Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC VŨ THỊ NHUNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐƯỢC GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC VŨ THỊ NHUNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐƯỢC GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM VĂN QUỐC HÀ NỘI - 2012 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn i Danh mục viết tắt ii Danh mục bảng iii Mục lục iv MỞ ĐẦU Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tư 1.1.1 Tư ? 1.1.2 Tầm quan trọng việc phát triển tư 1.1.3 Những đặc điểm tư 1.1.4 Những phẩm chất tư 1.1.5 Các thao tác tư 1.1.6 Vấn đề phát triển lực tư 1.1.7 Dấu hiệu đánh giá tư phát triển 10 1.2 Tư sáng tạo 10 1.2.1 Khái niệm sáng tạo 10 1.2.2 Quá trình sáng tạo 12 1.2.3 Tư sáng tạo 12 1.2.4 Cấu trúc tư sáng tạo 15 1.3 Phương hướng bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh thơng qua dạy học mơn Tốn 17 1.3.1 Bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với hoạt động trí tuệ khác 17 1.3.2 Bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả phát vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng 18 1.3.3 Chú trọng bồi dưỡng yếu tố cụ thể tư sáng tạo 18 1.3.4 Bồi dưỡng tư sáng tạo trình lâu dài cần tiến hành tất khâu trình dạy học 19 1.4 Thực trạng dạy học bất đẳng thức giải đạo hàm trường THPT 19 Kết luận chương 20 iv Chƣơng : RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐƢỢC GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM 2.1 Một số kiến thức đạo hàm 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm hàm số điểm 2.1.2 Định nghĩa đạo hàm hàm số khoảng 2.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm 2.1.4 Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp 2.1.5 Đạo hàm cấp cao 2.2 Giải tập bất đẳng thức phương pháp khảo sát hàm số 2.3 Giải tập bất đẳng thức bất đẳng thức tiếp tuyến 2.4 Giải tập bất đẳng thức bất đẳng thức Jensen Kết luận chương Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 3.2 Phương pháp thực nghiệm 3.3 Nội dung tổ chức thực nghiệm 3.3.1 Chọn nội dung thực nghiệm 3.3.2 Tổ chức thực nghiệm 3.3.3 Nội dung tập đề kiểm tra 3.4 Kết thực nghiệm sư phạm 3.4.1 Nhận xét giáo viên qua tiết dạy thử nghiệm 3.4.2 Những đánh giá từ kết kiểm tra Kết luận chương KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Khuyến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC v 21 21 21 21 22 22 23 23 45 65 75 76 76 76 76 76 77 77 77 78 85 85 86 87 88 88 88 90 92 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhân loại bước vào kỷ XXI, kỷ tri thức, kỹ người xem yếu tố định phát triển xã hội Trong xã hội tương lai, giáo dục phải đào tạo người có trí tuệ, thơng minh sáng tạo Muốn có điều này, từ nhà trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho học sinh hệ thống kiến thức bản, đại, phù hợp với thực tiễn Việt Nam rèn luyện cho họ lực tư sáng tạo Trong chương trình tốn THPT phần nội dung kiến thức “bất đẳng thức” nội dung khó giáo viên học sinh Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức phương pháp hay, đơn giản việc sử dụng phương pháp khác gặp khó khăn Với lý trên, chọn đề tài nghiên cứu: “Rèn luyện tƣ sáng tạo cho học sinh thông qua tập