... Trần Nhân Tông - Hà Nội
Một số bàitậpvề chứng minh bấtđẳngthức ( Dùng để ôn thi đại học)
Bài 1: Cho x, y, z là các số tùy ý
CMR:
222222
zyzyzxzxyxyx
++≥+++++
Bài 2: Cho a, b, c là các số ...
2
33
22222
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Bài 3: CMR với 3 số dương a, b, c bất kỳ ta luôn có :
3
22
3
22
3
22
3
cba
aacc
c
cbcb
b
baba
a
++
≥
++
+
++
+
++
Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh ...
cbazyx
111111
++>++
Bài 5: Giả sử a, b,c, d là 4 số dương thỏa mãn
3
1
1
1
1
1
1
1
1
≥
+
+
+
+
+
+
+
dcba
CMR:
81
≤
abcd
Bài 6: Biết a,b,c là 3 số tùy thuộc
[ ]
1;0
CMR:
accbbacba
222222
1
+++≤++
Bài...
... CMR:
12. Cho hai số thực , thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
13. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
14.
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
15. Cho 3 số dương . Chứng...
... là một bấtđẳng thức
Quy ước :
• Khi nói về một bấtđẳngthức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất
đẳng thức đúng.
• Chứng minh một bấtđẳngthức là chứng minh bấtđẳngthức ... d) D =
1
1
2
+
+
x
x
IV .Bất đẳngthứcvề trị tuyệt đối:
Bài 1: Cho
10
=++
zyx
CMR:
4321
++
zyx
Bài 2: CMR :
( )( )
( )( )
ababbababa
++++++
11112
22
Bài tập thêm :
Bài 1: Cho a,b,c > 0 ... số
Ví dụ 1: Chứng minh bấtđẳng thức: sinx < x với mọi x > 0
Ví dụ 2: Chứng minh bấtđẳng thức:
2
1cos
2
x
x
−>
với mọi x > 0
Ví dụ 3 : Chứng minh bấtđẳng thức:
xtgxx 2sin
>+
...
... Trần Nhân Tông - Hà Nội
Một số bàitậpvề chứng minh bấtđẳngthức ( Dùng để ôn thi đại học)
Bài 1: Cho x, y, z là các số tùy ý
CMR:
222222
zyzyzxzxyxyx
++≥+++++
Bài 2: Cho a, b, c là các số ...
2
33
22222
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Bài 3: CMR với 3 số dương a, b, c bất kỳ ta luôn có :
3
22
3
22
3
22
3
cba
aacc
c
cbcb
b
baba
a
++
≥
++
+
++
+
++
Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh ...
cbazyx
111111
++>++
Bài 5: Giả sử a, b,c, d là 4 số dương thỏa mãn
3
1
1
1
1
1
1
1
1
≥
+
+
+
+
+
+
+
dcba
CMR:
81
≤
abcd
Bài 6: Biết a,b,c là 3 số tùy thuộc
[ ]
1;0
CMR:
accbbacba
222222
1
+++≤++
Bài...
... c 3+ + =
CÁC BÀITẬPVỀBẤTĐẲNGTHỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT
Bài 1 . Cho a,b,c dương và a+b+c=1 .Chứng minh rằng :
( )
3
2 2 2
a b c 10
abc
c a b
9 a b c
+ + + ≥
+ +
Bài 2 . Cho a,b,c ... A
2
64sin B 4 2
M
tg A 12sin B
+
+
=
+
Bài 22. Cho x,y dương thoả mãn x+y ≥4 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2 2
2
3x 4 2 y
A
4x y
+ +
= +
Bài 23. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ... mãn : x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2008 2008
A 1 x 1 y= + + +
Bài 28. Cho x,y,z dương thoả mãn xyz=1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1
A
x y z...
... cấp cao
2.2. Giải bàitậpbấtđẳngthức bằng phƣơng pháp khảo sát hàm số
Để chứng minh bấtđẳng thức, ngoài các bấtđẳngthức kinh điển như bấtđẳngthức Cauchy, bất
đẳng thức Bunhiacopxki ...
thông qua các bàitậpvềbấtđẳngthức được giải bằng đạo hàm ít được giáo viên và học sinh
quan tâm (về nhận thức và vận dụng).
3. Phân loại, xây dựng hệ thống các bàitậpvềbấtđẳngthức được ... dạy và học bấtđẳngthức đƣợc giải bằng đạo hàm ở trƣờng THPT
Có thể nói, bàitậpbấtđẳngthức rất đa dạng, phong phú về thể loại và phương pháp giải,
nên khi làm bàitậpbấtđẳngthức học sinh...
... sưu tầm
10
Ôn thi vào 10 -Bài tậpvềBấtđẳng thức, cực trị
Ta có
( )
1
2
<++=++ cbazyx
(1)
9
111
≥++⇔
zyx
Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0
Theo bấtđẳngthức Côsi ta có
≥++ zyx
3.
