các bài giảng về bất đẳng thức cauchy

Trang 2

ew

NGUYE NVŨI, CONG (Chu bién)

PHAM VAN HUNG-NG UYEN NGOC THANG

CAC BAI GIANG

Trang 3

Bất đẳng thức Cosi

MỞ ĐẦU

Bát đăng thức Cĩỏsi quá quen thuộc đối với hầu hết học sinh Tuy

nhiên hằng năm bằng việc sử dụng bất đẳng thức Cơsi người ta vẫn xây

dựng được nhiều bất đẳng thức mới, hay và khĩ Các bất đẳng thức này chúng ta cĩ thể tham khảo từ các đề thi vơ địch của các quốc gia trên thế giới hay trong các đề thi khu vực và quốc tế Phương pháp giải các bất đẳng

thức dạng này rất đa dạng nên khĩ cĩ thể phân loại và tổng kết thành một

số ít các phương pháp giải chung Các bạn quan tâm đến bất đẳng thức thường gặp các cuốn sách giới thiệu các bất đẳng thức cùng với cách giải

cụ thể mà ít cĩ những cuốn sách trình bày các phương pháp giải các dạng bất đẳng thức Các tác giả của tập sách này muốn giới thiệu với bạn đọc một cách tiếp cận mới với bất đẳng thức Cơsi thơng qua các bài giảng đã

được giảng dạy cho học sinh lớp 10 Khối Chuyên Tốn - Tin Dai hoc Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN Tập sách là tài hệu tham khảo tốt cho học sinh o năng khiếu tốn lớp 9 (cuối cấp ID) và lớp 10 cũng như các học sinh chuẩn

- bị thi vào các trường Đại học Hy vọng bạn đọc sẽ nắm chắc nhiều phép

biến đổi cơ bản và phương pháp giải trong tập sách này Nếu sau khi hiểu

rõ các bài giảng các bạn cĩ thể xây dựng được nhiều bất đẳng thức mới,

hay hơn của riêng mình thì điều này là mong muốn của các tác giả

Trong quá trình biên soạn cuốn sách này chúng tơi đã nhận được sự

động viên, khích lệ của các đồng nghiệp thuộc Khối chuyên Tốn - Tin,của

Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn - Cơ - Tin học và lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

` Cho phép chúng tơi đựợc nĩi lời cám ơn đối với các tập thể và cá nhân nĩi trên

Lần đầu ra mắt độc giả, cĩ thể cuốn sách cịn sai sĩf và nội dung chưa hồn thiện nên rất mong sự gĩp ý của bạn đọc Ý kiến gĩp ý của các bạn xin gửi về địa chỉ:

Khối THPT chuyên Tốn - Tin,

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,

7 334 Đường Nguyễn Trãi, Thanh Xuân, Hà Nội

4

https://www.facebook.com/

tu: n

Trang 4

Muc Luc

1 BấtđẩngthứcCơsi - - 3

1 BấtđẩngthứcCØổi ¬ 3

2 — Một số phép biến đổi cơbản - 13

3 Dạng luỹ thừa - eee 24 4 DangcdngmausS 0 eee eee ees 36

5 Dạng trungbình .- - 45 6 Dạng phân thức Le ¬ eee 65

2 Motsé áp dụng của bất đẳng thức Cơsi 78 I — Xây dung bat dang thitc mot bién va dpdung 78 2 Sử dụng hàng đẳng thức - Le eee 88 3 Sử dụng các số hạng hằng số - - - - 94 4 — Bất đẳng thức cơsi với biến số là biểu thức 103 5 — Thay đổi bậc bấtđẳngthức - ‹ 113 6 Phépnhém Abel .-.- "Le ew ee 121 7 Làm mạnh bất đẳng thứcCơsi - Lee 140 8 Phương pháp giải một dạng bất đẳng thức cĩ điểu kiện 153

