Đang tải... (xem toàn văn)
bai tap ve phuong trinh duong thang hay nhat 78539 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn...
TiÕt 54 Bµi tËp vÒ ph¬ng TiÕt 54 Bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng tr×nh ®êng th¼ng M o u r §êng th¼ng d qua M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) víi vÐc t¬ chØ ph¬ng ( ; ; )u a b c= r Cã ph¬ng tr×nh tham sè: 0 0 0 x x at y y bt z z ct ì = + ï ï ï ï = + í ï ï = + ï ï î HoÆc ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c: 0 0 0 x x y y z z a b c - - - = = Bài tập 1 trang 91: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc và tổng quát của các đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: a) Đi qua điểm ( 2; 0; -1) và có véc tơ chỉ phương (-1; 3; 5) Giải: Đường thẳng đã cho có phương trình tham số: 2 3 1 5 x t y t z t ỡ = - ù ù ù ù = ớ ù ù =- + ù ù ợ Hoặc phương trình chính tắc: 2 1 1 3 5 x y z- + = = - Từ phương trình chính tắc suy ra phương trình tổng quát: 2 1 3 1 3 5 x y y z ỡ - ù ù = ù ù - ù ớ ù + ù = ù ù ù ợ 3 6 0 5 3 3 0 x y y z ỡ + - = ù ù ớ ù - - = ù ợ Bài tập 1 trang 91: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc và tổng quát của các đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: b) Đi qua điểm ( -2; 1; 2) và có véc tơ chỉ phương (0; 0; -3) Giải: Đường thẳng đã cho có phương trình tham số: 2 1 2 3 x y z t ỡ =- ù ù ù ù = ớ ù ù = - ù ù ợ Hoặc phương trình chính tắc: 2 1 2 0 0 3 x y z+ - - = = - Từ phương trình chính tắc suy ra phương trình tổng quát: 2 0 1 0 x y ỡ + = ù ù ớ ù - = ù ợ Bài tập 2 trang 91: Viết phương trình đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: a) Đi qua điểm ( 4; 3; 1) và song song với đường thẳng: 1 2 3 3 2 x t y t z t ỡ = + ù ù ù ù =- ớ ù ù = + ù ù ợ Giải: Đường thẳng đã cho có véc tơ chỉ phương (2;-3; 2) do đó có phương trình tham số: 4 2 3 3 1 2 x t y t z t ỡ = + ù ù ù ù = - ớ ù ù = + ù ù ợ Bài tập 2 trang 91: Viết phương trình đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: b) Đi qua điểm ( -2; 3; 1) và song song với đường thẳng: 2 1 2 2 0 3 x y z- + + = = Giải: Đường thẳng đã cho có véc tơ chỉ phương (2; 0; 3) do đó có phương trình chính tắc: 2 3 1 2 0 3 x y z+ - - = = Chú ý: Đường thẳng 0 ' ' ' ' 0 Ax By Cz D A x B y C z D ỡ + + + = ù ù ớ ù + + + = ù ợ Có một véc tơ chỉ phương ; ' ' ' ' ' ' B C C A A B u B C C A A B ổ ử ữ ỗ ữ = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ r Ví dụ: Đường thẳng 3 0 2 5 4 0 x y z x y z ỡ + - + = ù ù ớ ù - + - = ù ợ có một véc tơ chỉ phương: 1 1 1 1 1 1 ; 1 5 5 2 2 1 u ổ ử - - ữ ỗ ữ = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ - - ố ứ r (4; 7; 3)- - Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1c; 2c; 5; 8 SGK/92 Onthionline.net BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THĂNG 1) viết phương trình đương trung trực tam giác ABC biết trung điểm cạnh M(-1;-1) , N(1;9),P(9;1) 2) cho điểm A(-6;-3),B(-4;3), C(9;2) a, viết phương trình đường thẳng d chứa đường phân giác góc A b tìm điểm P thuộc d cho ABPC la hình thang 3.) lập phương trình cạnh tam giác ABC biết C(4;-1) Đường cao đường trung tuyến hạ từ đỉnh có phương trình là: 2x-3y+12=0 2x+3y=0 4) cho điểm A(-1;3) B(1;1) d:y=2x a tìm C thuộc d để tam giác ABC cân b.tim C thuộc d để tam giác abc 5) cho M(3;0) d1: 2x-y-2=0 d2: x+y+3=0 Viết phương trình đương thẳng d qua M cắt d1 A,d2 B : MA=MB 6) cho tam giác ABC có AB=AC, góc A vuông biết M(1;-1)_ trung điểm BC , G(2/3;0) _ trọng tâm tam giác ABC tìm tọa độ đỉnh tam giác 7) lập phương trình đương thằng cạnh hình vuông có đỉnh A(-4;5) đường chéo có phương trình 7x-y+8=0 8) cho tam giác ABC có M(-2;2)_trung điểm BC phương trình cạnh AB x-2y-2=0 AC: 2x+5y+3=0 Tìm tọa độ đỉnh 9) cho tam giác ABC có A(-1;-3) đường trung trục cạnh AB 3x+2y-4=0 G(4;-2)_ trọng tâm Tìm tọa độ đỉnh B,C 10) lập phương trình cạnh tam giác MNP biết N(2;-1) , đường cao hạ từ M 3x-4y+27=0 đường phân giác góc p x+2y-5=0 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I. Một số kiến thức cơ bản cần nắm vững 1. Các dạng phương trình đường thẳng * Phương trình tham số: 0 1 0 2 x x u t y y u t = + = + * Phương trình tổng quát: ax + by + c = 0. 