19 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨCPhương pháp 1 : Dùng định nghĩaKiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với MVí dụ 1  x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz ¬c) x + y + z +3 2 (x + y + z)Giải:a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = .2 .( x + y + z - xy – yz – zx)= đúng với mọi x;y;z Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

PHAN I CAC KIEN THUC CAN LUU Y 1/Định nghĩa , 2 BS A~B20 A<BœA-B<0

+A>B => A">B' vớinlẻ

+|A|>|8|L = A">B" véinchan

+m>n>0vàA>l = A”> A"

+m>n>0và0<A<l > A”< A"

+A<BvaAB>0 = 151 A B

3/Một số hằng bắt đẳng thức

+A” >0với VA ( dấu = xảy ra khi A = 0)

+A" > 0 voiv A ( dâu = xảy ra khi A =0)

+|4l>0 với v4 (dâu= xảy ra khi A=0)

+ -|A|[< A = |4

+ |4+8|>|4|+|s|_ ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)

+ |4-B|<|4|-|B| ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

a) Ta xét hiệu : x? + y + z”- Xy — ÿZ — ZX =52 (x”+y”+z”-Xy— yZ— ZX)

=; («-») +(x-z2)” +œ-~z)?|> 0 đúng với mọi x;y;Ze R

Vì (x-y)” >0 vớiVx ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-2” >0 vớiVx ; z Dấu bằng xảy ¡ra khi x=z

19 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức

(y-z) 20 voiV z; y Dau băng xảy ra khi z=y

Vay x? ty? +z? > xy+yz+zx Dấu bằng xảy ra khi x= y =z

b)Ta xét hiệu: x” + y? + z” - (2xy — 2xz +2yz ) = x? + y” +z”- 2xy +2xz—2yz

=(x—y+z)” >0 đúng với mọi x;y;ze R

Vậy x? +y? +z” > 2xy— 2xz+2yz đúng với mọi x;y;ze R

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

c) Ta xét hiệu: x” + y° + z” +3 — 2( x+ y †+z) = x”- 2x + l+y” -2y +I +z” -2z +l

= (x-1)*+ (y-1) *+(z-1)?> 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1

a) Ta xét hiệu oer (ee) 2 2

".ˆ)" ố =! (a? +26? =a? ~b3 ~2ab)} =Ì(a— B}) >0 4 4 4 4

Vậy a" :(“”) Dấu bằng xây ra khi a=b

b)}Ta xét hiệu

a = +¢ #2] =gle-5Ÿ +(ø~e} +(e~a} |>0.Vậy : ce vía : e

Dấu bằng xảy ra khi a= b =c

c)Téng quat ai, +đ; + +d, > (* +4; + +d, )

Tóm lại các bước để chứng minh A >B theo định nghĩa

Bước 1: Ta xét hiệu H=A-B

Bước 2:Bién d6i H=(C+D)’ hoặc H=(C+D)” + +(E+F)?

Giải: Ta có : aˆ +” +c” 3 aDc(a+b+c), Va,bD,c >0

©a1+b*+c*—a”be— b?ac —c”ab 3 0

& 2a* +2b* +2c* —2a*be — 2b’ ac — 2c’ ab =0

S (@ _b°} + 2a°*b* +(b? -o} +2Ù°c? +Íe? -a’) +24”c”

Chú ý các hăng đăng thức sau:

(A+ B) =A? +2AB+B?

a) a+" 2 ab 4a’ +b" >4ab = 4a* —4a+b? >0 & (2a-b) 20

(BDT nay luôn đúng) Vậy a” + >ab (dau bằng xảy ra khi 2a=b)

b) a?+b?+l>ab+a+b<>2(4?+b?+1 )>2(ab+a+b)

©a?-2ab+b°+a”—2a+1+b”—2b+1>0

©(a-b)}?+(a~U)? +(b—1?>0 Bắt đẳng thức cuối đúng

Vậy a?+b?+1>ab+a+b Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

€) a2+b?+c?+d?+e? >a(b+c+d+e)© A( a?+b?+c?+d?°+e? )>4a(b+c+d+e)