bất đẳng thức đƣợc giải đạo hàm” Lịch sử nghiên cứu Đã có nhiều tài liệu nghiên cứu việc rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh dạy học mơn, cơng trình nghiên cứu lý thuyết đạo hàm hoàn thiện, ứng dụng đạo hàm Việt Nam Tuy nhiên, chưa có nhiều sách đề cập đến tập bất đẳng thức giải đạo hàm cách hệ thống Mục tiêu nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận tư sáng tạo - Phân loại, xây dựng hệ thống tập bất đẳng thức giải đạo hàm đưa phương pháp chung cho loại Trên sở đó, rèn luyện sáng tạo cho học sinh Vấn đề nghiên cứu - Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh nào? - Xây dựng hệ thống tập bất đẳng thức giải đạo hàm để rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh? Giả thuyết khoa học Thông qua hệ thống tập bất đẳng thức giải đạo hàm để rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu hoạt động tư học sinh trình giải tập, từ hướng dẫn học sinh xây dựng tiến trình luận giải, làm sở cho việc tìm kiếm lời giải cách có hiệu - Phân loại xây dựng hệ thống tập bất đẳng thức giải đạo hàm đưa phương pháp chung cho loại - Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu việc rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, kết hợp với điều tra, quan sát, thực nghiệm sư phạm thống kê tốn học Những đóng góp luận văn - Xây dựng phân loại hệ thống tập bất đẳng thức giải đạo hàm nhằm rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh - Kết thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi hiệu - Kết đề tài làm tài liệu tham khảo bổ ích thiết thực Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn trình bày chương: Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Chương 2: Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua tập bất đẳng thức giải đạo hàm Chương 3: Thực nghiệm sư phạm CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tƣ 1.1.1 Tư ? Trên giới Việt Nam có nhiều quan điểm tư Theo M.N.Sacđacôp: Tư nhận thức khái quát gián tiếp vật tượng thực dấu hiệu, thuộc tính chung chất chúng Tư nhận thức sáng tạo vật, tượng mới, riêng rẽ thực sở kiến thức khái quát hóa thu nhận 1.1.2 Tầm quan trọng việc phát triển tư Lý luận dạy học đại đặc biệt trọng đến việc phát triển tư cho học sinh thông qua việc điều khiển tối ưu q trình dạy học, cịn thao tác tư công cụ nhận thức 1.1.3 Những đặc điểm tư - Quá trình tư thiết phải sử dụng ngôn ngữ phương tiện Tư phản ánh gián tiếp, không tách rời trình nhận thức cảm tính 1.1.4 Những phẩm chất tư Tư có khả định hướng, bề rộng, độ sâu, tính linh hoạt, tính mềm dẻo, tính độc lập, tính khái quát 1.1.5 Các thao tác tư Quá trình tư diễn cách chủ thể tiến hành thao tác trí tuệ Các thao tác trí tuệ là: phân tích - tổng hợp, so sánh – tương tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá 1.1.6 Vấn đề phát triển lực tư Trước hết giúp học sinh thông hiểu kiến thức cách sâu sắc, không máy móc, biết cách vận dụng kiến thức vào tập Từ mà kiến thức học sinh thu nhận trở nên vững sinh động 1.1.7 Dấu hiệu đánh giá tư phát triển Có khả tự lực chuyển tải tri thức kỹ sang tình mới, tái kiến thức thiết lập mối quan hệ chất, phát chung đặc biệt toán có lực áp dụng kiến thức để giải tốt toán thực tế 1.2.Tƣ sáng tạo 1.2.1.Khái