Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó

chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Lời nói đầu Trong bộ môn Toán ở trờng phổ thông thì chuyên đề Bất đẳng thức đợc xem là một trong những chuyên đề khó, nhiều học sinh khá thậm chí giỏi còn lo ngại tránh né bởi vì học sinh cha hình thành đợc những phơng pháp giải để học sinh ứng dụng vào việc chứng minh Bất đẳng thức. Qua nội dung về Bài tập lớn em xin trình bày chuyên đề: Một số phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức và ứng dụng của nó trong việc chứng minh và giải quyết các bài toán có liên quan. Các bài tập ở đây với độ khó đợc nâng dần lên nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, giúp học sinh có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức. Nội dung của chuyên đề bao gồm: Phần I - Kiến thức cơ bản cần nắm: Đây là phần tóm tắt một số kiến thức lý thuyết cơ bản mà học sinh cần nắm để sử dụng trong quá trình chứng minh Bất đẳng thức. Phần II - Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức: Tổng hợp các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức thờng dùng cho học sinh THCS. Với mổi phơng pháp có các kiến thức cần nắm, các ví dụ minh hoạ, bài tập áp dụng để học sinh tự mình hình thành đợc t duy cảm nhận về phơng pháp đó. Phần III - ứng dụng của việc chứng minh bất đẳng thức: Trình bày những ứng dụng phổ biến của chứng minh Bất đẳng thức. Phần IV - Hớng dẫn, giải các BT áp dụng: Đây là phần giải chi tiết của các BT áp dụng cho từng phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở trên. Phần V - Bài tập tổng hợp tự giải: Bao gồm các bài tập tổng hợp cho tất cả các dạng phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức. Cơ sở lý luận Thực tiễn Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức thì rất phong phú nhng để cho học sinh hình thành đợc phơng pháp chứng minh cũng nh ứng dụng Bất đẳng thức trong Toán học thì cha có. Số học sinh hiểu và đợc điểm khá của phần này rất thấp thậm chí không có, đa số các em chỉ đợc điểm Trung Bình hoặc Yếu. Ngoài ra, số lợng thời gian nghiên cứu chuyên sâu phần Bất đẳng thức trong kiến thức của ch- Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 1 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán ơng trình THCS rất ít nên học sinh ít thời gian để ý đến các kiến thức mà giáo viên giảng trong phần này. Do đó học sinh không có hứng thú khi học sinh bắt gặp dạng toán Bất đẳng thức này. Do thời gian nghiên cứu làm bài đề tài ngắn nên tôi không thể đa ra đợc số liệu điều tra cụ thể đợc nhng tôi mong rằng qua đề tài này tôi hi vọng nó sẽ là công cụ hữu ích cho những em có hứng thú học tập bộ môn Toán nói chung và chuyên đề Bất đẳng nói riêng. Phần I - kiến thức cơ bản I Một số bất đẳng thức cần nhớ: 2 0; 0;a a b b b o Bất đẳng thức Cô sy: n n n aaaa n aaaa 321 321 ++++ Với 0> i a dấu bằng xảy ra khi 1 2 n a a a = = = o Bất đẳng thức Bunhiacopski: ( ) ( ) ( ) 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 2 nnnn xaxaxaxxaaa +++++++++ Dấu đẳng thức xảy ra <=> 1 2 1 2 n n a a a x x x = = = o Bất đẳng thức Trê- b-sép: Nếu CBA cba 3 . 33 CBAcbacCbBaA ++++ ++ Nếu CBA cba 3 . 33 CBAcbacCbBaA ++++ ++ Dấu bằng xảy ra khi == == CBA cba II - Một số bất đẳng thức phụ đã đợc chứng minh là đúng. o xyyx 2 22 + o xyyx + 22 dấu( = ) khi x = y = 0 o ( ) xyyx 4 2 + o 2 + a b b a Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 2 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán o 2 1 1 4 ( , 0) 1 2 ( 0) 1 4 ( , 0) ( ) Khi b c b c b c b khi x b Khi x y bc b c + > + + > > + III Các bất đẳng thức trong tam giác IV Các hàm lợng giác thông dụng V Các tính chất cơ bản Tính chất 1: a > b <=> b < a Tính chất 2: a > b và b > c => a > c Tính chất 3: a > b <=> a + c > b + c Hệ quả : a > b <=> a - c > b c a + c > b <=> a > b c Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d a > b và c < d => a - c > b d Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd a > b và c < 0 => ac < bd Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd a > b > 0 => a n > b n a > b <=> a n > b n với n lẻ . VI Các hằng đẳng thức đáng nhớ VII Các kiến thức về toạ độ vec tơ VIII Các kiến thức về tính chất của tỉ lệ thức: , , , , , a a a b c R a b a b c a c a a c c a b c d R b d b b d d + + > + + + + > > > + Phần II Các ph ơng pháp chứng minh Bất đẳng thức Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức vô cùng đa dạng ở đây tôi xin trình bày những dạng phơng pháp thông dụng nhất nh sau: Dạng 1 Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi t ơng đơng Dạng 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky và các bất đẳng thức phụ. Dạng 3 Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Dạng 4 Chứng minh bằng phản chứng Dạng 5 Ph ơng pháp lợng giác Dạng 6 Ph ơng pháp chứng minh qui nạp Dạng 7 Ph ơng pháp áp dụng các tính chất của các dãy tỉ số bằng nhau Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 3 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Dạng 8 Ph ơng pháp dùng tam thức bậc hai Dạng 9 Ph ơng pháp dùng tính chất bắc cầu Dạng 10 - Phơng pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác Dạng 11 Ph ơng pháp đổi biến số Dạng 12 Ph ơng pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng) Ngoài các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức đã nêu ở trên thì còn rất nhiều các phơng pháp khác nh: Phơng pháp toạ độ vectơ, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, sử dụng cực trị, Nhng do các kiến thức lý thuyết các em cha có nên tôi chỉ xin trình bày một số phơng pháp nh trên. Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 4 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Dạng 1- Dựa vào định nghĩa và các phép biến đổi tơng tơng đơng Đây là phơng pháp cơ bản nhất, dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức đơn giản để biến đổi các bất đẳng thức phức tạp của đề ra thành các bất đẳng thức đơn giản và đúng hoặc các bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng. ở phần này các bạn chú ý đến các hằng đẳng thức: 2 2 2 2 ( ) 0a ab b a b+ + = + 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0a b c ab ac bc a b c+ + + + + = + + Ph ơng pháp: Khi biến đổi tơng đơng ta cố gắng làm xuất hiện các điều kiện đã cho trong giả thiết nhằm áp dụng đợc điều kiện của giả thiết để chứng minh đợc bất đẳng thức đó là đúng. Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức đó ( 0; 0; 0; 0 ) < > Chuyển vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để dể chứng minh Làm xuất hiện các tích các thừa số có chứa các yếu tố của đề bài để ta xét dấu các thừa số đó Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thức con để đợc điều phải chứng minh. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng với , 0a b thì: 2 ( )( ) ( ) (1)ax by bx ay a b xy + + + Giải 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) 2 ( 2 ) 0 ( ) 0 abx a xy b yx bay a xy abxy b xy ab x y xy ab x y + + + + + + Bất đẳng thức luôn đúng vì , 0a b . Ví dụ 2: Cho 0 a b c < Chứng minh rằng: a b c b c a b c a a b c + + + + Giải a b c b c a b c a a b c + + 2 2 2 2 2 2 1 ( )a c b a c b b c c a a b abc = + + 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( )a c b c b a a b c b c a abc = + + Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 5 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( )( ) 1 ( )( )( ) 0 c a b ab b a c b a abc b a ca cb ab c abc b a c b c a abc = + + = + + = Vì 0 a b c < . Vậy a b c b c a b c a a b c + + + + Ví dụ 3: Với , , 0a b c > chứng minh: 1 1 1 2( ) a b c bc ca ab a b c + + + Giải 1 1 1 2( ) a b c bc ca ab a b c + + + 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 0) 2 2 2 0 a b c bc ac ba do abc a b c bc ac ab + + + > + + + 2 ( ) 0a b c + Hiển nhiên đúng. Vậy 1 1 1 2( ) a b c bc ca ab a b c + + + . Ví dụ 4: Chứng minh rằng mọi a,b,c,d thì : 2 2 2 2 1 (1)a b c d a b c d+ + + + + + + Giải ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 + + + + + + + + + + + + + + a b c d a b c d a a b b c c d d a b c d Vậy : 2 2 2 2 1a b c d a b c d + + + + + + + Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu: 2a b + thì 3 3 4 4 a b a b + + (1) Giải 4 4 3 3 3 3 (1) 0 ( 1) ( 1) 0 a b a b a a b b + + Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 6 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán 3 3 3 3 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 0 a a b b a b a b a a b b a b a a a b b b a b + + + + + + + + + + + + + Suy ra điều phải chứng minh. Vì: 2 2 2 2 2 2 ( 1) 0 ( 1) ( 1) 0 ( 1) 0 ( 1) ( 1) 2 2 0 a a a a b b b b a b a b + + > + + + + Bài tập áp dung: Bài 1: Cho a + b = 2. Chứng minh rằng: 4 4 2a b+ Bài 2:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có: 1 1 1 2 2 3 2 ( 1)n n + + + < + Bài 3: Chứng minh m,n,p,q ta đều có m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n + p + q +1) Bài 4: Chứng minh rằng: 10 10 2 2 8 8 4 4 (a b )(a b ) (a b )(a b ) + + + + Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức : 3 33 22 + + baba Trong đó : a > 0 , b > 0 Bài 6: Chứng minh rằng: Với mọi số dơng a, b, c, d ta có: 2 dcba ad d dc c cb b ba a 22 3 22 3 22 3 22 3 +++ + + + + + + + Dạng 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky và các bất đẳng thức phụ Đây là phơng pháp phổ biến nhất trong việc chứng minh Bất đẳng thức. Chúng ta dựa vào điều kiện đã cho ở đề bài để ta lựa chọn phơng pháp cho thích hợp. Ngoài ra, ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh. Khi áp dụng các BĐT đã đợc chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để đ- ợc BĐT cần chứng minh. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực dơng x,y,z ta có: 2 2 2 2 2 2 ( 3 3 ( )( ) 9 xyz x y z x y z x y z xy yz zx + + + + + + + + + + Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 7 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Giải 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3( ) ( ) 3( 3 3 x y z x y z x y z x y z x y z xyz xy yz zx xyz + + + + + + + + + + + + Do đó ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ( ) (( 3 1) ) ( )( ) ( )(3 3 1 3 1 1 3 3 3 3 9 3 xyz x y z x y z xyz x y z x y z xy yz zx x y z xyz xyz xyz + + + + + + + + + + + + + + + + + = Dấu = xảy ra khi x=y=z Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 2000 2000 2000 1994 1995 1996 (1)+ < Giải 2000 2000 2000 1994 1996 1 (1) ( ) 1 ( ) (1 ) 1995 1995 1995 + < = + Theo bất đẳng thức Becnuli ta có: 2000 2000 1 2000 1994 (1 ) 1 1 ( ) 1995 1995 1995 > + > + Vì: 2000 2000 1994 1 ( ) 1995 1995 > > Ví dụ 3: Cho a b 2+ = Chứng minh rằng: 4 4 a b 2+ Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a,b ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1.a 1.b) (1 1 )(a b ) (a b) 2(a b ) 4 2(a b ) 2 a b + + + + + + + áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a 2 ,b 2 ta có: Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 8 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán + + + + + + + 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 4 4 4 4 (1.a 1.b ) (1 1 )(a b ) 2 (a b ) 2(a b ) 4 2(a b ) a b 2 Ví dụ 4: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: 1 1 1 9 a b c a b c + + + + Giải Ta có: 1 1 1 a a b b c c (a b c)( ) 1 1 1 a b c b c a c a b a b c a b c 3 ( ) ( ) ( ) 9 b a a c c b + + + + = + + + + + + + + = + + + + + + Vì : a b 2 b a + c a 2 a c b c 2 c b + + Nên: a b c a b c 3 ( ) ( ) ( ) 9 b a a c c b + + + + + + Ví dụ 5: Cho 4 số dơng a,b,c,d chứng minh rằng: a b c d 2 b c c d a d a b + + + + + + + Giải áp dụng bất đẳng thức phụ: 2 1 1 (x,y>0) xy (x y) + Ta có: 2 2 2 a c a(d a) c(b c) a c ad bc 4 b c d a (b c)(d a) (a b c d) + + + + + + + = + + + + + + + Tơng tự: 2 2 2 b d b d ab cd 4 c d a b (a b c d) + + + + + + + + + Cộng vế theo vế ta có: 2 2 2 2 2 a b c d a b c d ad bc ab cd 4 b c c d a d a b (a b c d) + + + + + + + + + + + + + + + + + Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 9 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Ta chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d ad bc ab cd 4 2 (a b c d) 4a b c d ad bc ab cd 2(a b c d) 2a 2b 2c 2d 4ac 4bd 0 (a c) (b d) 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho x,y,z thoã mãn 4 x(x 1) y(y 1) z(z 1) 3 + + Chứng minh rằng: x y z 4 + + Bài 2: Cho a>b>c>0 và 1 222 =++ cba .Chứng minh rằng 3 3 3 1 2 a b c b c a c a b + + + + + Bài 3: Cho x , y là 2 số thực thoả mãn x 2 + y 2 = 22 11 xyyx + Chứng minh rằng : 3x + 4y 5 Bài 4: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng: 6+++++ accbba Bài 5:Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 3 (1)p p a p b p c p < + + Bài 6: Cho a, b,c là 3 số khác 0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + + + Bài 7 Cho ba số 0,, >cba .Thoả mãn abccabcab =++ Chứng minh rằng: 3 222 222222 + + + + + ca ca bc bc ab ab (*) Dạng 3 sử dụng bất đẳng thức Cauchy Đây là phơng pháp chứng minh BĐT mà học sinh THCS dễ nhận dạng để chứng minh đó là sử dụng Bất đẳng thức Cauchy . Ta cần phải chú ý đến dấu của BĐT để có thể sử dụng bất đẳng thức nào để chứng minh. Khi áp dụng các BĐT đã đợc chứng minh là đúng thì bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh ra thành các vế nhỏ sau đó cộng vế theo vế để đợc BĐT cần chứng minh. Ví dụ 1: Cho 3 số dơng a,b,c chứng minh rằng: Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 10 [...]