Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm

Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng Abstract: Nghiên cứu hoạt động tư duy của học sinh trong quá trình giải bài tập về bất đẳng

Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng

Abstract: Nghiên cứu hoạt động tư duy của học sinh trong quá trình giải bài tập về bất

đẳng thức, từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng tiến trình luận giải, làm cơ sở cho việc tìm kiếm lời giải một cách có hiệu quả Phân loại và xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm đã được phân loại và xây dựng để rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình tìm kiếm lời giải Đối chiếu kết quả thực nghiệm với kết quả

điều tra ban đầu, rút ra kết luận về khả năng áp dụng hệ thống bài tập đã đề xuất

Keywords: Toán học; Phương pháp dạy học; Tư duy sáng tạo; Bài tập; Bất đẳng thức;

Trong chương trình toán THPT phần nội dung kiến thức “bất đẳng thức” là một nội dung khó đối với cả giáo viên và học sinh Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức là một

trong những phương pháp hay, đơn giản trong khi việc sử dụng các phương pháp khác có thể gặp khó khăn

Với các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông

qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm”

3 Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo

- Phân loại, xây dựng hệ thống các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó Trên cơ sở đó, rèn luyện sáng tạo cho học sinh

4 Vấn đề nghiên cứu

- Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là thế nào?

- Xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm như thế nào để rèn luyện

tư duy sáng tạo cho học sinh?

5 Giả thuyết khoa học

Thông qua hệ thống các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu hoạt động tư duy của học sinh trong quá trình giải bài tập, từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng tiến trình luận giải, làm cơ sở cho việc tìm kiếm lời giải một cách có hiệu quả

- Phân loại và xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó

- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

7 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, kết hợp với điều tra, quan sát, thực nghiệm sư phạm và thống kê toán học

8 Những đóng góp của luận văn

- Xây dựng và phân loại hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

- Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu quả

- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích thiết thực

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tư duy

1.1.1 Tư duy là gì ?

Trên thế giới và ở Việt Nam có nhiều quan điểm về tư duy Theo M.N.Sacđacôp: Tư duy là sự

nhận thức khái quát gián tiếp các sự vật và hiện tượng của hiện thực trong những dấu hiệu, những thuộc tính chung và bản chất của chúng Tư duy cũng là sự nhận thức sáng tạo những sự vật, hiện tượng mới, riêng rẽ của hiện thực trên cơ sở những kiến thức khái quát hóa đã thu nhận

được

1.1.2 Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy

Lý luận dạy học hiện đại đặc biệt chú trọng đến việc phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc điều khiển tối ưu quá trình dạy học, còn các thao tác tư duy cơ bản là công cụ của nhận

thức

1.1.3 Những đặc điểm của tư duy

- Quá trình tư duy nhất thiết phải sử dụng ngôn ngữ là phương tiện Tư duy phản ánh gián tiếp, không tách rời quá trình nhận thức cảm tính

1.1.4 Những phẩm chất của tư duy

Tư duy có khả năng định hướng, bề rộng, độ sâu, tính linh hoạt, tính mềm dẻo, tính độc lập, tính

khái quát

1.1.5 Các thao tác tư duy

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ Các thao tác trí tuệ

cơ bản là: phân tích - tổng hợp, so sánh – tương tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá

1.1.6 Vấn đề phát triển năng lực tư duy

Trước hết là giúp học sinh thông hiểu kiến thức một cách sâu sắc, không máy móc, biết cách vận dụng kiến thức vào bài tập Từ đó mà kiến thức học sinh thu nhận được trở nên vững chắc và

sinh động

1.1.7 Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển

Có khả năng tự lực chuyển tải tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới, tái hiện kiến thức và thiết lập những mối quan hệ bản chất, phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán và có

năng lực áp dụng kiến thức để giải quyết tốt bài toán thực tế

1.2.Tư duy sáng tạo

1.2.1.Khái niệm về sáng tạo

Có thể nói: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới không bị gò bó phụ thuộc vào những cái đã có”