niệm sáng tạo Có thể nói: “Sáng tạo tìm mới, cách giải khơng bị gị bó phụ thuộc vào có” 1.2.2 Quá trình sáng tạo Quá trình sáng tạo gồm giai đoạn: chuẩn bị, ấp ủ, bừng sáng, kiểm chứng 1.2.3 Tư sáng tạo tư sáng tạo thể việc xác định toán, xác định mục tiêu toán, tạo sinh ý tưởng thao tác trí tuệ tưởng tượng, đoán, so sánh với ẩn dụ, đưa giả thuyết, phê phán đánh giá giả thuyết, lựa chọn lời giải, thực thi phần toàn lời giải, đánh giá lời giải khả thi, sửa đổi để hoàn thiện lời giải 1.2.4 Cấu trúc tư sáng tạo Năm thành phần cấu trúc tư sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hồn thiện, tính nhạy cảm vấn đề 1.3 Phƣơng hƣớng bồi dƣỡng tƣ sáng tạo cho học sinh thơng qua dạy học mơn Tốn 1.3.1 Bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với hoạt động trí tuệ khác 1.3.2 Bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả phát vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng 1.3.3 Chú trọng bồi dưỡng yếu tố cụ thể tư sáng tạo 1.3.4 Bồi dưỡng tư sáng tạo trình lâu dài cần tiến hành tất khâu trình dạy học 1.4 Thực trạng dạy học bất đẳng thức đƣợc giải đạo hàm trƣờng THPT Có thể nói, tập bất đẳng thức đa dạng, phong phú thể loại phương pháp giải, nên làm tập bất đẳng thức học sinh thường khó phân biệt dạng phương pháp giải, chí khơng giải Phần lớn học sinh thấy sợ học bất đẳng thức không hứng thú với chủ đề nhiều cịn gây tâm lí chán nản em Không thế, đề thi đại học thường có tập bất đẳng thức, tập tương đối phức tạp nên để học tốt phần giáo viên học sinh phải bỏ nhiều thời gian công sức Kết luận chƣơng Trong chương này, luận văn trình bày quan điểm số tác giả khái niệm tư duy, tư sáng tạo, phương hướng bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học mơn Tốn thực trạng dạy học bất đẳng thức giải đạo hàm trường THPT CHƢƠNG RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐƢỢC GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM 2.1 Một số kiến thức đạo hàm 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm hàm số điểm 2.1.2 Định nghĩa đạo hàm hàm số khoảng 2.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm 2.1.3.1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số 2.1.3.2 Đạo hàm hàm số hợp 2.1.4 Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp 2.1.5 Đạo hàm cấp cao 2.2 Giải tập bất đẳng thức phƣơng pháp khảo sát hàm số Để chứng minh bất đẳng thức, bất đẳng thức kinh điển bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki , sử dụng đạo hàm công cụ hữu ích Trong nhiều trường hợp, sử dụng phương pháp khảo sát hàm số để chứng minh bất đẳng thức lời giải toán ngắn gọn đơn giản nhiều Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức : A  B tập D ( với D đoạn, khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng) Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức ta thường dùng hai cách sau: Cách 1: Xét f hàm số đối số đó, f xác định tập D thỏa mãn f ( )  A , f (  )  B , với  ,   D f đơn điệu D Nếu    chứng minh f ( x ) nghịch biến D Nếu    , chứng minh f ( x ) đồng biến D Cách 2: Xét hiệu f  A  B D coi hàm số đối số Nếu f nghịch biến D, cần tồn  ,   D ,    : f ( )  A  B f ( )   A  B Nếu f đồng biến D, cần tồn  ,   D ,    : f ( )  A  B f ( )   A  