CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨCPhương pháp 1 : Dùng định nghĩaKiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với MVí dụ 1 x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz ¬c) x + y + z +3 2 (x + y + z)Giải:a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = .2 .( x + y + z - xy – yz – zx)= đúng với mọi x;y;z Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
Trang 1PHAN I
CAC KIEN THUC CAN LUU Y 1/Định nghĩa , 2 BS A~B20 A<BỦA-B<0
2/Tỉnh chất +A>B oB<A +A>BvaB>C @4>C + A>B =A+C >B+C +A>B và C>D= A+C>B+D + A>B vàC >0 = A.C>B.C + A>B vàC<0 = A.C<B.C +0<A<Bvà0<C<D = 0<A.C<BD +A>B>0 => A">B" vn +A>B => A">B' vớinlẻ
+|A|>|8|L = A">B" véinchan
+m>n>0vàA>l = AỢ> A" +m>n>0và0<A<l > AỢ< A" +A<BvaAB>0 = 151 A B
3/Một số hằng bắt đẳng thức
+AỢ >0với VA ( dấu = xảy ra khi A = 0) +A" > 0 voiv A ( dâu = xảy ra khi A =0) +|4l>0 với v4 (dâu= xảy ra khi A=0)
+ -|A|[< A = |4
+ |4+8|>|4|+|s|_ ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + |4-B|<|4|-|B| ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
_ PHAN
CAC PHUONG PHAP CHUNG MINH BAT DANG THUC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
Kiên thức : Đê chứng minh A > B Ta lập hiệu A -B > 0 Lưu ý dùng hằng bắt đắng thức M? > 0 vớiV M
Vắ dụ I V x, y, z chứng minh rằng : a)x?+yồ+zỢ > xytyz+zx b)xỢ +yỢ+zỢ > 2xy- 2xz + 2yz c)x'+yồ+zỢ+3>2(x+y+z) Giải:
a) Ta xét hiệu : x? + y + zỢ- Xy Ở ỮZ Ở ZX =52 (xỢ+yỢ+zỢ-XyỞ yZỞ ZX) =; (ề-Ừ) +(x-z2)Ợ +Ủ-~z)?|> 0 đúng với mọi x;y;Ze R
Trang 219 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức
(y-z) 20 voiV z; y Dau băng xảy ra khi z=y
Vay x? ty? +z? > xy+yz+zx Dấu bằng xảy ra khi x= y =z
b)Ta xét hiệu: xỢ + y? + zỢ - (2xy Ở 2xz +2yz ) = x? + yỢ +zỢ- 2xy +2xzỞ2yz =(xỞy+z)Ợ >0 đúng với mọi x;y;ze R
Vậy x? +y? +zỢ > 2xyỞ 2xz+2yz đúng với mọi x;y;ze R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu: xỢ + yồ + zỢ +3 Ở 2( x+ y Ẩ+z) = xỢ- 2x + l+yỢ -2y +I +zỢ -2z +l = (x-1)*+ (y-1) *+(z-1)?> 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Vắ dụ 2: chứng minh rằng : ?+p? 4b +07 +b+e) 2 oe,
a) 4 +h (ate ; b) awe 7 {2 c) Hãy tông quát bài toán
2 2 3 3
Giải:
a) Ta xét hiệu oer (ee) 2 2
".Ẽ)" ố =! (a? +26? =a? ~b3 ~2ab)} =Ì(aỞ B}) >0 4 4 4 4
Vậy a" :(ỘỢ) Dấu bằng xây ra khi a=b b)}Ta xét hiệu
Eb +e? ; 3 ; ; da ồ+b?+c? +b+eY
a = +ằ #2] =gle-5Ỳ +(ụ~e} +(e~a} |>0.Vậy : ce vắa : e
Dấu bằng xảy ra khi a= b =c
c)Téng quat ai, +đ; + +d, > (* +4; + +d, )
n n
Tóm lại các bước để chứng minh A >B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H=A-B
Bước 2:Bién d6i H=(C+D)Ỗ hoặc H=(C+D)Ợ + +(E+F)? Bước 3:Kết luận A > B
Vắ dụ 1: Chứng minh Vm,n,p,q ta đều có : m?+n?+p?+ q?+I> m(n+p+q+1) Giải: ẹ me Ở ng +2 +[ ỘẺ mp + : +[ Ẻ Ở mg + t LÍ 4 mp +P TT mỊ+4 4 màn >0 > 2 m _ m ? (m ? (m A , [2] Ho HH) (3-1) >0 (luôn đúng) s.n=0 nat m 2 cua =ỞPp=0 _m m=2
Dau bang xay ra khi 2 = Ở
Ở-q=0 m n=p=q=1
2 q= >
m 2
Ở-1=0 m=2
2
Vắ dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta ln có :a' +Ộ +e* > abe(a+b+e)
Trang 3Giải: Ta có : aẼ +Ợ +cỢ 3 aDc(a+b+c), Va,bD,c >0
ẹa1+b*+c*ỞaỢbeỞ b?ac ỞcỢab 3 0
& 2a* +2b* +2c* Ở2a*be Ở 2bỖ ac Ở 2cỖ ab =0
S (@ _bồ} + 2aồ*b* +(b? -o} +2Ùồc? +Íe? -aỖ) +24ỢcỢ
Ở2abe Ở 2b ae Ở 2cỖ? ab = 0
S (@ _bồ} +Íp? ~e?Ỳ +(e? -aỖ) t+(aồb? +bồc? Ở2b?ac) + (bỖc? +.Ạ? aỖ Ở 2c? ab) +(4?b? +e?a? -2aỢab) >0
= (@ _bồỲ + l ~c?} +(e? _ a) + (abỞ bc} +(be _ ac) + (abỞ ac) 20 Đúng với mọi a, b, c Ấ ,
Phương pháp 2 : Dùng phép biên đôi tương đương Kiên thức:
Ta biên đôi bât đăng thức cân chứng minh tương đương với bât đăng thức đúng hoặc bât đăng thức đã được chứng minh là đúng / /
i Nêu A<B <6 C<D, với C <D là một bât đăng thức hiên nhiên, hoặc đã biệt là đúng thì có
bat đăng thức A < B
Chú ý các hăng đăng thức sau:
(A+ B) =A? +2AB+B?
(4+ B+C) =A? +B? +C? +2AB+2AC+2BC
(4+ B) =4ồ+34ồB+34B + 8`
Vi du 1: Cho a, b, c, d,e 1a cac số thực chứng minh rằng
2
a) aồ+ồ_ >ab 4
b) a?ồ+b?+1>ab+a+b
C) a?+b?+c?+d?+e?>a(b+c+d+e)
Giải:
a) a+" 2 ab 4aỖ +b" >4ab = 4a* Ở4a+b? >0 & (2a-b) 20
(BDT nay luôn đúng) Vậy aỢ + >ab (dau bằng xảy ra khi 2a=b) b) a?+b?+l>ab+a+b<>2(4?+b?+1 )>2(ab+a+b)
ẹa?-2ab+bồ+aỢỞ2a+1+bỢỞ2b+1>0
ẹ(a-b)}?+(a~U)? +(bỞ1?>0 Bắt đẳng thức cuối đúng Vậy a?+b?+1>ab+a+b Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
Ạ) a2+b?+c?+d?+e? >a(b+c+d+e)ẹ A( a?+b?+c?+d?ồ+e? )>4a(b+c+d+e)
ềẹ (a? Ở4ab + 4b?)+ (a? - 4ac + 4cỢ) + (a? Ở 4ad + 4d?)+ (a? -4ac + 4e?)> 0
= (aỞ 26) +(a-2e}Ợ +(a-2d) +(a-2cY >0
Bắt đắng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Vắ dụ 2: Chứng minh rang: (a +" fa? +6?)> (aồ +55 a* + b*) Giải:
(2ồ +bỢ Ya? +b7)> (a +b8 Yat +b*) ẹ a9 +a!9b? +á?b! +bP >ạP +aẾbệ +a*bẾ + b ẹ aồbồ(aồỞb?)+aồbồ(p? =a?)>0 ẹ- aỢb?(aỢ-bỢ)(a5-bỢ)> 0
Trang 419 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức Bat đang Thữccuỏỉ đúng vậy ta co dieu phai ching minh
Vi du 3: chox.y=1 vax)y Chứng minh X ý v22 x-y
_>22 vì :x)y nên x-y) 0 =x"+y*> 2/2(x-y)
Giai: Ộ7Ợ
x=y
> x+y" 2V2 xt2V2y 206 xồ+y+2- 22/2 x+2A2 y -2 >0 @ xtyt+(/2)- 2/2 x+2/2y -2xy >0 vì x.y=l nên 2.x.y=2
=(x-y-v2)Ợ > 0 Điều này luôn ln đúng Vậy ta có điều phải chứng minh Vắ dụ 4: Chứng mình rằng:
a/ P(x,y)=9xồ)y?+yồỞ6xy-2y+l>0 VWx,yeR
b/va?+bồ+eồ <|a|+|b|+lc| (gợi ý :bình phương 2 về) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
xy.z=l
1 1 1
Ở+Ở+Ở<xty+z
xX y Z
Chứng minh rằng :có đúng một trong ba sé x,y,z l6n hon 1 Giai: Xét (x-1)(y-1)(z-l)=xyz+(xy+yzt+zx)+xt+ytz-1
=(xyz-l)+(x+y+z)-xyz( 1 + 1 + 1 )ExẨyẨ+Z - fe + 1 + 4) > 0 (vi 1 + 1 + te x+y+z theo gt)
xX y Zz X y Z x y z
=2 trong 3 số x-l , y-l , z-I âm hoặc cả ba s6-1, y-1, z-1 1a dương
