các bài tập về bất đẳng thức

Chứng minh rằng nữa chi vi của tam giác lớn hơn độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.. Một khách hàng đến một của hàng bán hoa quả mua 2 kg cam đã yêu cầu cân hai lần.. Lần đầu, người bán hàn

Bài tập cơ bản.

Câu 1 Chứng minh rằng, nếu a>b và ab> 0 thì: 1 1

a b.

Câu 2 Chứng minh rằng nữa chi vi của tam giác lớn hơn độ dài mỗi cạnh của tam giác đó

Câu 3 Chứng minh rằng: 2a b2c2ab ac bc  với mọi a, b, c

Câu 4 Hãy so sánh các kết quả sau:

a 2000 2005 và 2002 2003

b a 2 a4 và a a6;(a0)

Câu 5 Chứng minh rằng, nếu a> 0, b> 0 thì:1 1 4

a b a b Câu 6 Chứng minh rằng, nếu a0,b0 thì 3a b3ab a b(  ) đẳng thức sảy ra khi nào

Câu 7

a) Chứng minh rằng: 2a ab b 2 0 với mọi số thực a, b

b Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tuỳ ý ta có: 4a b4 a b b a3  3

Câu 8 Chứng minh rằng với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì:

a b c 2(ab bc ca  )

Câu 9 Chứng minh rằng, nếu a0;b0 thì:

a b a b a b

 Câu 10

a Chứng minh rằng, nếu x y 0 thì

x  y

b Chứng minh rằng với hai số tuỳ ý a và b ta có: | | | | | |

1 | | 1 | | 1 | |



Câu 11 Chứng minh rằng:

a Nếu a, b là hai số cùng dấu thì: a b 2

b a 

b Nếu a, b là hai số trái dấu: a b 2

b a 

Câu 12 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) (f x  x3)(5 x) với   3 x 5

Câu 13 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( ) 2

1

f x x

x

 

 với x > 1 Câu 14 Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương thì:

3

abc

b  c  a 

Câu 15 Một khách hàng đến một của hàng bán hoa quả mua 2 kg cam đã yêu cầu cân hai lần Lần đầu, người bán hàng đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên phải và đặt cam lên đĩa bên

trái cho đến khi cân thăng bằng và lần sau đặt quả cân một kg lên đĩa cân bên trái và đặt cam bên đĩa bên phải cho đến khi cân thẳng bằng Nếu cái cân đó không chính xác(do hai cánh tay đòn dài ngắn khác nhau) nhưng quả cân đúng bằng 1kg thì khách hàng đó có mua đúng được 2kg không

Câu 16 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

a 1 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4   n n( 1)

b 12 12 12 12 2

1 2 3  n 

Câu 17 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 4

A x   x

Câu 18 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có:

(a b c  ) 3(a b c )

Câu 19 Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là 4 số không âm thì: 4

4

a b c d

abcd

  



Câu 20 Chứng minh rằng:

a Nếu 2x y2 1 thì |x y | 2

b Nếu 4x -3y = 15 thì 2x y2 9

Chuyên đề 1 Chứng minh bất đẳng thức bằng cách dùng

định nghĩa

Câu 1 Cho a, b, c là ba số thực CMR:

a 2a b2c2 ab ac bc 

b (ab bc ca  )23abc a b c(   )

Câu 2 Chứng minh rằng:

(ax+by) (a b )(x y ),x y a b R, , , 

Câu 3 Cho a b x y ,  CMR:

ax+by

a b x y

   

Câu 4 Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác và S là diện tích:

1 Chứng minh rằng: 16S22(a b2 2b c2 2c a2 2) ( a4b4c4)

2 Từ đó suy ra: 4a b4c416S2

Câu 5 Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC, r và R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác Chứng minh rằng:

1 abc ( a b c a b c a b c  )(   )(   )

2 R2r

Câu 6 Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng:

1 3a b3ab a b(  )

2 3 13 3 31 3 13 abc1

a b abc b c abc c a abc 

Câu 7 Cho a, b, c 1. Hãy chứng minh rằng:

1 1 2 1 2 1 2

1a 1b  ab

2 11a3 11b311c3 1 3abc

Câu 8 Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi Hãy chứng minh:

p a  p b c

Câu 9.Cho a + b = 2 Hãy chứng minh:

1/ 2a b2 2

2/ 4a b4 2

Câu 10 Cho a b c  0 Hãy chứng minh:

1/ 3a b3c33abc(a b c a  )( 2b2c2 ab bc ca  )

2/ 3 3 3 3

0

a b c

  



 

Câu 11 Cho , ,2 20

2 1

x y z









Hãy chứng minh:

1/ (1 2) 2

3 3

x  x 

2/ 2x 2 2 y 2 2 z 2 3 32

y z  z x  x y 

Câu 12 Hãy chứng minh rằng:

1/ a2b2  c2d2  (a c )2(b d )2

2/ 4 os osc 2x c 2ysin (2 x y ) 4sin sin2x 2ysin (2 x y ) 2

Câu 13 Cho a, b, c> 0 thoã mãn: ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng:

1/ 3(b22a2) ( b2 )a 2

2/ b2 2a2 c2 2b2 a2 2c2 3

Câu 14 Cho x, y>0 và 3x y3 1 CMR:

2 2 2

x y 

Câu 15 Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác a b c  CMR:

2 (a b c  ) 9bc

Câu 16 Giải hệ phương trình: 4 4 1

1

x y



 

 Câu 17 Cho a b 2 CMR:

a b a b

Câu 18 Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 16

2

x

x x

    

với mọi x > 0 Câu 19 Cho ABC là độ dài 3 cạnh của một tam giác và S là diện tích Hãy CMR:

b ab bc cb S

Câu 20 Cho a, b, c > 0 CMR:

1

8

Câu 20 Cho ,a b  CMR:0

a (a b a )( 3b3)(a5b5) 4( a9b9)

b 16(a5b5) ( a b )5

đẳng thức côsi

Câu 1 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1

CMR: 1 1 1 1 1 1 64

     

     

     

Câu 2 Giải phương trình:

x y z    x  y  z

Câu 3 Chứng minh rằng:

3 3 )(1 )(1 )(1 ) (1 ) ; , , 0

b

Với A, B, C là ba góc của một tam giác

Câu 4 Cho 2 n số dương

( , 2) : ,1 2 3, , ,1 2 3,

:

( 1 1)( 2 2)( 3 3) ( ) 1 2 1 2

CMR

n a b a b a b a n b n n a a a n n b b b n

Câu 5 Chứng minh rằng:

1 1 1

, , 0

a x y z

x y z

a b c b

a b c





  



Câu 6 Cho a, b, c > thoã mãn:

3

1 :

81

CMR abcd

 Câu 7 Cho a, b, c >0 CMR:

a b c abc

 

Câu 8 Cho a, b, c > 0 CMR:

a b c a bc b ac c ca

Câu 9 Cho: x,y>0

x+y=1





 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P

   



Câu 10 Cho ,a b  Chứng minh rằng:0

a b b a ab

Câu 11 Cho , ,a b c  và a + b + c = 1 CMR:0

8 ( )( )( )

729

P abc a b b c c a    

Câu 12 Cho a, b, c > 0 thoã mãn: a + b + c = 4 CMR:

 3 (a b b c c a )(  )(  ) abc

Câu 13 Cho a c 0,b c 0

CMR: c a c(  ) c b c(  ) ab

Câu 14 Cho a, b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2

S

Câu 15 Cho |x|,|y| <1 CMR: 1 2 1 2 1 2

1 x 1 x   xy

Câu 16 Gọi r và ra lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giác ABC (a =BC) CMR:

2

4

a

r ra 

Câu 17 Cho a, b> 0 và a + b = 1 CMR:

6

2 2

ab a b 

Câu 18 Cho x, y, z > 0 thoã mãn: 1 1 1 2

1x1y1z 

Tìm giá trị lớn nhất của P =xyz

Câu 19 Cho hai số dương a, b thoã mãn: a b 1

x y  với x, y > 0 Tìm x, y để: S = x + y

nhỏ nhất ( tính theo a, b)

Câu 20 Cho tam giác ABC Gọi ma, mb, mc lần lượt là 3 trung tuyến của tam giác xuất phát từ A, B, C CMR:

a) a b c 2 3

m a m b m c 

2

m a m b m c

a  b  c 

Câu 21 Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC CMR:

b c a c a b a b c        

b) 1 1 1 3

2

a b c   Rr

Câu 22 Cho abc 0 CMR:

     

     

     

Câu 23 Cho 3

, , 0

x y z

x y z

  









CMR:

1x1y1z 2

Câu 24 Cho n Z n , 2 CMR:

1 n n 1 n n 2

Câu 24 Cho dãy số dương {a }n và (1 a a) 1 41;  n N

Tìm lim n ?

n

a 

 

Câu 25 Đặt a n 1 1 n,n N

n

   

CMR: a n1a n

Câu 26 Cho

a,b,c>0

abc=1

CMR







Câu 27 Cho

, 0

6

2 (4 ) 4

x y

CMR

x y







 



  

Câu 28 Cho a, b, c, d >0 CMR:

b c d  a a b c d

Câu 29 Cho a, b, c, d > 0 CMR:

a b b c c a      b c  c a  a b Câu 30 Cho: x,y,z>0

x+y+z=1





 Tìm giá trị lớn nhất của:

P

Câu 31 Cho

1 4 2 3

a b c d

















 



CMR: 4 ( 1)( 4)( 2)( 3) 1

4

a b c d



   Câu 32 Cho a, b, c > 0 CMR:

4a4b4c2a b c  2b c a  2c a b  Câu 33 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR:

a) 1 a 1 b 1 c 8

     

     

     

b) 2 2 2 3

a b c 

Câu 34 Cho , , , 0

1

a b c d abcd









1

5

a b c d

a b c d

   Câu 35 Tìm giá trị nhỏ nhất của

1

2

5

x

x

Câu 36 Tìm giá trị nhỏ nhất lớn nhất của:

2

) os (1 sinx)

3

b)y=sin (1 osx)

a y c x



Câu 37 Cho a, b, c> 0 CMR:

) 2 3 6 (6 ) (6 )

)( )( )( )( ) 16

b a b b c c d d a abcd

Câu 38 Cho a b  10,P 1 a41b4

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

b) Cho thêm điều kiện ab 0 Tìm giá trị lớn nhất của P

Câu 39 Cho a2,y3,z4 Tìm giá trị lớn nhất của:

)

yz x-2 y-3 y z-4

)

a M

xy

b N

xyz





Câu 40 Cho a, b, c > 0 CMR:

2

a b b c c a

 

Câu 41 Chjo tam giác ABC Ha, hb, hc là ba đường cao của tam giác CMR: a) h h a bh h b ch h c a p2

1 2 osA+4cosAcosB 1 2 osB+4cosBcosC 1 2 osC+4cosCcosA c   c   c 

Câu 42 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c có a + b + c = 2 CMR:

52

2 2 2 2

27

a b c  abc

Câu 43 Cho x, y, z > 0 CMR:

x y y z z x x   y z

Câu 44 Cho a, b >0 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

( )( )

, 0

x a x b

x

Câu 45 Cho a1, a2,…, an > 0.( n Z n , 2) CMR:

a

n

(Thêm điều kiện a1 + a2 +a3 + ….+ an =1)

Câu 46 Cho n Z n , 2 CMR:

1

n

Câu 47 CMR: 1, 0

2

a

a   a

Câu 48 Cho a, b, c, d > 0 CMR:

2

b c d c d a d  a b a  b c 

Câu 49 Cho dãy số thoã mãn: x0 2000

2 2 1 2001 0,

 







 Tìm limx n

n 

Chủ đề 4 CMR BẤT ĐẲNG ĐẲNG THỨC

BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC BCS

Câu 1 a) Cho x, y thoã mãn: x 1  y2 y 1  x2  1

CMR: x2y2  1

b) Từ đẳng thức hai có suy ra được đẳng thức một không

Câu 2 Cho x, y, z >0 và x + y + z = 1 thì : 111 9

z y x

Câu 3 Cho: 2 2 2 2 13; :1 , , 2

7

























d c b CMR d c b a

d c b a

Câu 4 Cho a, b, c > 0 CMR:

2

2 2

b a

c a c

b c b













Câu 5.Cho a2b2  1 CMR: a b 1 b a 1  2  2

Câu 6 Cho: 









 3 0 , ,

c b a c b a

a Tìm giá trị lớn nhất của: 2

1 2 1 2

c b

b a

a A













b Tìm giá trị nhỏ nhất của:

c b a

B













1

1 1

1 1

1

Câu 7 Cho: 













2 ,

3

n Z n

n a a

a

CMR:

2 1

3

2

2









n n a

a

Câu 8 Chứng minh rằng nếu phương trình:

0 1 2

3

x (1) có nghiệm thì:

3

4 2 2

a

Câu 9 Chứng minh rằng nếu phương trình: x4ax3bx2ax 1  0 có nghiệm thì:

5

4 2

a

Câu 10  ,  ,   0 là 3 nghiệm của phương trình:

0 2

2

81

2 3 7 7 7

a

c b









Câu 11 Cho a, y, z > 0 và xyz=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

) ( 3

1 )

( 3

1 )

( 3

1

y x z x z y z y x

M













Câu 12 Cho a, b, c, d > 0 CMR:  2













d a d

c d c

b c b a

Câu 13 Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC, S là diện tích:

Nếu p, q, r >0 thì: c S

q p

r b p r

q a r q













Câu 14 Cho a, b, c > 0 CMR:

c b a

ca bc ab b

ab a

c a

ca c

b c

bc

b

a



























) (

3 2 2

3 2

2

3 2

2

3

Câu 15 Cho x, y, z > 0 thoã mãn: xy yz zx  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

x z

z z y

y

y

x

x

T













2 2

2

Câu 16 Cho: 