B Cách thực chất trường hợp riêng cách Xét ví dụ sau: Ví dụ Cho  x   Chứng minh rằng: a) sinx  x b) t anx  x Bài giải a) Xét hàm số f ( x )  sinx  x với  x  Ta có f ' ( x)  cos x   với  x      hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng (0 ; ) Do f ( x ) < f (0) với  x    sinx  x   sinx  x (đpcm) b) Tương tự Nhận xét: Rõ ràng sử dụng phương pháp khảo sát hàm số ví dụ làm cho lời giải ngắn gọn, dễ hiểu Trong trường hợp này, việc xét dấu f ' ( x ) đơn giản Đôi khẳng định dấu f ' ( x ) , trường hợp vậy, thủ thuật thông thường áp dụng liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x x3 Ví dụ Chứng minh với x  ta có: x   sinx Bài giải x3 Xét hàm số f ( x)  x   sinx với x  6  f ' (x) < với  x >  hàm số f(x) nghịch biến khoảng ( ; + ) Do < c d  nên ta suy : a b c a d b f( )  f( ) c d ln a  b  c d (  1) (  1) a b ln Mà < a  b nên ta suy : ln c a c (  1)a a  ln d b d (  1)b b Đẳng thức xảy a = b ; c =d Vậy bất đẳng thức chứng minh Nhận xét: Ở ví dụ khơng dựa vào điều kiện từ giả thiết để biến đổi từ lựa chọn hàm số thích hợp mà cịn gặp khó khăn việc xét dấu đạo hàm, ta phải làm thao tác biến đổi, chọn xét tính đơn điệu hàm trung gian thích hợp Bài tập đề nghị 2.3 Giải tập bất đẳng thức bất đẳng thức tiếp tuyến Tính lồi, lõm đồ thị Định nghĩa Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I Ta nói Đồ thị (C) hàm số y  f ( x) lồi khoảng I tiếp tuyến (C) điểm nằm phía đồ thị Đồ thị (C) hàm số y  f ( x) lõm khoảng I tiếp tuyến (C) điểm nằm phía đồ thị Dấu hiệu đồ thị lồi, lõm Định lí 1: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm đến cấp hai khoảng  a; b  Nếu f " ( x)  với x   a; b  đồ thị hàm số lồi khoảng 11 Nếu f " ( x)  với x   a; b  đồ thị hàm số lõm khoảng Viết phƣơng trình tiếp tuyến điểm: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) điểm A ( x0 ; y0 )  (C ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A ( x0 ; y0 ) là: y  f ' ( x0 )( x  x0 )  y0 Ứng dụng: * Định lí 2: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm đến cấp hai khoảng  a; b  i) Nếu f " ( x)  với x   a; b  f ( x)  f ' ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) x0  (a; b) ii) Nếu f " ( x)  với x   a; b  f ( x)  f ' ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) x0  (a; b) Đẳng thức hai bất đẳng thức xảy x  x0 * Ta biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) điểm khoảng lồi ln nằm phía đồ thị tiếp tuyến điểm khoảng lõm ln nằm phía đồ thị, cịn điểm uốn đồ thị tiếp tuyến xuyên qua đồ thị nên ta có nhận xét sau: Nếu y  ax  b tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) điểm A ( x0 ; y0 ) ta phân tích f ( x)  (ax  b)  ( x  x0 ) g ( x) Trong nhiều trường hợp ta g ( x )  (hoặc g ( x )  ) Khi ta có xác định dấu g ( x ) , f ( x)  ax  b (hoặc f ( x)  ax  b ) Xét ví dụ sau: Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Chứng minh rằng: a a2   b b2   c c2  Bài giải Xét hàm số f ( x)  x x2  với x  (0;1) 12  10 f ' ( x)  Ta có: (1  x )3  f " ( x)  3x (1  x )5  với x  (0;1) 1 f ( x)  f ' ( )( x  )  f ( ) với x  (0;1) 3 Suy ra:  f ( x)  27 1 (x  )  với x  (0;1) 10 10 10  f (a)  27 1 (a  )  10 10 10 f (b)  27 1 (b  )  10 10 10 f (c )  27 1 (c  )  10 10 10  f (a)  f (b)  f (c)  27 27 (a  b  c)   10 10 10 10 10 10 Do a  b  c  nên f (a )  f (b)  f (c)  Đẳng thức xảy a  b  c   đpcm Nhận xét: Trong số trường hợp đồ thị hàm số y  f ( x) có khoảng lồi, lõm đoạn  a; b Trong trường hợp ta xét dấu biểu thức: f ( x)  [f ' ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )] Ví dụ Cho a, b, c  R a b c 6 Chứng minh rằng: a  b4  c  2(a  b3  c ) Bài giải Đẳng thức xảy a b c 2 Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: (a  2a )  (b  2b3 )  (c  2c3 ) 0  f (a) f (b) f (c) 0 ( f ( x)  x  x ) Ta có tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x)  x  x điểm có hồnh độ x  là: y 8x -16 13 Xét f (x) (8x -16)  x  x3  8x  16   ( x  2) ( x  x  4) 0 với x Vậy f ( x )  x  với x Suy f (a )  8a  16 f (b)  8b  16 f (c)  8c  16  f (a)  f (b)  f (c)  8(a  b  c)  48  (đpcm) Nhận xét: Dấu hiệu giúp nhận phương pháp bất đẳng thức cần chứng minh có dạng f (a1 )  f (a2 )   f (an )  m f (a1 )  f (a2 )   f (an )  m ( i = 1,…,n ) thỏa mãn điều kiện Trong số trường hợp bất đẳng thức chưa có dạng trên, ta phải thực số phép biến đổi đưa dạng Chúng ta cần ý số dấu hiệu sau: * Nếu bất đẳng thức có dạng f (a1 ) f (a2 ) f (a3 ) f (an )  m ta lấy lơganêpe hai vế * Nếu bất đẳng thức cần chứng minh đồng bậc ta chuẩn hóa Tùy thuộc vào tốn mà ta lựa chọn cách chuẩn hóa phù hợp Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca Bài giải Ta thấy đẳng thức xảy a b c 1 BĐT (1)  (a  a )  (b2  b )  (c  c )  (a  b  c)  Đặt f ( x)  x  x với x  (0;3) Ta có tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x)  x  x điểm có hồnh độ x  là: y  3x Xét f (x)  3x  x  x  3x  ( x  1) ( x  x )  với x  (0;3) Vậy f ( x)  x với x  (0;3) Suy f (a )  3a f (b)  3b 14 f (c)  3c  f (a)  f (b)  f (c)  3(a  b  c)  f (a)  f (b)  f (c)  (đpcm) Ví dụ 10 Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: (a   a )b (b   b ) c (c   c ) a  (1  2)3 Bài giải Ta thấy đẳng thức xảy a b c 1 Lấy lôganêpe hai vế bất đẳng thức cần chứng minh tương đương bất đẳng thức: b ln(a   a )  c ln(b   b )  a ln(c   c )  3ln(1  2) Xét hàm số f ( x)  ln( x   x ) với x  (0;3) Ta có: Suy f ' ( x)  1 x  f "( x)  x (1  x ) < với x  (0;3) f ( x)  f ' (1)( x  1)  f (1) với x  (0;3)  f ( x)  ( x  1)  ln(1  2) với x  (0;3)  f (a )  (a  1)  ln(1  2) f (b)  (b  1)  ln(1  2) f (c )  (c  1)  ln(1  2) 1 (ab  bc  ca)  (a  b  c)  (a  b  c)ln(1  2) 2 Do ab  bc  ca   a  b  c nên bf (a)  cf (b)  af (c)  3ln(1  2)  đpcm  bf (a)  cf (b)  af (c)  Ví dụ 11 Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a b c (1)    (b  c)2 (c  a)2 (a  b) 4(a  b  c) Bài giải 15 Bất đẳng thức cho nên ta chuẩn hóa a  b  c  Khi BĐT (1) trở thành: a b c    2 (1  a) (1  b) (1  c)   f (a) f (b) f (c)  x ( f ( x)  với x  (0;1) ) (1  x)2 Ta có tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x)  là: y  x điểm có hồnh độ x  (1  x)2 18 x  18 x  18 x  (3x  1) (3  x) x Xét f (x)    =  với x  (0;1)   4 4(1  x) (1  x)2 Vậy f ( x )  Suy 18 x  x  (0;1) f (a)  18a  f (b)  18b  f (c )  18c   f (a )  f (b)  f (c)  18 (a  b  c)  4 Suy f (a )  f (b)  f (c)  Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tập đề nghị 2.4 Giải tập bất đẳng thức bất đẳng thức Jensen Định lí 1(Bất đẳng thức Jensen) Cho hàm số f ( x ) xác định khoảng ( a; b) Hàm số f ( x ) hàm lồi khoảng ( f " ( x)  0x  (a; b)) x1 , x2 , , xn  (a; b) Khi ta có: f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn )  n  x  x   xn  f  n   16 Đẳng thức xảy x1  x2   xn Hàm số f ( x ) hàm lõm khoảng ( f " ( x)  0x  (a; b)) x1 , x2 , , xn  (a; b) Khi ta có: f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn )  x  x   xn   f  n n   Đẳng thức xảy x1  x2   xn Định lí ( Bất đẳng thức Jensen tổng quát ) Cho hàm số f ( x ) hàm liên tục lồi khoảng (a; b) Nếu x1 , x2 , , xn  (a; b) t1 , t2 , , tn  (0;1) cho t1  t2   tn  Khi t1 f ( x1 )  t2 f ( x2 )   tn f ( xn )  f (t1 x1  t2 x2   tn xn ) Đẳng thức xảy x1  x2   xn Khi hàm f ( x ) hàm lõm khoảng ( a; b) ta có bất đẳng thức đổi chiều Đẳng thức xảy x1  x2   xn Sử dụng tính lồi, lõm hàm số chứng minh bất đẳng thức: Để sử dụng tính lồi, lõm hàm số chứng minh bất đẳng thức,giả sử: M  ta thực theo bước sau: Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức dạng: f( x1  x2   xn f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn ) ) n n f ( x1  x2   xn f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn ) ) n n f (t1 x1  t2 x2   tn xn )  t1 f ( x1 )  t2 f ( x2 )   tn f ( xn ) f (t1 x1  t2 x2   tn xn )  t1 f ( x1 )  t2 f ( x2 )   tn f ( xn ) Bước 2: Xét hàm số y  f ( x) , dùng đạo hàm khẳng định hàm số lồi lõm Bước 3: Kết luận Xét ví dụ sau: Ví dụ 12 Chứng minh rằng: x2  y  x  y      Bài giải 17 Xét hàm số: f ( x)  x f ' ( x)  x  f " ( x)   với x Ta có:  hàm số lõm tập  Do đó, với x, y   ta có: f ( x)  f ( y )  x y f    x2  y  x  y       Đẳng thức xảy x  y Nhận xét: Ở ví dụ ta cần dùng hàm lõm để chứng minh bất đẳng thức có bất đẳng thức muốn chứng minh ta phải dùng nhiều hàm lõm ( lồi) Ví dụ 13 Chứng minh ABC ta có: t an A B C  tan  tan  2 Bài giải Xét hàm số: f ( x)  x f ' ( x)  x  f " ( x)   với x Ta có:  hàm số lõm tập  Do đó, với tan A B C , tan , tan ta có: 2 A B C f (tan )  f (tan )  f (tan ) 2  A B C  tan  tan  tan  2 f   A B C  A B C tan  tan  tan tan  tan  tan 2  2 2    3     Ta chứng minh được: t an A B C  tan  tan  2 18      tan nên A B C  tan  tan   B C A 2   tan  tan  (đpcm)    t an 2   Nhận xét: Ở ví dụ để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng bất đẳng thức hàm lồi, nhiên có bất đẳng thức muốn chứng minh ta phải phối hợp với bất đẳng thức khác Ví dụ 14 Chứng minh ABC ta có: cos A  cos B  cos C  Bài giải     2 Xét hàm số: f ( x)  cosx với x   0; Ta có:  f ' ( x)   sinx  f " ( x)   cos x  với x  (0; )   hàm số lồi khoảng (0; ) Khơng tính tổng quát, ta giả sử C góc nhỏ ABC , suy  C   Khi ta có: cos A  cos B  cos C  2cos  cos A  cos B  cos C  cos A B A B cos  cos C 2 A B A B  cos  cos C 2 Sử dụng bất đẳng thức hàm lồi có: A B A B  C A B A B  2 cos  cos  cos C  3cos  3cos 2 3 Suy ra: cos A  cos B  cos C  A B  c os 1  Đẳng thức xảy   A B C  19 A B    C    A BC    ABC Ví dụ 15 Cho a, b, c  Chứng minh rằng:  b  c   c  a   a  b    (a  b  c)  3  a b a b  c c (2) Bài giải (2)   a ln(b  c)  b ln(c  a )  c ln(a  b) 2   ln   a  b  c   abc 3  a b c 2  ln(b  c)  ln(c  a)  ln(a  b)  ln   a  b  c   abc abc abc 3  Xét hàm số f ( x)  ln(a  b  c  x) Ta có: f ' ( x)  1 1  f " ( x)   với x abc x (a  b  c  x )  