Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó

Lời nói đầuTrong bộ môn Toán ở trờng phổ thông thì chuyên đề Bất đẳng thức đợc xem là một trong những chuyên đề khó, nhiều học sinh khá thậm chí giỏi còn lo ngại tránh né bởi vì học sinh

Lời nói đầu

Trong bộ môn Toán ở trờng phổ thông thì chuyên đề Bất đẳng thức đợc xem là một trong những chuyên đề khó, nhiều học sinh khá thậm chí giỏi còn lo ngại tránh né bởi vì học sinh cha hình thành đợc những phơng pháp giải để học sinh ứng dụng vào việc chứng minh Bất đẳng thức.

Qua nội dung về Bài tập lớn em xin trình bày chuyên đề: Một số phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức và ứng dụng của nó trong việc chứng minh và giải

quyết các bài toán có liên quan Các bài tập ở đây với độ khó đợc nâng dần lên nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, giúp học sinh có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức.

Nội dung của chuyên đề bao gồm:

Phần I - Kiến thức cơ bản cần nắm: Đây là phần tóm tắt một số kiến thức

lý thuyết cơ bản mà học sinh cần nắm để sử dụng trong quá trình chứng minh Bất đẳng thức

Phần II - Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức: Tổng hợp các

phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức thờng dùng cho học sinh THCS Với mổi phơng pháp có các kiến thức cần nắm, các ví dụ minh hoạ, bài tập áp dụng để học sinh tự mình hình thành đợc t duy cảm nhận về

phơng pháp đó

Phần III - ứng dụng của việc chứng minh bất đẳng thức: Trình bày

những ứng dụng phổ biến của chứng minh Bất đẳng thức

Phần IV - Hớng dẫn, giải các BT áp dụng: Đây là phần giải chi tiết của

các BT áp dụng cho từng phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở trên

Phần V - Bài tập tổng hợp – tự giải: tự giải: Bao gồm các bài tập tổng hợp cho tất

cả các dạng phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức

Cơ sở lý luận – Thực tiễn Thực tiễn

Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức thì rất phong phú nhng để cho học sinh hình thành đợc phơng pháp chứng minh cũng nh ứng dụng Bất đẳng thứctrong Toán học thì cha có Số học sinh hiểu và đợc điểm khá của phần này rất thấp thậm chí không có, đa số các em chỉ đợc điểm Trung Bình hoặc Yếu Ngoài

ra, số lợng thời gian nghiên cứu chuyên sâu phần Bất đẳng thức trong kiến thức

của chơng trình THCS rất ít nên học sinh ít thời gian để ý đến các kiến thức mà giáo viên giảng trong phần này Do đó học sinh không có hứng thú khi học sinh bắt gặp dạng toán Bất đẳng thức này Do thời gian nghiên cứu làm bài đề tài ngắn nên tôi không thể đa ra đợc số liệu điều tra cụ thể đợc nhng tôi mong rằng qua đề tài này tôi hi vọng nó sẽ là công cụ hữu ích cho những em có hứng thú học tập bộ môn Toán nói chung và chuyên đề Bất đẳng nói riêng.

a a

2 1

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

II - Một số bất đẳng thức phụ đã đợc chứng minh là đúng.

III – tự giải: Các bất đẳng thức trong tam giác

IV – tự giải: Các hàm l ợng giác thông dụng

VII – tự giải: Các kiến thức về toạ độ vec tơ

VIII – tự giải: Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức:

Dạng 1 – tự giải: Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi t ơng đơng

Dạng 2 – tự giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky và các bất đẳng thức phụ.

Dạng 3 – tự giải: Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy

Dạng 4 – tự giải: Chứng minh bằng phản chứng

Dạng 5 – tự giải: Ph ơng pháp lợng giác

Dạng 6 – tự giải: Ph ơng pháp chứng minh qui nạp

Dạng 7 – tự giải: Ph ơng pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau

Dạng 8 – tự giải: Ph ơng pháp dùng tam thức bậc hai

Dạng 9 – tự giải: Ph ơng pháp dùng tính chất bắc cầu

Dạng 10 - Phơng pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác

Dạng 11 – tự giải: Ph ơng pháp đổi biến số

Dạng 12 – tự giải: Ph ơng pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng)

Ngoài các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức đã nêu ở trên thì còn rất nhiều các phơng pháp khác nh: Phơng pháp toạ độ – tự giải: vectơ, bất đẳng thức chứa dấu giá

trị tuyệt đối, sử dụng cực trị,… Nh Nhng do các kiến thức lý thuyết các em cha có nên tôi chỉ xin trình bày một số phơng pháp nh trên.

