1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi

4 3,1K 67

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 4
Dung lượng 314,5 KB

Nội dung

PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY1.

Trang 1

PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY

1 Bất đẳng thức CauChy:

a) Cho 0, b 0 a+b

2

b) Cho 0, b 0, c 0 a+b+c 3

3

c) Cho 1 0, 2 0, , 0 a +a + +a1 2 n 1 2

n

khi a1=a2 = = a n

2 Ví dụ:

1) Cho 2 số dương a, b Chứng minh rằng:

a) a b+ ≥2

2) Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( 3 )3

1+a 1+b 1+ ≥ +c 1 abc với a, b, c không âm.

3) Chứng minh: 2 a+33b+44c ≥99abc

4) Chứng minh: xy + yz +zx ≥ + +x y z

z x y với x, y, z > 0

5) Chứng minh: a) 3

2

b)

2

+ +

3 Bài tập:

1) Cho a, b, c > 0 Chứnng minh:

a) ( + )1 1+ ≥4

a b

a b c

a b c

g) a + b + c ≥ + +1 1 1

2) Cho a a1, , ,2 a n là các số thực dương thoả a a1 2 .a n =1 Chứng minh:

(1+ 1) (1+ 2) 1( + ) ≥2n

n

3) Cho x, y, z > 0 Chứng minh

2 + 2 + 2 ≥ + +

4) Chứng minh: 1

! ; n N

2+ > n

n

n

Trang 2

5) Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 8

729

6) Cho a≥1; b 1≥ Chứng minh rằng: a b− +1 b a− ≤1 ab

7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1 Chứng minh: a b+ + b c+ + c a+ ≤ 6

8) Chứng minh (x y y z z x+ ) ( + ) ( + ) ≥8xyz với x, y, z > 0

9) Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương Chứng minh

3

10) Cho x, y, z là 3 số dương Chứng minh 3x+2y+4zxy +3 yz+5 zx

11) Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0 Chứng minh 8a + + ≥8b 8c 2a+2b+2c

12) Chứng minh với mọi số thực a, ta có: 3a2−4+34a+8≥2

13) Cho , ,x y z>0 và thỏa x y z+ + =1 Chứng minh rằng 18

2

xyz

xy yz zx

xyz

+

14) Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh

15) Cho x, y, z tuỳ ý khác không Chứng minh 12 + 12 + 12 ≥ 2 92 2

16) Chứng minh với x, y là 2 số không âm tuỳ ý, ta luôn có: 3x3+17y3≥18xy2

17) Chứng minh 4( 5) ( 4) ( 3) ( 6) 1

4

≤ + + +

18) Cho a, b, c > 0 Chứng minh ( 2 2 2) 1 1 1 3( )

2

a b b c c a

19) Cho x, y, z > 0 Chứng minh 1+ 1+ 1+ ≥8

 ÷ ÷ ÷

20) Chứng minh

2 2

3

2 2

x

x x

21) Chứng minh 8

6 >1 1

x

x

22) Cho n số a a1, , ,2 a nkhông âm thoả a1+a2+ + a n =1 Chứng minh

2

23) Chứng minh 1 +

n

24) Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1 Chứng minh : 1 1 1

x y z

25) Cho x≥0,y≥0,z≥0 và 1 1 1 1

1 x+1 y+1 z ≥ + + + Chứng minh

1 8

xyz

Trang 3

26) Chứng minh:

1

1

n

+

27) Chứng minh 1.3.5 2( n− <1) n n ∀ ∈n ¢+

28) Cho x2+y2 =1 Chứng minh − 2≤ + ≤x y 2

29) Cho 3 số thực x, y, z thỏa x≥3; y 4 ; z 2≥ ≥ Chứng minh

4 6

xyz

30) Cho f x( )=(x+4 5) ( −x) với − ≤ ≤4 x 5 Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN

31) Tìm GTNN của các hàm số sau:

a) 3

( )= +

x với x > 0 b)

1 ( )

1

= +

x với x > 1

32) Cho 0≤ ≤x 4; 0 y 3≤ ≤ Tìm GTLN của A= −(3 y) (4−x) (2y+3x)

33) Tìm GTLN của biểu thức:

F

abc với a≥3; b 4; c 2≥ ≥

34) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm GTLN của

P

x y z (ĐHNT-1999)

35) Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1 Tìm GTNN của biểu thức:

P

36) Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết a b c, , >0:

1

2 a5 b5 c5 a3 b3 c3

3

4

a b c

bc +ca +ab ≥ + +

6

1

4

a b c

7

a b c

37) Cho x y z, , là ba số dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng

+ + + (ĐH 2005)

38) Cho x y z, , là các số dương Chứng minh rằng 4 4 4 1 3 3 3

2

+ + + (ĐH 2006)

39) Giả sử x y, là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 5

4

x y+ = Tìm GTNN của biểu thức

4

S

= + (ĐH 2002)

Trang 4

40) Cho x y z, , là các số dương và x y z+ + ≤1 Chứng minh rằng:

82

+ + + + + ≥ (ĐH 2003)

41) Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4

x+ + =y z Chứng minh rằng:

1

+ + + + + + (ĐH 2005)

42) Chứng minh rằng với mọi x∈¡ thì 12 15 20

x x x

      (ĐH 2005)

43) Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng:

3 3

+ + + + + + + + ≥ (ĐH 2005)

44) Chứng minh rằng với mọi x y, >0 thì

2

9

+  + ÷ + ÷÷ ≥ (ĐH 2005)

45) Cho x y z, , thỏa mãn x y z+ + =0 Chứng minh 3 4+ x + 3 4+ y + 3 4+ z ≥6(ĐH 2005) 46) Cho a b c, , là ba số dương thỏa mãn 3

4

3a+3b+3b+3c+3c+3a ≤3(ĐH 2005)

47) Cho x y z, , thỏa mãn 3−x +3−y+3−z =1 Chứng minh

4

x y z+ y x z+ z x y+

+ + + (ĐH 2006)

48) Tìm GTNN của hàm số 11 72

2

  (ĐH 2006)

49) Cho x y, là hai số dương thỏa mãn điều kiện x y+ ≥4 Tìm GTNN của biểu thức

2

4

A

= + (ĐH 2006) 50) Ba số dương a b c, , thỏa mãn 1 1 1

3

51) Giả sử xy là hai số dương và x y+ =1 Tìm GTNN của

P

− − (ĐH 2001)

52) Cho hai số thực x≠0,y≠0 thỏa mãn (x y xy x+ ) = 2+y2−xy Tìm GTLN của biểu thức

A

= + (ĐH 2006)

53) Chứng minh rằng nếu 0≤ ≤ ≤y x 1 thì 1

4

x yy x≤ (ĐH 2006)

Ngày đăng: 06/07/2014, 17:18

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w