Trang 5

Chuong 1 Bất đẳng thức Cơsi 1 Bất đẳng thức Cơsi Trong mục này chúng ta giới thiệu bất đẳng thức Cơsi và một số ví dụ minh hoa Trước hết chúng ta xét trường hợp đơn giản n = 2: a? + b? 2 a= b 1 2 ab <= (a — b)? > 0 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi š b 2 2 Vớia,b> ˆ > Vab © (/a — Vb)? > 0 Dau đăng thức xảy ra khi và chỉ Khe a= 6 Vi du 1 VGi a, b,c > 0, chting minh rang a+b+e —a— 2 Wabe Giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

P=a+b+c+ Vabc > 4VWabc

Ta cĩ

P> 2Vab + 2V cV abc >4y abcVabc = 4 gùc c (đpcm)

https: 7, /www.facebook.com/

Trang 6

4 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, %guyễn Ngọc Thắng Một số dạng tương tự: Với ø,b,c > 0Ư ta cĩ a+b+c 1: abc < (——g——}” 3 3 3 2 eters > abe

Sau đây chúng ta chứng minh trường hợp tổng quát

Ví dụ 2 Với ơi,d¿, -,ở„ là các số thực khơng âm, chứng minh rằng l< ns —) sàn? HP a2 ( ai)” Ở đây ký hiệu LH_¡ đi = 0i - 0a - - - Qn | Giai 'Cách 1

Nếu n = 1,n = 2 hiển nhiên bất đẳng thức đúng

Trang 7

Bat dang thirc Cési = 5 Ta thu được ko*?!t + 7“?! S(k+1)a*: 3 ©ko*(a-— 3) + 3(3* — a*) > 0 (a — 3) [hak — 9 (38) + Ba + 3a? + tak ')] 30 ©(œ — Ø) [(a* — 3) + (a® — BF a) + + 4+ (a — 3ø°1)| > 0 ©(œ — 2) (at tak? gg 4 BRN) 4 + a(a*? + at 3g 4 4 Gh?) 4 40k! 20, ( Bat dang thức đúng vì œ 7 > 0)

Cĩ nhiều cách chứng minh bất đẳng thức Cơsi, trong đĩ cách chứng minh quen thuộc nhất như sau:

Cách 2

- Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n số khơng âm thì sẽ

đúng với 2n số khơng âm

- Từ đĩ suy ra bất đẳng thức đúng với n = 2* Bất đẳng thức Cơsi sẽ được

chứng minh nếu chúng ta chứng minh khẳng định sau đây

Nếu bất đẳng thức đúng với n = k thì cũng đúng với n = Èk — 1

Trang 8

O 1Y@UYCH VU LUUIIE, LIHIđI11 Y địi L1U11£, 1N MHYCH L1NOỌC 111411

Trang 10

8 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng

b

1 Với a,b,c > 0 thoả mãn điều kiện © T TT + — = 1 Chimg minh rang

yes vi ist an) Hướng dẫn Ta cĩ b ec a’ :Va b_ c úa Cc l ~=-+7>>2,/-, aad b 1-62 4% a b ¢ 59/2 C

Cộng ba bất đẳng thức trên ta thu được (1.1.2)

2 Với a > 07 = In thoả mãn điều kiện 9ˆ” a; = 1 Chứng minh rang n 1 | It -»2 (n — 1)” (1.1.3) w=] , Hướng dẫn Đặt S= >> a;, ta cé 1 —”_ G 5đ ` (n — 1) "-J/0102 0;—184+1 0n a; 4° 4G a a; vé6ii=1.n

Nhân vế với vế của n bat dang thitc trén ta thu duoc (1.1.3),

Trang 11

Bất đẳng thức Cosi ro 9 Tuong tu 1 a 5b - cha b Z b 1 5Vc?- dab ~ + 1 TT TT TT” > Cc G 1 54/3) - œbc an

Nhân vế với vế bốn bất đẳng thức ta thu được (1.1.4)

4 Với a,b,c > 0, chứng minh rằng

a b_ Ca 1 1 1

* “+ “+ “J}?b>(a+b+e( 1+ +)

(+ +) (a+ te) + e+ =)