Dạng 1- Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tơng tơng đơng

Đây là phơng pháp cơ bản nhất, dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức đơn giản để biến đổi các bất đẳng thức phức tạp của đề ra thành các bất

đẳng thức đơn giản và đúng hoặc các bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng

 Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức đó ( 0; 0; 0; 0 )   

 Chuyển vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để dể chứng minh

 Làm xuất hiện các tích các thừa số có chứa các yếu tố của đề bài để ta xét dấu các thừa số đó

 Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thức con để đợc điều phải chứng minh.

b a ca cb ab c abc

b a c b c a abc

3 3

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2 0

Bài 1: Cho a + b = 2 Chứng minh rằng: a4  b4  2

Bài 2:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có:

Bài 4: Chứng minh rằng: (a10  b )(a10 2  b ) (a2  8  b )(a8 4  b )4

Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức :

3 3

2

d c b a a d

d d c

c c b

b b

a

a

2 2

3 2 2

3 2 2

3 2 2

Dạng 2 – Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ

Đây là phơng pháp phổ biến nhất trong việc chứng minh Bất đẳng thức Chúng ta dựa vào điều kiện đã cho ở đề bài để ta lựa chọn phơng pháp cho thích hợp Ngoài ra, ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh Khi áp dụng các BĐT đã đợc chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để đ-

3 3

b c ab

a

Dạng 3 – tự giải: sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Đây là phơng pháp chứng minh BĐT mà học sinh THCS dễ nhận dạng để chứng minh đó là sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT

để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh Khi áp dụng các BĐT đã đợc chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để đợc BĐT cần chứng minh.

Ví dụ 1: Cho 3 số dơng a,b,c chứng minh rằng:

Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

1 2 abcd abcd (1 abcd)

1 abcd 4 abcd

1 3 abcd

1abcd

sai, tức là A B đúng, từ đó chứng minh những lập luận chính xác ta suy ra điều

mâu thuẩn từ giả thiết Kết luận A B đúng Điều vô lý có thể là trái với giả

thiết, hoặc là những điều trái ngợc nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh

là đúng.

Một số hình thức chứng minh bằng phản chứng:

 Dùng mệnh đề đảo.

 Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết.

 Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng.

 Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau.

Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Cho a,b,c,d R và a b 2cd 

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng

Nên sẽ có ít nhất một trong hai bất đẳng thức đã cho là đúng

Ví dụ 2: Cho 3 số dơng a,b,c nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đã cho là sai

Ví dụ 3: Cho 6 số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 108 Chứng minh rằng có thể chọn

đ-ợc 3 trong 6 số đó, chẳng hạn a,b,c sao cho a<bc, b<ca, c<ab

Giải

Giả sử 6 số tự nhiên khác 0 là 1 a 1 a2  a 6 108

Rõ ràng a2 2; a3  Với 3 số x,y,z thoã mãn 3 1 x y z  

Ta luôn có x<yz và y<xz Nếu trong các số a1, a2 ,… Nh, a6 không có 3 số nào thoã mãn a<b<c và c<ab thì có a4  a a2 3  6,

Trái với giả thiết a6 <108 Vậy phải có 3 số a,b,c thoã mãn a<bc; b<ca; c<ab

Ví dụ 4: Cho các số thực a,b,c thoã mãn điều kiện:

a b c 0 (1)ab+bc+ca>0 (2)abc>0 (3)

Giả sử trong 3 số thực a,b,c đã cho có một số âm hay bằng 0, giả sử số đó là

a 0 mà không làm mất đi tính tổng quát của bài toán Ta có:

Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy 3 sô a,b,c đều là số dơng

Kết quả này mâu thuẩn với kết quả của giả thiết đã nêu ra ở trên

Vậy ít nhất phải có một bất đẳng thức sai

1

+ tg cotg = 1 ( 

đây để có thể đổi biến lợng giác một cách chính xác

sin x

sin a x

với   [0, 2]