3
xyz
... 9- Thandieu2 sưu tầm
6
Ôn thi vào 10 -Bài tậpvềBấtđẳng thức, cực trị
Giải:a)
ab
b
a ≥+
4
2
2
abba 44
22
≥+⇔
044
22
≥+−⇔ baa
( )
02
2
≥−⇔ ba
(bất đẳngthức này luôn đúng)
Vậy
ab
b
a ≥+
4
2
2
... Vậy ta có điều phải chứng minh
• Sử dụng một số bấtđẳngthức cổ điển thông dụng:
Toán 9- Thandieu2 sưu tầm
2
Ôn thi vào 10 -Bài tậpvềBấtđẳng thức, cực trị
a)
xyyx 2
22
≥+
b)
xyyx
≥+
22
...
... số thực.
4. BTVN:
-Ôn tập lại các dạng toán của bài.
-Bài tập 20 có thể làm theo Bấtđẳngthức Bunhiacốpxki với bốn số thực. Em hãy làm lại bài 20 với áp
dụng Bấtđẳngthức Bunhiacốpxki.
Tổ ... các bấtđẳngthức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với hai số không âm, đối với ba
số không âm, và của bốn số không âm ( chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào?)
-Bài đọc thêm vềBấtđẳngthức ...
hoặc biểu thức.
4. Về ý thức:
Tự giác, nghiêm túc, có ý thức cao trong việc tự học và tự làm bài tập.
II. Chuẩn bị về phương tiện dạy học:
+ Chuẩn bị các bảng phụ;
+ Chuẩn bị các phiếu học tập để...
...
11
2
2
f x f
a
Dấu đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi x = y =1, z = 0 hoặc các hoán
vị
1
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀBẤTĐẲNGTHỨC
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số ... c
Theo bấtđẳngthức Holder ta có:
S
3
.P
(a +b +c)
4
S
3
(a +b +c)
2
= 1
S
1
Dấu đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3
Bài 16: Cho a
1
,
a
2
, ... a
n
)
Theo bấtđẳngthức Holder ta có : A
2
B
(a
1
+ a
2
+ + a
n
)
3
= 1
Dễ thấy B =1-(a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
)≤ 1-
2
1 2 n
a a a
1n
nn
do đó
1n
A
n
Đẳngthức xáy...
... trước tới nay cũng đã có rất nhiều sách viết vềbấtđẳng thức, có
rất nhiều đề thi các cấp có bài toán bấtđẳng thức, nhưng các bài toán bất
đẳngthức dù có mặt ở đâu và với tần suất như thế ...
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
3.4. Từ 3.3 ta dễ dàng có được bấtđẳngthức 3.4:
3.5. Từ 3.1 kết hợp với cách chứng minh 3.3 ta có được bấtđẳngthức 3.5
3.6. Từ 3.5 ta có được bấtđẳngthức ...
acnanc
nnn
)1(
11
+≥+
++
Cộng theo từng vế các bấtđẳngthức ta được bấtđẳngthức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi
cba ==
.
2.6. Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho n + 1 số dương
1
2
1
1
1
1
1
1
,,...
... thuộc. Nếu có bàitập nâng cao thì làm xong bài nào
chỉ biết cách làm bài đó không biết cách suy luận để chuyển về những bài toán
về những dạng đã làm, đã giải, không biết mở rộng những bài toán đã ... là hằng số), ta thường dùng đến bất đẳng
thức:
-x
2
≤
0 ; -|x|
≤
0
Sau đây một số ví dụ về việc sử dụng bấtđẳng thức
Ví dụ 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2(x + 3)
2
– 5
Giải
Ta ... trong
các bấtđẳngthức tương tự như trong các đẳng thức
III. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Một biểu thức có thể có những giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Chẳng
hạn biểu thức...
... tháng 12 năm 2004
Bài 6. Các BàiTậpVề Nhóm Đẳng Cấu
Theo định nghĩa, nhóm X là đẳng cấu với nhóm Y (và viết X
∼
=
Y ) nếu tồn tại một ánh xạ
đẳng cấu f : X → Y . Để chỉ ra X đẳng cấu với Y theo ... M
∗
n
và M
1
n
là tập các ma trận vuông cấp n không suy biến và tập các ma trận có định
thức bằng 1. Chứng minh rằng
M
∗
n
/
M
1
n
∼
=
(R
∗
, ·).
6) Cho f : (R, +) → (R
∗
, ·) là đẳng cấu nhóm. ... nhóm X, Y là đẳng cấu với nhau ta có thể thiết lập một ánh xạ đẳng
cấu từ X tới Y hay từ Y tới X hoặc có thể thiết lập các ánh xạ đẳng cấu từ X, Y tới một
nhóm thứ ba.
Ví dụ 1: Cho tập hợp các...