Dự kiến dấu = xảy ra để tìm hướng giải bài tập về bất đẳng thức, cực trị nhằm nâng cao chất lượng môn toán ở trường THCS TT bến sung

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ ĐOÁN DẤU BẰNG XẢY RA Ở BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐỂ TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THCS Người thực hiện: Vũ Chí Cường Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Thị trấn Bến Sung SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ Trang Lý chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG Cơ sở lý luận Thực trạng vấn đề nghiên cứu 3 Giải pháp tổ chức thực 4 Kiểm nghiệm 12 C KẾT LUẬN 12 A MỞ ĐẦU I- Lí chọn đề tài Không phải ngẫu nhiên mà toán bất đẳng thức, toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ lại thu hút nhiều quan tâm đông đảo giáo viên học sinh kì thi học sinh giỏi, kì thi tuyển sinh vào lớp 10, tuyển sinh Đại học… Có lẽ toán khó để thi, định đến điểm số cao thi Nhưng với phần đông người đam mê môn Toán thấy vẻ đẹp, vẻ đẹp Toán học Đối với học sinh THCS tiếp cận với bất đẳng thức cách sơ lược định nghĩa, số phép biến đổi tương đương số kỹ thuật chứng minh đơn giản Hơn nữa, tài liệu viết bất đẳng thức dành cho học sinh THCS khó để học sinh tự học từ tài liệu Và nói toán bất đẳng thức, toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ kỳ thi thường khó toán dùng để phân loại học sinh Để giải toán phải sử dụng nhiều kiến thức, kỹ thường phải có tư trừu tượng cao… Các toán bất đẳng thức rèn luyện tư sáng tạo, trí thông minh mà đem lại say mê yêu thích môn Toán người học Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức: phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp phản chứng, sử dụng bất đẳng thức cổ điển… Một điều quan trọng mà nhiều học sinh không để ý điều kiện dấu xảy Vì vậy, mà dẫn đến sai lầm giải toán Để giúp học sinh có cách nhìn khác đặc biệt giúp em không lúng túng cách tiếp cận toán thân mạnh dạn viết sáng kiến với tên gọi “ Dự đoán dấu xảy bất đẳng thức Cauchy để tìm lời giải toán bất đẳng thức cực trị nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn toán trường THCS” II- Mục đích nghiên cứu: - Rèn luyện tư sáng tạo, lực tự học- tự nghiên cứu dạyhọc toán - Rèn luyện kỹ chứng minh bất đẳng thức giải tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức III- Đối tượng nghiên cứu: Xây dựng phương pháp tìm tòi lời giải toán bất đẳng thức, cực trị liên quan đến bất đẳng thức Cauchy từ việc dự đoán dấu xảy IV- Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu B NỘI DUNG I- Cơ sở lý luận Cơ sở quan điểm, chủ trương Nghị số 29-NQ/TW đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo rõ: “ Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực” Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ vị trí quan trọng vì: + Môn Toán môn học công cụ + Môn Toán góp phần phát triển nhân cách Như vậy, phát triển tư Toán học nói chung tư BĐT nói riêng góp phần quan trọng vào hình thành phẩm chất, lực