BÀI BÁO CÁO THỰC TẬP-MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

Trong đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải đợc các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng, còn phải

a đặt vấn đề

1 lý do chọn đề tài

Toán học là một khoa học tự nhiên, toán học ra đời từ rất sớm nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc ruộng đất và xây dựng nhà cửa Càng ngày xã hội loài ngời càng tiến dần lên ở mức độ cao hơn và đến nay đang đang

ở trình độ cao nhất từ mà loài ngời cha từng có Do đó toán học củng không nằm ngoài quy luật phát triển từ sơ khai đến hiện đại

Toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú Trong

đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải đợc các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng, còn phải nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất

đẳng thức

Có nhiều phơng pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào

đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Mỗi bàitoán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giảikhác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phơng pháp một cách hợp límới giải đợc

Bài toán chứng minh bất đẳng thức đợc vận dụng nhiều vào cácdạng bài toán giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình

đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức và đề thi học sinhgiỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thờng có bài toán bất đẳngthức, trong khi đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày Vì vậy học sinhcần thiết phải nắm đợc những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

Trong thực tế ở trờng THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi giảicác bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất

đẳng thức thờng không có cách giải mẫu, không theo một phơng pháp nhất

định nên học sinh không xác định đợc hớng giải bài toán Mặt khác vìnhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng t duy chatốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thứcvào giải các dạng bài tập khác

Trong nội dung của đề tài này xin đợc tập trung giới thiệu các tínhchất cơ bản, một số phơng pháp hay đợc sử dụng khi chứng minh bất đẳngthức nh : dùng định nghĩa , biến đổi tơng đơng , dùng các bất đẳng thức đã

biết , phơng pháp phản chứng, tam tức bậc hai …., một số bài tập vận dụng., một số bài tập vận dụng

và các ứng dụng của bất đẳng thức nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khigặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh

có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh, giải các bài toán liênquan và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toánnói chung

Qua đề tài (một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

của bất đẳng thức ) tôi muốn giúp học học sinh có thêm một số phơng

pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý do tôi chọn đè tài này, khi nghiêncứu không tránh khỏi những sai sot mác phải rất mong đợc sự góp ý củacác thày cô giáo, các bạn để đề tài đợc hoàn thiện hơn, tôi xin chân thànhcảm ơn!

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- kỹ năng giải các bài toán chứng mih bất đẳng thức

- kỹ năng vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán: Tìm giá trị lớnnhất-nhỏ nhất, giải hệ phơng trình, phơng trình nghiệm nguyên, phơngtrình vô tỉ

3 đối tợng nghiên cứu.

Để giải đợc bài toán đòi hỏi mổi ngời phải đọc kỹ bài toán xem bài

toán yêu cầu cái gì, phải sử dụng những phơng pháp nào để giải, đã gặp bàitoán nào đã giải có dạng tơng tự nh bài toán đó hay không để từ đó có thể tìm ra cách giải Đối với học sinh trung học cơ sở việc vận dụng khiến thức

lý thuyết, nhận dạng bài toán để tìm ra cách giải cha đợc rèn luyện nhiều

đôilúc trình bày vấn đề này còn sơ sài

Khi nghiên cứu về bất đẳng thức ta thấy rằng nó thật sự có tác dụng rènluyện và phát huy khả năng t duy để giải toán không chỉ riêng gì bất đẳng thức mà còn giải các dạng toán khác bởi muốn giải đợc nó đòi hỏi phải thật

sự có một kiến thức toán học rất lớn

Phơng pháp để giải các bài toán bất đẳng thức không ở đâu xa xôi ngoài chơng trình của các em học sinh trung học cơ sở Nhng việc các em vận dụng nó nh thế nào đó là vấn đề cốt lỏi Muốn làm đợc điều đó đòi hỏi học sinh phải thật sự nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic, xét đầy đủcác mặt khác nhau của bài toán, nhận dạng đợc bài toán Đặc biệt các học sinh khá giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không chỉ giải đợc bài toán mà còn phải khái quát đợc dạng của nó để đua ra phơng pháp chung cho các bài toán khác tuơng tự

Khi giảng dạy cho học sinh các giáo viên phải rèn luyện cho các em nắm chắc phần lý thuyết, đa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các bài tập vận dụng, nên chú ý tạo cho các em cách nhìn nhận một bài toán để giải không nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu thậm chí không hình thành

đợc lôgic của toán học

Thời lợng chơng trình dành cho bất đẳng thức ở phổ thông cơ sở là hạn chế Do đó việc học tập và vận dụng thành thao cho các em sẻ khó khăn đóivới các em có học lực trung bình, khá

PHầN 2 nội dung của đề tài.

2) môt số tính chất của bất đẳng thức:

a) Nếu a b  và b c  thì a c  (tính chất bắc cầu)

b) Nếu a b  và c bất kì thì a c b c   

Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất kì thì bất đẳng thức không đổi chiều.

c) Nếu a b c   thì a b c  

Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này

sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó.

d) Nếu a b  và c d  thì a c b d   

Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta đợc

một bất đẳng thức cùng chiều.