Nếu trường hợp sau xảy ra thi x, y, z>l >x,y Z| Mau thuan gt x.y.z=l bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng | trong bas SỐ X Ấy ,z là số lớn hơn l
Vắ dụ 5: Chứng minh rằng : 1 +? <2 a+b b+c ate Giai: , 1 a a Ta có: a+b<a+b+c> > > > (ld)
a+b a+b+c a+b a+b+c
Tương tự ta có : > b (2), Ở (3)
b+c a+b+c a+c a+b+c
Cộng về theo về các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : g 0P QC và (*) a+b b+c ate a < a+c a+b a+b+c Ta có: a<a+b> (4 Tương tự : P < a+b (5), ỘS ề c+p (6)
,_ b+c at+bte | cta a+b+c
Cộng vê theo vê các bât đăng thức (4), (5), (6), ta được :
Trang 5
4
b) x+y" 2] xy | dau(= )khix=y=U
c) (x+ yf >4xy
đ)#+?>2 boa
Vidu 1 Choa, b,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a) > 8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: (x+ y}Ợ > 4xy
Tacó (a + by >4ab; (b + cy >4be ; (c + ay > 4ac
=> (a+b) (b+c) (c+a) = 64a7b*c? = (Sabc)Ỗ > (a+b)(b+c)(c+a) >8abc Dau Ộ=Ợ xay ra khia=b=c
Phương pháp 4: Bất dẳng thức Cô sy Kiên thức:
a/ Với hai số không âm : a,b>0, ta có: a+b>2A/ab Dấu Ộ=Ợ xảy ra khi a=b b/ Bất đắng thức mở rộng cho n số không âm :
a+a, + +dẤ 3 nlaa; d,
a,t+a,+ +a, )"
ẹ a,a, a,, <| ỞaỞ
n
Dau Ộ=Ợ xay ra khi a, =a, = =a,
Chứ ý : ta dùng bat đẳng thức Côsi khi dé cho biến số không âm
25 4" ểwỦ
Vắ dụ I : Giải phương trình : + + =
4'+lI 2 '+l 2+4 ' 2
a=2*
Giải : Nếu đặt t =2* thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt | ,;@b>0 Khi đó phương trình có dạng :ỞỘỞ -^ể 1
b+l a+l a+b 2
Về trái của phương trình:
a } ( b ( 1 } (2) (7) (Ộ7
ỞỞ+ll+|ỞỞ+lIl+ HN == + + -3
b+1 atl a+b b+1 a+l a+b
1 1
Ộ(arbre ort + )-3-[(oene(art)e(ar0)]( 5h ata} +
b+1 atl a+b b+1 a+l a+b
Ị 3J(a+ +lja+ MA =
>2344+ 1đ +1 "Pa 3?
Vậy phương trình tương đương với :
a+l=b+l=a+bẠẹa=b=lẹ 2` =4 =lẹx=0
Vắ dụ 2 : Cho x, y, z> 0 và x + y+z= I Tìm GTLN của P=Ở Ở+-Ở+ x+l y+l z+l ) = 3-Q Theo BDT Cési, néua, b, c >0 thì
Trang 619 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2+b+c>3 8B eề 1+3 + >3 =(axb+e)| +, +2 392247 + 3 ? abe abc a b c a b c a+b+c Suy ra Q= sty 22s -Qs-> nénP=3-Q< < 3-2=3 x+l y+l z+l 4 4 4
Vay max P == -khi x = y =z=
1 1 a+b+c
Vắ dụ 3: Choa, b, c>0 Chimg minh rang: +5 +t <
athe bỖ+ac cỖ+ab 2abe
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : aỖ ++be>2avbe => ? Ị Ộ2(*~) 2\.ab a +4he = avbe Tuong tu : 2 1 s(t 1 + > 2 1 s(t 1 +
bẼ++ac * Nac be ab C ++ab ềNab 2\ac be
2 2 2 a+b+c
n +; +5 s
Ấ a+bc b++ac c ++ab 2abe
Dau Ộ=Ợ xay ra khia=b=c
Vi du 4: CMR trong tam giac ABC : Giải : Theo bat đăng thức Côsi :
a + b + c >33 abc
b+c-a c+a-b at+b-c (b+cỞa)(e+aỞb)(a+bỞc)
Cũng theo bất đắng thức Côsi :
V%Ạ=aJẠ+a=b) S2 (+e=a+e+a=b)=e (2)
Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được
(b+ecỞa)(ce+aỞb)(a+bỞec) <S abe
+ b + c
23 (*)
b+c-a c+a-b a+b-c
@)
abe
ay
(b+ecỞa)(ce+aỞb)(a+bỞc)
Từ (1),(3) suy ra (*) Dau Ộ=Ợ xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều Vắ dụ 5:
0<a<b<c , fo xX yz (a+cy 2
Cho Chứng minh răng: (+ ụy+cz otters <*ỞỞ_(x+y +z)
a
0<x,y,z c 4ac
>1(3)
Giải: Đặt Ặ() = xỢ -(a+c)x+ae=0 có 2 nghiém a,c Ma:a<b<c=> Ặ(b) <0 ẹ bồ~(a+e)b+ ac<0
b+ SateỦ yb+acs <(a+c)y
x y z
=> | xa+acỞ + (vb +acs) + (ze +aeỘ)s (ate) +(ate)y+(ate)z
a c
= sat ybozera{=+F42) slarelery es)
a c
Trang 7
= 200+ vb ze)a{ = ++) <(a+e x+ y+z)
a c
2 alua yb sola = 4 E42] (are) (ve ye)
a
(a+cy (x+y +z) (dpcm)
4ac
o> (sat yb-+se)ad = 4242)
abe Phương pháp Ế Bắt đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: Cho 2n số thực (ụ >2): a,,a; 4 )ồ <(a)+aj + +42)(bỆ + bị + + b}) b,,b,Ấ bẤ Ta ln có: n? (a,b, + a,b, + +.4,b, nhn
Dấu Ộ=Ợ xảy ra khi ỘL =2 = =^Ợ
b, b, bẤ
b, _ by b, ặ x sy Ở
Hay +=Ở = =Ở (Quy ước : nêu mâu = 0 thì tử = 0)
đ 2 m
Chứng minh:
Đặt |Ộ = Var +43 tot
b= Vb +bỮ+ +b}
ằ Néua=0 hay b = 0: Bat dang thitc luôn đúng e Nếua,b>0: x a bự, hips 2 2 2 2 2 2 Dat: a, = Bi = Ấứ =1,2, Ấ), Thê thì: zẬ +ụẬ + +ụ} = 8Ẽ + + + ử} Mặt khác: |z,/j|< 2e: +B?) 1 xỪ | _ lm,/ử,|+|ụ;ử;|+ +|ụẤ,| <~(w +ụẬ + +ụ7)+<Ỳ + ử8} + + ử7) <1 Suy ra: 2 2 => |a,b,|+ a,b,|+ +|a,b,|< ab
Lai co: |a,b, + a,b, + +.4,,b,| < \a,b,|+|a,b,|+ +|a,,6,|
Suy ra: (a,b, +.,b, + +4,b,)ồ <(a; +a) + +a7 (by +b5 + 4+b7) nen
A soy V2 a; = B\Vi=1,2, 0 2
DâuỢ=Ợ xảy ra ẹ Z{ ) et aBe m
a,f, a,8,cing daub, b, bẤ
Vắ dụ 1 :
1
Chứng minh rằng: vxe R , ta CÓ: sinỲ x+ cos x > ậ Giải: Ta có: sinỢ x+cosỢ x=l,Vxệ
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: l= (sin? x.1+cos? x4) < (sin* x+cos* x)(I? +1) S Ie sin* x+cos* x > Ie (sin* x+cos* x) 2 4
Trang 8(a,a, a=t,
Vi du 1: Cho |
19 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức
ẹ ằ < (sin* x.1+cos* xl) ẹ as (sin x+cos*ệ x)(P +1) ẹ (sin* x+cos* x) > Vi du 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhon Tim GTLN cua:
P= 4+ tan 4.tan 8 + A/I+ tan 8.tanC + A/1+ tan C.tan 4
Giải:
* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: (a,,b, ,c,)(¡ = I,2, ,w)
Thế thì:
4qẤ + bịb; ĐụẤ + + CiC; C, ") S (al +b" + 4ằ)" ay + by + +e7)đẤ> + bạ + +em)
DấuỢ=Ợ xảy ra ẹ 31 bô sỐ (a,b, ,c) sao cho: với mỗi ¡ = I,2, ,m thì 3 t, sao cho:
a,,b=t,b,, c =f,c,, Hay a,:b,: :ằ, =a, 1b, 1.0.10, =a, 2b, 2.0,
ii? ivi? 2 a, +a; + +ay =3 neZ,n>2 <42 Chứng minh rằng: |Ý' + 2 + +n 2 3 n+l Giai: VkeN taco: as 1 1 1 2 ma 1ÌT3 LẾ3 +Ở +Ở mys 720 2 = vie ể _ Ộhờn: [gi 5),
Do đó theo bất đăng thức Bunhiacopski:
ga _ - 42 (đpcm) Vắ dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
V(ate) +(b+d) <Va +h? +V0? +aỖ
Giai: Ding bat dang thire Bunhiacopski: Tacd actbd< Va? +b? Ve? +aỢ
ma (a+c} +(b+d) =a +b? +2(ac +bd)+c? +3? <(@ +b) +2VaỖ +Ù?Ac?+ad?+c?+đ?