người Việt Nam thời đại Cơ sở Toán học Tổng quát: Bất đẳng thức Cauchy(AM-GM) Với a1 ,a ,a a n n số thực không âm, ta có: a1 + a + a n n ≥ a1a a n Dấu “=” xảy a1 = a = = a n a+b ≥ ab Dấu “=” xảy a = b - Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm: - Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm: a +b+c ≥ abc Dấu “=” xảy a = b = c * Một số hệ bất đẳng thức đơn giản hay dùng: - Với a > 0,b > ta có: 1 + ≥ Dấu “=” xảy a b a+b a=b - Với a > 0,b > ta có: 1 + + ≥ Dấu “=” xảy a b c a +b+c a = b = c II- Thực trạng vấn đề Bài toán chứng minh BĐT tìm GTLN, GTNN toán thường gặp kỳ thi Học sinh giỏi lớp thi vào lớp 10 THPT Để giải toán này, học sinh phải sử dụng nhiều kiến thức, kỹ thường học sinh giỏi thực Đối với tỉnh Thanh Hóa câu số đề thi vào lớp 10 thường câu BĐT tìm GTLN, GTNN số học sinh giải câu thường không nhiều Các tài liệu tham khảo môn Toán đề cập nhiều đến việc sử dụng hàm số để chứng minh BĐT tìm GTLN, GTNN tài liệu dùng cho bậc THPT phải dùng công cụ đạo hàm Chủ quan mà nói, chưa có tài liệu dành cho THCS đề cập đến phương pháp Từ thực trạng dẫn đến: - Học sinh thường ngại học BĐT tìm GTLN, GTNN Các em hay gặp thất bại giải toán dạng nên thường niềm tin bỏ qua toán thi - Vì toán chứng minh BĐT tìm GTLN, GTNN toán khó (khó dạy, khó học) nên đa số giáo viên không trọng dạy cho học sinh, chí ôn thi học sinh giỏi, nhiều giáo viên ý dạy phần (vì cho có dạy thi học sinh không làm được) Trước triển khai đề tài, thân chủ động đề khảo sát chất lượng với 30 học sinh lớp với hai tập sau: Bài toán Cho số dương x, y Chứng minh rằng: x y + ≥2 y x Bài toán Cho x ≥ , tìm giá trị nhỏ A = x + x Kết thống kê lại sau: + Không có học sinh làm hai + Không học sinh làm toán + học sinh làm toán + 10 học sinh có hướng làm toán trình bày chưa + 13 học sinh không làm Đánh giá thực trạng: Qua kết cho thấy có đến gần nửa lớp không làm Số lượng làm em làm Điều đáng báo động, em chuẩn bị thi vào lớp 10 III- Giải pháp tổ chức thực Xin bắt bầu nội dung với toán đề khảo sát thực trạng: Bài toán Cho số dương x, y Chứng minh rằng: x y + ≥2 y x Bài toán Cho x ≥ , tìm giá trị nhỏ A = x + x Với hai toán, hầu hết em nhận biểu thức chứa biến tổng nghịch đảo nên đưa phương án làm nhanh Cụ thể: Bài toán 1: Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM), ta có: x y x y x y + ≥ Từ suy + ≥ y x y x y x Bài toán 2: Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM), ta có: x+ 1 ≥ x = Suy A ≥ x x Vậy, giá trị nhỏ A * Phân tích kết quả: x y = ⇔ x = y Kiểm tra lại y x thấy hoàn toàn xác Nhưng toán 2, dấu “=” xảy x = ⇔ x = x , điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy lời giải sai! Ta thấy rằng, toán dấu “=” xảy * Nguyên nhân sai lầm: Chính việc em có thói quen vận dụng bất đẳng thức quen thuộc mà không để ý đến điều kiện dấu “=” có xảy hay không? Để khắc phục sai lầm này, phân tích tìm tòi lời giải toán * Phân tích tìm tòi lời giải: giảm, x 1 độ tăng x lớn độ giảm , nên x tăng A = x + tăng x x Từ đó, ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ x = - Ta dễ dàng nhận thấy rằng: Giá trị x tăng - Từ dự đoán trên, ta thấy dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy cho hai số x được, giá trị dấu “=” xảy hai số khác x 1   ≠ ÷ Đến ta đề xuất phương án dùng bất đẳng thức Cauchy cho 2 x  x x để kết “không nhỏ hơn” Ta xác định m cho = , với x = m x m hay m = Khi đó, ta có lời giải sau: Ta có: A = x + x 1 = x + + ÷ x 4 x x x + ≥ = với x ≥ x x 3 x 1 x ≥ = nên: A = x + = x +  + ÷ ≥ +1 = x 4 4 x Vì theo bất đẳng thức Cauchy Qua toán trên, ta thấy việc dự đoán dấu “=” xảy ý tứ hay việc giải toán bất đẳng thức toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Nó giúp cho em học sinh dễ tiếp cận tìm tòi hướng giải toán Sau đây, nghiên cứu thêm số ví dụ sau: Ví dụ Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a + b + c + + ≥ b+c c+a a +b * Phân tích tìm tòi lời giải: Nhận thấy, bất đẳng thức vai trò số a, b, c Ta dự đoán dấu “=” xảy a = b = c Thử lại, ta thấy thỏa mãn Kết hợp với đặc điểm toán, ta đề xuất phương án sử dụng bất đẳng b+c a2 thức Cauchy với Với dự kiến dấu “=” xảy a = b = c để m b+c a2 b+c đảm bảo = , ta dễ dàng xác định m = b+c m a2 b+c a2 b + c a2 b+c Ta có: + ≥2 =a⇒ ≥ab+c b+c b+c b2 c+a c2 a+b Tương tự ≥b; ≥c c+a a+b a2 b2 c2 a +b b+c c+a a +b+c + + ≥ a +b+c= Từ suy ra: b+c c+a a +b 4 a2 b2 c2 a + b + c + + ≥ Vậy, , đẳng thức xảy a = b = c b+c c+a a +b Ví dụ Chứng minh với x, y > x + y = , ta có: 1 + + 4xy ≥ x + y xy * Phân tích tìm tòi lời giải: Ta nhận thấy, vai trò x y nhau, dự đoán dấu “=” xảy x = y = Thử lại thấy thỏa mãn Mặt khác, bất đẳng thức có x + y xy mẫu phân thức, kết hợp với điểu kiện có x + y = Điều gợi ý cho ta sử dụng “kĩ thuật cộng mẫu” để đảm bảo dấu “=” xảy ta chọn x + y 2xy Và phương án sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4xy x=y= m , với xy 1 ta xác định m = Khi phần lại vế trái để được: , ta vận dụng bất đẳng thức Cauchy 4xy 1 ≥ Kiểm tra lại hệ thống điều kiện dấu “=”, ta thấy thỏa 4xy (x + y) mãn * Sơ lược lời giải: Ta có:   1 1   + + 4xy = + + + 4xy  x + y 2xy ÷  4xy ÷+ 4xy x + y xy     Áp dụng bất đẳng thức 1 + ≥ , ta được: a b a+b 1 + ≥ =4 x + y 2xy (x + y) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: 1 + 4xy ≥ 4xy = 4xy 4xy 1 ≥ =1 4xy (x + y) Suy ra: 1 + + 4xy ≥ + +1 = x + y xy Đẳng thức xảy x = y = Ví dụ Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: a b2 c2 a b c + + ≥ + + b2 c2 a c a b * Phân tích tìm tòi lời giải: Trong bất đẳng thức vai trò số a,b,c Ta dự đoán dấu “=” xảy a = b = c Thử lại, ta thấy thỏa mãn a b2 a b2 c2 b2 c2 a c2 Để ý, = ; = ; = , sử dụng bất đẳng thức b c c c a a a b b Cauchy ta dễ dàng có vế phải đảm bảo dấu “=” xảy * Sơ lược lời giải: a b2 a b2 a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: + ≥ 2 = b c b c c b2 c2 b c2 a c Tương tự: + ≥ ; + ≥ c a a a b b  a b2 c2  a b c Suy ra:  + + ÷ ≥  + + ÷ c a b b c a  a b2 c2 a b c Hay: + + ≥ + + Dấu “=” xảy a = b = c b c a c a b Ví dụ Cho < x ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2x + 2 x * Phân tích tìm tòi lời giải: Khi tiếp cận toán này, học sinh dễ nhầm lẫn linh hoạt tách số hạng 2x vận dụng bất đẳng thức Cauchy, sau: P = 2x + 1 = x + x + ≥ x.x = Vậy giá trị nhỏ P x2 x2 x2 Nhưng ta kiểm tra điều kiện dấu “=” x = 1, không thỏa mãn Thế toán này, ta nhận thấy x tăng mà < x ≤ nhỏ Từ mà ta dự đoán x = P nhận giá trị nhỏ P * Sơ lược lời giải: Ta có P = 2x + ⇒P≥   7 =  x + x + ÷+ ≥ 3 x.x + 2 x 8x  8x 8x 8x  + =5 2 Vậy, P đạt giá trị nhỏ la x = Ví dụ Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c ≤ M = a + b + c + 1 + + a b c Tìm giá trị nhỏ * Phân tích tìm tòi lời giải: Sai lầm mà học sinh dễ mắc phải này, việc em phát số hạng nghịch đảo áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số, tức M =a +b+c+ 1 1 1 + + ≥ 6 a.b.c = a b c a b c Vậy, giá trị nhỏ M Nhưng trên, việc không đảm bảo điều kiện dấu “=” Vì a = b = c = không thỏa mãn a + b + c ≤ Cùng nhìn lại biểu thức ta thấy M vai trò a, b, c nên ta dự đoán M đạt giá trị nhỏ a = b = c = Từ đó, để đảm bảo điều này, ta đề xuất phương án sau: * Sơ lược lời giải: Ta có M = a + b + c + 1  1 1 + + =  4a + 4b + 4c + + + ÷- ( a + b + c ) a b c  a b c 10 1 ⇒ M ≥ 6 4a.4b.4c - ( a + b + c ) a b c 15 ⇒ M ≥ 12 - = 2 Vậy, M đạt giá trị nhỏ 15 a = b = c = 2 Ví dụ Cho a, b, c số không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn M = a + b + b + c + c + a * Phân tích tìm tòi lời giải: Sai lầm mà học sinh dễ mắc phải này, là: 3 a + b = (a + b).1.1 ≤ c + a = (c + a).1.1 ≤ ( a + b ) +1+1 ; 3 b + c = (b + c).1.1 ≤ ( b + c ) +1+1 ( c + a ) +1+1 2( a + b + c) + = 3 ⇒M = a +b + b+c + c+a ≤ Suy giá trị lớn M Nhưng trên, việc không đảm bảo điều kiện dấu “=” a + b =  Vì b + c = không thỏa mãn a + b + c = c + a =  Trong biểu thức M vai trò a, b, c nên ta dự đoán M đạt giá trị lớn a = b = c = Từ đó, để đảm bảo điều này, ta đề xuất phương án sau: * Sơ lược lời giải: 11 2 39 ( 3 a+b = (a + b) ≤ 3 3 b+c = c+a = 3 2 (b + c) ≤ 3 2 (c + a) ≤ 3 a + b) + 2 + 3 ( b + c) + 2 + 3 ( c + a) + 2 + 3 Suy M = a + b + b + c + c + a ≤ 2(a + b + c) + = = 18 4 Vậy, M đạt giá trị lớn 18 a = b = c = Ví dụ Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c2 = 12 Tìm giá trị lớn biểu thức P = a b + c + b c + a + c a + b * Phân tích tìm tòi lời giải: Trong biểu thức P vai trò a, b, c nên ta dự đoán P đạt giá trị lớn điều kiện 2a = 2b = 2c = a = b = c > ⇔a =b=c=2Þ  2 2 2 2 a + b + c = 12 a + b = b + c = c + a =    Từ đó, để đảm bảo điều này, ta đề xuất phương án sau: * Sơ lược lời giải: a b + c = a ( b + c 2 2 ) 2 6a + ( b + c ) + 2 = ( 2a ) ( b + c ) ≤ 2 Tương tự ta có: 2 6b + ( c + a ) + b c + a ≤ 2 2 6c + ( a + b ) + c a + b ≤ 2 10 ( a + b + c ) + 24 Suy P = a b + c + b c + a + c a + b ≤ = 12 Vậy, P đạt giá trị lớn 12 a = b = c = 2 2 2 12 Hệ thống tập tương tự: Bài Cho a,b,c số dương Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c5 a) + + ≥ a + b3 + c3 b c a a3 b3 c3 a +b+c + + ≥ b) (b + c) (c + a) (a + b) Bài