; 0

 Nếu |x|  m hoặc bài toán có chứa biểu thức x  2 m 2

thì đặt x =

 cos

; 0

 Sử dụng công thức 1+ tg2 =

 2 cos

1

 Nếu x  R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tg với   

, 2

 Nếu x  R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtg với   

, 2

Ví dụ 1: Cho a,b,c,d R Với a c 1 d  2 Và b d 1 c  2

 a c 1 d 2 cosa 1 cos 2b cos sina b

Và b d 1 c 2 cos 1 cosb  2a cos sinb a

a b cos sin cos sin

Từ đk |a|  1 nên

Đặt a=cos với [0,]       ; 1  a  sin 

2 cos 2 a 1

; 2 sin 2 a

(1)

2

cos 2 sin 2 2 2 2 2

sin 2 cos 2 2 2

cos 2 sin 2

sin 2

cos 2

sin 2

cos 2

sin 2

cos 2

5    9 a  1

Bài 6:

) a 1 )(

c 1 (

| a c

| )

c 1 )(

b 1 (

| c b

| )

b 1 )(

a 1 (

| b a

|

2 2

2 2

a 1 (

) ab 1 )(

b a (

Dạng 6 – tự giải: Ph ơng pháp chứng minh qui nạp

Phơng pháp qui nạp thờng sử dụng để chứng minh một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dơng n Ta thực hiện các bớc sau:

 Kiểm nghiệm để chứng tỏ BĐT đúng với điều kiện nhỏ nhất.

 Giả sử BĐT đúng với một số nguyên dơng k bất kỳ

Điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2

Bây giờ theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận rằng đối với n  1 số thực không

âm bất kì , trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng Thế thì nói riêng ta có:

Trong tất cả quá trình lý luận trên, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 2

1

2      nN;n 1 (1)

Bài 2:

Cho n  N và a+b > 0 Chứng minh rằng

n b a

Dạng 7 - Phơng pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau

Đây là phơng pháp đặc trng cho học sinh THCS vì phơng pháp này áp dụng các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đã đợc học ở lớp 7 Các tính chất đặc biệt th- ờng gặp trong loại này ta cần lu ý nh:

Cộng các bất đẳng thức trên lại ta đợc điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Cho a,b,c,d là các số dơng, chứng minh rằng:

Cho a;b;c;d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a + b = c + d =1000

t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a

 Bµi 3:

cd ab





 2 2

D¹ng 8 – tù gi¶i: Ph ¬ng ph¸p dïng tam thøc bËc hai

f(X) (a X b ) 0 Với mọi X nên tam thức (X) cóD ' 0

Ví dụ 3:  x y R ,  , chứng mih bất đẳng thức sau:

Dạng 9 – tự giải: Ph ơng pháp dùng tính chất bắc cầu

Đây là phơng pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất bắc cầu trong Toán học

Chẳng hạn: a b và b c  thì a c

Một số ví dụ:

Ví dụ 1:

Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a > c+d , b >c+d Chøng minh r»ng: ab >ad+bc

b

d c

d c a

2 b c 

a

Chøng minh

abc c b a

1 1 1 1

6

5

  1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã

c b a

1 1 1

Dạng 10 – tự giải: Ph ơng pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác

Đây là phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức trong tam giác làm các giả thiết để chứng minh các bất đẳng thức.

ở phơng pháp chứng minh này các bạn nên chú ý một số kiến thức cơ bản sau:

Kiến thức:

1 Các bất đẳng thức trong tam giác:

Với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì a b c , , 0

Nếu a b c  thì số đo của 3 góc A, B, C cũng đúng với bất đẳng thức trên

2 Công thức liên quan đến tam giác

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác Chứng minh rằng:

) (

) (

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

b 

> 0 ( vì b + c > a bất đẳng thức tam giác )

1 +

c

1)Dấu ‘=’ xảy ra khi Δ ABC đều

 (a + b – tự giải: c)2( b + c – tự giải: a)2( c + a – tự giải: b)2  a b c2 2 2

 (a + b – tự giải: c)( b + c – tự giải: a )( c + a – tự giải: b) abc

Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên

000

Dạng 11 – tự giải: Ph ơng pháp đổi biến số

Khi ta gặp một số bất đẳng thức có biến phức tạp thì ta có thể dùng phơng pháp

đổi biến số để đa các bất đẳng thức cần chứng minh về dạng đơn giản hơn, tức là

ta đặt các biến mới biểu thị đợc các bién cũ sao cho biến mới có thể gọn hơn hoặc dễ chứng minh hơn Sau khi đổi biến số ta sử dụng các phơng pháp chứng minh ở trên để chứng minh bất đẳng thức.

