Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải toán về bất đẳng thức côsi và bất đẳng thức bunhiacopxki

Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thuận lợi cho việc rèn tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải một số bài toán về bất đẳng thức Cô si và bất đẳng thức Bunhiacopxk

Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải toán về bất đẳng thức

Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki Practice creative thinking for high school students teaching through solving the

inequality Cauchy and Bunhiacoxk NXB H : ĐHKT, 2012 Số trang 77 tr +

Ngô Thị Chung

Trường Đại học Quốc gia Hà Nội; Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (bộ môn Toán);

Mã số: 60 14 10 Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thành Văn

Năm bảo vệ: 2012

Abstract Làm rõ cơ sở lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và rèn tư duy Xây dựng hệ thống

bài tập có nội dung thuận lợi cho việc rèn tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải một số bài toán về bất đẳng thức Cô si và bất đẳng thức Bunhiacopxki Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

Keywords: Toán học; Phương pháp giảng dạy; Tư duy sáng tạo; Bất đẳng thức côsi; Bất

Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy định “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên.” [13]

Vấn đề rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh đã được khá nhiều người quan tâm nghiên cứu Tuy nhiên, việc khai thác và ứng dụng những lí luận này vào thực tế giảng dạy môn toán ở các trường phổ thông nước ta còn nhiều hạn chế

Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình toán phổ thông nhưng cũng là một phần toán sơ cấp đẹp và thú vị Trong các kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi, các bài toán bất đẳng thức hay được đề cập và là một thử thách thực sự với các thí sinh

Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học giải toán về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc rèn tư duy

- Nghiên cứu một số kỹ năng áp dụng bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki vào chứng minh bất đẳng thức

- Xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài, trên cơ sở đó đưa ra giải pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm rõ cơ sở lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và rèn tư duy,xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thuận lợi cho việc rèn tư duy, thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu nội dung bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki trong chương trình Toán THPT

5 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được hệ thống bài tập về bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki với nội dung kiến thức phong phú, sâu sắc và GV biết khai thác triệt để các bài tập đó để rèn luyện tư duy cho HS (rèn năng lực quan sát, rèn các thao tác tư duy, rèn năng lực tư duy độc lập, sáng tạo,… ) thì năng lực tư duy của HS sẽ phát triển

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu tài lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và tư duy toán học

- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức có liên quan đến

bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki

Nghiên cứu thực tiễn

- Dự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm khi dạy theo chủ đề này

- Phỏng vấn, điều tra ý kiến của học sinh, giáo viên về việc dạy và học phần này

- Thực nghiệm sư phạm và thống kê

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải một số bài toán về bất đẳng thức Cô si và bất đẳng thức Bunhiacopxki

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là quá trình trừu tượng hóa, phân tích và tổng hợp Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó.”

1.1.1.2 Các thao tác của tư duy

a Phân tích: là quá trình tách các sự vật, hiện tượng tự nhiên của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng xác định

b Tổng hợp: là hoạt động nhận thức phản ánh của tư duy biểu hiện trong việc xác lập tính thống nhất của các phẩm chất, thuộc tính của các yếu tố trong một sự vật nguyên vẹn có thể có được trong việc xác định phương hướng thống nhất và xác định các mối liên hệ, các mối quan hệ giữa các yếu tố của

sự vật nguyên vẹn đó trong việc liên kết và liên hệ giữa chúng và chính vì vậy đã thu được một sự vật và hiện tượng nguyên vẹn mới

c So sánh: là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật, hiện tượng của hiện thực Trong hoạt động tư duy của học sinh thì so sánh giữ vai trò tích cực

d Trừu tượng hóa và khái quát hóa: trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ đi những mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết về phương diện nào đó và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tư duy

Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ chung nhất dịnh Những thuộc tính này bao gồm hai loại: những thuộc tính giống nhau và những thuộc tính chung bản chất

1.1.2 Tư duy sáng tạo

1.1.2.1 Khái niệm tư duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính là có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ) Có nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo nhưng qua những định nghĩa của các tác giả chúng ta đều nhận thấy nét phổ biến nhất của tư duy sáng tạo là tư duy sáng tạo ra cái mới

Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh đó chưa biết đến Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lí, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp

1.1.2.2 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Tính mềm dẻo

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận để dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại

Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra xàng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh chất lượng

Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng: khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới, khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liên tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

Tính hoàn thiện

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng

Tính nhạy cảm vấn đề

Tính nhạy cảm vấn đề có những đặc trưng sau: khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề, khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