«© (a? —4ab + 4b?)+ (a? - 4ac + 4c”) + (a? — 4ad + 4d?)+ (a? -4ac + 4e?)> 0

= (a— 26) +(a-2e}” +(a-2d) +(a-2cY >0

Bắt đắng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rang: (a +" fa? +6?)> (a° +55 a* + b*)

Giải:

(2° +b” Ya? +b7)> (a +b8 Yat +b*) © a9 +a!9b? +á?b! +bP >ạP +aŠb® +a*bŠ + b

© a°b°(a°—b?)+a°b°(p? =a?)>0 ©- a”b?(a”-b”)(a5-b”)> 0

©-a”b”(a”-b”) (a'+ a”b+b') > 0 3

19 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức Bat đang Thữccuự đúng vậy ta co dieu phai ching minh

Vi du 3: chox.y=1 vax)y Chứng minh X ý v22

x-y

_>22 vì :x)y nên x-y) 0 =x"+y*> 2/2(x-y)

Giai: “7”

x=y

> x+y" 2V2 xt2V2y 206 x°+y+2- 22/2 x+2A2 y -2 >0

@ xtyt+(/2)- 2/2 x+2/2y -2xy >0 vì x.y=l nên 2.x.y=2

=(x-y-v2)” > 0 Điều này luơn luơn đúng Vậy ta cĩ điều phải chứng minh

Ví dụ 4: Chứng mình rằng:

a/ P(x,y)=9x°)y?+y°—6xy-2y+l>0 VWx,yeR

b/va?+b°+e° <|a|+|b|+lc| (gợi ý :bình phương 2 về)

c/ Cho ba số thực khác khơng x, y, z thỏa mãn:

=2 trong 3 số x-l , y-l , z-I âm hoặc cả ba s6-1, y-1, z-1 1a dương

Nếu trường hợp sau xảy ra thi x, y, z>l >x,y Z| Mau thuan gt x.y.z=l bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là cĩ đúng | trong bas SỐ X „y ,z là số lớn hơn l

Cộng vê theo vê các bât đăng thức (4), (5), (6), ta được :

Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: (x+ y}” > 4xy

Tacó (a + by >4ab; (b + cy >4be ; (c + ay > 4ac

=> (a+b) (b+c) (c+a) = 64a7b*c? = (Sabc)’ > (a+b)(b+c)(c+a) >8abc

Dau “=” xay ra khia=b=c

Dau “=” xay ra khi a, =a, = =a,

Chứ ý : ta dùng bat đẳng thức Côsi khi dé cho biến số không âm

Vậy phương trình tương đương với :

Ví dụ 2 : Cho x, y, z> 0 và x + y+z= I Tìm GTLN của P=— —+-—+ x+l y+l z+l

) = 3-Q Theo BDT Cési, néua, b, c >0 thì

Z

1 +——+ 1 1

x+l y+l z+l

Ví dụ 3: Choa, b, c>0 Chimg minh rang: +5 +t <

athe b’+ac c’+ab 2abe

Dau “=” xay ra khia=b=c

Vi du 4: CMR trong tam giac ABC :

Giải : Theo bat đăng thức Côsi :

a + b + c >33 abc b+c-a c+a-b at+b-c (b+c—a)(e+a—b)(a+b—c)

Giải: Đặt ƒ() = x” -(a+c)x+ae=0 có 2 nghiém a,c

Ma:a<b<c=> ƒ(b) <0 © b°~(a+e)b+ ac<0

b+ Sateœ yb+acs <(a+c)y

= 200+ vb ze)a{ = ++) <(a+e x+ y+z)

Lai co: |a,b, + a,b, + +.4,,b,| < \a,b,|+|a,b,|+ +|a,,6,|

Suy ra: (a,b, +.,b, + +4,b,)° <(a; +a) + +a7 (by +b5 + 4+b7) nen

Chứng minh rằng: vxe R , ta CÓ: sinŸ x+ cos x > §

Giải: Ta có: sin” x+cos” x=l,Vx®

Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

l= (sin? x.1+cos? x4) < (sin* x+cos* x)(I? +1)