Hướng dẫn |

Bất đẳng thức trên tương đương với

Trang 12

10 Nguyén Vii Luong, Pham Van Hing, Ngwyén Ngoc Thang Hướng dẫn Ta cĩ 4a? 4 4 q— Ì (a + )+ 7 (a )+— 7 +8 suy ra 4a? > 16 a— l1 Tương tự 5b? 2 20, b—1 0 3c2 “— >12, “ em]

Cộng ba bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ø = b = c = 2 6 Với a, b, c, z, , z > 0, chứng minh rằng + y Z a 8 c (a+b+c) (= yo )> 3 m+y+a' Hướng dẫn Ta sử dụng bất đẳng thức

(œiøàa + bịbaba)” < (a3 + b])(aš + bộ) (ầ + bã)

Trang 13

Bất đẳng thức Cơsi _ 11 Hướng dẫn Ta cĩ 2€ 320g ý ab? < Ì su ra it oe Be a+b ab? i 382 i Thu được 2b3 1 1 (a3 + 2b?) 32’ Tương tự 2c 1 1 c2(b3 + 2c3) 7-6? 3c2' 2a? BS - 1 1

a*(c3 + 2a3) ~ c? 3a?

Trang 15

Bất đẳng thức Cơsi

2_ Một số phép biến đổi cơ bản

a Nhĩm đối xứng: Phép biến đổi này thường được sử dụng để hạ bậc từng vế bất đẳng thức Ví dụ 1 Với a, b, c là số thực dương, chứng minh rang at +b? +c! > abc at+b+e Giai Ta cĩ 4 +6 4 bˆ+c 4 4 c+a 4 4 at+bt+ci = ụ 5 + 2 + 2 > a2b2 + bˆc2 + c2a? (1.2.1) 212 2.2 72,2 2,2 2,2 212 a“b* + b’c* Ofc + cae cra’ +.a°b a®b?+b2c?+c?a” = 5 + 5 + 5 > abc(a+b+c) | (1.2.2)

Từ (1.2.1) và (1.2.2) suy raa*-+ b*+ ct > abc(a+b+c) (dpcm)

Ví du 2 Voi a, b,c la cdc 86 thuc khơng âm, chứng minh rằng ; | avbc + byca + eVab < x(a +b +c)” Giai Ta cĩ | b+bc b a+ ab (atb+c)? = (a2+be) + (b2+ ca) + (c2+ab)+~ 5 “+ Ta Suy ra

(a+b+c)? > 2avbe + 2bVca + 2cVab + bac + cVab + avbc

Trang 16

Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thăng Giải

3hương trình đã cho tương đương với

: Vi wo Gat ale +a Tq + Yo)++* (Zn + Yn) UM1U2''' tin <1 - T:+0i) -( cĩ p<* x nhung tes Yi 2* x Y2 Tn t+ Yn + n Yi Y2 4 Yn | #i+1i Lea+ Yo Ln + Yn =1 (đpem) + nm `

Ví dụ 4 Với a,b,c,ở là các số thực khơng âm thoả mãn điều kiện

Trang 17

Bất đẳng thức Cơsi - 15 | Giai Từ bất đẳng thức Cơsi ta thu được a2 +Ð2 +? > — Suy ra a+b+b a?+ 2b? > 3( 3 > V a? + 2b? > )? + (a +26) v3" Tương tu 1 Vv b2 + 2c? > —=(b + 2c), Fa? * 2) 1

Vc? + 2a? > —=(c + 2a) vate ta)

Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta thu được

Pa sate = ¥3(a+b+c) (đpcm) c Nhém theo cac hé sé cé tong bang 1

Trang 18

16 Nguyên Vũ Lương, Phạm Văn Hùng,3Xguyễn Ngọc Thắng 1 2 c+2a ~ sVe+ va = < 3 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ 7 Với a, b, c là các số thực khơng âm, chứng minh rằng

Trang 19

Bất đẳng thức Cơsi ~ 17 b c5 C b eC a — + — 2B 2ca a Cc Cộng các bất đẳng thức trên ta thu được (1.2.4) > 2bc , Ví dụ 9 Với ø, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng 2 b2 2 a C —+ + >a+b+e b C a (1.2.5) Giai Ta cĩ g2 b2 c2 — +b>2a,—+c> 2b, —+a> 2a b Cc Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh e Đổi biến Ví dụ 10 Với a, b, c là các số thực dương thoả man abc = 1, chứng minh rang 1 1 3 a2(b + c) T b?(c +a) T c?(a + b) 7 2 Giai

