các bài tập về bất đẳng thức 3 biến xyz

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT P=f(x,y,z) với x,y,z thuộc D Bài 1 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm maxP ,

P

HD :

Ta có :

2

3 2

PP x  y z 

Bài 2 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1, Tìm MaxP , P yz zx xy

HD :

1 3

3 2

PP x  y z 

Bài 3 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , 21 2 21 2 21 2

P

HD: đặt x b,y c,z a

a

1

2

PP x    y z

Bài 4 : Cho x,y,z> 0 , x+y+z+2=xyz , Tìm MinP , P 1 1 1

  

HD : đặt 1 , 1 , 1

   , x+y+z+2=xyz => a+b+c=1

2

P

min ( 2) 3

2

PP x  y z 

Bài 5 Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tim minP , P x2 y2 z2

  

  

HD : y z a z,  y b x,   => a+b+c=2 y c

2

a

a

     

Ta có : 1 1 1 9 9

2

a  b c a b c 

  =>

2

P

   

  

1 1

3 2

PP x  y z 

Bài 6 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MinP , P (1 1)(1 1)(1 1)

HD : P (1 1)(1 1)(1 1)

    =(x 1)(y 1)(z 1)

x     1 x x y z 44 x yz2

y     1 x y y z 44 xy z2

2 4

z     x y z z xyz

64

64

xyz P

xyz

1

3

PP x  y z 

Bài 7 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP ,

P

P

 

      

      

3

P

1 3

3 4

PP x  y z 

Bài 8 : Cho x,y,z>0 , 3

4

x   , Tìm MaxP , y z P3 x3y3 y3z3 z3x

x y        

4

PP x  y z 

Bài 9 : Cho x+y+z=0 , Tìm MinP , 3 4x 3 4y 3 4z

HD: Ta có 3 4 4 44 2 24 6 23 4 6

P

 

minPP x(   y z 0) 6

Bài 10 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=4xyz , Tìm MaxP , 1 1 1

P

HD : ta có xy+yz+zx=4xyz => 1 1 1 4

x   y z

1

P

3

4

PP x  y z 

Bài 11 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , 3 13 3 13 3 13

P

HD : Ta có x3y3 (xy x)( 2xyy2) ( xy)(2xyxy)xy x( y)

=> x3y3 1 xy x( y)xyzxy x(   => y z) 3 13 1

z

1

z P

  , maxPP x(     y z 1) 1

Bài 12: Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP , P 21 2 x2 y2 2 21 z2 y2 2 21 x2 z2

HD:

 

3 3

3 3 3

P

 

    

( 1) 3 3

MinPP x   y z

Bài 13 : Cho x,y,z >0, xyz=1 Tìm MaxP , 2 2 1 2 2 1 2 2 1

P

HD : Ta có x2y2 1 xy  => x y 3x2y2 1 x2y2 1 2(xy x y) ( x y 1)2

=> 2 2 1 3

  

   3 3

P

  Áp dụng , bài 11 , P3

maxPP x(     y z 1) 3

Bài 14 : Cho x,y,z>0 , 2 12 2 12 2 12 1

      , Tìm MaxP , P xy yz zx  

1 2 ( ) 1 1 1

1 ( )

z



        

   

=>

1

  

       

=> (x y z)2  6 x2y2 z2

=> Pxyyzzx 3

=> maxPP x(     y z 1) 3

Bài 15: Cho x y z, , 1,  x  y z 2xyz ,

P

HD: Biến đổi

 

3

2 3

P

xyz



Ta có , , 1, x y z x  y z 2xyz , khi đó :

x  y z 2xyz2z2 (z xy  , 1) 0 x  y z 2xyz2y2 (y xz  , 1) 0

xyz   x y z  x y z xy  xyz xy

=>

 

3

3 2

3

4

P

xyz

max ( ) 4

2

PP x  y z 

Bài 16 : Cho x,y,z>0, xy+yz+zx=1 , Tìm minP ,

        

HD : Biến đổi 2 2 2

2 x y z

Mà : x y z 3

y   z x

2 2 2

Nên 8 8 12 12 12 8 8 1 1 1 8 8 16

P

 

1

3

MinPP x  y z 

Bài 17: Cho x,y,z>0 , Tìm MaxP , 2 2 2 2 2 2

P

HD :

P

y

x

1 9 1

P

  

=> max ( ) 1

2

Bài 18 : Cho x,y,z> 0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP ,

P

HD :

2

3

 2 2  9 2



=> max ( 1) 1

3 9

PP x  y z 

Bài 19: Cho x,y,z>0 , Tìm maxP ,

3

P

=> z3 4x34y3    => z x y

P

 

maxPP x(  y z) 2

Bài 20 : cho x,y,z  0 , Tim minP , P x y z

HD : Ta có x y z 2 x y( z) x 2x

2

2

P

  => MinPP x(  y 1,z0) 2

Bài 21 : Cho x, y, z  0 thỏa mãn: x + y + z = 1 Tìm minP,

HD :