hàm số lồi tập  Áp dụng Bất đẳng thức Jensen tổng quát ta có: a b c a  b2  c2 f (a)  f (b)  f (c )  f ( ) abc abc abc a bc  a b c a  b2  c2   ln(b  c)  ln(c  a)  ln(a  b)  ln  a  b  c   abc abc abc a  b  c   Mặt khác ta lại có: a  b  c  (a  b  c) a  b2  c2  a  b  c   a  b  c abc a  b2  c   2   ln  a  b  c    ln   a  b  c    abc  3   20 Vậy: a b c 2  ln(b  c)  ln(c  a)  ln(a  b)  ln   a  b  c   abc abc abc 3  Đẳng thức xảy a  b  c Nhận xét: Ví dụ ngồi việc sử dụng thêm bất đẳng thức kinh điển ta gặp khó khăn việc chọn hàm số để xét tính lồi, lõm Bài tập đề nghị CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm định tính khả thi tính hiệu đề tài 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm - Biên soạn tài liệu, sau chọn lớp dạy thực nghiệm lớp đối chứng, tiến hành dạy thực nghiệm - Thu thập thông tin phản hồi, qua đánh giá chất lượng, hiệu tính khả thi biện pháp rèn luyện tư sáng tạo mà luận văn đưa 3.2 Phƣơng pháp thực nghiệm Dùng phương pháp thử nghiệm đối chứng, dạy thử nghiệm theo hướng rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua tập bất đẳng thức giải đạo hàm số lớp 12 trường THPT Thụy Hương, trường THPT Kiến Thụy, thành phố Hải Phòng Thực nghiệm thực song song lớp thực nghiệm lớp đối chứng Ngồi ra, chúng tơi cịn kết hợp chặt chẽ với phương pháp khác như: quan sát, tổng kết kinh nghiệm, phát phiếu điều tra… 3.3 Nội dung tổ chức thực nghiệm 3.3.1 Chọn nội dung thực nghiệm - Giải tập bất đẳng thức phương pháp khảo sát hàm số - Giải tập bất đẳng thức bất đẳng thức tiếp tuyến 21 3.3.2 Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT Thụy Hương, trường THPT Kiến Thụy, huyện Kiến Thụy, thành phố Hải Phòng Mỗi trường chọn lớp: lớp thực nghiệm lớp đối chứng Thời gian thực nghiệm tiến hành từ 22/08/2012 đến 08/10/2012 năm học 2012 - 2013 3.3.3 Nội dung tập đề kiểm tra 3.3.3.1 Nội dung tập: Giải tập bất đẳng thức phương pháp khảo sát hàm số bất đẳng thức tiếp tuyến 3.3.3.2 Nội dung đề kiểm tra: Ra đề kiểm tra 45 phút 3.4 Kết thực nghiệm sƣ phạm 3.4.1 Nhận xét giáo viên qua tiết dạy thử nghiệm - Các học dễ điều khiển học sinh tham gia vào hoạt động học tập, thu hút em tham gia - Các hoạt động học tập (giải tập, trả lời câu hỏi, nhận xét) học sinh tự rút kiến thức mới, nắm kiến thức lớp Đồng thời giáo viên dễ dàng phát sai lầm mắc phải học sinh để có hướng khắc phục - Học sinh tham gia tiết học sơi hào hứng hơn, tự phát giải vấn đề, việc học tập học sinh chủ động sáng tạo, tự giác Học sinh có hứng thú học tập 3.4.2 Những đánh giá từ kết kiểm tra 3.4.2.1 Kết cụ thể Điểm 10 Lớp Số Thực nghiệm 0 22 21 16 12 89 Đối chứng 15 19 20 13 0 90 Từ kết trên, ta có bảng khảo sát sau: * Tỉ lệ trung bình trung bình: 22 Số Tỷ lệ trung bình Số Tỷ lệ trung bình Lớp thực nghiệm 77 86,52% 12 13,48% Lớp đối chứng 57 63,33% 33 36,67% * Tỉ lệ giỏi: Số khá, giỏi Tỉ lệ Lớp thực nghiệm 34 38,2% Lớp đối chứng 18 20% 3.4.2.2 Nhận xét, đánh giá Nhìn chung, học sinh lớp thực nghiệm có kết kiểm tra cao lớp đối chứng Tỉ lệ điểm trung bình học sinh lớp thực nghiệm cao nhiều so với lớp đối chứng Tỉ lệ giỏi lớp thực nghiệm cao nhiều so với lớp đối chứng Kết thực nghiệm cho thấy lớp thực nghiệm rèn luyện kỹ hoạt động trí tuệ rèn luyện