=> \(atc) +(b+dy <Va? +b? +Ve? +a?
Vắ dụ 3: Chứng minh rằng : a? +b? +c? 2ab+be+ac Giải: Dùng bất đắng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,e) ta có (Ứ +1? +1?Xa?+ụ2+e?)>(La+1ụ+Le}
> 3(@ +h? +e? ?)>a? +b?+c? * + 2(ab + be + ac)
sathỖ +c? 2abtberac, Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Phương pháp 6: Bát đăng thức Trê- bư-sép
Trang 9
a)Nếu ứ Sa,Ế Ếq, thi +a,+ +a, 6 +b, + 4+5, < ahb.+a,b, + + aẤbẤ
bị <Sb,< <b,Ấ n ` n - n
ể so 2 |địi =4; = = 4,
Dau Ổ=Ỗ xay ra khi và chỉ khi h <b b
1 = 9g Fe = On a, Sa, S S4,
b, 2b, = 2 6,
b)Nếu | thì
a,ta,t+ ta, b +b, + 4+56, > a,b.+a,b, + + aẤb, nh
n n n
Dấu Ổ=Ỗ xay ra khi va chi khi| Ộ' Ộ2 "> & b, =b, = =b,
Vắ dụ I: Cho AABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kắnh R = 1 va
sin 4.sin 2z + sin ỷ8.sin 2ỷ + sin C.sin 2C _ 25
sin 4+ sin 8 + sin C 30 Ề
S là diện tắch tan giác chứng minh răng A ABC là tam giác đêu Giải: Không giảm tắnh tổng quát ta giả sư 0< 4< 8<Ạ< :Suy ra:
sin 4 <sin 8 <sin C sin 2a < sin 2đ < sin 2C
Áp dụng BĐT trebusep ta được:
(sin A+ sin B + sin C\sin 24 + sin 2B + sin 2C) >
> 3(sin A.sin 2A + sin B.sin 2B + sin C.sin 2C)
sin A.sin 74 +sin B.sin 28+ sin C.sin 2C < | sin 24+ sin 2B + sin 2C) sin A+sin B+sinC 3
ky c2 sin A =sin B =sinC
Dau Ổ=Ỗ xayras| - ẹ AABC déu
sin 2A = sin 2B = sin 2C
Mat khac:
sin 2A +sin 2B + sin 2C = 2sin( A+ B).cos(A Ở B) + sin 2C =2sin C[cos(A Ở B)+cos lôi =2sin C[cos(A ỞB)-cos(A+ B)| =2sin C.2sin A.sin B = 4sin Asin BsinC
=(2Rsin A)(2Rsin B).sinC =ab.sinC=2S (2)
Thay (2) vào (1) ta có
sin 4.sin 2ụ + sin 8.sin 2ỷ + sin C.sin 2Ể < 25
Ấ sin 4 + sin 8 + sin C ~ 30
Dâu Ộ=) xảy ra ẹ A ABC đêu Vắ dụ 2(HS tự giải):
1 1
a/ Cho a,b,c>0 va atb+c=1 CMR: 1 + b +-29
a Ạ
b/ Cho x,y,z>0 và xty+z=l_ CMR:xẨ2yẨ+z>4(1I-x)(- y)Ởz) c/ Cho a>0 , b>0, c>0
CMR: ~2-+ồ_4_< 34
b+c cta ath
Trang 1019 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức d)Cho x>0,y>0 thoa man 2Vx Ở/y =1 ;CMR: xty2 =
a b co 1
+ + >
b+c a+c a+b 2
Vắ dụ 3: Cho a>b>c>0_ và a? +b? +cỢ =1 Chứng minh rằng
Giải:
x a*>b?>cỢ
Do a,b,c đôi xứng ,giả sửa>b>c = | a,b le
b+c atc atb Áp dụng BĐT Trê- bu-sép ta có > a > b > C HH a b c }: 3_ 1 a +b +ằ 2 Ị + + == T= 32 1
'b+c Ộate Ộa+b 3 b+c ate a+b 2
a + bề + e xi Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=-Ở
b+c atc atb 2 43
Vắ dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd=l Chứng minh rằng :
4a?+b?+e? +4? +a(b+e)+ b(c + đ)+ d(c + a)>10
Giải: Ta có a?+ồỢ >2ab
c?+d? >2caả
Vậy
Do abcd =1 nên cd=- (ding x+1>1) ab x 2
Taco a? +b? +c* >2(ab+cd)= (4b + ) >4 (1)
a
Mặt khác: a(b+c)+d(c+d)+d(c+a) =(abtcd)+(actbd)+(bctad)
(ar (cert )s(sert >2+2+2
ab ac be
Vậya? +b? +e? +đ? +a(b+e)+ b(c + d)+ dc +a)>10 Phương pháp7 Bat đẳng thức Bernouli Kiên thức:
a)Dạng nguyên thủy: Cho a>-l, 1< ụeZ thì (1+a)" >1+na Dau Ổ=Ỗ xay ra khi và chỉ
khi | " n=l
b) Dang m6 rong:
- Cho a>-l,a>1 thi (1+a)* >1+na Dau bang xay ra khi va chi khi a = 0
- cho a>-1,0<a <1 thi (1+a)* <1+na Dau bang xay ra khi va chỉ khi ont
a=
Vi du 1 : Chứng minh rằng aồ +bỘ >1,Va,b >0 Giải ỞẼ
Trang 11
Chứng minh tương tự: ụỘ > ể Suy ra aỘ+bỘ>1 (đpcm)
a+
Vắ dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng
a`+b)+cẾ a+bt+c)
ỞỞỞỞỞ> mm ay Ể Giải
0={ 3a ) + 3b ) + 3c Jes
a+b+c a+b+c atb+c) Ở
Ap dung BDT Bernoulli:
5 5
( 3a ) -(- 22) xịƯ S+c=24) (2)
at+bt+e a+b+c a+b+c
Chứng minh tương tự ta đuợc:
3b J oreo @) a+b+ec a+b+c 5 3c J>u =9 (4) a+b+ec a+b+e Cộng (2) (3) (4) về theo về ta có 5 5 5 ( 3a +( 3b +( 3c >3= (đpcm)
a+b+ec a+b+e a+b+e
Chú ý: ta có bài tốn tổng quát sau đây: ỘCho a,,a; aẤ >0;z >1 Chứng minh răng
r r r 7
ai +4; + Ẩđ, `[ đa +4, + 1đ,
n n
Dau Ổ=Ỗ ẹ a, =a, = =a,.(chimg minh tương tự bài trên) Vắ dụ 3: Cho 0 <x, y,z <1 Chứng minh rằng
Trang 1219 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức 9a(uxbxe)e| +2 +2 ]32ex+B|S+y +2) b cjỞ a b a Cc =Ế!>(z+b+e) bjt} = (doom 8 abe
Chú ý: Bai toán tổng quát dạng này
Ộ Cho n số Xi.Xz, ,XẤ Ạ [a,b],c >l
Ta luôn có:
< leet +e"
= ÁcỘ:
Phương pháp 6: Sử dụng tắnh chất bắc cầu
Kiến thức: A>B và B>C thì A>C
Vi du 1: Cho a, b, c ,d >0 thoa mãn a> c+d, b>c+d
Chứng minh rằng ab >ad+be Giải:
(ce +0? + 40" Yow +cỢ+ + co)
b>c+d b-d>c>0
<= ab-ad-be+cd>cd = ab>adtbe (điều phải chứng minh)
1 1 1
> > 25
Vi du 2: Cho a,b,c>0_ thoa man a? +8? +c? =~, Chimg minh 14141 3 a b ec < abe
Taco Weg > Net => (a-c)(b-d) > cd
Giải: Ta có :( atb- c}= a~+b?+cỢ+2( ab -ac Ở be) ) 0 = actbe-ab G( aỢ+b?+c?)
