a. Khái niệm hình học của sai số
- Khái niệm về elip sai số (elip biến dạng)
+ Trên bề mặt của Elipxơid, ta lấy một hình trịn có bán kính vơ cùng bé. Hình chiếu của nó lên trên mặt phẳng bản đồ sẽ bị biến dạng. Gọi m và n là tỷ lệ độ dài theo kinh tuyến và vĩ tuyến, ta có: x’ = mx
y’ = ny
Ta biết phƣơng trình của vịng trịn là x2 + y2 = r2 Lại có x = x’/m; y = y’/n. Suy ra (x’/m)2 + (y’/n)2 = r2
Hay (x’/mr)2 + (y’/nr)2 = 1 trong đó mr là bán trục lớn của elip a; nr là bán trục nhỏ của elip b. Vì vậy phƣơng trình có dạng: x’2/a2 + y’2/b2 = 1. Đây là phƣơng trình elip. Hình dạng và kích thƣớc của các elip sai số trong các phép chiếu khác nhau thì khác nhau.
+ Tại mỗi điểm, tỷ lệ riêng của độ dài có thể thay đổi phụ thuộc vào phƣơng hƣớng. Có hai hƣớng vng góc với nhau tại một điểm bất kỳ cho trƣớc mà trong đó, một hƣớng có tỷ lệ riêng của độ dài lớn nhất và hƣớng kia có tỷ lệ riêng của độ dài là nhỏ nhất. Hai hƣớng đó đƣợc gọi là những hƣớng chính, thƣờng ký hiệu là a, b.
b. Các dạng sai số trên bản đồ.
- Có ba loại biến dạng thƣờng đƣợc nói đến trong tốn bản đồ, đó là biến dạng về góc, biến dạng về diện tích và biến dạng về độ dài. Có những phép chiếu khơng có biến dạng về diện tích và có những phép chiếu khơng có biến dạng về góc. Nhƣng khơng có phép chiếu nào khơng có biến dạng độ dài. Chỉ có những phép chiếu mà độ dài khơng biến dạng ở một số điểm hay một vài đƣờng nào đó trên lƣới chiếu.
- Tỷ lệ chính của bản đồ chỉ đƣợc bảo tồn tại một số điểm hoặc đƣờng nào đó khi diễn giải bề mặt Elipxôit lên mặt phẳng bản đồ. Tỉ lệ riêng của bản đồ có thể nhỏ hơn hoặc lớn hơn tỷ lệ chính . Nếu ta coi tỷ lệ chính của bản đồ là 1 thì độ chênh lệch giữa tỷ lệ chính và tỷ lệ riêng sẽ là đại lƣợng để xác định sai số trên bản đồ.
Đối với biến dạng độ dài, ta có các khái niệm sau:
Tỷ lệ riêng của độ dài là tỷ số giữa độ dài của một đoạn vô cùng bé trên bản đồ với khoảng cách tƣơng ứng của nó trên bề mặt Elipxơit Trái Đất.
μ = ds’/ds
Nhƣ vậy, ds’ ≠ ds; chỉ khi μ = 1 = μ0, khi đó ds’ = ds.
Tỷ lệ riêng của độ dài là một hàm số với các biến là toạ độ địa lí của điểm cần xác định và góc phƣơng vị theo hƣớng mà ta muốn xác định tỷ lệ riêng của điểm đó.
μ = F1 (φ, λ, α).
trăm. Ví dụ: m = 1,30
νm = (m – 1) 100% = +30% n = 0,80
νn = (n – 1) 100% = -20%
Tƣơng tự nhƣ trên, ta có các cơng thức để tính tỷ lệ riêng của diện tích, sai số diện tích và sai số góc.
Tỷ lệ riêng của diện tích là tỷ số của một diện tích vơ cùng bé trên bản đồ so với diện tích tƣơng ứng của nó trên bề mặt Elipxơit Trái Đất.
p = dp’/dp
Thơng thƣờng thì dp’ ≠ dp. Chỉ trong trƣờng hợp phép chiếu bản đồ đƣợc sử dụng là phép chiếu đồng diện tích, khi đó tại mọi điểm dp’ = dp. Đây cũng chính là điều kiện để xây dựng các phép chiếu đồng diện tích.
Tỷ lệ riêng của diện tích phụ thuộc vào vị trí địa lí của các yếu tố cấu thành diện tích đó. p = f2 (φ, λ)
Sai số diện tích (νp) là hiệu số của tỷ lệ riêng diện tích với 1, đƣợc biểu diễn dƣới dạng phần trăm.
νp = (p-1) 100%
Ví dụ: p = 2,13 thì νp = +113%
Không tồn tại khái niệm tỷ lệ riêng của góc mà chỉ có sai số góc. Sai số góc (Δu) là hiệu số của đại lƣợng góc trên bản đồ (u’) với đại lƣợng góc tƣơng ứng trên bề mặt Elipxôit Trái Đất (u). Thơng thƣờng thì u’ ≠ u. Chỉ trong trƣờng hợp phép chiếu bản đồ đƣợc sử dụng là phép chiếu đồng góc, khi đó tại mọi điểm u’ = u. Đây cũng chính là điều kiện để xây dựng phép chiếu đồng góc. Ta có:
Δu = u’ – u.
Để đánh giá mức độ biến dạng góc, ngƣời ta thƣờng sử dụng sai số góc lớn nhất tại điểm có độ biến dạng góc lớn nhất.
Δumax = ωCác đại lƣợng sai số là một trong những tiêu chuẩn để đánh giá mức độ hoàn hảo của một phép chiếu bản đồ.