lực suy nghĩ độc lập sáng tạo nên lực tư học sinh nâng cao rõ rệt Biểu làm em nhớ lâu, nhớ xác hơn, có sáng tạo làm, thể chất lượng làm nhiều học sinh tương đối tốt, điểm số kiểm tra ổn định Học sinh lớp đối chứng với trình độ ngang lớp thực nghiệm, cách giảng dạy theo phương pháp thơng thường khơng phát huy việc tích cực đào sâu tư duy, sáng tạo trình nắm bắt kiến thức, vận dụng kiến thức để giải yêu cầu đa dạng toán học sinh lớp thực nghiệm Tuy nhiên số lượng không nhỏ kiểm tra đạt điểm trung bình Có nhiều yếu tố ảnh hưởng đến số này, có phần việc rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua tập bất đẳng thức giải đạo hàm chưa phát huy hiệu cao số học sinh thuộc đối tượng học sinh có học lực yếu ý thức học tập chưa cao Điều cần khắc phục Kết luận chƣơng Quá trình thực nghiệm kết rút sau thực nghiệm cho thấy: 1) Mục đích thực nghiệm hồn thành 23 2) Tính thiết thực, khả thi việc rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua tập bất đẳng thức giải đạo hàm khẳng định KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Qua trình thực đề tài, thu số kết sau: Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư sáng tạo phát triển kỹ tư sáng tạo Kết điều tra thực tiễn cho thấy việc rèn luyện tư sáng tạo học sinh trung học phổ thông qua tập bất đẳng thức giải đạo hàm giáo viên học sinh quan tâm (về nhận thức vận dụng) Phân loại, xây dựng hệ thống tập bất đẳng thức giải đạo hàm đưa phương pháp chung cho loại Phần lý luận từ thực nghiệm luận văn rằng, việc rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua tập bất đẳng thức giải đạo hàm hồn tồn khả thi có kết định Các giáo viên mơn Tốn THPT hồn tồn có khả vận dụng cơng tác giảng dạy Khuyến nghị Trong trình thực đề tài, xin mạnh dạn đề xuất số ý kiến sau: Trên sở vấn đề lý luận đề xuất, cần có nghiên cứu tất môn, rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh cần triển khai cấp học, trường học Quá trình dạy học Tốn trường phổ thơng cần tổ chức theo hướng phát huy cao độ tính tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh, tạo hứng thú học tập hình thành kỹ nghiên cứu khoa học liên hệ ứng dụng thực tiễn sống Bộ Giáo dục – Đào tạo cần quan tâm đạo tạo điều kiện vật chất, tinh thần thuận lợi cho việc vận dụng phát triển phương pháp dạy học tích cực, có việc rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh 24 Thank you for evaluating AnyBizSoft PDF Splitter A watermark is added at the end of each output PDF file To remove the watermark, you need to purchase the software from http://www.anypdftools.com/buy/buy-pdf-splitter.html ... dưỡng tư sáng tạo cho học sinh thơng qua dạy học mơn Tốn thực trạng dạy học bất đẳng thức giải đạo hàm trường THPT CHƢƠNG RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC... thống tập bất đẳng thức giải đạo hàm để rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh? Giả thuyết khoa học Thông qua hệ thống tập bất đẳng thức giải đạo hàm để rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh Nhiệm vụ... việc rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua tập bất đẳng thức giải đạo hàm chưa phát huy hiệu cao số học sinh thuộc đối tư? ??ng học sinh có học lực yếu ý thức học tập chưa