mpt bkng chiing thich hqp.
Trong moi chiing cii phan bac, day tinh diTdc d Budc 6 hoac cd t^t ca cac thanh phan la 1 hoac chila - 1 tai mOt vi tri nao đ sau 1. Thi du, chinh 1 la chiing cut phan bac loai thii nhat va - l i a chiJng
cii phan bac loai thil hai, bdi vi s la so le cho nen (-1)"^° = - 1 va
322 Cac giai phap
tim chilng cii ma - 1 x u l t hien tai v i t r i Idn nhat trong daỵ Gia sijt |
h la chirng cit phan bac nhii vay va j la v i t r i cua - 1 trong day cua
n6, a day cac v i t r i trong day duoc danh so b^t dau t i l 0. Do do = l ( m o d p ) .
V i p la hop so, nen hoac p Ih \uy th\t& cua mot so nguyen t6 hoac ta CO the bieu dign p nhxl tich ciia hai so nguyen to cung nhau
q va r .
Trudc tien ta xem xet trudng hap thtir haị Dinh ly so du Trung Hoa suy ra r^ng, ton tai mot so t nao do trong Zp sao cho:
t = h{modq),
t = 1 (modr). V i t h ^ : ,
,^ , t'^' = - l ( m o d 9 ) , t'"^' = l ( m o d r ) .
Nha do ta ket luan rging t la bJing chitng, bdi v i t'^' ^ ± 1 (modp) c6n t'^'^' = 1 (modp).
Tit b^ng chirng da c6, ta c6 thg thu ditoc nhieu b^ng chting khac. That vay, ta chilng to rling dt mod p la bkng chirng thich hop doi vdi tiitng chilng cil phan bdc d hdi hai nguyen nhan saụ T h i l nhat,
d'^' = ± l ( m o d p ) va d'^'^' = 1 (modp), bdi vay j duoc chon.
Cho nen dtmodp la b^ng chilng, bdi v i {dty^' ^ ± 1 (modp) va
{dty^'^' = 1 (modp). T h i l hai, neu di vk d2 lac^c chilng cil phan
bac khac nhau, ditmodp ^ ditmodp. Ly do la v i f'^'^'modp = 1. Do do modp = 1. Cho nen, neu tdi modp = tdi modp, t h i
di = modp = tt'^'^'-^d2modp = ^2-
Nhu vay, khi p khong la luy thiia cua mot so nguygn to, so cac bkng chilng khSng nho thua so cac chilng cil phan bdc, do d6 ta ' hokn thanh vigc phan tich d6i vdi tru5ng hdp nhỵ
5.3 Thuat todn xdc suat 323
Trong trudng hop khi p la luy thila cua mot so nguyen to, p = q^, trong do q la nguyen t6 va e > 1. Gia sil f = 1 + q^-'^. Khai t r i i n nhi thilc doi vdi t^, ta thu duoc
= {1 + q^-y = 1 +pq^-^ + cac boi so cua luy thila g^
cho nen tuong duong vdi 1 modp. Do do t la bang chilng duoc sil dung tai Budc 4 bdi vi, ngu t^-^ = 1 (modp) t h i ^ 1 (modp). Cung nhu trong trudng hop trudc, ta sil dung bang chilng nay de thu duoc nhieu bang chilng khac. Neu d la chilng cU phan bac, ta c6
dP-^ = 1 (modp), nhung khi ay dtmodp la bang chilng. Hon niia,
neu di va d2 la cac chilng cil phan bac khac nhau, t h i ditmodp 7^
d2^niodp. Nguoc lai, di = ditt^-^ modp = d^tt^-'^ modp = d^. Nhu vay, trong moi trudng hop, so cac b^ng chilng khong nhd
thua so cac chilng cii phan bac. BQ de dudc chilng minh. • T d thuat toan ^P R I M E va nhiing phan tich neu tren ta thu duoc
ket qua sau daỵ Gia sil
PRIMES = { r i I n la so nguyen to },
trong do ri la bigu dign nhi phan cua n. K h i do ta c6 ket luan saụ
D i n h ly 5.3.7
PRIMES •
Nhan thay r^ng thuat toan xac suat kigm tra tinh nguygn to c6
xdc suat sai lech mot phia {one-sided error). K h i thuat toan cho ket qua bac bo, ta higu r^ng dau vao ch^c han la hop sọ K h i k i t qua dau ra la chap nhan, ta chi biet rang dau vao cd the la nguygn to hoac cung cd t h i hop sọ Nhu vay cau tra Idi khong chuan xac chi cd thg xay ra khi dau vao la hop sọ Dac tinh sai lech mot phia la net ph6 bien cua nhieu thuat toan xac suat. Do đ mot Idp philc tap dac biet R P sau day duoc danh rigng cho nọ
324 Cac giai phap
D i n h nghia 5.3.8
R P Id Idp cdc ngon ngU dicac dodn nhan bdi cdc may Turing xdc suat thdi gian da thiCc, ma cdc til vdo thuoc ngon ngU dUOc chap nhan vdi xdc suat it nhdt la | vd cdc til vdo
khong thuoc ngon ngU duac bdc bo vdi xdc suat Id 1.
