Đang tải... (xem toàn văn)
cac bai tap ve bat dang thuc cuc hay 1376 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...
NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882 2 2 2 a b c 3+ + = CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT Bài 1 . Cho a,b,c dương và a+b+c=1 .Chứng minh rằng : ( ) 3 2 2 2 a b c 10 abc c a b 9 a b c + + + ≥ + + Bài 2 . Cho a,b,c dương thoả mãn : a+b+c=abc . Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 a b c + + + + + ≥ Bài 3 . Cho 3 sè d−¬ng a,b,c tho¶ mn : 9a b c+ + = Chøng minh r»ng: ( ) 2 2 2 7 7 7 7 3 3 1 1 1 6 2 a b c a b c b c a + + + + + ≥ + + + Bài 4. Cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 a b c 2abc a b c b c c a a b + + < + + + + + Bài 5. Cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng : ( ) 3 a b c a b c 2 b c c a a b + + + + ≥ + + + Bài 6. Cho a,b,c là các số dương thoả mãn : Tìm giá trị nhỏ nhất của 5 5 5 4 4 4 3 2 3 2 3 2 a b c a b c b c c a a b + + + + + + + + Bài 7. Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c=1 , chứng minh rằng : 1 1 30 1 2(ab bc ca) abc + ≥ − + + Bài 8. Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 a b c b c a b c c a a b b c c a a b + + ≥ + + + + + + + + Bài 9. Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [0;1], tìm giá trị lớn nhất của : P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) Bài 10. Cho a,b,c là các số thực khác 0 , chứng minh rằng : NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 3 5 a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + Bài 11. Cho a,b,c là các số dương và ab+bc+ca=1 . Chưng minh rằng : 3 3 3 1 1 1 1 6b 6c 6a a b c abc + + + + + ≤ Bài 12. Cho x,y,z dương , chứng minh rằng : ( ) 2 3 3 3 2 2 2 1 6 3 x y z x y z x y z + ≥ + + + + + + Bài 13. Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng : 2 2 2 a b c 3 2 ab b bc c ca a + + ≥ + + + Bài 14. Cho x,y,z là các số dương thoả mãn 3 x y z 2 + + ≤ , tìm giá trị nhỏ nhất của : 2 2 2 1 1 1 M x y z x y z = + + + + + Bài 15. Cho a,b,c dương và a+b+c=1 , chứng minh rằng : 2 2 2 a abc b abc c abc 1 c ab a bc b ac 2 abc + + + + + ≤ + + + Bài 16. Cho a,b,c dương chứng minh rằng : 3 2 3 2 3 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 a b b c c a 2 a b c + + ≤ + + + + + Bài 17. Cho a,b,c là các số dương và abc=1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a, 2 2 2 2 2 2 bc ca ab A a b a c b a b c c b c a = + + + + + b, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 bc ca ab B a b a c b a b c c b c a = + + + + + Bài 18. Cho a,b dương chứng minh rằng : 3 3 3 3 1 a 1 a b b a b a b + + ≥ + + NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882 Bài 20. Cho a,b,c thoả mãn : a+b+c=1 , chứng minh rằng : a b c a b c 1 1 1 a b c 3 3 3 3 3 3 3 + + ≥ + + Bài 21. Cho tam giac ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 4 6 1 tg A 2 64sin B 4 2 M tg A 12sin B + + = + Bài 22. Cho x,y dương thoả mãn x+y ≥4 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2 3x 4 2 y A 4x y + + = + Bài 23. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . chứng minh rằng : a b c b c a c a b a b c+ − + Onthionline.net Giải phương trình : x = − x − x + − x − x + − x − x Giải phương trình : x2 − 3x + 1= − x + x2 + Giải phương trình x − x − = x + V x + y - 3x + y = - Giải hệ phương trình x +y + x – y = a2 + b2 = a + b Biết số a,b,c,d thoả mãn: 2 c + d + c + d = Chứng minh: ( a − c ) + ( b − d ) ≤ 2 Giải bất phương trình 3x − + x+2 ≥ (3 x − 2)( x + 2) Giả sử x,y số dương thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ tổng x+y với x > x2 Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện : 2y ≥ x2 ; y ≤ -2x2 + 3x Chứng minh : x + y2 ≤ Cho a, b, c, d > chứng minh Tìm giá trị nhỏ hàm số : y = x + 1 1 a b2 c5 d + + + ≥ + + + / a b c d b c d a Giải phương trình x + = 23 x − Chứng minh với a,b> ta có: a5+b5 ≥ a4b + ab4 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm Vũ Thị Nhung Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lý luận và PP giảng dạy; Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn: TS. Phạm Văn Quốc Năm bảo vệ: 2012 Abstract: Nghiên cứu hoạt động tư duy của học sinh trong quá trình giải bài tập về bất đẳng thức, từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng tiến trình luận giải, làm cơ sở cho việc tìm kiếm lời giải một cách có hiệu quả. Phân loại và xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó. Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm đã được phân loại và xây dựng để rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình tìm kiếm lời giải. Đối chiếu kết quả thực nghiệm với kết quả điều tra ban đầu, rút ra kết luận về khả năng áp dụng hệ thống bài tập đã đề xuất. Keywords: Toán học; Phương pháp dạy học; Tư duy sáng tạo; Bài tập; Bất đẳng thức; Đạo hàm Content MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhân loại đang bước vào thế kỷ XXI, thế kỷ tri thức, kỹ năng của con người được xem là yếu tố quyết định sự phát triển của xã hội. Trong xã hội tương lai, nền giáo dục phải đào tạo ra những con người có trí tuệ, thông minh và sáng tạo. Muốn có được điều này, ngay từ bây giờ nhà trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn Việt Nam và rèn luyện cho họ năng lực tư duy sáng tạo. Trong chương trình toán THPT phần nội dung kiến thức “bất đẳng thức” là một nội dung khó đối với cả giáo viên và học sinh . Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức là một trong những phương pháp hay, đơn giản trong khi việc sử dụng các phương pháp khác có thể gặp khó khăn. Với các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức đƣợc giải bằng đạo hàm”. 2. Lịch sử nghiên cứu Đã có rất nhiều tài liệu nghiên cứu về việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học các bộ môn, công trình nghiên cứu và lý thuyết đạo hàm hoàn thiện, ứng dụng của đạo hàm ở Việt Nam Tuy nhiên, chưa có nhiều cuốn sách đề cập đến bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm một cách hệ thống. 3. Mục tiêu nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo. - Phân loại, xây dựng hệ thống các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó. Trên cơ sở đó, rèn luyện sáng tạo cho học sinh 4. Vấn đề nghiên cứu - Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học Ôn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị VẤN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN–MAX CỦA BIỂU THỨC Bài 1: ∀ x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx , b) x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3 ≥ 2 (x + y + z) Giải:a) Ta xét hiệu x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = 2 1 .