Phơng pháp lợng giác cũng là một dạng của phơng pháp đổi biến số.

b c b

y 

; b =

2

y x

z 

; c =

2

z y

z

y z

x y

z y

x x

z x y

 (  )  (  )  (  )  6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2 ;

y

x x

y

  2

z

x x

z

;   2

z

y y

z

) điều phải chứng minh

Ví dụ 2:

Cho a,b,c > 0 và a+b+c < 1 Chứng minh rằng:

9 2

1 2

1 2

1

2 2

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0

Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

xyz3.3 xyz

  

z y x

1 1 1

Mµ x+y+z < 1

VËy 11 1 9

z y

x ®iÒu ph¶i chøng minh

y z x a

Nên bất đẳng thức ta có thể viết lại nh sau:

 xyz(x y z y z x z x y  )(   )(   ) (Ta đã chứng minh đợc)

Vậy BĐT đã đợc chứng minh Dấu “=” xảy ra  a b c   1

1

(

) 1 )(

(

4

1

2 2 2 2

2 2 2 2

y x y

x  2

1

+

z y

x 2 

1

+

z y

Dạng 12 - Phơng pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng)

Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.

2 2

n

a

a a

a a

a a a

k     2 1

1

2 2

1 1

1 1

1 1

n n

trị tuyệt đối, sử dụng cực trị,… Nh Nhng do các kiến thức lý thuyết các em cha có nên tôi chỉ xin trình bày một số phơng pháp nh trên Các bài toán về Bất đẳng thức rất đa dạng và phức tạp, các phơng pháp chứng minh đã nêu trên chỉ là

những phơng pháp tơng đối thông dụng để cho học sinh THCS cố gắng nhận định

và làm quen với các dạng ở trên để áp dụng phơng pháp thích hợp

Phần III – Thực tiễn ứng dụng của Bất đẳng thức.

Bất đẳng thức đợc ứng dụng rộng rãi nhiều trong việc tìm GTLN, GTNN, giải

ph-ơng trình và hệ phph-ơng trình, dùng để giải phph-ơng trình nghiệm nguyên và rất nhiều ứng dụng khác nữa.

I - Dùng BĐT để tìm GTLN và GTNN

Kiến thức : Nếu f(x)  m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m.

Nếu f(x)  M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M.

Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh: Côsi, Bunhiacôpxki , bất

đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng ph-

ơng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức … Tìm cực trị Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

1 + y

 1

1

+

z

 1

1

 2Tìm giá trị lớn nhất của tích : P = xyz

1

) + ( 1 -

z

 1

1) = y y

1  2

) 1 )(

1 3





z z

=> G 

3 2

1 2 2

1 2

1 2 2

1 2

1



 đạt đợc khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6

Bài tập áp dụng:

Bài 1:

Tìm giá trị lớn nhất của:

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1

Bài 2: Cho xy+yz+zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của x4 y4 z4

Bài 3:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 – tự giải: 2xy + 3y2 – tự giải: 2x – tự giải: 10y + 20Bài 4:Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của phân thức D =

1

12

Bài 5; Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số này khi chia cho 9 có số d là 5 và khichia cho 31 có số d là 28

II – tự giải: Dùng BĐT để giải ph ơng trình và hệ phơng trình

Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phơng trình Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phơng trình có nghiệm.

Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn

 phơng trình vô nghiệm

Còn đối với hệ phơng trình ta dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phơng trình của hệ , suy luận và kết luận nghiệm Biến đổi một phơng trình của hệ , sau đó so sánh với phơng trình còn lại , lu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc.

2

1 1

Phơng trình (1) có nghiệm  dấu '' = '' ở (2) xảy ra

Vậy (1) có nghiệm x =

4

5