Ta có Đặt t = xy+yz+zx

 1 = (x+y+z)2 ≥ 3(xy+yz+zx)=3t, x2 + y2 + z2 = 1 – 2t và 0 1

3

t

 

3 x y y z z x (xyyzzx)  t

 M ≥ t2 3t 2 1 2 t  f t( )

f’(t) = 2 3 2

1 2

t

t

 



f ’’(t) =

3

2 2

(1 2 )t



 < 0, t 

1 0, 3

 

 

   f’(t) là hàm giảm

1 11

'( ) '( ) 2 3

f t  f   > 0  f tăng  f(t) ≥ f(0) = 2, t  0,1

3

 

 

  MinPP x(  y 1,z0) 2

Bài 22 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP , 3 3 3

P

        

HD :

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

P

     

Ta có

(1 )(1 ) 8 8 4

x

 

  

(1 )(1 ) 8 8 4

y

 

  

(1 )(1 ) 8 8 4

z

 

  

 

=> 1  3 33 3 3

P x   y z xyz 

3

4

MinPP x    y z

Bài 23 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=1 , Tìm MinP, P 1xy 1yz 1zx

HD :

P>0 , xét P2  3 xyyzzx2 (1xy)(1yz) (1yz)(1zx) (1zx)(1xy)

2 4 2  12

cyc

=>P 1xy 1yz 1zx 2 3 ,

1

3

PP x  y z 

Bài 24 : cho x,y,z >0 , x+y+z=1 , Tìm MinP, 2 2 2

 

2

2

2 3

3 (

(

 

              

 

     

2

,0

3 ( ), ( ) , '( ) 1 0

=> 3 ( ) 3 1 9 82

9

3

MinPP x  y z 

Bài 25 : Cho x,y,z>0 , x y z 3yz

x

   Tìm maxP ,

2

P

    

HD :

Ta có : x y zx 3 xy

Đặt a x y,b x z

  =>

          

        

4

a b   ab  a b  a b 

4

=> maxPP x(     y z 1) 5

Bài 26 : Cho x,y,z thuộc [0,1] , Tìm MaxP , P2(x3y3z3) ( x y2 y z2 z x2 )

HD: Ta có x y z, ,  0,1  (1 x2)(1y) (1 y2)(1  z) (1 z2)(1x) 0 ,

x3 x2 x y, 3  y2  y z, 3 z2  z

2(x y z ) (x y y z z x) 3

Bài 27 : Cho , , 1, 4

2

   và xyz=1 , Tìm maxP , Plog22 xlog22 ylog22z

HD : , , 1, 4

2

   => log ,log2x 2 y,log2 z  1, 2

Khi đó : log2x1 ( log  2x 2 log2 y1 ( log  2 y 2 log2z1 ( log  2z20,

log x  log y  log z  log xlog ylog z   6 0

Mà xyz=1 nên log2xlog2 ylog2 zlog2xyz 0

log log log 6

1

2

Bài 28 : cho x,y,z>0 , 3

2

x   , Tìm MinP, y z P xy 1 yz 1 zx 1

HD :

         

 

2

t  x y z   => t P f t( ) t 9, '( ) 1f t 92 0

6

P  

1 15

MinPP x  y z 

Bài 29 : Cho x,y,z>1 x+y+z= 6 , Tìm maxP ,

P

HD : Đặt 1,a x b y 1,c  => a+b+c=3 z 1

Khi đó : P a 1 b 1 c 1

a b c

 

MinPP x  y z 

Bài 30 : Cho x,y,z>0, xyz=1 , Tìm MinP , 1 1 1

(1 ) (1 ) (1 )

P

HD : Ta có 1 1 1 0

1

1 1

y

x

    

  

   

(1 ) (1 ) 1 1

=> 1 1 1

(1 ) (1 ) 1 1

y

(1 ) (1 ) (1 )

P

3 2

3

2

MinPP x    y z

Bài 31 : Cho x,y,z thuộc R , xyz=1 , Tìm MinP ,

( 1) ( 1) ( 1)

P

  

  

Khi đó abc=(a-1)(b-1)(c-1) => a+b+c-1= ab+bc+ca

Pa2b2c2 (a b c  )22(ab bc ca) ( a b c  )22((a b c   ) 1)

=> P(a b c  1)2  1 1

Bài 32 : Cho 1 1 à , 1

P

HD : Ta có 1 1 2

1 y1 z 1 yz

   =>

1 1 1 1

yz P

   

   

Đặt 1 t yz 1 2

x

Khi đó :

2 2

t

=> min ( 1, 2, 2) 22