= actbc-ab <Ế( 1 Chia hai về cho abe >0 ta có mm tL
6 a b c abe
Vắ dụ 3: Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rang (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Giải: Ta có (I-a).(I-b) = I-a-b+ab
Do a>0, b>0 nên ab>0= (I-a).(1-b)>l-ab (I) Do c <I nên I- c >0 ta có > (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
=> (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-dtad+bd+ed = (l-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)
Vi du 4: Cho 0 <a,b,c <1 Ching minh rang: 2a` +2b` +2c` <3+aồb+bồe+c?a Giai:
Doa<l = aỢ<l và
Ta có (Ởa?)(IỞỪ)<0 => I-b-z+a'b>0= I+a>a'+b
ma0<ab<l > @>a,b>b
Từ (1) và (2) = lằ+a@ b> a+b Vay a+b? <1+aồ bd?
Tươngtự ?ụÌ+cÌ<l+0ồe; eÌ+a`< l+c?a
Cộng các bất đắng thức ta có :2aỢ +2b* +2e* <3+aồb+bồe+c?a
Vi du 5 Ching minh rang : Néu a? +b? =c? +d? =1998 thi] actbd| =1998 Giai:
Trang 13rõ ràng (acẨbd}Ợ < (ac+ hd) +(adỞbe) =1998" = Jac + bd| < 1998 Vắ dụ 6 (HS tự giải) :
a/ Cho các sô thực : ai; aa;as ;4aoox thỏa mãn : aiẨ asẨas + T2ooa =]
, : > 21 2, 2 2 1
chứng minh răng : aj; tay +a; + 4+a5; > 2003 b/ Cho a;b;c >0 thỏa mãn :a+b+c=l
Chwng minh rang: (1-1.4-1.ằ-1)28
a b Cc
Phương pháp 9: Dùng tắnh chất của tỷ số
Kiên thức ,
1) Cho a, b ,c là các sô dương thi aỞNéu Ộ31 thi 23 2ồồ b b+e b_-Nếu Ộ<1 thì Ộ<Ộ*Ộ b b b+c 2) Nếu b,d >0 thì từ a c a at+c Ạ Ở<==_-< <= bod b b+d d
Vi du 1: Cho a,b,c,d > 0 Chứng minh rang
a + b + c + d
a+b+c b+ct+d c+d+a d+a+b
Giải: Theo tắnh chât của tỉ lệ thức ta có
l< <2
a <l> a <ỞỞỞỞ at+d (Ì)
a+b+c a+b+c at+bt+c+d
Mặt khác: ỞỞỘỞỞ>ỞỞỞỞỞỞỞ (2)
a+b+c a+b+c+d
Từ (1) và (2) ta có \
a < a < at+d @) a+b+c+d a+b+c a+b+c+d
Tương tự ta có b b b+a ỞỞỞỞỞ< <ỞỞỞỞỞ (4) a+b+c+d b+c+d a+b+tc+d c < c < b+c (5)
a+b+c+d c+d+a a+b+c+d
d d dtc
(6)
fg
at+b+c+d dta+b atbrcrd
cộng về với về của (3); (4); (5); (6) ta có a b c d
I< + + + <2 điều phải chứng minh
a+b+c b+c+d c+d+a d+ta+b
Vi du 2 :Cho:Ộ<Ạ và b,d>0.Chứng minh rằng Ộ< abe ed <ặ
b d b b+d d
Giải: Từ <ồ=Ộ<ồỘ Ộ2, 22te bod bẼ da bo be +dồ a _eằ d d
Vậy Ộ<ỘỢ*Ểồ_Ạ b b+dồ d điều phải chứng minh
Trang 1419 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức
Vắ dụ 3 : Cho a;b;c;đlà các số nguyên dương thỏa mãn : atb = c+d =1000
tìm giá trị lớn nhất của * + =
c
Giải: Không mắt tắnh tổng quát ta giả sử: <2 Tw:4 <2 #ề<#!?<? cả ca c ct+d d
Ộ<1 viatb=ctd Ạ ặ s5 a b a/ Néu :b <998 thi Ở<998 > Ở+Ở< 999 d c od koa > a b_1 999 " qe F21171 1
b/Nêu: b=998 thì a=l =Ở tot Đạt gia tri lon nhat khi d= 1; c=999
Ạ Ạ
Vậy giá trị lớn nhất của Ộ+ P =999+ | khi a=d=1; c=b=999
c d 999
Phương pháp 10: ` Phương pháp làm trội
Kiến thức:
Dùng các tắnh bất đẳng thức để đưa một vé của bất đăng thức về dang tắnh được tổng hữu hạn hoặc tắch hữu hạn
(*) Phương pháp chung để tắnh tổng hữu hạn : S = 1 TH, + ĐH,
Ta có gắng biến đổi số hạng tổng quát u, về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
Uy, = 4, Ở Ay,
Khi d6 :S = (a,Ởa,)+(a, -a,)+ +(a, -4,,,)=4,-4,,, (*) Phương pháp chung về tắnh tắch hữu hạn: P = zẤẤ z,
a,
Biến đổi các số hạng ụẤ về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: Ấ,=-Ộ-
Cras
Vắ dụ ỉ: Với mọi số tự nhiên n >I chứng minh rang
1 1 1 1 3 ~<ỞỞ+ teat <= 2 m+l n+2 n+n 4 Ly | -Ì với k=l,23, nI n+k n+n 2n Giải: Ta có Do đó: ; 5 - n+l n+2 2n 2n 2n 2n 2 Vắ dụ 2: Chứng minh răng: 1 1 1 : ặ
l+-Ở+-=+ +-=>2|Nn+1I-ỞI BB wey) Với n là sô nguyên
Giai: Taco =? _ Jk 2k ? _ e+ Jes = ae +1 - Vk)
Khi cho k chay tir 1 dén n ta c6 1 >2(V2-1)
1
357 203-2)
Trang 15
~Ở > 2{Vn+1-Vn)
vn
z z 2 1 1 1
Cộng từng về các bât đăng thức trên ta có 1+ =+Ở~+ 4 mens ồ BOB I = > 2\Vn+1-1
Vắ dụ 3: Chứng minh rằng yas VneZ
k=l Gidi: Taco 1-1-1 kk k-1) k-1 k _! Cho k chạy từ 2 đến n ta có 1 1 Ở=<l-Ở 2 2 Ait 7 2 3 1 1 1 1 1 Ở=<ỞỞỞ- s+-;Ẩ+ +-;<l nm on-l no 2B 3 n k=l
Phuong phap 11: Ding bat đẳng thức trong tam giác
Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 Và |b-c|<a<b+c ;|a-c|<b<a+c ; la-b|< e< bẨa
Vi du 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 1L/ aỘ+b?+c< 2(ab+bc+ac)
2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải
1/Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
0<a<b+c a <a(b+c)
0<b<a+c > bồ<b(a+e)
O0<c<atb ẹ <c(at+b)
Cộng từng về các bất đẳng thức trên ta có: aỘ+bỢ+cỢ< 2(ab+bc+ac) 2/Tacé a>|b-c| => a?>a?-(b-c)?>0
b>la-c | => Ợ?>b?~(eỞa)*>0 c>la-b | = cồ>cồ-(aỞb)ồ>0 Nhân về các bất đẳng thức ta được
>abc> |a? - (b -e} l - (c - ay le - (a - b} | =.d?h*c? >(a+bỞe}(b+eỞa} (c+aỞb)Ì = abe >(a+bỞe)(b+eỞa)(c+aỞb)
Vắ dụ2 (HS tự giả)
1/ Cho a,b,c là chiêu dài ba cạnh của tam giác
Chứng minh rằng ab+be+ca<a?+b?+e? <2(ab+be+ca)
Trang 1619 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức
Chung minh rang a +b> +c +2abe <2
Phương pháp 12: Sw dụng hình học và tọa độ Vi du 1: `
Chứng minh răng : e(aỞc) +.,/e(b-c) < Vab ,Va>b>0 Va b>c Giai
Trong mặt phẳng Oxy, chọn Ấ=(/eJbỞe); v=(Úa-e,4e)
Thì |=/ụ, |= Vas uv=Jc(aỞc) + Je(bỞo)
Hon nita: y= llr} cos(u, v)< HN =-/e(=e) +2je@~e)<xab (DPCM)
Vi du 2:
iu
Cho 2n sỐ: x,:y,, ¡=1,2, z thỏa mãn: Yi x, + oy, =1 Chứng minh rang:
isl i=l Vy + vệ > ⁄2 m 2 Giải: Vẽ hình y M Mẹ N Trong mặt phẳng tọa độ, xét:
M.(xiyị): M;(Xi+x;,Vị + y;)Ọ; ; MẤ(x, +K +xẤ vị +K +y,Ấ)
Giả thiệt suy ra MẤ e đường thắng x + y = I Lúc đó:
OM, =\x tỷ Ừ M,M,= x+y; > M,M,=\x;+y5 see MM, = Vx, ty,
Va OM,+M,M,+M,M,+K+M,_,M, 20M, >OH = ồ
= Ỳ ý) +y} > ồ = (DPCM)
i=l
Phương pháp 13: Đổi biến số
b c
Vi dul: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng - + ; + <Ở25(1)
Cc ct+a a
Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a2Ợ -Ở* ; ` pent