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx) = 2 1 [ ] 0)()()( 222 ≥−+−+− zyzxyx đúng với mọi x;y;z R∈ Vì (x-y) 2 ≥ 0 với∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z) 2 ≥ 0 với∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z, (y-z) 2 ≥ 0 với∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệux 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz )= x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) 2 0≥ đúng với mọi x;y;z R∈ Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R∈ Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Xét hiệu x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2 ≥ 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Bài 2: chứng minh rằng : a) 2 22 22 + ≥ + baba b) 2 222 33 ++ ≥ ++ cbacba Giảia) Ta xét hiệu 2 22 22 + − + baba = ( ) 4 2 4 2 2222 bababa ++ − + = ( ) abbaba 222 4 1 2222 −−−+ = ( ) 0 4 1 2 ≥− ba Vậy 2 22 22 + ≥ + baba Dấu bằng xảy ra khi a=b b)Ta xét hiệu 2 222 33 ++ − ++ cbacba = ( ) ( ) ( ) [ ] 0 9 1 222 ≥−+−+− accbba Vậy 2 222 33 ++ ≥ ++ cbacba Dấu bằng xảy ra khi a = b =c Bài 3: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng a) ab b a ≥+ 4 2 2 b) baabba ++≥++ 1 22 c) ( ) edcbaedcba +++≥++++ 22222 Toán 9- Thandieu2 sưu tầm 1 Ôn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị Giải:a) ab b a ≥+ 4 2 2 abba 44 22 ≥+⇔ 044 22 ≥+−⇔ baa ( ) 02 2 ≥−⇔ ba (bất đẳng thức này luôn đúng) Vậy ab b a ≥+ 4 2 2 (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b) baabba ++≥++ 1 22 ) )(21(2 22 baabba ++>++⇔ 012122 2222 ≥+−++−++−⇔ bbaababa 0)1()1()( 222 ≥−+−+−⇔ baba Bất đẳng thức cuối đúng.Vậy baabba ++≥++ 1 22 Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c) ( ) edcbaedcba +++≥++++ 22222 ⇔ ( ) ( ) edcbaedcba +++≥++++ 44 22222 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 044444444 22222222 ≥+−++−++−++− cacadadacacababa ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 02222 2222 ≥−+−+−+− cadacaba Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Bài 4: Chứng minh rằng: ( )( ) ( )( ) 4488221010 babababa ++≥++ Giải: ( )( ) ( )( ) 4488221010 babababa ++≥++ ⇔ 128448121210221012 bbabaabbabaa +++≥+++ ⇔ ( ) ( ) 0 22822228 ≥−+− abbababa ⇔ a 2 b 2 (a 2 -b 2 )(a 6 -b 6 ) ≥ 0 ⇔ a 2 b 2 (a 2 -b 2 ) 2 (a 4 + a 2 b 2 +b 4 ) ≥ 0 Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 5: Cho x.y =1 và x.y Chứng minh yx yx − + 22 ≥ 22 Giải: yx yx − + 22 ≥ 22 vì :x 〉 y nên x- y 〉 0 ⇒ x 2 +y 2 ≥ 22 ( x-y) ⇒ x 2 +y 2 - 22 x+ 22 y ≥ 0 ⇔ x 2 +y 2 +2- 22 x+ 22 y -2 ≥ 0 ⇔ x 2 +y 2 +( 2 ) 2 - 22 x+ 22 y -2xy ≥ 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2 ⇒ (x-y- 2 ) 2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh • Sử dụng một số bất đẳng thức cổ điển thông dụng: Toán 9- Thandieu2 sưu tầm 2 Ôn thi vào 10 -Bài tập về Bất đẳng thức, cực trị a) xyyx 2 22 ≥+ b) xyyx ≥+ 22 dấu( = ) khi x = y = 0 c) ( ) xyyx 4 2 ≥+ d) 2 ≥+ a b b a 2)Bất đẳng thức Cauchy (Cosi): n n n aaaa n aaaa 321 321 ≥ ++++ Với 0> i a 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS) ( ) ( ) ( ) 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 2 nnnn xaxaxaxxaaa +++≥++++++ 4) Bất đẳng thức Trê- Bư-Sép: Nếu ≤≤ ≤≤ CBA cba ⇒ 3 . 33 CBAcbacCbBaA ++++ ≥ ++ Nếu ≥≥ ≤≤ CBA cba ⇒ 3 . 33 CBAcbacCbBaA ++++ ≤ ++ Dấu bằng xảy ra khi == == CBA cba Bài 6: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh Bài tập cơ bản. Câu 1. Chứng minh rằng, nếu a>b và ab> 0 thì: 1 1 a b < . Câu 2. Chứng minh rằng nữa chi vi của tam giác lớn hơn độ dài mỗi cạnh của tam giác đó. Câu 3 Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c ab ac bc+ + ≥ + + với mọi a, b, c Câu 4. Hãy so sánh các kết quả sau: a. 2000 2005+ và 2002 2003+ b. 2 4a a+ + + và 6;( 0)a a a+ + ≥ Câu 5. Chứng minh rằng, nếu a> 0, b> 0 thì: 1 1 4 a b a b + ≥ + . Câu 6. Chứng minh rằng, nếu 0, 0a b≥ ≥ thì 3 3 ( )a b ab a b+ ≥ + đẳng thức sảy ra khi nào Câu 7. a) Chứng minh rằng: 2 2 0a ab b+ + ≥ với mọi số thực a, b b. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tuỳ ý ta có: 4 4 3 3 a b a b b a+ ≥ + . Câu 8. Chứng minh rằng với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì: 2 2 2 a 2( )b c ab bc ca+ + < + + . Câu 9. Chứng minh rằng, nếu 0; 0a b≥ ≥ thì: 2 2 3 3 . 2 2 2 a b a b a b+ + + ≤ Câu 10. a. Chứng minh rằng, nếu 0x y≥ ≥ thì 1 1 x y x y ≥ + + b. Chứng minh rằng với hai số tuỳ ý a và b ta có: | | | | | | 1 | | 1 | | 1 | | a b a b a b a b − ≤ + + − + + Câu 11. Chứng minh rằng: a. Nếu a, b là hai số cùng dấu thì: 2 a b b a + ≥ b. Nếu a, b là hai số trái dấu: 2 a b b a + ≤ − Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) ( 3)(5 )f x x x= + − với 3 5x − ≤ ≤ Câu 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 ( ) 1 f x x x = + − với x > 1 Câu 14. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương thì: 4 4 4 3 a b c abc b c a + + ≥ Câu 15. Một khách hàng đến một của hàng bán hoa quả mua 2 kg cam đã yêu cầu cân hai lần. Lần đầu, người bán hàng đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên phải và đặt cam lên đĩa bên trái cho đến khi cân thăng bằng. và lần sau đặt quả cân một kg lên đĩa cân bên trái và đặt cam bên đĩa bên phải cho đến khi cân thẳng bằng. Nếu cái cân đó không chính xác(do hai cánh tay đòn dài ngắn khác nhau) nhưng quả cân đúng bằng 1kg thì khách hàng đó có mua đúng được 2kg không Câu 16 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: a. 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 ( 1)n n + + + + < + b. 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 3 n + + + + < Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 4A x x= − + − Câu 18. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có: 2 2 2 2 ( ) 3( )a b c a b c+ + ≤ + + Câu 19. Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là 4 số không âm thì: 4 4 a b c d abcd + + + ≥ ÷ Câu 20. Chứng minh rằng: a. Nếu 2 2 1x y+ = thì | | 2x y+ ≤ b. Nếu 4x -3y = 15 thì 2 2 9x y+ ≥ Chuyên đề 1. Chứng minh bất đẳng thức bằng cách dùng định nghĩa Câu 1. Cho a, b, c là ba số thực. CMR: a. 2 2 2 a b c ab ac bc+ + ≥ + + b. 2 ( ) 3 ( )ab bc ca abc a b c+ + ≥ + + Câu 2. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 (ax+by) ( )( ), , , ,a b x y x y a b R≤ + + ∀ ∈ Câu 3. Cho , .a b x y≥ ≥ CMR: ax+by 2 2 2 a b x y+ + ≥ ÷ ÷ Câu 4. Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác và S là diện tích: 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 16 2( ) ( )S a b b c c a a b c= + + − + + 2. Từ đó suy ra: 4 4 4 2 16a b c S+ + ≥ Câu 5. Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC, r và R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác. Chứng minh rằng: 1. ( )( )( )abc a b c a b c a b c≥ − + + − + + − 2. 2R r≥ Câu 6. Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng: 1. 3 3 ( )a b ab a b+ ≥ + 2. 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 abc a b abc b c abc c a abc + + ≤ + + + + + + Câu 7. Cho a, b, c 1.≥ Hãy chứng minh rằng: 1. 1 1 2 2 2 1 1 1 ab a b + ≥ + + + 2. 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b c + + ≥ + + + + Câu 8. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Hãy chứng minh: 1. 1 1 4 p a p b c + ≥ − − 2. 