Dat a = — -,b = = 6 c= = ta thu được #zz = 1 và bất đẳng thức cần chứng

Trang 21

Bat dảng thức Cơsi ; | ~ 19

Cộng các bất đẳng thức trên tạ thụ được (1.2.6),

BAL TAP VA HƯỚNG DẪN

Trang 22

20 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, *euyén Ngoc Thang Hướng dẫn Sử dụng phép nhĩm đối xứng ta thu duoc ab + be + ca ` b h € + a 2 a2 BT ace ab be 5 Với a.b, c là các số thực dương chứng minh rằng 1 1 1 ` 3 3 3 P» a b 7 ata beac! aha Hướng dẫn Chỉ cần chứng minh | 1 + 2 9 c 1 + 1 + 1 ` 9 a b*~ a+2b a b bí a+b+b

mà điều đĩ dễ dàng chứng minh được

6 Với ø, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng a Be 2 2 2 p?a†„2ab+bc+ca (1.2.7) Hướng dân Ta cĩ a5 + b” > aŠb + b?a2 © (a3 — bŠ)(a? — b”) 3 0, _ suy ra q5 bề + b3 > a3 + q?b Tương tự — +c`>Ùb`+tức, =+a >c)+ ca

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta thu được (1.2.7)

Trang 23

Bất đẳng thức Cơsi - 21 Tương tự suy ra 1 3(a+b+c)4+15 1 < = —.6 8 Vdi a, b,c > 0, chứng minh rằng P II 372 (dpcm) 6 bồ cơ a + ga?b2 + b2c2 — c^q2 > ab + bc + ca Hướng dẫn 6 bồ cơ g?b2 b2c2 cq? a2b2 c2 + g2 + b2 a2 + b2 + c ab + bc + ca s1 b2c2 c2a2 + Vv WV WwW 9 Với a,b, c > 0, chứng minh rằng (+ VẺ»vá+6 — (128) Hướng dân Ta cĩ ae V ? +Vb> 2/a, b2 J+va> 2vb

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được (1.2.8)

10 Với a,b,c > 0,ø + b + c = 1, chứng minh rằng

#ab + Ÿbc+ Ÿca < Ÿ3

Hướng dẫn Ta cĩ

Trang 24

ah INBUYULL VU LULL, 2 IQUE V Gil LUIS, BY vit sc OY~Y Ao" "Tương tự m bức +3 Yee < 3 ——— : c+a+š Ÿca < Ÿ3: ——”

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta the duoc

Wab+ ŸB6+ Yeas 7 (2 (a+tb+c)+ +3)= V3 (dpcm)

11 Với a,b,c > 0, abc = 1, chứng minh rằng

1 + 1 + 1 > ab + bc + ca- |

a3(b+c) bd(c+a) c(a+b) 2

Hướng dan ;

Dat a = — b= = we = = ta thu duoc +z = 1 và bất đẳng thức cần chứng

minh tương đương với 355 „3 pyz Ụ yz Ụ | z3 Ụ > r+yte2 Ụ u+z z+xz 1+ụ 2rz 2 2 2 x 2 ++ụ+“ = +-—+ 2 yee (1.2.9) yt2 ztxe «ty 2 Ta cĩ 4a? +2 Ay? z+ư 4:2 x+ự