S Ie sin* x+cos* x > Ie (sin* x+cos* x) 2 4

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:

(a,a,

a=t,

Vi du 1: Cho |

19 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức

© ằ < (sin* x.1+cos* xl) © as (sin x+cos*® x)(P +1) © (sin* x+cos* x) >

Vi du 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhon Tim GTLN cua:

P= 4+ tan 4.tan 8 + A/I+ tan 8.tanC + A/1+ tan C.tan 4

Giải:

* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng

Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: (a,,b, ,c,)(¡ = I,2, ,w)

Thế thì:

4q„ + bịb; Đụ„ + + CiC; C, ") S (al +b" + 4¢)" ay + by + +e7)đ„> + bạ + +em)

Dấu”=” xảy ra © 31 bô sỐ (a,b, ,c) sao cho: với mỗi ¡ = I,2, ,m thì 3 t, sao cho:

a,,b=t,b,, c =f,c,, Hay a,:b,: :¢, =a, 1b, 1.0.10, =a, 2b, 2.0,

2

a, +a; + +ay =3 neZ,n>2

Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

V(ate) +(b+d) <Va +h? +V0? +a’

Giai: Ding bat dang thire Bunhiacopski: Tacd actbd< Va? +b? Ve? +a”

ma (a+c} +(b+d) =a +b? +2(ac +bd)+c? +3? <(@ +b) +2Va’ +Ù?Ac?+ad?+c?+đ?

=> \(atc) +(b+dy <Va? +b? +Ve? +a?

Ví dụ 3: Chứng minh rằng : a? +b? +c? 2ab+be+ac

Giải: Dùng bất đắng thức Bunhiacopski

Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,e) ta có (Ứ +1? +1?Xa?+ø2+e?)>(La+1ø+Le}

> 3(@ +h? +e? ?)>a? +b?+c? * + 2(ab + be + ac)

sath’ +c? 2abtberac, Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Phương pháp 6: Bát đăng thức Trê- bư-sép

Kiến thức:

Dấu ‘=’ xay ra khi va chi khi| “' “2 "> & b, =b, = =b,

Ví dụ I: Cho AABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 va

sin 4.sin 2z + sin Ö8.sin 2Ö + sin C.sin 2C _ 25

S là diện tích tan giác chứng minh răng A ABC là tam giác đêu

Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư 0< 4< 8<€< :Suy ra:

sin 4 <sin 8 <sin C

sin 2a < sin 2ð < sin 2C

Áp dụng BĐT trebusep ta được:

(sin A+ sin B + sin C\sin 24 + sin 2B + sin 2C) >

> 3(sin A.sin 2A + sin B.sin 2B + sin C.sin 2C)

sin A.sin 74 +sin B.sin 28+ sin C.sin 2C < | sin 24+ sin 2B + sin 2C)

sin A+sin B+sinC 3

ky c2 sin A =sin B =sinC

sin 2A = sin 2B = sin 2C

Mat khac:

sin 2A +sin 2B + sin 2C = 2sin( A+ B).cos(A — B) + sin 2C

=2sin C[cos(A — B)+cos lôi =2sin C[cos(A —B)-cos(A+ B)|

=2sin C.2sin A.sin B = 4sin Asin BsinC

=(2Rsin A)(2Rsin B).sinC =ab.sinC=2S (2)

Thay (2) vào (1) ta có

sin 4.sin 2ø + sin 8.sin 2Ö + sin C.sin 2Œ < 25

„ sin 4 + sin 8 + sin C ~ 30

Dâu “=) xảy ra © A ABC đêu

19 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức d)Cho x>0,y>0 thoa man 2Vx —/y =1 ;CMR: xty2 =

a + bề + e xi Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=-—

Ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd=l Chứng minh rằng :