Ta CO thi giam x&c suat sai lech vdi miic do luy thira va duy tri thdi gian hoat dong da thufc b^ng each sii dung ki thuat khuyech dai xac suat, tuong tu nhu (tham chi don gian hon) nhUng gi ta da lam trong Bo de 5.3.3. Thuat toan thu duoc chufng to r^ng
COMPOSITES e HP.
5.3.3 Cac chifdng trinh phan nhanh
Chuong trinh phan nhdnh [branching program) \h. mot mo hinh tinh
tôn duoc sii dung trong ly thuyet do phiic tap va trong nhieu linh vUc thuc tign, ching han nhU thiet kg phu trO may tinh (computer- aided design). Mo hinh nky migu ta qua trinh phan quyet, bao gom viec chat van gia tri cua cac bien dau vao va quyet dinh each
thutc tien hanh trgn cO sd ket qua chat van aỵ Ta mo ta qua trinh
phan quyet nay nhu mot do thi c6 hudng ma moi dinh, trijt hai dinh dau ra, dugc dan nhan bdi mot bien rieng biet dugc chat van vao
thdi digm thich hop trong qua trinh tinh toan.
Trong muc nay ta kham pha do philc tap cua viec kiem tra xem
lieu hai qua trinh phan nhanh c6 tUOng duong nhau hay khong.
Trong trudng hoptQng quat, bki toan nay la co-NP-day diị Doi
vdi Idp cdc chuong trinh phan nhanh vdi mot han che tU nhien, ta
CO thi xay dung thuat toan xac suat thdi gian da thufc d i kiim tra tinh tuong dudng. Thuat toan nay la dac biet thii vi vi hai ly dọ
Thxi nhat, chua c6 mot thuat toan da thilc nao cho bai toan nky,
bdi vay no cho ta mot dau hieu ve su ndi rong cua Idp cac ngdn ngii nhd xac suat hoa qua trinh tinh toan ma theo do tU each thanh
vien cua ngon ngii duoc kiim tra mot each hieu quạ ThU hai, thuat
5.3 Thuat toan xdc suat 325
toan nay cho ta mot k i thuat chuyin doi cac bien phi-Boole thanh cac bien Boole thong thudng d i phan tich hanh v i cua ham Boole nao do tren nhflng bign 6ỵ K i thuat nay duoc suf dung kha hieu qua trong cac he chiing cii tUOng giaọ
D i n h nghia 5.3.9 ChuCdng trinh phan nhdnh la mot do thi CO hudng acyclicP ma trong do tat cd cdc dinh duac dan nhan bdi cdc biin, trii hai dinh dau ra {output vertices) duac đn nhan 0 hoac 1. Cdc dinh duac đn nhan bdi cdc bien dU0c goi la cdc dinh chdt van {query vertices). M8i dinh chat van c6 hai cung ra, mot duac đn nhan 0 vd cung con lai duac đn nhan 1. Hai dinh dau ra khong c6 cdc cung rạ Mot trong so cdc dinh cua chuang trinh phan nhdnh duac chon Idm dinh khdi dau {start vertex).
M5i chuong trinh phan nhanh xac dinh mot ham Boole duoc dinh nghia nhu saụ Lay bat ky mot phep gan t r i cho cac bign xuat hien tai cac dinh chat van cua chuong trinh va hit dau tiit dinh khdi
dau roi Ian theo dudng di duoc xac dinh b^ng each chon cung ra tii moi dinh chat van phii hop vdi gia t r i dudc phan bd cho bien d dinh ay cho t d i khi den dUde mot trong hai dinh dau rạ K i t qua
thu duoc la gia t r i cd d dinh dau ra aỵ Hinh 5.3 sau day cho ta hai
thi du vg chuong trinh phan nhanh.
Cac chuong trinh phan nhanh lien quan den Idp L S , giong nhu moi quan hg giiJa cac mach Boole va Idp P . Ta cd thg chiing to
r^ng chuong trinh phan nhanh vdi so dinh cd da thiic ed kha nSng k i i m tra tU each thanh vien cua bat ky ngon ngii nao trgn bang
chii { 0 , 1 } ma thuoc L S {Bki tap 5.14).
Hai chuong trinh phan nhanh duoc goi la tiidng diidng neu
ehung xac dinh ciing mot ham. Cd t h i chilng to r^ng bai toan ve tuong duong doi vdi cac chuong trinh phan nhanh la co-NP-day du (Bai tap 5.16).
Cac giai phap