1.1.2.3 Một số việc cần làm để phát triển tư duy toán học cho học sinh

Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo

Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là việc áp dụng công thức tổng quát, những bài tập có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác, những bài tập có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau, giúp việc hình thành các liên tưởng ngược xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận, những bài toán không theo mẫu, không đưa được về các loại giải toán bằng cách áp dụng các định lí, quy tắc trong chương trình…

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn

đề, khơi dậy những ý tưởng mới

Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, trong đó giáo viên đưa

ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, dự đoán được những quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh một định lý Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong

đó chưa rõ điều phải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác

Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau trong những mối quan hệ khác nhau Ta có thể luyện tập cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất

1.1.3 Vị trí và chức năng và vai trò của bài tập toán học

1.1.3.1 Vị trí

Bài tập toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong môn Toán ở trường phổ thông Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động như nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lí, qui tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học

1.1.3.2 Chức năng và vai trò của bài tập toán học

Chức năng của bài tập toán học là: dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra

Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba mặt: mục đích, nội dung và phương pháp của quá trình dạy học Cụ thể là: về mặt mục đích dạy học: bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học của môn toán như hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo,

kỹ năng ứng dụng toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, phát triển năng lực trí tuệ chung, hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Về mặt nội dung dạy học, bài tập toán là một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lý thuyết

Về mặt phương pháp dạy học, bài tập toán là giá mang những hoạt động để HS kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác nhau

1.1.4 Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Bước 2: Tìm cách giải

Bước 3: Trình bày lời giải

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY

HỌC GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

Trong trường hợp n3, bất đẳng thức Côsi có dạng: 3 , 0, 0, 0

Phân tích và định hướng lời giải

Biểu thức dưới dấu căn bậc 3 là một tích của 2 thừa số Để sử dụng được BĐT Côsi ta cần viết:

a b c

   Từ đó ta được điều cần chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Từ hai ví dụ trên, ta xây dựng phương pháp giải cho dạng toán này như sau:

Bước 1: Cho a b c  , thay vào điều kiện để xác định a b c, ,

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi với n 2, 3, 4, 5 cùng với các số hạng hằng số đã xác định ở bước 1 để mô tả điều kiện hoặc biểu thức cần chứng minh

Ví dụ 3: Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Pa b c

Phân tích và định hướng lời giải

Giả sử tại a  b x 0,c y 0 thì P đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó 2x y 3

Khi đứng trước một bài toán, điều mà ta mong muốn là làm sao để có thể tận dụng được tối

đa giả thiết của đề bài Do đó, ý tưởng của bài toán này là chọn các số x y , thích hợp sao cho ta có thể sử dụng được giả thiết Muốn vậy thì hệ số của ab và c phải bằng nhau, tức là 2 x  3 y2

Vậy điểm rơi thật sự của bài toán chính là nghiệm của hệ phương trình

2.1.2.2 Kĩ thuật Côsi ngược dấu

Kĩ thuật Côsi ngược dấu được áp dụng dựa vào tính chất:

Phân tích và định hướng lời giải

Ở bài toán này, nếu sử dụng BĐT Côsi kiểu 2

 ta sẽ bị ngược dấu với BĐT cần chứng

minh Hãy xét cách tách sau để thấy được hiệu quả của kĩ thuật này Theo BĐT Côsi thì

Nếu ta chỉ ra được ab bc ca  3 thì sẽ có điều cần chứng minh

Điều này hiển nhiên đúng vì  2

33

a b c

Vậy bài toán đã được chứng minh xong Dấu bằng xảy ra khi a b c  1

Ví dụ 2: Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng

Phân tích và định hướng lời giải

Cộng các BĐT trên theo vế ta thu được điều phải chứng minh

Bài 2 Với a b c, ,  0,abc 1 Chứng minh rằng: 1 1 1

Điều này theo BĐT Côsi hiển nhiên đúng Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 3 Với a b c, ,  0,a  b c 3 Chứng minh rằng 3 3 3 1

Phân tích và định hướng lời giải

Nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay tới việc áp dụng BĐT Côsi dạng:

(ĐTTS lớp 10 phổ thông năng khiếu, ĐHQG, TP Hồ Chí Minh 2007) Hướng dẫn: Đặt x a b y,  c d Bài toán quy về chứng minh

Sử dụng BĐT Côsi ta dễ dàng chứng minh được điều trên

Bài 2 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c d, , , ta luôn có:

2.2.2 Một số hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Hệ quả 1 Với 2 dãy số thực a a1, , ,2 an và b b1, , , ,2 b b n i   0, i 1,n

Phân tích và định hướng lời giải

Nếu ta áp dụng BCS trực tiếp như thông thường

2 a 2 b 2 c  2 a 2 b 2 c