ta có (1) ẹ yẨZ-x,ZẨx-y ,xẨ+Ữy-Z Ấ3
2x 2y 2z 2
eo 242 -147242-14%42-133 6 (2454645444426
x Xx yy Z Z xX yp X Z yz
Trang 17Bắt đắng thức cuối cùng đúng vi (24222, Ộ+*>2; Ộ+#>2nên ta có điều
x sy XZ yz
phải chứng minh Vi du2:
Cho a,b,c >0 và a+b+c <1 Chứng minh rang
=Ở
tp rẻ a +2bc bẼ+2ac c +2ab >9 ()
Giải: Đặt x= a? +2be ; y= b?+2ac 3 Z=c?+2ab.Tacd xt+y+z=(atbtc) <1 1 11
(1) ẹ-+-+->9 Voi xty+z <1 vax,y,z>0
X y Z
Theo bắt đắng thức Cơsi ta có: x+y+z>3.1xyz, và: 121 Ta, tL
X y Z xyz
> ểỞ._ .Ố Vậy vty te?? (dpem)
Vắ dụ3: Chox>0 ,y>0 thỏa mãn 2/x- jy=I CMR x+y2 2
Goi y: Dat Vx=u , Jy=v =2u-v=l vàS=x+y=z?+y?=v=2u-l
thay vao tinh S min Bài tập tự giải 1)Choa>0,b>0,c>0 CMR: Ộl6, ẹ + b+c c+a a+b >8 2yTổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nh pc VÌ Ƒ_ pat ee PO 2 Wms n+p} (m+n-+p)
Phương pháp 14: Dùng tam thức bậc hai Kiến thứ: Cho f(x) = axỖ + bx +c
Dinh li 1: a>0 fx)> (x) _" 0,V (6050 S50 A<0 <0 <0 a<0 /6)<0/9S [8 Ặ7Ủ)<0,Vxẹ {i A <0 Dinh li 2:
Phuong trinh f(x) = 0 có 2 nghiệm x, < ụ < x; ẹ a./(z)<0 Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm :
Trang 1819 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức a.f(a)>0 xX, <x, <a@aijA>0 S Ở<ụ 2 Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm : a.f(a)>0 aA<x,<x,@jA>0 S Ở=>ụ 2 a<x<B<x,
Phuong trinh f(x) = 0 có 2 nghiệm eẹ /(z)/()<0
x, <a<x,<fP
Vi du 1:Chimg minh rang (x, y)=xồ +5y?Ở4xy +2x-6y+3>0 (1) Giải: Ta có (l) ẹ xồ-2x(2y-1)+5y? -6y+3>0
A'=(2y-1) -5y?+6y-3 =4y?-4y+1-5y? +6yỞ3=-(y-l) -1<0 Vay f(x,v)>0 véi moi x, y
Vi du2: Chứng minh rang: Ặ(x.y)=xồy! +2(x? +2) +4xy+xỢ >4xyÌ
Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
x?y! +2(x? +2)y? + 4xy +x? Ở4xy? > 0 & (y? +1)?.x? +4y(I- y}'x+4y? >0
5
Ta có AỖ=4y*(1-yỖ) -4y?(y? +1) =-16y? <0 Via= (y? +1) >0 vay f(x, y)>0 (đpcm) Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học
Kiến thức:
Đề chứng minh bắt dang thức đúng với _ụ> ụ,ta thực hiện các bước sau : 1 Ở Kiểm tra bat đẳng thức đúng với Ừ=ụ,
2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp )
3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k+l (thay n= kẨlvào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi dé dùng giả thiết quy nạp)
4 - kết luận BĐT đúng với mọi ụ>ụ,
Vi dul: Ching minh rang: Bt pp tet i S2TT VneN;n>] (D)
~ ~ n- n
Giải: Với n =2 ta có let < 2-5 (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2
Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+l
Thật vậy khi n =k+I thì (1) Ủ + + + 2? ke (k+Uồ + Ở<2 - k+l
Theo gia thiét quy nap
Trang 19T T T T T
ptt Gap Seat (ea k
S san < : eo k(k+2)<(k+l k?+2k<k?+2k+l Điều này đúng Vậy bất đẳng
thức (1)được chứng minh
2S
Vidu2: Cho neN và a+b> 0 Chứng minh ring (%Ợ) : a (1)
Giải: Ta thấy BĐT (1) đúng với n=l
Giả sử BĐT (I) dung voi n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+l Thật vậy với n = kẨl ta có (be (2ệ) < a4 ph! 5 < ỞỞỞỞ 2 ồ (2) < ath Q) 2 2 2
c Về trái @2) < aỖ +b* at _ aỖ +abỔ +aỖb+b*" < a! 4p
2 2 4 2
aỖ +p! a +ab* +a'b+pb**"
; =ỞỘ~2Ở >0 e#*-ụ)ụ-5)>0 @)
Ta chứng minh (3) Ấ
(+) Giả sử a > b và giả thiết cho a > -b ẹ a> |đ|
ẹ a'>|lh>bồ = (a'Ởb*)(aỞb)>0
(+) Giả sử a < b và theo giả thiết -a<b ẹ la <b* at <b* ẹ (Ủ* Ởb*)(aỞb)>0 Vậy BĐT (3)ln đúng ta có (đpcm) -
Vắ dụ 3: Cho a>Ở1 ,1<neN Chứng minh răng : (I+a)" >1+m.a Giải Ở
n=l1: bât đăng thức luôn đúng
n=k (ke N): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1+a)* >1+&.a n= k+1 Ta cần chứng minh: (1+z)**' >1+(k +1).a
Ta có: (I+a)**! =(1+a).(1+.a)* > (14.4) +k.a)>14+(k4+NatkaỖệ >14+(k+l)a = Bất đẳng thức đúng với n= k+l
V ậy theo nguyên lý quy nạp: (1+a)" >l+na,vneN
Vắ dụ 4: Cho I<neN a,.a,.K ,aẤ>0 thoả mãn a,+a,+K +a, < > Chứng minh rằng: (IỞa,)\(1Ởa,)K d~4)>2
Gidi n=1: a, s;=I-a >Ấ =Bài toán đúng
n=k(keN): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1Ở a,)- a;)K (1-a,) >5
n= k+1 Ta cần chứng minh: (1-a,)(1Ởa,)K (1Ởz,.,)> 5
Ta c6: (Il-a,)(1Ởa,)K (1Ởa,,,) = (1-4, )(IỞa, )K (l=, , [N= (a, ặ gay) +, Op]
Trang 2019 Phương pháp ching mình Bất đẳng thức
2(1Ởa,)(l-a,)K (1Ởa,_, [1 -(a, +425 (Vi aj+a,+K +a,,+(a #44) $5)
= Bất đẳng thức đúng với n= k+l
Vậy theo nguyên lý quy nạp: (1-z,)(Ởa,)K (ỞaẤ)> ;
Vắ dụ 5: Cho 1<neN, a,,b, eR,¡ =1,2, ,n Chứng minh rằng:
(a,b, + a,b, +K +a,b,)ồ <ứỷ +a; +K +a; > (b> +b; +K +b ")
Giai n=1: Bat dang thức luôn đúng
n=k (keN ):giả sử bât đăng thức đúng, tức là:
(a,b, +a,b, +K +a,b,)ồ < (a; +a5 +K +a; )(b; +b; +K +b) n= k+1 Ta cần chứng minh:
(a,b, + a,b, +K + 4,,,b,,,)ồ S(a2+aỮ +K +aƯ,)(bỆ +b +K +bƯ,)(1)
Thật vậy:
VPQ) = (a) +a; +K +ajJb} +bỮ +K +bƯ)+(aẼ +K +a7).b?+
+aỢ(b +bỷ +K +bj)+aj bà 2 (ab, +a,b, +K +a,b,)+ 2a,b,a,,,b,,, + 2a,b,a,,,b,,, + +K +24,b,ab + 42 bệ,
> (a,b, + a,b, +K +a4,b,)ồ +2 (ab, +a,b, +K +.4,b,) app) + A Diy
2 (a,b, + a,b, +K + 4,ab,.)Ỳ
Vay (1) được chứng minh Ề
Vắ dụ 6: Cho 1<neN, a,,b, e R,¡ =1,2, ,n Chứng minh răng:
a +a,+K +4, 2 < a, +a; +K +a
n n
Giải: Ở
n=l: Bât đăng thức luôn đúng
a +a; +K +a,
t2 c3 phy ag Ấ Ấ ẤTA +a, +K +4, ;
n=k (keN):giả sur bat dang thie dung, tire là: ay < k
n= k+1.Tacan chứng minh: (a Hay +K + ay )?< ay +a, +K +đệu (1)
k+l k+l
Dit: a= a,t+a,+K +a,
k
VPq)= ! (a; +k?a? + 2ka,a)
k+l
2
1 2 3a; +a; +K +a;,, a; +a,+K +aj,, a, +a, +K + Qj
> ỞỞ | a, +k > + kha, +k ays 2 +
(k+1)ồ k k k+l
Vay (1) đựơc chứng minh
Vi du 7: Ching minh rang: n" > (n+1)"!,vneZ,n>2
Giải: n=2 > L =4 (n+1)"' =3 nh" >(n+D)"
n=k>2: giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: #' >(+ 1)"
n= k+1:Tac 6: k*(K+ĐT>(k+D!@& + DĐỢ =@&+ĐD?Ộ?(@ + DĐ? =[&+Đồ1Ộ1@&+Đ?