4a?+b?+e? +4? +a(b+e)+ b(c + đ)+ d(c + a)>10

Giải: Ta có a?+°” >2ab

Vậya? +b? +e? +đ? +a(b+e)+ b(c + d)+ dc +a)>10

Phương pháp7 Bat đẳng thức Bernouli

Kiên thức:

a)Dạng nguyên thủy: Cho a>-l, 1< øeZ thì (1+a)" >1+na Dau ‘=’ xay ra khi và chỉ

khi | " n=l

b) Dang m6 rong:

- Cho a>-l,a>1 thi (1+a)* >1+na Dau bang xay ra khi va chi khi a = 0

- cho a>-1,0<a <1 thi (1+a)* <1+na Dau bang xay ra khi va chỉ khi ont

Chứng minh tương tự: ø“ > ¬ Suy ra a“+b“>1 (đpcm)

Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây:

“Cho a,,a; a„ >0;z >1 Chứng minh răng

ai +4; + †đ, `[ đa +4, + 1đ,

Dau ‘=’ © a, =a, = =a,.(chimg minh tương tự bài trên)

Ví dụ 3: Cho 0 <x, y,z <1 Chứng minh rằng

19 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức 9a(uxbxe)e| +2 +2 ]32ex+B|S+y +2)

Chú ý: Bai toán tổng quát dạng này

“ Cho n số Xi.Xz, ,X„ € [a,b],c >l

Ta luôn có:

< leet +e"

= Ác“:

Phương pháp 6: Sử dụng tính chất bắc cầu

Kiến thức: A>B và B>C thì A>C

Vi du 1: Cho a, b, c ,d >0 thoa mãn a> c+d, b>c+d

Vi du 2: Cho a,b,c>0_ thoa man a? +8? +c? =~, Chimg minh 14141 3 a b ec < abe

Taco Weg > Net => (a-c)(b-d) > cd

Giải: Ta có :( atb- c}= a~+b?+c”+2( ab -ac — be) ) 0

Do a>0, b>0 nên ab>0= (I-a).(1-b)>l-ab (I)

Do c <I nên I- c >0 ta có > (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c

=> (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-dtad+bd+ed

= (l-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)

Vi du 4: Cho 0 <a,b,c <1 Ching minh rang: 2a` +2b` +2c` <3+a°b+b°e+c?a

Giai:

Doa<l = a”<l và

Ta có (—a?)(I—»)<0 => I-b-z+a'b>0= I+a>a'+b

ma0<ab<l > @>a,b>b

Từ (1) và (2) = l¢+a@ b> a+b Vay a+b? <1+a° bd?

Tươngtự ?øÌ+cÌ<l+0°e; eÌ+a`< l+c?a

Cộng các bất đắng thức ta có :2a” +2b* +2e* <3+a°b+b°e+c?a

Vi du 5 Ching minh rang : Néu a? +b? =c? +d? =1998 thi] actbd| =1998

Giai:

Ta c6 (ac + bd)* + (ad—be )* =a°c* + b?d’ + 2abed +.a°d * +b’c?-2abed=

= a(cˆ+d”+b?(cˆ+d”) =(c¬~+đ”).( aˆ+1 2b) = 19987

rõ ràng (ac†bd}” < (ac+ hd) +(ad—be) =1998" = Jac + bd| < 1998

Ví dụ 6 (HS tự giải) :

a/ Cho các sô thực : ai; aa;as ;4aoox thỏa mãn : ai† as†as + T2ooa =]

chứng minh răng : aj; tay +a; + 4+a5; > 2003

b/ Cho a;b;c >0 thỏa mãn :a+b+c=l

a+b+c b+ct+d c+d+a d+a+b

Giải: Theo tính chât của tỉ lệ thức ta có

a+b+c b+c+d c+d+a d+ta+b

Vi du 2 :Cho:“<€ và b,d>0.Chứng minh rằng “< abe ed <£

Giải: Từ <°=“<°“ “2, 22te bod bˆ da bo be +d° a _e¢ d d

Vậy “<“”*Œ°_€ b b+d° d điều phải chứng minh

13

(*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = 1 TH, + ÐH,

Ta có gắng biến đổi số hạng tổng quát u, về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:

Uy, = 4, — Ay,

Khi d6 :S = (a,—a,)+(a, -a,)+ +(a, -4,,,)=4,-4,,,

(*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = z„„ z,

l+-—+-=+ +-=>2|Nn+1I-—I BB wey) Với n là sô nguyên

Giai: Taco =? _ Jk 2k ? _ e+ Jes = ae +1 - Vk)

Khi cho k chay tir 1 dén n ta c6

1 >2(V2-1)

1

357 203-2)

14

~— > 2{Vn+1-Vn)

vn

Cộng từng về các bât đăng thức trên ta có 1+ =+—~+ 4 mens ° BOB I = > 2\Vn+1-1

Phuong phap 11: Ding bat đẳng thức trong tam giác

Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0

Và |b-c|<a<b+c ;|a-c|<b<a+c ; la-b|< e< b†a

Vi du 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng

Cộng từng về các bất đẳng thức trên ta có: a“+b”+c”< 2(ab+bc+ac)

2/Tacé a>|b-c| => a?>a?-(b-c)?>0

1/ Cho a,b,c là chiêu dài ba cạnh của tam giác

Chứng minh rằng ab+be+ca<a?+b?+e? <2(ab+be+ca)

2/Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2

15

19 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức

Chung minh rang a +b> +c +2abe <2

Phương pháp 12: Sw dụng hình học và tọa độ

Vi du 1: `

Chứng minh răng : e(a—c) +.,/e(b-c) < Vab ,Va>b>0 Va b>c

Giai

Trong mặt phẳng Oxy, chọn „=(/eJb—e); v=(Úa-e,4e)

Thì |=/ø, |= Vas uv=Jc(a—c) + Je(b—o)

Hon nita: y= llr} cos(u, v)< HN =-/e(=e) +2je@~e)<xab (DPCM)

M.(xiyị): M;(Xi+x;,Vị + y;)š; ; M„(x, +K +x„ vị +K +y,„)

Giả thiệt suy ra M„ e đường thắng x + y = I Lúc đó:

OM, =\x tỷ » M,M,= x+y; > M,M,=\x;+y5 see MM, = Vx, ty,

Bắt đắng thức cuối cùng đúng vi (24222, “+*>2; “+#>2nên ta có điều

Ví dụ3: Chox>0 ,y>0 thỏa mãn 2/x- jy=I CMR x+y2 2

Goi y: Dat Vx=u , Jy=v =2u-v=l vàS=x+y=z?+y?=v=2u-l

thay vao tinh S min

Phương pháp 14: Dùng tam thức bậc hai

Kiến thứ: Cho f(x) = ax’ + bx +c

Vi du 1:Chimg minh rang (x, y)=x° +5y?—4xy +2x-6y+3>0 (1)

Giải: Ta có (l) © x°-2x(2y-1)+5y? -6y+3>0

A'=(2y-1) -5y?+6y-3 =4y?-4y+1-5y? +6y—3=-(y-l) -1<0

Vay f(x,v)>0 véi moi x, y

Vi du2: Chứng minh rang: ƒ(x.y)=x°y! +2(x? +2) +4xy+x” >4xyÌ

Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

x?y! +2(x? +2)y? + 4xy +x? —4xy? > 0 & (y? +1)?.x? +4y(I- y}'x+4y? >0

5

Ta có A’=4y*(1-y’) -4y?(y? +1) =-16y? <0

Via= (y? +1) >0 vay f(x, y)>0 (đpcm)

Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học

Kiến thức:

Đề chứng minh bắt dang thức đúng với _ø> ø,ta thực hiện các bước sau :

1 — Kiểm tra bat đẳng thức đúng với »=ø,

2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp )

3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k+l (thay n= k†lvào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi dé dùng giả thiết quy nạp)

4 - kết luận BĐT đúng với mọi ø>ø,

Vi dul: Ching minh rang: Bt pp tet i S2TT VneN;n>] (D)

Giải: Với n =2 ta có let < 2-5 (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+l

Thật vậy khi n =k+I thì (1) œ + + + 2? ke (k+U° + —<2 - k+l

Theo gia thiét quy nap