Chú ý: Không đợc cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngợc chiều e) Nếu a b  và c d  thì a c b d   

Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngợc chiều ta đợc

một bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ

Chú ý: Không đợc trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.

f) Nếu a b  và c 0  thì ac bc 

Nếu a b  và c 0  thì ac bc 

Tức là:

Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dơng thf

bất đẳng thức không đổi chiều

Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất

đẳng thức đổi chiều

g) Nếu a b 0   và c d 0   thì ac bd 

Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các

vế đều dơng thì ta đợc một bất đẳng thức cung chiều

Chú ý: Không đợc nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngợc

chiều

h) Nếu a b 0   thì 1 1

0

b  a 

Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dơng thì phép lấy

nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức

k) Nếu a b 0   và n nguyên dong thì an  bn

Nếu a b  và n nguyên dong thì an  bn 1 

+ a b

2

b a   (Với a, b cùng dấu)

Chú ý: Để chứng minh một bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào

từng dạng của bài toán Sau đây là một số cách thờng dùng

II> các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức.

Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực không âm ( còn

gọi là bất đẳng thức Ơclit )

Khai thác bài toán:

- Bằng phơng pháp xét dấu của hiệu A B  ta xét đợc sự đúng đắn của bất đẳng thức A B  Để ý rằng với 2 số thực bất kì u v , ta

Khai thác bài toán:

Tơng tự ta có thể chứng minh bài toán sau:

a, b cùng dấu  ab > 0 

2

(a b) ab



 0

Vậy a b 2 b   a dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b 0   hay a b 

Khai thác bài toán :

1.4.1 Chứng minh tơng tự nh trên ta có thể chứng minh đợc bài

Toán sau

2 1 x x - 5

có

ta 5 x 1 mãn thoả

x mọi với rằng minh Chứng

5 x khi bằng dấu úng

Đ 1 x

x

5

2

4 1 x x 5 2 4 4 2 1 x x - 5 2 1

Khai thác bài toán:

- Với 3 số dơng a, b, c mà abc 1  , bất đẳng thức sau đúng hay sai?

Chúng ta có thể phát triển bài toán tổng quát hay không? Nếu đợc, hãy phát biểu bài toán tổng quát

(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3

Bài toán 2.1.

Chứng minh rằng  a, b, c, d R  thì

a2 b2 c d2 2 e a(b+c+d +e)2 

Lời giải.

Bất đẳng thức đang xét tơng đơng với bấ đẳng thức sau:

(nhân hai vế với 4, chuyển vế)

Khai thác bài toán:

Tơng tự nh bài toán trên hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

Khai h¸c bµi to¸n:

T¬ng tù nh trªn ta cã thÓ chøng minh bµi to¸n sau

a + b

2.5.2

c b a

c b a 3 a c

a c c b

c b b

a

b

a

: cã lu«n

ta c b, a,

d ong sè mäi víi minh

Chøng

2 2 2 2 2 2 2 2

b c bc c

a c b c b

c b a b

a c c b

c b b a

b a c b

a

T

B§

2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

(x x x x ) (x x x x ) (x x x x ) (*)

- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1

bằng phơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)

Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n N)

Thì ta nên chú ý sử dụng phơng pháp quy nạp toán học

 Để chứng minh bất đẳng thức tổng quát, trứơc hết ta hãy xét

vài bất đẳng thức phụ Nếu x , x1 2 R thì

Trong lý thuyết đả có một số bất đẳng thức đợc chúng minh bằng

phơng pháp quy nạp (bất đẳng thức Côsi, Becnuli, )

Sau đây ta xét một số bài toán khác.

Khai thác bài toán:

a) Bài toán vẩn đúng trong trờng hợp a 0; b 0  

Kết luận : bất đẳng thức đúng với   n N, n>1.

Tơng tự nh trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau

1) Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh

Khai thác bài toán:

Ta đã dùng định lý về dấu tam thức bậc hai để giải bài toán này nên ta có thể giải các bài toán sau bằng một phơng pháp khác đơn giản:

Tìm giá trị lớn nhất (bé nhất) nếu có của các biểu thức:

2

2 2

x 2x 2003 y

Căn cứ vào đặc điểm Parabol y a.x  2 bx c  với a 0  (a 0  ) quay

bề lõm lên trên (xuống dới), do đó đỉnh S b ,

 x, y R  , chứng minh bất đẳng thức sau:

x y2 4 2(x2 2)y2 4xy x  2 4xy3 (1)

Lời giải:

(1)  (y2 1) x2 2 4y(1 y )x 4y  2  2 0

Và thu đựơc bất đẳng thức cần chứng minh.

Còn nếu A 0  thì a1 a2   an khi đó bất đẳng thức cần chứng minh

Khai thác bài toán:

Tơng tự nh bài toán trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 5x2 3y2 4xy 2x 8y 9 0 x, y R      

 Vậy x 2

Trong cả hai trờng hợp thì  x 1 x 2       0

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 

5 Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy

#>Với hai số a, b 0  ta luôn có:

Khai thác bài toán:

Tơng tự nh trên ta có thể chứng minh đợc bất đẳng thức sau

Khai thác bài toán

Chứng minh tơng tự nh trên ta có thể chứng minh đợc các bài

Cách hai : Xét hiệu của hai vế.