>(&?+2k)*'(?+2#) (VÌ +? =k?+2k+1>k?+2k)
Trang 21Vậy nẼồ >(n+l)Ợ',VneZ,n>2
Vắ dụ 8: Chứng minh răng: |sin mị < nlsin x|,Vn c NẼ,Vx e# Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng
n=k :giả sử bât đăng thức đúng, tức là: |sin #x| <#|sin x|
n= k+1 Ta cần chứng minh: lsin(&+ Dx|< (& + D)sin xị
ey < la| + lb|,va,b eR
Ta có:
<LVWxeR
Nên: |sin( + I)x|= in &xcos x + cos &x sin x|
<|sin &a||eos x| + |eos &x||sin x| < |sin &x|.+ Jsin x| < k|sin x|.+ |sin x| = ( + 1)|sin x|
Ở= Bắt dang thức đúng voi n= k+1 Vay: |sin nx| < nlsin +|,Vn eN',VxeR+T
Phương pháp l6: Ở Chứng mình phản chứng Kiến thức:
1) Gia sử phải chứng minh bắt đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý, điều vơ lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau Từ đó suy ra bat đăng thức cân chứng minh là đúng
2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề Ộp => 4Ợ
Muốn chứng minh p= Ư(với p: giả thiết đúng, Ư: kết luận đúng) phép chứng minh được thực hiên như sau:
Gia sử khơng có Ư (hoặc gq sai) suy ra điều vô lý hoặc p sai Vậy phải có q (hay q đúng)
Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết
luận của nó
Ta thường dùng Ế hình thức chứng minh phản chứng sau :
A - Dùng mệnh đề phản đảo : ỘP > QỢ
B- Phủ định rôi suy trái giả thiết C - Phủ định rồi suy trái với điều đúng
D Ở Phu định rồi suy ra 2 diéu trai ngược nhau EỞ Phủ định rồi suy ra kết luận :
Vi du 1: Cho ba SỐ a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0, ab+bc+ac > 0, abc > 0
Chứng minh rằng a > 0, b >0, c >0 Giải:
Giả sử a < 0 thì từ abc > 0 = az 0 do đó a < 0 Mà abc > 0 và a <0 = cb<0 Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0
Vì a< 0 mà a(b +c) >0 =b+c<0
a<0và b+c<0 = a+b +c <0 trái giả thiết atb+c > 0 Vậy a > 0 tương tự ta cób>0,c>0
Vắ dụ 2:Cho 4 số a, b, c ,d thỏa mãn điều kiện
ac > 2.(b+d) Chứng minh rằng có ắt nhất một trong các bất đăng thức sau là sai: a<4b , ẹ <4d
Giai:
Gia str 2 bat dang thie : a? <4b , c?<4d déu ding khi đó cộng các về ta được a +cỖ <4(b+d) (1)
Trang 2219 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức
Từ (T) và (2) = a+c <2ac hay (a-c}] <0 (vo Ty)
Vậy trong 2 bat đẳng thức a? <4b và cồ<4d có it nhất một các bắt đẳng thức sai Vi du 3:Cho x,y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh răng
Nếu x+y+z > 1,1,1 tì có một trong ba số này lớn hơn 1
X y Z
Giai :Ta c6 (x-1).(y-1).(z-1) =xyz Ở xy- yz+x+yt+z-l
=x ty +zỞ dit.ty vixyz= theo gia thiét x+y +z> ể.-
Xx yp Z X yp Z
nén (x-1).(y-1).(z-1) > 0
Trong ba s6 x-1, y-l,Z-l chỉ có một sé duong
Thật vậy nếu cả ba số đương thì x,y,z > 1 > xyz> 1 (trái giả thiết) Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) <0 (vơ lý)
Vậy có một và chỉ một trong ba SỐ XẤ y,z lon hon 1
Vi du 4: Cho a,b,c>0 va a.b.c=1 Ching minh rang: a+5+c>3 (Bat dang thtrc Cauchy 3 s6)
Giải: Giả sử ngược | ai:
a+b+c<3 =>(a+b+e)ab<3ab ẹaồb+b?a+cab<3ab <>aồb+(a? =3a)b+1<0
Xét: Ặ(b)=a?b+(a? Ở3a)b+1
CO A=(a? -3a)? Ở4a=aỔ Ở 6a? + 9a? Ở 4a = a(a* Ở6a? +9aỞ4) == a(a-1)*(aỞ-4) <0 (Vi lung = 0<z<3) = /(@0)>0 =Vô lý Vậy: a+b+c>3
a+b+c<3
Vắ dụ 5: Ề Ấ Ề
Chứng minh rắng không tôn tại các sô a, b, c đông thời thỏa mãn (1),(2),(3): la|<|bỞỀ| ()
|| <|c-a| (2)
ld<le- @)
Giải: Giả sử tôn tại các sô a, b, c đông thời thoa man (1),(2),(3), luc dé:
la|<|lb-c| =@Ủ-e)ồ>a? =-(a+b-=e\(aỞ=b+c)>0 (1)
|<|e-al => (c-a)>b> >-(CCa+b+e)(a+bỞc)>0 (2Ỗ) l<ja-b] (ab) >c? =S-(a+bỞcX=a+b+c)>0 (3Ỗ)
Nhan (1Ỗ), (2Ỗ) va (3') về với về ta được: = -[@ụ+bỞe)(aỞb+e)(a+b+e)]ồ >0 = Vô lý Vậy bài toán được chứng minh
Phương pháp 17 : Sử dụng biến đối lượng giác
1 Nếu |x|< Rthì đặtx=Rcosz, ụze[0,z]; hoặc x= Rsinz, we] 2 Néu |x|> R thi dat x = ae frcdufns 2)
cosa 2
A 2 2 n2 sax, |\X=atReosa _
3.Néu (x-a)Ỗ +(yỞby =RỖ, (J>0) thi đặt oe eee (z=2z)
4 Nếu (4) (24) =R? a,b>0 thì đặt Da (Ủ=2z) a b y=ử8+bRsm ụ 5 Nếu trong bài toán xuất hiện biểu Ở thức :(ax)Ợ+ụồ, (a,Ừ>0)
Trang 23Thì đặt: x= Ộ/gụ, ụ Ộ[ 53)
a 22
Vi du 1: Cmr : mm +bv1-aỖ +3 (ab- J(-ỪồỳI-a ')}<2vaỪ<EH] Giải : |a| <1, |0| <1
Đạt cn Belo)
Khi đó :
a\1Ởbồ +bA1-a? +v3[ab~ (1-*)(1-a'))
=cosa.sin B+ cos f.sina + V3 (cosa.cos đ Ở sin ụ.sin đ)
=sin(a + ử)+^3.cos(ụ + ) =2cos(ụ + % <[-2.2]= (4cm) Vi du 2: Cho a,b>1.Chimg minh rang :aVbỞ1+ bVal < ab
Giai : 1 a= 5 Đặt:4 - Ạ03 Z (s Be Ũ 4) b= 2 cosỖ B
+bVaci = Lig" + Ở s28 #= _ !s8 + tga - (8/.c0S + /gứ.cos: a) cos a@ cosỢ cosỖ f.cosỖ a _ 1 (sin 28+ sin 12a) _ ng + B)cos int Mã < 1 =ab
Ở2 cos ? đ.cosỢ ụ cosỖ đ.cosỢ ụ ~ cosỖ B.cosỖ a
Vắ dụ 3: Cho aỪ + 0.Chứng minh rằng 22-252 6-57Ợ ềaj2- 2 a+
_Ấ 4ồ =(a=46)) _ igỢ "a Ở(tgaỞ2)ồ
a +4bồ l+tgỖa
Giải :Dat:a=2btga, ae (-Ọ-2) = 2sin 2a Ở 2(I+cos 2#) = 2(sin 2ụ Ở cos2#) Ở2
= 2/2 sin(2aỞ7)Ở2 e [-2v2 -2,2v2 -2] Phương pháp 18: Sứ dụng khai triển nhị thức Newton
Kiên thức:
Công thức nhị thức Newton
= 4(tgarỞ1).cosỖ a
(a+ by" Cha" bE, Wn eN',Va,beR
Trong đó hệ số C⁄ = n
Gin OS *SỢ):
Một số tắnh chất đặt biệt của khai triển nhị thitc Newton: + Trong khai triển (a + b)" có n + 1 số hạng
+ Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, trong khi đó, số mũ của b tăng từ 0 đến n Trong mỗi số hạng của khai trtién nhị thức Newton có tơng số mũ của a và b bằng n
Trang 2419 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức C=C,
+ Sé6 hang thirk +118 Cha"*b'ậ = (0S k<n) Vi du 1:
Chứng minh rang (1+ a)" >1+na,Va >0,Vne NỖ (bat đẳng thức bernoulli) Giai
Ta co: (1+a)" = yc *>Cồ+Cla=l+na (dpcm)