Trang 26

24 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng

3 Dạng luỹ thừa

+ 1 n 1 n m

Chúng ta gọi bất đăng thức ¬ 5 ¡0 2 (- an ai) |

(m,n € N*,a¡ > 0,¡ = 1,n) là bất đẳng thức dạng luỹ thừa |

Ví dụ 1 Với a, b là những số thực khơng âm, chứng minh rằng

gmnn 4 ymin > (a™ + b™)(a™ + b”), (m.mn € N*) Nie Giai Bất đẳng thức đã cho tương đương với gm+n + prt > a™b" + a"b™ (a™ — b™)(a® —b") 30 ( Hiển nhiên đúng vì 2 thừa số cùng dương khi ø > b > 0, cùng âm khi b2>a20) Ví dụ 2 Với a, b, c là những số thực khơng âm, chứng minh rằng 1 gmtn + pm+n -+ocn+n > 3 (0 +674 c™)(a” + 6? + c”) (m,n € N*) Giai |

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

2(amtn + prin + c™t) > a”(b" + c") + b"(c" + a”) + c"(a" + b")

= (a™ — b™)(a™ — b”) + (b™ —c™)(b" —c") + (a™ —c™)(a" — c”) BO

( Hiển nhiên đúng vì các số hạng luơn duong ) ;

Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản trên ta dễ dàng giải được các bài tốn sau

Trang 27

Bất đẳng thức Cosi ~ _= pt

Vi du 4 Voi a b la nhting s6 thuc khong am, chttng minh rang

a’ 4 2b! > ~(a? + 2°) (ae + Bb? )?, Áp dung vi du 2 ta cĩ œ'9+ 9b! 3 -(a" + 209)(a!+ 201) > -(a°+ 2b") (u? + 2I2)° Shr Gl re Ví dụ 5 Với a, b, c là những số thực dương, chứng minh rằng 10 10 10 10 10 a’ +0 ae + ets " bl 4 18 ch +a > ay (1.3.1) a® + 0% b5 + cơ C at Giai Ta cĩ > -(a b?)? «> 4/ ———_— > -(a’? +l øồ + bơ 4 +) qồ + bồ 3" +) Tương tự

Ví dụ 6, Với a,b > 0, chứng minh rằng

“

a” 4-5" ateb\" |

Trang 28

26 Nguyén Vii Luong, Pham Van Hiing,@Wguyén Ngoc Thang Giai Ta cĩ

Ví dụ 7 Với a b c là những số thực khơng âm, chứng minh rằng

Trang 29

Bat dang thức Cơsi ro 27

Ví dụ 8 Với ¿ b ‹ là các số thực khơng âm, chứng minh rằng Vat Vb+ỹc, ,Ía+tb+te 3 ~ 3 * Giải Áp dụng kết quả ví dụ 7 ta nhận được le Wb + “)< at+tb+c 3 ~ 3

Khai căn bậc ø hai vế ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh

Trang 30

28 Nguyên Vũ Lương, Phạm Văn Hung, @guyen Ngoc inang Thật vậy k k 2k 1 „ 11x „1 m 3 i=l i=l ") i=k+1 1[/1x¬ \™ /1<¬ > 5 (i » a) + G » a) (Giả thiết quy nạp ) +1 i=k+1 71 2 m > & a) (dpcm ) i=1

Bất đẳng thức cần chứng minh đúng nếu chúng ta chứng minh được khẳng

Trang 31

Bat dang thức Cơsi ~ 29

Khai căn bậc hai vế ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh

Ta nhận xét: Khi mì = 2È thì trong giả thiết của bài tốn khơng cần điều kiện ø; >0(¡ = 1.0)

Ví dụ 12 Với a,b,c € ??, chứng minh rằng

Trang 33

Bất đẳng thức Cơsi ~ 31 Hướng dẫn c\* c\4 a+b+ +5 , 1 P=at+b+ (5) +(5) > 4 _—— TT =a(a+b+c)' 3 Giải phương trình 2z“+(1— 2z)” = — Hướng dẫn Ta cĩ „ — „N4 dot + (1 ~ 22) = at bat + (1-22) 3 3( S222 =) 3 Ị Phuong trinh ding khivachikhi z = 1— 2z ©@z = 4 Giải phương trình #z+ 2—z= (a+ Hướng dẫn Điều kiện 0 < z < 2

Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng

Sp ETE + ITE = fe 222-9) + Gane sử dụng bất đẳng thức a+ e+ Vex ee ee 4 c+ 2a 3 3 3 Ta suy ra 2 + — —#)+2r WtvE+VE=z< (12, (7123 2/8 + r