Khai thác bài toán:

Bất đẳng thức trên có liên quan đến viêc “cộng mẫu” nên có thể

sử dụng để chứng minh bất đẳng thc sau:

a b c a c b

c b

Khai thác bài toán:

Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng ẩn phụ hoặc dùng bất đẳng thức Côsi để giải Sử dụng cách thức trên, hảy giải bài toán sau:

2 2

Khai th¸c bµi to¸n:

B»ng c¸ch xÐt c¸c cÆp sè nh trªn ta cã thÓ gi¶i c¸c bµi to¸n sau:

Lời giải:

áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski:

1.sin(x)+1.cos(x )  (1 1 )(sin(x) cos(x) )2 2 2 2  2

- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng ,

ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý

Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhợc nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng

- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :

+ Dùng mệnh đề đảo

+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết

+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

a  a   a < 9, trái với giả thiết Vậy

tồn tại hai sô bằng nhau trong 25 số a ,a , ,a1 2 25

Bài toán 7.3 Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả 3 bất đẳng thức:

với (1) Vậy không tồn tại các số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức đã cho.

Khai thác bài toán:

Tơng tự nh bài toán trên ta có thể chứng minh đợc bất đẳng thức sau

Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng Thức sau:

với giả thiết Vậy a   b 2

Bài 7.5 cho : a3  b3  2 Chứng minh rằng: a   b 2

Nói chung ta sử dụng các bất đẳng thức trong tam giác:

*> Tổng hai cạnh trong tam giác bao giờ củng lớn hơn cạnh còn lại

*> Hiệu hai cạnh trong tam giác luôn bé hơn cạnh còn lại

Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phơng pháp hình học:

a2 b2 b c2 2  b(a c)  với a,b,c là những số dơng

Lời giải:

Đặt các đoạn BH a,HC c   trên một đờng thẳng Kẻ đoạn

HA b  vuông góc với BC

Dể thấy

AB.AC 2S  ABC BC.AH

Khai thác bài toán:

Tơng tự nh trên ta có thể chứng minh đơc bất đẳng thức sau

Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :

Khai thác bài toán.

Nếu thêm vào điều kiện tam giác ABC có a, b thoả mãn điều kiện

a b c 2   thì

c

r 0,4

h 

Ta có thể áp dụng “trong một tam giác, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại”

để chứng minh các bất đẳng thức sau:

1) Cho tam tam giác ABC có các cạnh a, b, c Chứng minh rằng

3) Cho tam tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh a, b, c Chøng minh

r»ng

a (b3 2 c ) b (c2  3 2 a ) c (a2  3 2 b ) 02  víi a b c  

Bµi to¸n 8.4 Cho tam gi¸c ABC cã c¸c c¹mh gãc vu«ng lµ a, b vµ

C¹nh huyÒn lµ c Chøng minh r»ng ta lu«n cã

Vậy bất đẳng thức đã đợc chứng minh

9 Phơng pháp sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

 

 

 

Vậy

Khai thác bài toán:

Bất đẳng thức ax  ya  za (a  2) đúng với mọi bộ số Pitago (

x,y,z R  đợc gọi là bộ số Pitago nếu x2 y2 z2)

10 Phơng pháp làm trội, làm giảm.

Dùng tính chất của BĐT để đa một vế của BĐT cần chứng minh

về dạng để tính tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn

Bài toán 10.1

Chứng minh bất đẳng thức sau với n N,n 2  

12 2 1 1

2k 1 2k 1 k

Khai thác bài toán:

Tơng tự nh trên ta chứng minh đợc bất đẳng thức sau:

1 1 1 1 2

2  3 2 4 3    (n 1) n  

11 Phơng pháp dung miền giá trị hàm số.

Đ ể chứng minh B F(x) A   Với mọi x ta đặt y=F(x)

Khai thác bài toán:

Tơng tự chúng ta có thể chứng minh đợc các bài toán sau:

1)

2 2

2x x 1 2x x 1

1 3

Cho x, y,z l ba sà ch ố thay đổi, nhận gi¸ trị thuộc đoạn [0 ; 2]

2 2

- Các ví dụ :

Bài toán 15.1

Chứng minh bất đẳng thức Netbit

Khai thác bài toán :

Bằng cách tơng tự, ta có thể chứng minh đợc các bất đẳng thức sau:

Mµ :  a b  2 =

2

2

2 1

16 Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong hình học phẳng

Bài 16.1 : CMR trong một tam giác nhọn thì tổng các trung tuyến của nó

lớn hơn 4 lần bán kính đờng tròn ngoại tiếp

Bài 16 2: Một đờng tròn tiếp xúc với hai cạnh của một tam giác vuông

đỉnh A tại hai điểm B và C , kẻ một tiếp tuyến với đờng tròn cắt các cạnh

C l 0

A

M N

Từ đó MN=MB+NC nhng tam giác vuông AMN thì MN< AM+AN

Nên 2MN < AM+AN +BM+ CN =AB +AC

chứa luỹ thừa các số tự nhiên

Bài toán : Cho a>b>0 CMR: