X =y (modp) M5i sd bit ky ludn tUOng duong modul op vdi mot
chiia xi, ma tH do x\c tach rạ Khi do
Khi p{ai,..., â) = 0, mot trong hai trudng hdp sau se xay ra: hoac tat ca cac da thiic pi nhan gia tri 0, hoSc mOt da thiic pi nao d6 khong nhan gia tri 0 va ai la nghiem cua da thiic vdi mot bien đn
le nhan duoc tCr p bang each hoa tri cac po, • • • ,Pd tren a2, -.., ậ
De danh gia xac suat xay ra trudng hop thil nhat, ta nhan thay
r^ng mot trong cac pj phai khac khong bdi vi p la da thiic khac khong. Khi do xac suat ma tat ca cac pi nhan gia t r i 0 khong Idn han xac suat ma Pj nhan gia tri 0. Tiep den, theo gia thigt quy nap, xac suat ma pj nhan gia tri 0 ciing lam la b^ng (TO - l)d/f hdi vi
Pj CO nhieu nhat rn — 1 bien.
De danh gia xac suat xay ra trudng hop thil hai, ta nhan xet
rang ngu mot pi nao do khong nhan gia tri 0, thi tren phep gan t r i a i , . . . , â, da thiic p trd thanh da thiic khac khong vdi bien dOn le x i . Co sd quy nap ban dau chiing to rkng ai la nghiem cua da thiic thu duoc nhu vay vdi xac suat khong vUOt qua d/f.
Vi the, xac suat ma a i , . . . , la nghiem cua da thiic p khong Idn hon (m - l)d/f + d/f = rnd/f. - •
Cuoi ciing, trudc khi ket thuc phan n^y, ta can luu y mSt dieu quan trong lien quan den viec sii dung tinh ngau nhien trong cac thuat toan xac suat. Khi tien hanh phan tich cac thuat toan xac suat, ta gia thiet rSing cac thuat toan ay duoc thuc hien nhcJ siJt
dung nglu nhien dung. Ngau nhien diing c6 thg kho (hoSc khong
thg) xay ra, bdi the thu5ng duoc mo phong nhd cac thiet hi sinh tm
ngau nhien {pseudorandom generators), cac thuat toan tat dinh vdi
ket qua dau ra xuat hien ngtu nhien. Mac dii dau ra ciia mot qua
trinh tat dinh bat ky c6 the khong la ngau nhien diing, mot qua trinh nao do cho ta ket qua vdi cac dac trung ch^c chan cila cac ket qua sinh ngau nhien. Cac thuat toan duoc xay dung de sii dung tinh ngtu nhien c6 thg c6 kha nang ngang vdi cac thiet bi sinh tua nglu nhien, nhung kho chiing to rang chiing tong quat hon. Qua that, doi khi cac thuat toan xac suat c6 thg xii ly khong tot nhu cac thiet
\i sinh tua ngSu nhign. Cac thiet bi sinh tua ngau nhien tinh vi Vduoc sang chg va nhd do dua den nhiing kgt qua khong phan biet
duoc vdi cac ket qua ngau nhign diing, bang b^t cii phep thii nao tVong thdi gian da thiic.
5.4 Thuat toan xap xi
Phan nay gianh cho viec khao sat tinh hieu qua ciia thuat todn x4p
xi giai cac bai toan toi tiu tS hdp. Noi dung cua bai toan toi uu t6 hop bao gSm viec tim kiem Idi giai toi tCu {optimal solution),
tiic tim nghiem tot nhat trong so cac nghiem chap nhan dugc doi vdi moi dii kien bai toan. Di nhien, cac bai toan lien quan den viec giai xap xi thu5ng la nhUng bai toan kh6, c3 NP-kho chang han. Thi du, ta can tim mot tap bao quat nho nhat hay tim mot do thi con day du Idn nhat trong do thi cho trudc, v.v... Nhu ta da thay, doi vdi cac bai toan toi uu NP-khd, viec tim kiem Idi giai toi uu khong thg thuc hien duoc bdi nhiing thuat toan thdi gian da thiic,
triit phi P = NP.
Bdi vay, thay vi kho (hay dung hon la khong thg) tim dugc Idi giai toi uu cua bai toan, ta danh hai long vdi mot Idi giai gan diing,
mong sao no cdng gan vdi Idi giai toi Uu cang tot va mien la c6 thg tim dugc mot each di dang {trong thdi gian da thiic) b^ng mot
thu tuc nao do, dugc goi la thuat toan xap xi {approximation
algorithm). Du chi mong muOn vay thoi, nhung nhieu khi ta ciing khong that su toai nguyen. Doi vdi nhieu bai toan toi uu, ta d§ dang tim dugc Idi giai gan diing it sai lech vdi Idi giai toi uụ Song, nhu ta se thay, lai cd nhflng bai toan ma bat cii thuat toan xap xi nao giai chiing deu cho ta Idi giai khac xa vdi Idi giai toi Uu, tiic vdi "dp sai lech" kha Idn. Nhu vay, doi vdi mot so bai toan t6i uu, viec tim kiem Idi giai gan diing vdi "do sai lech" nao do ciing kho
khan nhu tim Idi giai toi Uu dich thuc, tiic khong thg xap xi duac
332 Cac giai phap Vay la van de xap x i doi vdi cac bai toan toi iiu cung rat phiic / tap, CO khi khong thg xap x i dupe va cung nhieu khi thuc hien dupé vdi mute dp tot xau khae nhaụ Cac k i t qua nghien eutu lien quâ dgn kha nSng "khong xap xi dupe" cua cac bai toan toi uu thudrig
dua vao ly thuyet he bang cMng xdc sudt (theory of probabilistic
proof systems), trgn co sd xay dung cac he bang chvcng duac kiim tra mot each xdc sudt (probabilistically checkable proof systems - PCPS). Day la mot hudng nghien cilu kha thu vi, nhung khong thg gidi thieu dupe trong khuon kh6 han hep naỵ
Bay gid, doi vdi trudng hpp "xSp xi dupe", ta trinh bay c^c thuat xap x i giai vai bai toan toi Uu NP-kho nhu nhUng t h i du, nh^m thg hien tinh hflu hieu cua viee xap xị Ta hay b^t dau t i i khai niem vg tinh hUu hieu cua thuat toan xap x i .
Cho n la mot bai toan t&i uu (cue tigu hoa hoac cue dai hoa) vdi tap du: kien Dn- Gia sii la thuat toan xap x i cho H. K h i do, doi vdi m5i dU kien d G Dn, ta ky hieu: , ..^ . . , , , . ,^ . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
OTPn{d) Id gia tri cua nghiem toi Uu cua bai todn IT doi vdi d; An{d) la gid tri cua nghiem chap nhan duac ma thuQt todn
An tim duac khi thi hdnh tren dH kien d.
Khi n la bai todn cue tiiu hoa (hoSe tuong utng, cue dQi hoa),
hieu sudt {performance ratio) cua thuat toan xap x i An trgn d i i kign d, ta ky higu la RAuid), diioc dinh nghia nhu sau:
Ta dinh nghIa nhu vay la dg thuan tign cho viee khao sat hdi vi, d6i vdi ca hai loai bai toan cue tieu hoa cung nhU cue dai hoa, hieu suat RAnid) luon luon Idn hon hoSc bkng 1. Tiep theo, ta dinh nghia hieu sudt tuyet doi {absolute performance ratio) RÂ cua thuat toan An doi vdi bai toan H bdi dai lupng sau day:
RAU = inf { r > 1 : RAnid) < r doi vdi mpi d e Dn].
5.4 Thuat todn xap xi 333
Nhu vay, 1 < 7?^^ < 00. Ta nhan thay r^ng RÂ chng gan 1 bao nhigu t h i thuat toan An cang hflu hieu bay nhigu, nghia la no cho ta nghiem chap nhan dupe cang gan han tdi nghiem toi uụ
Thuat toan xap x i vdi hieu suat tuyet doi r dupe gpi la thuat todn r-xdp xi {r-approximation algorithm).
Hieu suat cua thuat toan xap x i giai bai toan toi uu duong nhien phu thupe vao thuat toan cu t h i dupe xay dung, nhung thuc chat no lien quan dgn ban chat phiic tap cua bai toan dupe xem xet. Nhan xet nay dupe minh chflng bdi ket qua khao sat vki bai toan cu the sau daỵ
5.4.1 Bai toan tap bao quat nho nhat
Bai toan tap bao quat nho nhat trong do thi G = { V , E ) , c6 tgn
gpi la M i N -VERTEX-COVER va ta vigt tit la VC, doi hoi t i m mot
tap con nho nhat V C V, tfle vdi so dinh it nhat, sao cho doi vdi moi canh uv e E , hoSe u e V hoSc v e V. Bai toan nay tuong ling vdi bai toan quyet dinh VERTEX-COVER, dupe chflng minh la NP-day dii (Dinh ly 2.4.14). Nhu vay, bai toan VC la NP-khọ
Trudc khi xay dung thuat toan xap xi cho bai toan nay ta luu y rang, doi vdi cac bai toan toi uu to hpp, thuat todn tham lam
{greedy algorithm) dupe xay dung theo cac phudng cham khae nhau, phu hpp vdi tflng quan niem cu thg vg "tham lam" (hoac "tham an") va theo cac mue tigu rigng rẹ Co hai phuong cham hau nhu trai ngupe nhau dupc coi la "tham lam" ma ta dg nhan thay, do la "gap mdn nao xao mon ay" va "migng ngon an trude". Tuy vay, ed thg noi rang hai phuong cham nay "xau-tot" ngang nhau, tiiy thupe vao hoan canh va muc tigu cu thg.
Bay gid ta xay dung thuat toan tham lam cho bai todn V C vk xem xet hieu qua cua nọ Theo true giac, dinh vdi bae cang cao t h i bao quat dupe cang nhieu canh. Cho nen ta c6 the mong dpi mOt ket qua mi man khi t i m kiem tap bao quat bang each b moi budc
334 Cac giai phap ta luon luon laa chon dinh vdi bac cao nhat, theo phuong cham "mieng ngon an trvrdc". Vay \h true giac mach bao t a xay dung mot thuat toan tham lam du6i day cho bai toan VC. Thuat toan duoc ky hieu b6i Gr\c va duac mo ta nhu sau:
Grvc = "Tren dau vao (G), trong do G \h do t h i vo hudng:
1. Lap lai qua trinh sau cho den khi trong G khong con canh nao:
l a . Chon dinh vdi bac cao nhat trong G va danh dau nọ
l b . Xoa tat ca cdc canh gin lien vdi dinh aỵ