k=0 Vi du 2: ` Chứng minh răng: a" +b" (Ộ= a) 5 > ,Va,b>0,Vne NÌ a" +b" +c" a+b+c b)ỞỞỞỞỞ> ,Va,b,c>0,Vne NÌ 3 3 Giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: (a+b)" =Cha" +Cla"'b+ + Co ab"! +C7b" (a+b)" =Cpb"+ Clb" a+ + Cr ba" + Cra"
=> 2(a+b)" =Cồ(a" +b") + Ch (a" b+ ba) + + Cab"! +ba"Ỏ')+C'(b" +a")
Va,b =0,Vi =1,2, ,.2-1:
(a _ pri k Ở b')> 05a" +h" >a"b' ỞaihỎ
=> 2Aatb)" <Co(a" +b") + Cha" +b") + 4 C7 '(a" +b") +0" (b" +a")
=(4" +b")(C? + C¡ + + C7" +C7)=2"(a" +b*) a+b)" ~a"+b" > < 2 n b) Dat d= 739
Theo cau (a) ta co:
Trang 25
* Nếu f(x) = g(x), Vx Ạ [a,b] thi mo > [zoỦ0%
*Nếu /@)> g(x),Vx e|a,b] và ax, e[a,b]: Ặ(xẤ) > g(x,) thì [/Ủ& > J g(x)dx
*
frees < [| far
1
b-a
Vi du 1: Cho A, B, C là ba góc của tam giác
* Nếu m< Ặ(x) < M,Vx e[a,b| thì m< Chưng minh rằng: tg 2 +/g ; + #S >x3 Giải: Đặt fx) = tg > Ạ 0.2) : 1 2X Z@)=>d+ 2) 002/2 40g? 4) >0,xẠ 0,2)
Ap dung bat dang thức Jensen cho: f(A) + (B+ LO 5 (Ộ) LAA Ee > f| 3 3 Ở tg ^ +¡g +igC >3⁄g 8218 +8 7 >3/g 6 t A ys B $2 s2 85 = CS 3, 8% x A B Cc tgỞ+tgỞ+tgỞ>3 52 52 52 Vắ dụ 2: Chứng minh: ^ < ỞỞ 10 45- 2cosx x sẾZ L2 6 Giải Trên đoạn [0.5 | ta CÓ: 0<cosồx<l=Ở0<2cosỢ x<2Ở~2<-~2cosỢ x<0 =-3<5-2coồx<s=l<_ỞỞLỞ Ế_ 5Ở2c0sẼx x z ề1 3 Ta Ở= 5\2 5-2cos'x 3\2 = 10 Ế-2cosx 6 0 0
PHAN II: CAC BAI TAP NANG CAO *Dung dinh nghia
1) Cho abe = 1 và aỖ* > 36 Chứng minh rằngỢ +bỶ+c> ab+bc+ac 25
b
Trang 2619 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức
Giải: Ta xét hiệu: tere ab- be Ở ac -Ộ+ ot b*+c?- ab- be Ở ac
= (St b?+c2- ab- ac+ 2be) + Ộ_Ở3be =(4-b- ằ)? + 30mỢ 12 2 12a
_ 2 36abc ` Ở 3 Ẽ
Ộ(Ge cy +o Sale (vì abc=l vàa >36 nên a>0)
a
Vay : S+bhtc > ab+bc+ac Điều phải chứng minh 2) Ching minh rang
a) x?+y!+z?+lI>2x(yồ-x+z+])
b) với mọi số thực a, b, c ta co aỖ +5bồ Ở4ab+2a-6b+3>0
Cc) aồ+2bỢỞ2ab+2a-4b+2>0
Giai:
a) Xét higu:x* + y* +27 +1-2x7y? +2x? -2xz-2x = (x? -y/ +(ụ-z}+(x-J=H H>0 ta có điều phải chứng minh
b) Về trái có thê viết H= (a~2ụ+1}' +(sỞ1)Ợ+1 = H>0 ta có đpem
c) vé trai có thể viết H = (aỞ5Ừ+1} +(s-1Ỳ = H > 0 ta có điều phải chứng minh * Dung biến đối tương đương Ề
1) Cho x > y va xy =1 Ching minh rang
te Ỳ 6y} -
Giải: Tacó x?+y?ồ=(x-y}+2xy=(x-y+2 (vìxy=l)
= (t+y=Ọ-yỲ'+Alx=yỲ+4
Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với (x-y}Ỳ+4(x- y}+4>8(x- yỲ
ẹ (&-y}-46-y+4>0 ẹ [(e-y)-2f 20
BĐT cuôi đúng nên ta có điêu phải chứng minh 2) Cho xy > 1 Ching minh rang
1 ;+Ở> 1 2 l+x lt+ty l+xy Giải: 1 1 2 Ta co x+ == = LỞ 1 ls ể >0
l+txỘ lI+y' tay l+xồ l+yẼ l+yỘ l+xy
xy-xỢ SOc Ấ *ử-*) JỂ-=y) vo
l+x? Ì(I+ xy) ỘTay: ie) Ẽ Í+x? l+xy)` l+y? Ì(I+ xy)
(y- x) (xy- 1) keg , > ^
{zzjfl+y'J0+ụ) >0 BĐT cuôi này đúng do xy > l Vậy ta có đpem * Dùng bất đẳng thức phụ
1) Cho a, b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh rằng a?+ụ?+c? 25
Trang 27Ta có ([a+1.?+T.c}] <S4+I+I)laỘ+0Ộ+cỘJ)ẹ (a+b+ec) <34aẼ+hẼ+cỢ}
Ă a ab cs (vì a+b+e =1 ) (đpem)
2) Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng @xste(S+z+2) >9 ()
a Ạ
Giai: (1) o _ S mm? (S48 (246 >9
bea caa boa ca
áp dụng BĐT phụ ts >2 Với x,y>0 Ta có BĐT cuối cùng ln đúng
Vậy (a+ bre +i *) >9 (dpem)
Ạ a
* Dùng phương pháp bắc cầu
1) Cho 0 < a, b,c <1 Chứng minh rằng :24`+2b`+2c` <3+aồb+bồe+c?a Giải: Doa<l = aỢ<l và b<l
Nên (I~z?)(IỞđụ?)>0Ở1+aồb~a?Ở~b>0
Hay I+aồb>aồ+b qd) Mat khac 0 <a,b<1 => aỖ>aỖồ
Vậy a`+b`<l+aỢb Tương tự ta có b`+e)<1+Đ?c;a`+e` <l+c?a => 2aÌ+2b`+2cÌ<3+aồb+bồe+cỢa (dpem) 3 b> b> lta >ae+h 2) So sinh 31" va 17" Giải: Ta thấy 31" < 32" =(2ồ) =2Ợ <2" Mặt khdc 2ồ =2*" =(2')" =16" <17"* Vay 31" <17" (đpem) * Dùng tắnh chất tỉ số
1) Cho a,b ,c,d> 0 Cminh rằng: 2< arp + bre + etd + dra <3
a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b
Giải: Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có
a+b < a+b < a+b+d
at+b+c+d a+tb+c a+b+c+d ())
b++e bt+e b+c+a (2)
at+b+c+d b+c+d a+b+tc+d d+a d+a d+a+c (3)
at+tb+c+d d+ta+b a+bt+ct+d
Cộng các về của 4 bất đẳng thức trên ta có :
2< a+b + b+e + c+d R d+a <3 (dpem) at+b+c b+c+d c+d+a d+ta+b
2) Cho a ,b,c la s6 do ba canh tam giác
a + b + c b+c c+a a+b
Giải: Vì a ,b ,c là sô đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0
Trang 2819 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức
Vaa~btc , b<atc ,c~ ato
Tir (1) 3-4 <-4*4 2a b+c a+b+c atbte a Mat khac > b+c atbte 2a Tương tự ta có P b 2b < < < <
a+b+c b+c a+b+c a+b+c a+c a+b+c
c c 2c
< <
a+b+c b+a a+b+c
Vậy ta có Cộng từng về ba bất đẳng thức trên ta có : a + b b+c c+a a+b * Phương pháp làm trội : 1) Chứng minh BĐT sau : 1 1 1 1 a) Ở+-Ở+Ẩ *ỞỞỞỞỞỞ<= L3 3 (2n-1)(2n+1) `2 l< <2 (đpcm) b) t,t, ,Ở! 1.2 1.2.3 1.2.3 n Giải: a) Ta có : 1 _ | (2k+1)- (2k -1) ={ L1 ` (2n-I).(2n+l) 2ồ (2k-1).Q2k+1) 2(2k-I 2k+l
Cho n chạy từ I đến k Sau đó cộng lại ta có
Stages a ? )*; (đpcm) <2 13 3.5 (2n-1).2n+1l) 2 2n+l b) Ta có: I+-L+ - _<S+ 12 123 7 124 12 1.23 (n-1).n ce(Đ{t-1Je( 11a (đpcm) 2 2 3 n-l ự"
PHAN IV : UNG DUNG CUA BAT DANG THUC
1⁄ Dùng bất dẳng thức để tìm cực trị
Kiến thức:
- Nếu f(x) = A thì f{x) có giá trị nhỏ nhất là A - Nếu fx) < B thi f(x) có giá trị lớn nhất là B
Vi du 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất của :T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Giải: Tacó |x-l| + |x-4| = |x-l|+ |4-x| > |x-I+4-x| =3 (1)
Và |x-2|+|xỞ3|=|xỞ2|+|3Ởx|>|x~2+3Ởx|=l (2)
Vậy T = |x-I| + |x-2| +|x-3| + |x-4| > 1+3 =4 Ta có từ (1) = Dấu bằng xảy ra khi 1<x<4