1.2.2 Quá trình sáng tạo

Quá trình sáng tạo gồm 4 giai đoạn: chuẩn bị, ấp ủ, bừng sáng, kiểm chứng

1.2.3 Tư duy sáng tạo

tư duy sáng tạo được thể hiện trong việc xác định bài toán, xác định mục tiêu của bài toán, tạo sinh các ý tưởng bằng các thao tác trí tuệ như tưởng tượng, phỏng đoán, so sánh với các ẩn dụ, đưa ra các giả thuyết, phê phán và đánh giá các giả thuyết, rồi lựa chọn các lời giải, thực thi từng

phần hoặc toàn bộ một lời giải, đánh giá các lời giải khả thi, sửa đổi để hoàn thiện lời giải 1.2.4 Cấu trúc của tư duy sáng tạo

Năm thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề

1.3 Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán

1.3.1 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác 1.3.2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới

1.3.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo

1.3.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

1.4 Thực trạng dạy và học bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ở trường THPT

Có thể nói, bài tập bất đẳng thức rất đa dạng, phong phú về thể loại và phương pháp giải, nên khi làm bài tập bất đẳng thức học sinh thường khó phân biệt được dạng và phương pháp giải,

thậm chí không giải quyết được Phần lớn học sinh thấy sợ học bất đẳng thức và không hứng thú với chủ đề này nhiều khi còn gây tâm lí chán nản đối với các em Không những thế, trong các đề thi đại học thường có bài tập về bất đẳng thức, các bài tập này tương đối phức tạp nên để học tốt phần này giáo viên và học sinh đều phải bỏ rất nhiều thời gian và công sức

Kết luận chương 1 Trong chương

này, luận văn đã trình bày các quan điểm của một số tác giả về khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán và thực

trạng dạy và học bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ở trường THPT

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ

BẤT ĐẲNG THỨC ĐƯỢC GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM 2.1 Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm

2.1.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

2.1.2 Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng

2.2 Giải bài tập bất đẳng thức bằng phương pháp khảo sát hàm số

Để chứng minh bất đẳng thức, ngoài các bất đẳng thức kinh điển như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki ., thì sử dụng đạo hàm cũng là một công cụ hữu ích Trong nhiều trường hợp, sử dụng phương pháp khảo sát hàm số để chứng minh bất đẳng thức thì lời giải bài toán sẽ ngắn gọn và đơn giản hơn rất nhiều

Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức : AB trên tập D ( với D là một đoạn, khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng)

Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức ta thường dùng hai cách sau:

Cách 1: Xét f là một hàm số của một đối số nào đó, f xác định trên tập D và thỏa mãn

( )

f   A, f ( )   B, với   ,  D và f đơn điệu trên D

Nếu    chứng minh f x ( ) nghịch biến trên D

Nếu   , chứng minh f x ( )đồng biến trên D

Cách 2:

Xét hiệu f   A B trên D và coi đây là hàm số của một đối số nào đó

Nếu f nghịch biến trên D, cần chỉ ra tồn tại   ,  D,    : ( ) f    A B và

Nhận xét: Rõ ràng sử dụng phương pháp khảo sát hàm số trong các ví dụ trên làm cho lời giải

rất ngắn gọn, dễ hiểu Trong trường hợp này, việc xét dấu f x'( ) rất đơn giản Đôi khi chúng ta không thể khẳng định ngay được dấu f x'( ), trong các trường hợp như vậy, một thủ thuật thông thường được áp dụng là chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với x  0 thì ta có: sinx

x

x

   với x  0 (đpcm)

Nhận xét: Ở các ví dụ trên ta đều nhìn ra ngay được hàm số cần xét sự biến thiên Ví dụ tiếp

theo minh họa việc lựa chọn hàm số thích hợp để xét sự biến thiên, khi bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức nhiều biến

