PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY1.
Trang 1PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY
1 Bất đẳng thức CauChy:
a) Cho 0, b 0 a+b
2
b) Cho 0, b 0, c 0 a+b+c 3
3
c) Cho 1 0, 2 0, , 0 a +a + +a1 2 n 1 2
n
khi a1=a2 = = a n
2 Ví dụ:
1) Cho 2 số dương a, b Chứng minh rằng:
a) a b+ ≥2
2) Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( 3 )3
1+a 1+b 1+ ≥ +c 1 abc với a, b, c không âm.
3) Chứng minh: 2 a+33b+44c ≥99abc
4) Chứng minh: xy + yz +zx ≥ + +x y z
z x y với x, y, z > 0
5) Chứng minh: a) 3
2
b)
2
+ +
3 Bài tập:
1) Cho a, b, c > 0 Chứnng minh:
a) ( + )1 1+ ≥4
a b
a b c
a b c
g) a + b + c ≥ + +1 1 1
2) Cho a a1, , ,2 a n là các số thực dương thoả a a1 2 .a n =1 Chứng minh:
(1+ 1) (1+ 2) 1( + ) ≥2n
n
3) Cho x, y, z > 0 Chứng minh
2 + 2 + 2 ≥ + +
4) Chứng minh: 1
! ; n N
2+ > n ∈
n
n
Trang 25) Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 8
729
6) Cho a≥1; b 1≥ Chứng minh rằng: a b− +1 b a− ≤1 ab
7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1 Chứng minh: a b+ + b c+ + c a+ ≤ 6
8) Chứng minh (x y y z z x+ ) ( + ) ( + ) ≥8xyz với x, y, z > 0
9) Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương Chứng minh
3
10) Cho x, y, z là 3 số dương Chứng minh 3x+2y+4z≥ xy +3 yz+5 zx
11) Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0 Chứng minh 8a + + ≥8b 8c 2a+2b+2c
12) Chứng minh với mọi số thực a, ta có: 3a2−4+34a+8≥2
13) Cho , ,x y z>0 và thỏa x y z+ + =1 Chứng minh rằng 18
2
xyz
xy yz zx
xyz
+
14) Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh
15) Cho x, y, z tuỳ ý khác không Chứng minh 12 + 12 + 12 ≥ 2 92 2
16) Chứng minh với x, y là 2 số không âm tuỳ ý, ta luôn có: 3x3+17y3≥18xy2
17) Chứng minh 4( 5) ( 4) ( 3) ( 6) 1
4
≤ + + +
18) Cho a, b, c > 0 Chứng minh ( 2 2 2) 1 1 1 3( )
2
a b b c c a
19) Cho x, y, z > 0 Chứng minh 1+ 1+ 1+ ≥8
÷ ÷ ÷
20) Chứng minh
2 2
3
2 2
x
x x
21) Chứng minh 8
6 >1 1
x
x
−
22) Cho n số a a1, , ,2 a nkhông âm thoả a1+a2+ + a n =1 Chứng minh
2
23) Chứng minh 1 +
n
24) Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1 Chứng minh : 1 1 1
x y z
25) Cho x≥0,y≥0,z≥0 và 1 1 1 1
1 x+1 y+1 z ≥ + + + Chứng minh
1 8
≤
xyz
Trang 326) Chứng minh:
1
1
n
+
27) Chứng minh 1.3.5 2( n− <1) n n ∀ ∈n ¢+
28) Cho x2+y2 =1 Chứng minh − 2≤ + ≤x y 2
29) Cho 3 số thực x, y, z thỏa x≥3; y 4 ; z 2≥ ≥ Chứng minh
4 6
xyz
30) Cho f x( )=(x+4 5) ( −x) với − ≤ ≤4 x 5 Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN
31) Tìm GTNN của các hàm số sau:
a) 3
( )= +
x với x > 0 b)
1 ( )
1
= +
−
x với x > 1
32) Cho 0≤ ≤x 4; 0 y 3≤ ≤ Tìm GTLN của A= −(3 y) (4−x) (2y+3x)
33) Tìm GTLN của biểu thức:
F
abc với a≥3; b 4; c 2≥ ≥
34) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm GTLN của
P
x y z (ĐHNT-1999)
35) Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1 Tìm GTNN của biểu thức:
P
36) Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết a b c, , >0:
1
2 a5 b5 c5 a3 b3 c3
3
4
a b c
bc +ca +ab ≥ + +
6
1
4
a b c
7
a b c
37) Cho x y z, , là ba số dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng
+ + + (ĐH 2005)
38) Cho x y z, , là các số dương Chứng minh rằng 4 4 4 1 3 3 3
2
+ + + (ĐH 2006)
39) Giả sử x y, là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 5
4
x y+ = Tìm GTNN của biểu thức
4
S
= + (ĐH 2002)
Trang 440) Cho x y z, , là các số dương và x y z+ + ≤1 Chứng minh rằng:
82
+ + + + + ≥ (ĐH 2003)
41) Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4
x+ + =y z Chứng minh rằng:
1
+ + + + + + (ĐH 2005)
42) Chứng minh rằng với mọi x∈¡ thì 12 15 20
x x x
(ĐH 2005)
43) Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng:
3 3
+ + + + + + + + ≥ (ĐH 2005)
44) Chứng minh rằng với mọi x y, >0 thì
2
9
+ + ÷ + ÷÷ ≥ (ĐH 2005)
45) Cho x y z, , thỏa mãn x y z+ + =0 Chứng minh 3 4+ x + 3 4+ y + 3 4+ z ≥6(ĐH 2005) 46) Cho a b c, , là ba số dương thỏa mãn 3
4
3a+3b+3b+3c+3c+3a ≤3(ĐH 2005)
47) Cho x y z, , thỏa mãn 3−x +3−y+3−z =1 Chứng minh
4
x y z+ y x z+ z x y+
+ + + (ĐH 2006)
48) Tìm GTNN của hàm số 11 72
2
(ĐH 2006)
49) Cho x y, là hai số dương thỏa mãn điều kiện x y+ ≥4 Tìm GTNN của biểu thức
2
4
A
= + (ĐH 2006) 50) Ba số dương a b c, , thỏa mãn 1 1 1
3
51) Giả sử x và y là hai số dương và x y+ =1 Tìm GTNN của
P
− − (ĐH 2001)
52) Cho hai số thực x≠0,y≠0 thỏa mãn (x y xy x+ ) = 2+y2−xy Tìm GTLN của biểu thức
A
= + (ĐH 2006)
53) Chứng minh rằng nếu 0≤ ≤ ≤y x 1 thì 1
4
x y −y x≤ (ĐH 2006)