Cho a, b số dương thỏa mãn a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ 1 A= + + a + b a b ab a+b ab + Bài Cho a, b số dương, tìm giá trị nhỏ M = ab a + b 2 Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ P = a + b + c + abc Bài Cho a, b, c,d số dương thỏa mãn a + b + c + d = Tìm giá trị lớn Q = 2a + b + 2b + c + 2c + d + 2d + a IV- Kiểm nghiệm Qua trình ôn tập cho HS lớp bồi dưỡng học sinh giỏi mạnh dạn đưa đề tài áp dụng vào việc giảng dạy Tôi thấy học sinh say mê giải tập với dạng Các em tự tin việc tiếp cận xây dựng hướng làm Với mức độ toán vừa phải em hoàn thành tương đối tốt Thậm chí có vài em có lực tìm hiểu giải khó từ phương pháp Sau triển khai chuyên đề, thân với số đồng nghiệp khảo sát lại hai toán vể bất đẳng thức giá trị nhỏ thu kết khả quan có 13 học sinh làm 1, có 10 học sinh làm hai số lại định hướng cách làm Tuy nhiên, dạng tập này, có hiệu với HS khá, giỏi, hiệu với HS yếu trung bình C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT I- Kết luận Một toán có nhiều cách giải, song việc tìm cách giải hợp lí, ngắn gọn, sáng tạo độc đáo điều bất giáo viên mong học sinh có 13 Đây chuyên đề vừa sức với em học sinh có lực môn Toán việc em lĩnh hội không gặp nhiều khó khăn Điều khó khăn triển khai chuyên đề thời lượng nội dung bất đẳng thức chương trình Toán THCS không nhiều khó Thường nội dung tài liệu nâng cao chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi II- Kiến nghị Sau tổng kết thực nghiệm sư phạm, có số đề xuất sau: - Mỗi GV cần xây dựng cho hệ thống câu hỏi, tập riêng, với việc rèn luyện kỹ sáng tạo toán - Mỗi GV nên tích cực tổ chức dạy học dạng chuyên đề, chủ đề, để HS có nhìn tổng quát kiến thức, kỹ phương pháp giải toán Qua thực tế cho thấy học sinh nhà trường gặp nhiều khó khăn nội dung Vì vậy, giáo viên cần hệ thống tập lựa chọn phù hợp với đối tượng học sinh, giúp em nắm vững kiến thức kĩ giải toán Có em tự tin yêu thích môn Toán nói chung Bất đẳng thức nói riêng Từ tạo cho học sinh phương pháp tự học, tự nghiên cứu Tuy nhiên, nội dung chuyên đề rộng, song khuôn khổ thời gian có hạn, thân đưa số ví dụ, tập điển hình Rất mong đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp để chuyên đề hoàn thiện XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Như Thanh, ngày 25 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Vũ Chí Cường 14 ... n Dấu = xảy a1 = a = = a n a+b ≥ ab Dấu = xảy a = b - Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm: - Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm: a +b+c ≥ abc Dấu = xảy a = b = c * Một số hệ bất. .. chứng minh bất đẳng thức giải tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức III- Đối tượng nghiên cứu: Xây dựng phương pháp tìm tòi lời giải toán bất đẳng thức, cực trị liên quan đến bất đẳng thức... Phân tích tìm tòi lời giải: Trong bất đẳng thức vai trò số a,b,c Ta dự đoán dấu = xảy a = b = c Thử lại, ta thấy thỏa mãn a b2 a b2 c2 b2 c2 a c2 Để ý, = ; = ; = , sử dụng bất đẳng thức