Nhận xét: Trong các ví dụ trên ta dựa vào các điều kiện từ giả thiết để biến đổi rồi từ đó lựa

chọn hàm số thích hợp để xét tính đơn điệu.Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng thêm các bất đẳng thức quen thuộc như bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopxki…

x

x 



b d

a c

a c



b b d b d

a a c a c

) 1 (

ln )

1 (



) 1 (

ln ) 1 (

a c a

c

Mà 0 < a  b nên ta suy ra :

b b d b d

a a c a c

) 1 (

ln )

1 (

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b ; c =d

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Nhận xét: Ở ví dụ trên không chỉ dựa vào các điều kiện từ giả thiết để biến đổi rồi từ đó lựa

chọn hàm số thích hợp mà còn gặp khó khăn trong việc xét dấu của đạo hàm, ta đã phải làm thao tác biến đổi, chọn và xét tính đơn điệu của một hàm trung gian thích hợp

Bài tập đề nghị

2.3 Giải bài tập bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức tiếp tuyến

Tính lồi, lõm của đồ thị

Định nghĩa Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Ta nói rằng

Đồ thị (C) của hàm số y  f x ( ) lồi trên khoảng I nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó đều nằm phía trên đồ thị

Đồ thị (C) của hàm số y  f x ( ) lõm trên khoảng I nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó đều nằm phía dưới đồ thị

Dấu hiệu đồ thị lồi, lõm

Định lí 1: Cho hàm số y  f x ( ) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng   a b ; Nếu f"( ) x  0với mọi x    a b ; thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó

Nếu f"( ) x  0 với mọi x    a b ; thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm:

Cho hàm số y  f x ( ) có đồ thị (C) và điểm A( ; x y0 0)  ( ) C

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A( ; x y0 0) là:y  f x'( )(0 x  x0)  y0

Ứng dụng:

* Định lí 2: Cho hàm số y  f x ( ) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng   a b ;

i) Nếu f"( ) x  0 với mọi x    a b ; thì f x ( )  f x'( )(0 x  x0)  f x ( )0

Đẳng thức trong hai bất đẳng thức trên xảy ra khi x  x0

* Ta biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x ( ) tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên đồ thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị, còn tại điểm uốn của đồ thị thì tiếp tuyến xuyên qua đồ thị nên ta có nhận xét sau:

Nếu y  ax  b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x ( )tại điểm A( ; x y0 0) thì ta có thể phân

0( ) (ax ) ( ) ( )

f x    b x  x g x Trong nhiều trường hợp ta có thể xác định được dấu g x ( ), g x ( )  0 (hoặc g x ( )  0) Khi đó ta có f x ( )  ax  b (hoặc f x ( )  ax  b) Xét các ví dụ sau:

Ví dụ 7 Cho các số thực dương a, b, c thỏa a b c    1

Chứng minh rằng:

3 10

Nhận xét: Trong một số trường hợp đồ thị hàm số y  f x ( ) có khoảng lồi, lõm trên đoạn

  a b ; Trong trường hợp đó ta đi xét dấu của biểu thức: '

1,…,n ) thỏa mãn điều kiện nào đó

Trong một số trường hợp bất đẳng thức chưa có dạng trên, ta phải thực hiện một số phép biến đổi

mới đưa về dạng trên Chúng ta cần chú ý một số dấu hiệu sau:

* Nếu bất đẳng thức có dạng f a ( ) ( ) ( ) ( )1 f a2 f a3 f an  m thì ta có thể lấy lôganêpe hai vế

* Nếu bất đẳng thức cần chứng minh đồng bậc thì ta có thể chuẩn hóa Tùy thuộc vào từng bài

toán mà ta lựa chọn cách chuẩn hóa phù hợp

Ví dụ 9 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a    b c 3

Chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca

Bài giải

Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a b c 1

Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a b c 1

Lấy lôganêpe hai vế bất đẳng thức cần chứng minh tương đương bất đẳng thức:

2.4 Giải bài tập bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Jensen

Định lí 1(Bất đẳng thức Jensen) Cho hàm số f x ( ) xác định trên khoảng ( ; ) a b

1 Hàm số f x ( ) là hàm lồi trên khoảng đó ( f"( ) x    0 x ( ; )) a b

Sử dụng tính lồi, lõm của hàm số chứng minh bất đẳng thức:

Để sử dụng tính lồi, lõm của hàm số chứng minh bất đẳng thức,giả sử: M  0

ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức về dạng:

nhưng có bất đẳng thức muốn chứng minh được ta phải dùng nhiều hàm lõm ( hoặc lồi)

Ví dụ 13 Chứng minh rằng trong mọi  ABC ta đều có: t an2 tan2 tan2 1

Bài giải

Xét hàm số: f x ( )  x2

Nhận xét: Ở các ví dụ trên để chứng minh bất đẳng thức ta chỉ sử dụng bất đẳng thức hàm lồi,

tuy nhiên có những bất đẳng thức muốn chứng minh được ta còn phải phối hợp với các bất đẳng thức khác

Ví dụ 14 Chứng minh rằng trong mọi  ABC ta đều có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a   b c

Nhận xét: Ví dụ trên ngoài việc sử dụng thêm bất đẳng thức kinh điển ta còn gặp khó khăn trong

việc chọn hàm số để xét tính lồi, lõm

Bài tập đề nghị

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm định tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm

- Biên soạn tài liệu, sau đó chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đối chứng, tiến hành dạy thực nghiệm

- Thu thập thông tin phản hồi, qua đó đánh giá chất lượng, hiệu quả và tính khả thi của các biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo mà luận văn đã đưa ra

3.2 Phương pháp thực nghiệm

Dùng phương pháp thử nghiệm đối chứng, dạy thử nghiệm theo hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ở một số lớp 12 trường THPT Thụy Hương, trường THPT Kiến Thụy, thành phố Hải Phòng

Thực nghiệm được thực hiện song song giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

Ngoài ra, chúng tôi còn kết hợp chặt chẽ với các phương pháp khác như: quan sát, tổng kết kinh nghiệm, phát phiếu điều tra…

3.3 Nội dung và tổ chức thực nghiệm

3.3.1 Chọn nội dung thực nghiệm

- Giải bài tập bất đẳng thức bằng phương pháp khảo sát hàm số

- Giải bài tập bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức tiếp tuyến

3.3.2 Tổ chức thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Thụy Hương, trường THPT Kiến Thụy, huyện Kiến Thụy, thành phố Hải Phòng Mỗi trường chọn ra 2 lớp: 1 lớp thực nghiệm và 1 lớp đối chứng

Thời gian thực nghiệm được tiến hành từ 22/08/2012 đến 08/10/2012 năm học 2012 - 2013

3.3.3 Nội dung bài tập và đề kiểm tra

3.3.3.1 Nội dung bài tập:

Giải bài tập bất đẳng thức bằng phương pháp khảo sát hàm số và bằng các bất đẳng thức tiếp tuyến

3.3.3.2 Nội dung các đề kiểm tra:

Ra 2 đề kiểm tra 45 phút

3.4 Kết quả của thực nghiệm sư phạm

3.4.1 Nhận xét của giáo viên qua tiết dạy thử nghiệm

- Các giờ học dễ điều khiển học sinh tham gia vào các hoạt động học tập, thu hút được các em tham gia

- Các hoạt động học tập (giải bài tập, trả lời các câu hỏi, nhận xét) học sinh tự rút ra kiến thức mới, nắm ngay kiến thức cơ bản ở trên lớp Đồng thời giáo viên cũng dễ dàng phát hiện những sai lầm mắc phải của học sinh để có hướng khắc phục