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c + + ≥ + + ÷ − − − Câu 9.Cho a + b = 2. Hãy chứng minh: 1/ 2 2 2a b+ ≥ 2/ 4 4 2a b+ ≥ Câu 10. Cho 0a b c+ + ≠ . Hãy chứng minh: 1/ 3 3 3 2 2 2 3 ( )( )a b c abc a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + + − − − 2/ 3 3 3 3 0 a b c abc a b c + + − ≥ + + Câu 11. Cho , , 0 2 2 2 1 x y z x y z > + + = . Hãy chứng minh: 1/ 2 2 (1 ) 3 3 x x− ≤ 2/ 3 3 2 2 2 2 2 2 2 x y z y z z x x y + + ≥ + + + Câu 12. Hãy chứng minh rằng: 1/ 2 2 www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 1 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT P=f(x,y,z) với x,y,z thuộc D Bài 1 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm maxP , 111 y zzxxy P x yz HD : Ta có : 2 () 1 14()42 cyc cyc cyc xy xy xy zxy , 11 max ( ) 32 PPxyz Bài 2 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1, Tìm MaxP , y zzxxy P x yz y zx z xy HD : Ta có : 13 1(1)(1)2112 cyc cyc cyc cyc xy xy xy x y zxy xyxy x y y x 13 max ( ) 32 PPxyz Bài 3 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , 22 22 22 111 (1) 1(1) 1(1) 1 P xy yzzx HD: đặt ,, bca xyz abc Ta có : 22 22 111 1 ( 1) 1 2 2 2( 1) 2( ) 2 cyc cyc cyc cyc a x y x y x xyx abc 1 max ( 1) 2 PPxyz Bài 4 : Cho x,y,z> 0 , x+y+z+2=xyz , Tìm MinP , 111 P x yz HD : đặt 111 ,, 111 abc x yz , x+y+z+2=xyz => a+b+c=1 111 3 2 abc P xyzbccaab 3 min ( 2) 2 PPxyz Bài 5 Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tim minP , 222 x yz P y zzxxy HD : ,, y zazybxyc => a+b+c=2 2 (1 ) 1 1 24 cyc cyc cyc a a aa a Ta có : 111 9 9 2abcabc => 222 1 2 xyz P yzzxxy 11 min ( ) 32 PPxyz Bài 6 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MinP , 111 (1 )(1 )(1 )P x yz HD : 111 (1 )(1 )(1 )P x yz = 111 ()()() xyz x yz 2 4 14 x xxyz xyz www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 2 2 4 14 y xyyz xyz 2 4 14zxyzzxyz 64 64 xyz P xyz 1 min ( ) 64 3 PPxyz Bài 7 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP , 222 xyz P x yzx yz xy z HD : 11 13 2111 cyc cyc cyc cyc xx P x yz x x x 111 9 9 111 34xyzxyz => 3 2224 xyz P xyzx yzxy z 13 max ( ) 34 PPxyz Bài 8 : Cho x,y,z>0 , 3 4 xyz , Tìm MaxP , 3 33 333Pxyyzzx HD : Ta có 3 324( )6 33 33 cyc cyc xy xyz xy ,=> 1 max ( ) 3 4 PPxyz Bài 9 : Cho x+y+z=0 , Tìm MinP , 34 34 34 x yz P HD: Ta có 3 4 44 34 44 2 2 62 6 xxyz xx cyc cyc cyc P min ( 0) 6PPxyz Bài 10 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=4xyz , Tìm MaxP , 111 222 P x yz x yz xy z HD : ta có xy+yz+zx=4xyz => 111 4 xyz 1 1 211 1111 1 216 4 cyc cyc P xyz xyz xyz 3 max ( ) 1 4 PPxyz Bài 11 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , 33 33 33 111 111 P xy yz zx HD : Ta có 33 2 2 ()( )()(2 )() x yxyxxyy xyxyxyxyxy => 33 1( ) ( ) x yxyxyxyzxyxyz => 33 11 1( ) z x yxyxyzxyz 33 1 1 1 cyc cyc z P x yxyz , max ( 1) 1PPxyz Bài 12: Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP , 22 2 2 22 2 2 22 2 2 111 x yzyxz P x yyx yzyz xzzx HD: 33 3 2 13 327 333 cyc cyc cyc xy xy P xy xy xy xyz www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 3 (1)33MinP P x y z Bài 13 : Cho x,y,z >0, xyz=1 . Tìm MaxP , 22 22 22 111 111 xy yz zx P xy yz zx HD : Ta có 22 1 x yxyxy => 22 22 2 31 12()(1)xy xy xyxy xy => 22 13 11 xy x yxy 33 3 3 11 33 1 1 cyc cyc P xy xy Áp dụng , bài 11 , 3P max ( 1) 3PPxyz Bài 14 : Cho x,y,z>0 , 22 22 22 111 1 111xy yz zx , Tìm MaxP , Pxyyzzx HD : Ta có : 2 222 2 22 2 12 () 111 1( ) z xyz x y z x yxyz => 222 22 22 22 2 1116 1 111() x yz xy yz zx xyz => 2222 ()6 x yz x y z => 3Pxyyzzx => max ( 1) 3PPxyz Bài 15: Cho ,, 1, 2 x yz x y z xyz , Tìm MaxP , 333 2 2 22 2 222 2 2 22 11 11 11 P