Trang 34

32 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hing,dNguyén-Ngoc Thang Hướng dẫn DU it i, ` vã ` vũ — ° Dot oO NS Lo 16 vĩ+ v§+ V|š + Vệ » _ Tổ _ 8 Tà tí a+b+c VWa+b+c 1 6 Với a, b,c > 0, chứng minh rằng 118 64 a2 b3 c2“ (a+b+e)? Hướng dẫn 11,11 11 17 1 abt ET 2 2 Es 44 >4 eR oa" Op | 2 2 4 ) 16 2 >4 CN (đpcm )

7 Với a,b,c > 0,a + b+ c= 1, chứng minh rằng

Trang 35

Bất đắng thức Cơsi ~ 33 3 V6i a,b,c > 0, chứng minh rằng 1 1 1 9(at +448) (= 4+ +=) > (a +25) +104 20)? + (e+ 2a)® (1.3.4) Huong dan Ta cĩ a4 — + ba? > 2a?, b b4 — + cb? > 20° C 4 — + ac? > 2c3 a Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được 4 Cc +—2a+h +e > b4 = (a+b+c)%, a‘ + 1 b 9 suy ra (cho b = c) 4 4 eyes 5 a col re (a + 2b)? Tuong tu b œ -rẻ + b 2 (b+ 2e)Ÿ, c a1 ~+@+— 3 (c + 2a)Ÿ Cc Ole tO|r¬

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức cuối ta thu được (1.3.4)

Trang 36

34 Nguyên Vũ Lương, Pham Van HungeINguyen Ngoc inang Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh 10.Với ø.b, c > 0, chứng minh rằng va + vb+ V2e < 2V2a +6 + 2e + V2b + 4c V8 + V8 + Võ+ VÕ <4\| 2P E5 E#

11.V6i a, b,c > 0, ching minh rang

va + 3b + Va + 3e + V2a +b+c > 9(Va + Vb + Vo) Hướng dẫn Ta cĩ Hướng dẫn Ta cĩ Va+3Vb< 4 — 2Va + 3b, Vat 3 /e < 2a + 8c, 2a +b-

2Va + vb+ W@e< 4 — = 2V2a+b+‹c

Trang 37

Bất đẳng thức Cési ~ 35 Tương tự 1 3 8 + 2 , Vb Vc” vwb+äc 1 3 8 + 2

Joe Va” wc+3a

Trang 38

36 Nguyén Vi Luong, Pham Van Hing,» guyén Ngoc Thang 4 Dang cong mau sé 1 HT ¬ Chúng ta gọi bất đẳng thức » Po È Gai CO > OF = 1.0 là bát _ a; Dol q; đẳng thức dang cộng mẫu số

Bất đẳng thức cộng mẫu số là một bất đẳng thức rất đơn giản nhưng thường

được sử dụng ở các bước biến đổi trung gian Ta chứng minh bất đăng thức

đạng này ở hài tốn sau

Ví dụ 1 Với a;(¿ = 1.) là các số thực dương, chứng minh rằng

Dau dang thifc xay ra khi va chi khi a; = a) = = Gp Giai Ta cĩ yin ai SN (Te a) ” , đấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Qa; =aQgQ=— = Qn 1 Sel +» «(Th =I ch dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Qa; Qa; = agq>— = Qn

(Ea)(Et) eek lasts i=] =| i=]

dấu đẳng thitc xdy ra khi va chi khi a) = = = an (dpem)

Trang 40

Nguyén Vi Luong, Pham Van Hingeyvgu, - 8 <2 c+- 1 1 b+c—” (; T *) 4 € -) <{-+-] c+a C a ng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần ứng minh í dụ 6 Với a b, c > 0, chứng minh rằng a+3c c+3a 4b + + >6 a+b b+c c+a _ Giải -

Để giải bài tập khĩ này chúng ta cần trình bày phương pháp xây dựng cách

giải như sau: |

Tim a, @ sao cho

Định dạng
Số trang	122
Dung lượng	3,44 MB