(2)= Dấu bằng xảy ra khi 2<x<3 Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2<x<3 Vĩ dụ 2 :
Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(yẨZ).(zẨx) với x,y,z> 0 và xty+z =l Giải: Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Cơsi ta có
xt y + Z > 32/ xyz = yz <3 mz,
Trang 29ap đụng Bát đáng thức Cõsi cho XTY; ytz ; X?tzlaco
(x+y).(y+z).(z+x) >3al(x+ y)(y+z).(x+z) =2> 3(x+ y).(y+z).(z+x) Dau bang xay ra khi XEY=ZỢ)
1
Vậy S< Ế.- ậy 21:27 720 Ế Vậy S VẤY có giá trị lớn nhâ a 9 Khi x-yqz= trị lớn nhất là -Ế_ khi x=y=z=
Vắ dụ 3: Cho xy+yz+zx = l Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa x'+y*+z* Giai: Ap dung BDT Bunhiacopski cho 6 so (x,y,z) ;(x,y,Z)
Ta có (xytyztex) <(P +42) o1s(P+y tz) (1)
Áp dụng BĐT Bunhiacópski cho (xồ, y?,z?) và (1,1,1)
Tacó (xẼ+y?+z?Ộ<(?+!+1l)x!+y!+zỢ)>(x?+y?+z?) <3(x!+ y'+z!) Từ (1) và (2) >1<3(xồ+yồ+z!) =6 o
Vậy x*+y*+z* có giá trị nhỏ nhất là ; khi repr
Vắ dụ 4 : Trong tam giác vng có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có điện tắch lớn nhât
Giải: Gọi cạnh huyện của tam giác là 2a Đường cao thuộc cạnh huyện là h
Hình chiêu các cạnh góc vuông lên cạnh huyén 1a x,y Ta có S =2(xty)d =ah=aNh = aajxy
Vì a khơng đổi mà x+y = 2a Vậy S_ lớn nhất khi x.y lớn nhất ẹ x= y
Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vng cân có diện tắch lớn nhất 2⁄ Dùng Bắt đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình
Vắ dụ 1:Giai phuong trinh: 4V3x? + 6x+19 +V5xồ +10x+14 =4-2xỞx? Giải : Ta cO 3x? +6x4+19 =3.(xồ +2x4+1)4+16 =3.(x4+1) +16216
5x7 +10x+14=5.(x+1) +929
Vậy 4A3x?+6x+19+A5xỢ+10x+14>2+3=5 Dấu (= ) xảy ra khi x+l =0 > x=-l
Vay 4v3x)+6x+l9+v5x?+10x+l4=4-2x-x?Ợ khix=-l Vậy phương trình có nghiệm duy nhat x = -1
Vi du 2: Giải phương trình x+2ỞxỢ =4yồ+4y+3 Giải : áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có :
x+V2-xỢ <VIồ+1 x? +(2-x7) < V2.2 =2 Dấu (=) xảy ra khi x = 1 Mặt khác 4y?+4y+3=(2y+l1) +222 Dau (=) xay ra khi y=-5
Vậy x+v2Ởx) =4yồ+4y+3=2_ khix=l và y =5
Trang 3019 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức
Vi du 3:Giai hé phương trình sau | Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có
4 4 4 4 4 4
x+ +Z Z +x
x'+yt+zt=T + Ộ+
2 2
xy +yzồ z y)+z)zỢ x'zỢ+yỢx
2 2 2
> yồ`xz+zỢxy+ xỢyz > xyz.(x+ y+Z)
x xẨy+ẨzZ=I *#+y!+z! =xyz 2.Ấ2 2Ấ2 2 2x yptyz +z x 2
Vì xty+z = 1) Nên x'+y*+zồ>xyz Dấu (=) xảy ra khi x=y=Z=)
x+y+z=l x'+y'ồ+z! =xyz
Vậy |
Vắ dụ 4: Giải hệ phương trình sau
yee Ở ot
có nghiệm x=y=zZ=Ậ
lay-4|=8-y?
xy=2+x?
Từ phương trình (I) =8-yồ>0 hay |y|<xậ Từ phương trình (2) =+xỢ+2=l3l Iị<2/2lx
(1) (2)
=> x? -2W2|x]4V2 <0= (\x|-V2)? < 05 |x| = V2 > x= 42
Néu x = V2 thi y=2 2 Néu x =-V2 thi y =-2 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm | x=⁄2
y=-Ý2 | x=2V2
y=-2W2
3/ Ding BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên
Vi du 1: Tìm các số nguyên x,y,z thoa man x? + y? +z? <xy+3y+22-3 Giải: Vì x,y,z là các số nguyên nên x? + y?+z? <xy+3y+2z~3
Trang 31x=l
Các số x,y,z phai tìm là Jy=2
z=l
Vi du 2: Tim nghiệm nguyên dương của phương trình Ộ+ + =2 Giải: Không mất tắnh tổng quát ta giả sử x>y>z ,
Ta có 2=1+1, l3 2z ề<3
X y Zz
Mà z nguyên dương vậy z = | Thay z = | vao phương trình ta được Ộ+ : =1 Theo gia sw x>y nén 1 = Ở+Ở 1" <Ở= <2 mà y nguyên dương
xy Ữ
Nên y = l hoặc y = 2 Với y = I không thắch hop Với y = 2 ta có x= 2
Vậy (2,2,1) là một nghiệm của phương trình
Hốn vị các sô trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2) Vắ dụ 3:Tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình yx+Vx=y (*)
Giải:
(*) Với x<0, y <0 thì phương trình khơng có nghĩa (*) Vớix>0,y>0
Ta có \x+Vx =y extVxayovx=y?-x50
Dat Jx=k (k nguyén duong vi x nguyén dương ) Taco k(k+l)=y"
Nhung k? <k(k+1)<(k+l) Sk<y<k+4l
Mà giữa k và k+l là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số nguyên
dương nào cả Ấ
Nên khơng có cặp sô nguyên dương nào thoả mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : Ũ _ ys
Bài tập đề nghị :
Bài I:Chứng minh rằng với mọi a,b,e > 0 2, be stitial
số ` - _ be ac aba be
HD : Chuyên về quy đông mâu đưa về tông bình phương các đăng thức Bài 2:Chứng minh bất đăng thức : t,t ,t, , 12 23 34 n(n+1) 1 <1 (neN*)
1 1 1
k(k+l) k k+l
Bài 3: Cho a, b c> 0 vàa+b+c <1 Cmr : (+zt*zỳt+;)>s
a Ạ
Cc
Bài 4 : Cho z>c>0,b>c>0 Cmr 31: Ve@=Ạ) +xjeỂ=e) < Vab HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho [1+ 2] HH (ut)
Trang 3219 Phương pháp chứng mình Bắt dẳng thức
HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho i Ở ee, rồi cộng hai về theo về
Bài 5: Cho a, b >1 Tìm GTNN của $= = +
HD: Áp dụng bắt đẳng thức Côsi cho Ộ a và xét trường hợp dấu Ộ=Ợ xảy ra
Bài 9 : Tìm GTLN và GTNN của y = Se
1 7.7
HD: Dat x= tga, Ủze|-Ở,Ở
CỐ V2 2 3
Bài 10: Cho 36x?+16y? =9.Cmr : Bsy-2x45<2
1
=ỞCcosa@
HD: Dat : 3 y= sina
Bài 11: Cmr: VI++xIỞx? 25+ 21-2), vx Ạ[- 11]
HD : Dat x= sin 2a, at Ộ| 414
Bài 12: Cho a,b>0,c <1 Chứng minh rằng: a?+b?+c?Ợ <1+a b+bồc+c?a
Bài 13: Cho A ABC có a, b, c là độ dài các cạnh Chứng minh rằng:
aỖb(aỞb) + b?c(bỞe)+ e?a(e Ở a) > 0
Bài 14: Cho ụe ZẤI< ụ,a,b>0 Chứng minh rằng a >(4)
Bài 15: ụeZ,2<ụ Chứng minh rằng: 2<(1+4) <3
n
< 3x Xx
Bai 16: Cé tén tai xe R sao cho: | <3?
35 fgx
Bài 17: Cho A ABC có điện tắch bằng 4 (đơn vị diện tắch) Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lược các điểm A', Bồ, Cồ Chứng minh rằng: Trong tat cả các tam giac ABỖCỖ, ABCỢ, AồBồC có ắt nhất 1 điện tắch nhỏ hơn hay bằng 1(đơn vị diện tắch)