... và 2p là chu vi của một tam giác Chứng minh rằng: abc ( p a)( p b)( p c ) 8 Dạng 4 Chứng minh bằng phản chứng a) (p a)(p b)(p c) Đây là phơng pháp chứng minh BĐT dựa vào các phơng pháp chứng minh phản chứng trong Toán học Để chứng minh mệnh đề A đúng thì ta giả sử mệnh đề A sai và chứng minh rằng từ mệnh đề A sai ta suy ra một điều mâu thuẩn để kết luận A là đúng Muốn chứng minh bất đẳng thức. .. 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2 Dạng 10 Phơng pháp dùng các bất đẳng thức trong tam giác Đây là phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức trong tam giác làm các giả thiết để chứng minh các bất đẳng thức ở phơng pháp chứng minh này các bạn nên chú ý một số kiến thức cơ bản sau: Kiến thức: 1 Các bất đẳng thức trong tam giác: Với a, b, c là 3 cạnh của một tam... nạp thờng sử dụng để chứng minh một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dơng n Ta thực hiện các bớc sau: Kiểm nghiệm để chứng tỏ BĐT đúng với điều kiện nhỏ nhất Giả sử BĐT đúng với một số nguyên dơng k bất kỳ Cần chứng minh BĐT cũng đúng với n = k + 1 Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 2n > 2n + 1 Với mọi số dơng n 3 Giải: Với n=3 thì 23 = 8 > 2.3 + 1 = 7 đúng Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k bất kì có... cạnh của một tam giác với a < b < c Chứng minh rằng: a 3 (b 2 c 2 ) + b3 (c 2 a 2 ) + c3 (a 2 b 2 ) < 0 Bài 5: Chứng minh rằng: với a, b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì ta có: a(b c) 2 + b(c a ) 2 + c (a + b)2 > a 3 + b3 + c 3 (1) Dạng 11 Phơng pháp đổi biến số Khi ta gặp một số bất đẳng thức có biến phức tạp thì ta có thể dùng phơng pháp đổi biến số để đa các bất đẳng thức cần chứng minh. .. tức là ta đặt các biến mới biểu thị đợc các bién cũ sao cho biến mới có thể gọn hơn hoặc dễ chứng minh hơn Sau khi đổi biến số ta sử dụng các phơng pháp chứng minh ở trên để chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp lợng giác cũng là một dạng của phơng pháp đổi biến số Một số ví dụ: Ví dụ 1: a b c 3 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng: + + (1) b+c c+a a+b 2 Giải y+zx z+x y x+ yz Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=... pháp nh trên Các bài toán về Bất đẳng thức rất đa dạng và phức tạp, các phơng pháp chứng minh đã nêu trên chỉ là những phơng pháp tơng đối thông dụng để cho học sinh THCS cố gắng nhận định và làm quen với các dạng ở trên để áp dụng phơng pháp thích hợp Phần III ứng dụng của Bất đẳng thức Bất đẳng thức đợc ứng dụng rộng rãi nhiều trong việc tìm GTLN, GTNN, giải phơng trình và hệ phơng trình, dùng để... pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng) Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 Trang 31 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC và thực hành giải toán Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 + u 2 + + u n Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên... trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chú ý: A + B A + B Xảy ra dấu '' = '' khi AB 0 A 0 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0 Một số ví dụ: Ví dụ 1:... tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh BĐT sau: 1 1 1 1 + + + < a 1.3 3.5 (2n 1).(2n + 1) 2 b 1 + 1 1 1 + + + . phơng pháp giải để học sinh ứng dụng vào việc chứng minh Bất đẳng thức. Qua nội dung về Bài tập lớn em xin trình bày chuyên đề: Một số phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức và ứng dụng của nó trong. 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky và các bất đẳng thức phụ. Dạng 3 Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Dạng 4 Chứng minh bằng phản chứng Dạng 5 Ph ơng pháp lợng giác Dạng 6 Ph ơng pháp chứng minh. học sinh cần nắm để sử dụng trong quá trình chứng minh Bất đẳng thức. Phần II - Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức: Tổng hợp các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức thờng dùng cho học