2. Mối liên hệ giữa các yếu tố của đường thẳng - Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ( ; )n a b= r thì sẽ có vectơ chỉ phương ( ; )u b a= − r và ngược lại. - Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương 1 2 ( ; )u u u= r thì sẽ có hệ số góc 2 1 u k u = . - Nếu đường thẳng d có hệ số góc k thì có một vectơ chỉ phương (1; )u k= r . - Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến. - Nếu ∆ ⊥ d thì ∆ nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến và ngược lại. - Nếu M ∈ d có phương trình: 0 1 0 2 x x u t y y u t = + = + thì M có toạ độ là M( 0 1 0 2 ;x u t y u t+ + ). - Nếu M ∈ d có phương trình: 0ax by c+ + = thì M có toạ độ là M( 0 0 ; c ax x b − − ). II. Một số dạng bài tập thường gặp 1. Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng Bài 1. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d biết: a) d đi qua A(2; 3) và có vectơ chỉ phương (7; 2)u = − r . b) d đi qua B(4; -3) và có vectơ pháp tuyến (7;3)n = r . c) d đi qua C(-2; 5) và song song với đường thẳng d’: 4x - 5y +10 = 0. d) d đi qua điểm D(-5; 3) và vuông góc với đường thẳng d: 1 2 4 9 x t y t = − = + . Bài 2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ biết: a) ∆ đi qua điểm M(2; 5) và song song với đường thẳng d’: 1 3 4 5 x t y t = − = + . b) ∆ đi qua N(3; 4) và vuông góc với đường thẳng d: 4x - 7y + 3 = 0. c) ∆ đi qua P(2; -5) và có hệ số góc k = 11. d) ∆ đi qua hai điểm E(-3; 3) và F(6; -1). Bài 3. Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(2; 3) và C(1; -5). a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác. b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác. c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực của cạnh BC. e) Lập phương trình đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A của ∆ABC. Bài 4. Cho tam giác ABC biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; -2). a) Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác. b) Lập phương trình đường cao AH và trung tuyến AM. Bài 5. Cho tam giác ABC có A(-4; 5), B(6; -1), C(-1; 1). a) Viết phương trình các đường cao của tam giác đó. b) Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác đó. c) viết phương trình đường trung trực cạnh BC. Bài 6. Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x + 3y = 0 và 2x - 5y + 6 = 0, một đỉnh của hình bình hành là C(4; 1). Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành. 2. Một số bài toán về giải tam giác. Bài 1. Cho tam giác ABC có B(-4; -3), hai đường cao có phương trình là 5x + 3y + 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0. Lập phương trình các cạnh của tam PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I. Một số kiến thức cơ bản cần nắm vững 1. Các dạng phương trình đường thẳng * Phương trình tham số: 0 1 0 2 x x u t y y u t = + = + * Phương trình tổng quát: ax + by + c = 0. 2. Mối liên hệ giữa các yếu tố của đường thẳng - Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ( ; )n a b= r thì sẽ có vectơ chỉ phương ( ; )u b a= − r và ngược lại. - Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương 1 2 ( ; )u u u= r thì sẽ có hệ số góc 2 1 u k u = . - Nếu đường thẳng d có hệ số góc k thì có một vectơ chỉ phương (1; )u k= r . - Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến. - Nếu ∆ ⊥ d thì ∆ nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến và ngược lại. - Nếu M ∈ d có phương trình: 0 1 0 2 x x u t y y u t = + = + thì M có toạ độ là M( 0 1 0 2 ;x u t y u t+ + ). - Nếu M ∈ d có phương trình: 0ax by c+ + = thì M có toạ độ là M( 0 0 ; c ax x b − − ). II. Một số dạng bài tập thường gặp 1. Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng Bài 1. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d biết: a) d đi qua A(2; 3) và có vectơ chỉ phương (7; 2)u = − r . b) d đi qua B(4; -3) và có vectơ pháp tuyến (7;3)n = r . c) d đi qua C(-2; 5) và song song với đường thẳng d’: 4x - 5y +10 = 0. d) d đi qua điểm D(-5; 3) và vuông góc với đường thẳng d: 1 2 4 9 x t y t = − = + . Bài 2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ biết: a) ∆ đi qua điểm M(2; 5) và song song với đường thẳng d’: 1 3 4 5 x t y t = − = + . b) ∆ đi qua N(3; 4) và vuông góc với đường thẳng d: 4x - 7y + 3 = 0. c) ∆ đi qua P(2; -5) và có hệ số góc k = 11. d) ∆ đi qua hai điểm E(-3; 3) và F(6; -1). Bài 3. Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(2; 3) và C(1; -5). a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác. b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác. c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực của cạnh BC. e) Lập phương trình đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A của ∆ABC. Bài 4. Cho tam giác ABC biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; -2). a) Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác. b) Lập phương trình đường cao AH và trung tuyến AM. Bài 5. Cho tam giác ABC có A(-4; 5), B(6; -1), C(-1; 1). a) Viết phương trình các đường cao của tam giác đó. b) Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác đó. c) viết phương trình đường trung trực cạnh BC. Bài 6. Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x + 3y = 0 và 2x - 5y + 6 = 0, một đỉnh của hình bình hành là C(4; 1). Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành. 2. Một số bài toán về giải tam giác. Bài 1. Cho tam giác ABC có B(-4; -3), hai đường cao có phương trình là 5x + 3y + 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0. Lập phương trình các cạnh của tam giác. Bài 2. Cho tam giác ABC có B(2; -7), phương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Phương trình đường thẳng Mục lục 1 Lập phương trình đường thẳng 1 1.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 5 2.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 7 3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . 7 3.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Góc giữa hai đường thẳng 9 4.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 Lập phương trình đường thẳng 1.1 Phương pháp giải 1. Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) và một véc tơ chỉ phương u = (u 1 ; u 2 ) của ∆. ∆ M 0 (x 0 ; y 0 ) u PT T S ∆ : x = x 0 + u 1 t y = y 0 + u 2 t ; PTCT ∆ : x − x 0 u 1 = y −y 0 u 2 (u 1 0, u 2 0) 2. Để lập phương trình tổng quát ta cần xác định một điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈ ∆ và véc tơ pháp tuyến n = (a; b) của ∆. ∆ M 0 (x 0 ; y 0 ) n ∆ : a(x − x 0 ) + b(y −y 0 ) = 0 3. Bài toán lập phương trình đường thẳng • ∆ đi qua hai điểm A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) (x A x B ; y A y B ). ∆ : x − x A x B − x A = y −y A y B − y A • Phương trình theo đoạn chắn: ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b 0) ∆ : x a + y b = 1 • Phương trình theo hệ số góc: ∆ đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) có hệ số góc k. y −y 0 = k(x − x 0 ) ∗ Ta có thể chuyển đổi qua lại giữa phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một đường thẳng. 4. Tìm M đối xứng với M qua đường thẳng d: Cách 1: • Viết phương trình ∆⊥d và đi qua M. 1 • Xác định I = d ∩ ∆ (I là hình chiếu của M trên ∆). • I là trung điểm của MM . Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM . M đối xứng với M qua d. Giải hệ bằng phương pháp tọa độ : −−−−→ MM ⊥ u d I ∈ d 5. Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với d qua I. • Chọn A ∈ d, tìm A đối xứng với A qua I • Viết phương trình d song song với d qua I. 6. Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với d qua ∆. A I d d ∆ ∆ d d A A A * Nếu d//∆: • Chọn A ∈ d, tìm A đối xứng với A qua ∆. • Viết phương trình đường thẳng d song song với d qua A . * Nếu d ∩ ∆ = I: • Chọn A ∈ d (A I). Tìm A đối xứng với A qua ∆. • Viết d qua A & I. 1.2 Bài tập 1. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có), phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ chỉ phương u. (a) M(−2; 3), u(5; −1) (b) M(−1; 2), u(−2; 3) (c) M(3; −1), u(−2; −5) (d) M(1; 2), u(5; 0) (e) M(7; −3), u(0; 3) (f) M ≡ O(0; 0), u(2; 5) 2. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có), phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến n. 2 (a) M(−2; 3), n(5; −1) (b) M(−1; 2), n(−2; 3) (c) M(3; −1), n(−2; −5) (d) M(1; 2), n(5; 0) (e) M(7; −3), n(0; 3) (f) M ≡ O(0; 0), n(2; 5) 3. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có), phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M và có hệ số góc k . (a) M(−3; 1), k = −2 (b) M(−3; 4), k = 3 (c) M(5; 2), k = 1 (d) M(−3; −5), k = −1 (e) M(2; −4), k = 0 (f) M ≡ O(0; 0), k = 4 4. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có), phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A, B. (a) A(−2; 4), B(1; 0) (b) A(−2; 3), B(1; 3) (c) A(3; 0), B(0; 5) (d) A(5; 3), B(−2; −7) (e) BÀI GIẢNG SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG PHẦN Bài toán 1: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng Phương pháp: Xác định vecto phương vectơ pháp tuyến đường thẳng Tìm điểm M thuộc đường thẳng Viết phương trình đường thẳng theo công thức Đường thẳng qua M x0 ; y0 nhận n A; B làm vecto pháp tuyến có phương trình tổng quát A x x0 B y y0 Đường thẳng d qua M x0 ; y0 nhận n a; b làm vectơ phương x x0 at x x0 y y0 d : , t R (Pt tham số ) d : ( Pt tắc) a b y y0 bt Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng trường hợp sau a Đường thẳng qua điểm M(2;-5) nhận vectơ u 4; 3 làm vecto phương b Đường thẳng qua hai điểm A(1;-4) B(-3;5) c Qua điểm N(3;-2) nhận vectơ n 4; 3 làm vectơ pháp tuyến Giải a Đường thẳng nhận u 4; 3 làm vtcp nên nhận vectơ n 3; làm vtpt qua M 2; 5 Có phương trình tổng quát : x y 5 3x y 14 b Ta có , AB 4;9 Đường thẳng AB nhận AB 4;9 làm vectơ phương, nên nhận vectơ n 9; làm vtpt qua A (1;-4) nên có phương trình tổng quát : x 1 y x y c Đường thẳng qua điểm N(3;-2) nhận vecto n 4; 3 làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát : x 3 y x y 18 Ví dụ 2: a Viết phương trình tham số đường thẳng : 3x y x 2t b Viết phương trình tổng quát đường thẳng : y 3t Giải a Cách 1: Lấy hai điểm, ví dụ M 0; 2 , N 1;1 thuộc đường thẳng : 3x y Khi MN 1;3 vectơ phương nên có phương trình tham số x t , t R y 2 3t y 2 t 3 x t Đường thẳng cho có phương trình tham số 3 , t R y t Cách 2: Cho y t ta có x x 2t b Từ phương trình tham số , t R ta có phương trình tắc đường thẳng y 3t x 1 y 2 Phương trình tổng quát x 1 2 y 3 x y Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A(2;0), B(4;1), C(1;2) Hãy viết phương trình cạnh tam giác, phương trình đường cao AH, đường trung tuyến AM, đường phân giác AI tam giác ABC, phương trình đường trung trực BC Giải Ta có AB 2;1 vecto phương AB x2 y 0 x 2y BC 3;1 vecto phương BC Phương trình đường thẳng AB : x y 1 x 3y 3 AC 1; vecto phương AC Phương trình đường thẳng BC : x2 y 0 2x y 1 Đường cao AH nhận BC 3;1 làm vec tơ pháp tuyến Phương trình đường cao AH Phương trình đường thẳng AC : 3 x 1 y 1 3x y 13 x A xB 24 xM xM 1 M trung điểm BC nên M 3; 2 y y A yB y 1 M M 2 1 AM 1; vtcp AM hay AM 2;1 1vtcp AM Phương trình trung 2 x2 y 0 tuyến AM : AM : x y Phương trình đường phân giác x y 1 x 2y 2x y 5 3 x y phân giác A Lần lượt thay tọa độ B, C vào vế trái (1) ta đượ( 4+3.1-2) (1+3.2-2)=25>0 Do B C nằm phía với đường thẳng có phương trình (1) Do phương trình đường phân giác góc A : 3x y 1 Đường trung trực BC nhận BC 3;1 làm vtpt, qua M 3; có phương trình 2 1 19 3 x 3 1 y 3x y 2 Bài tập Bài Viết phương trình đường cao tam giác ABC biết A(-1;2), B(2;-4), C(1;0) Đáp số: x-4y+9=0, x-y-6=0, x-2y-1=0 Bài Viết phương trình đường trung trực tam giác ABC biết M(-1;1), N(1;9), M(9;1) trung điểm ba cạnh tam giác Đáp số: x+4y-13=0, x-y+2=0, x-1=0 Bài Lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng d biết d qua hai điểm M(3;6) N(5;-3) x 2t x y Đáp số: , 9 y 9t Bài Viết phương trình tổng quát đường thẳng sau x t x 3 x 2 3t a , b , c y 2 t y 2t y Đáp số: a x y 0, b x 0, c y Bài Viết phương trình tham số đường thẳng a x y 0, b x 1 0, c y x t x x t , b , c Đáp số: a y 3 2t y t y Bài Cho hai