 1 0 , ,

c b a c b a

CMR

3

1 33

2 1 2

1 2

1





















































c

c b

b a

a

P

Câu 17 Cho a, b, c là hằng số dương thoã mãn:   (x,y,z  0 )

z

c y

b x a

Tìm giá trị nhỏ nhất của Sx3y3z3

Câu 18 Cho a, b, c > 0 thoã mãn a + b + c =1 CMR:

30 1 1 1 2 2 2

1















bc ac ab c b a

P

Câu 19.Cho x,y, z > 0.CMR:

) (

3 2 2

2 2

2

2 xy y y yz z z zx x x y z

Câu 20 Cho x,y thoã mãn: x2y2 x 1 y2 y 1 x2 CMR:

5 4

3x y

Câu 21 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn M là một điểm nằm trong tam giác Gọi x, y,z

là khoảng cách từ M đến BC, CA, AB CMR:

c b a z y x

2

2 2

2 







Câu 22 Cho x, y, z >0 và x + y + z = 1 CMR:

82 2

1 2 2

1 2 2

1

z

z y

y x

x

Câu 23 Cho hai dãy số dương a1, a2,…an và b1, b2, bn CMR:

n b

b

n a

a n

n b

a

b

a





















2 1

2 )

2 1 (

2

2

2 2 1

2

1

Câu 24 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:

x x

x

f( )  3  1  4 5 

Câu 25 Cho x2y2  2 (x,y 0 ) Tìm giá trị lớn nhất của

P=xy(x + y)

Câu 26 Cho hai số thoã mãn a + b = 2 CMR: a4b4 2

Câu 27 Cho a, b, c là 3 số dương và a2 b2c2  1 CMR:

2 1 3 3 3















b a

c a c

b c b

a

S

Câu 28 cho a, b, c R CMR:

2

2 3 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 (

2  b  b   c  c   a 

a

Câu 29 Cho a, b, c và asinx + bcosy = c CMR:

3 3

2 1 1 2 sin 2

cos

b a

c b a b

y a

x











Câu 30 Cho x, y, z và x(x-1) + y(y-1) + z(z-1)

3

4



CMR: xyz 4

Câu 31 Cho 3x – 5y = 7 CMR:

34

49 2

x

Câu 32 Cho 6x + y = 5 CMR: 9x2y2  5

Câu 33 Cho 4a2 b2  1 CMR: ( 6ab)2  10

Câu 34 Cho a, b, c > 0 CMR:

a

c c

b b

a a

c c

b b

a











2

2 2

2 2 2

Câu 35 Cho a, b thoã mãn: 3a – 4b = 7 CMR:

7 2 4 2

Câu 36 Cho hai số a, b thoã mãn: 2a – 3b = 7 CMR:

47

725 2 5 2

Câu 37 Cho xy + yz + zx = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của: Ax4y4z4 Câu 38 Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:

4

3 1 1

z y

y x

x

Câu 39 Trong tất cả các nghiệm x ,y của phương trình: 2x + 3y =1 Hãy chỉ ra nghiệm có tổng P=3x22y2 nhỏ nhất

Câu 40 Cho x, y, z > 0 CMR:

2 ) 2 2 2 ( 2 2 2

z y x y x z x z y z

y

x











Câu 41 Cho a, b, c > 0 CMR:

1 1

1

c b a c b a c b













Câu 42 Cho a, b > 0 và a +b =1 CMR:

2 25 2 1 2

1

































b

b a

a

Câu 43 Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác CMR:

1 2

2 2

2 2

c b

a c

b a

c b

a

Câu 44 Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác CMR:

1 2 2

2

















c b a c

b a c

b

a

Câu 45 Cho a, b, c, d > 0 CMR:

2















d a d

c d c

b c

b

a

Câu 46 Cho a, b, c CMR:

a

c c

b b

a a

c c

b

b

a











2

2 2

2 2

2

Câu 47 Cho x, y >0 và x2y2  1 Tìm giá trị lớn nhất của:

xy y x

P  (  )

Câu 48 CMR nếu phương trình: x4ax3bx2cx 1  0 có nghiệm thì:

3

4 2 2

a

Câu 49 Cho a, b, c > 0 và asinx + bcosy=c CMR:

3 3

2 1 1 2 sin 2

cos

b a

c b a b

y a

x











Câu 50 CMR nếu a, b, c> 1:

) 1 ( 1 1

a

Câu 51, Cho a, b, c > 0 CMR:

ca bc ab a

c c

b

b

a











3 3 3

Câu 52 Cho a2b2 1 CMR:

2 2 1

b

a

Câu 53 ho 4 số dương a, b, c, d sao cho a + b >c + d CMR:

b a

a d c b a

c a d

c

c

















2 2

) ( 2