BÀI BÁO CÁO THỰC TẬP-MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng a đặt vấn đề lý chọn đề tài Toán học khoa học tự nhiên, toán học đời từ sớm nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc ruộng đất xây dựng nhà cửa Càng ngày xà hội loài ngời tiến dần lên mức độ cao đến đang trình độ cao từ mà loài ngời cha có Do toán học củng không nằm quy luật phát triển từ sơ khai đến đại Toán học nghiên cứu nhiều, đa dạng phong phú Trong toán bất đẳng thức toán khó , để giải đợc toán bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng, phải nắm đợc phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phơng pháp để chứng minh bất đẳng ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Mỗi toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác , có phải phối hợp nhiều phơng pháp cách hợp lí giải đợc Bài toán chứng minh bất đẳng thức đợc vận dụng nhiều vào dạng toán giải biện luận phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đặc biệt , tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức đề thi học sinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thờng có toán bất đẳng thức, sách giáo khoa phổ thông lại trình bày Vì học sinh cần thiết phải nắm đợc kiến thức bất ®¼ng thøc Trong thùc tÕ ë trêng THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán liên quan bất đẳng thức , toán chứng minh bất đẳng thức thờng cách giải mẫu, không theo phơng pháp định nên học sinh không xác định đợc hớng giải toán Mặt khác nhận thức học sinh THCS có nhiều hạn chế khả t cha Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng tốt học sinh lúng túng nhiều vận dụng kiến thức vào giải dạng tập khác Trong nội dung đề tài xin đợc tập trung giới thiệu tính chất bản, số phơng pháp hay đợc sử dụng chứng minh bất đẳng thức nh : dùng định nghĩa , biến đổi tơng đơng , dùng bất đẳng thức đà biết , phơng pháp phản chứng, tam tức bậc hai ., số tập vận dụng ứng dụng bất đẳng thức nhằm giúp học sinh bớt lúng túng gặp toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh, giải toán liên quan hứng thú học bất đẳng thức nói riêng môn Toán nói chung Qua đề tài (một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức ) muốn giúp học học sinh có thêm số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức lý chọn đè tài này, nghiên cứu không tránh khỏi sai sot mác phải mong đợc góp ý thày cô giáo, bạn để đề tài đợc hoàn thiện hơn, xin chân thành cảm ơn! Nhiệm vụ nghiên cứu - kỹ giải toán chứng mih bất đẳng thức - kỹ vận dụng bất đẳng thức để giải toán: Tìm giá trị lớn nhất-nhỏ nhất, giải hệ phơng trình, phơng trình nghiệm nguyên, phơng trình vô tỉ đối tợng nghiên cứu - Học sinh trung học sở - Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng 4- Phơng pháp nghiên cứu : Qua trình học tập từ trớc đến nay, tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết kiểm tra chất lợng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua học, Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng thể nhiều đối tợng học sinh khác : Học sinh giỏi, học sinh trung bình môn Toán phạm vi nghiên cứu Giới hạn phần chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức chơng trình toán trung học sở b GIảI QUYếT VấN Đề Phần I Cơ sở lý luận Để giải đợc toán đòi hỏi mổi ngời phải đọc kỹ toán xem toán yêu cầu gì, phải sử dụng phơng pháp để giải, đà gặp toán đà giải có dạng tơng tự nh toán hay không để từ tìm cách giải Đối víi häc sinh trung häc c¬ së viƯc vËn dơng khiến thức lý thuyết, nhận dạng toán để tìm cách giải cha đợc rèn luyện nhiều đôi lúc trình bày vấn đề sơ sài Khi nghiên cứu bất đẳng thức ta thấy thật có tác dụng rèn luyện phát huy khả t để giải toán không riêng bất đẳng thức mà giải dạng toán khác muốn giải đợc đòi hỏi phải thật có kiến thức toán học lớn Phơng pháp để giải toán bất đẳng thức không đâu xa xôi chơng trình em học sinh trung học sở Nhng việc em vận dụng nh vấn đề cốt lỏi Muốn làm đợc điều đòi hỏi học sinh phải thật nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic, xét đầy đủ mặt khác toán, nhận dạng đợc toán Đặc biệt học sinh giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không giải đợc toán mà phải khái quát đợc dạng để đua phơng pháp chung cho toán khác tuơng tự Khi giảng dạy cho học sinh giáo viên phải rèn luyện cho em nắm phần lý thuyết, đa ví dụ minh hoạ cụ thể, tập vận dụng, nên ý tạo cho em cách nhìn nhận toán để giải không nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu chí không hình thành đợc lôgic toán học Thời lợng chơng trình dành cho bất đẳng thức phổ thông sở hạn chế Do việc học tập vận dụng thành thao cho em sẻ khó khăn đói với em có học lực trung bình, Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng PHầN nội dung đề tài i> kiến thức cần lu ý 1) Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ b , kÝ hiƯu a < b + a lín h¬n b , kÝ hiÖu a > b , + a nhỏ b , kí hiệu a b, + a lớn b , kí hiƯu a ≥ b , 2) m«t sè tÝnh chÊt bất đẳng thức: a) Nếu a > b b > c a > c (tính chất bắc cầu) b) Nếu a > b c a + c > b + c Tức là: Khi cộng vào vế bất đẳng thức với số bất đẳng thức không ®ỉi chiỊu c) NÕu a > b + c th× a − b > c Tøc lµ: Ta cã thĨ chuyển số hạng bất đẳng thức từ vế sang vế phải đổi dấu số hạng ®ã d) NÕu a > b vµ c > d a + c > b + d Tức là: Nếu cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta đợc bất đẳng thức chiều Chú ý: Không đợc cộng vế với vế bất đẳng thức ngợc chiều e) Nếu a > b c < d a c > b − d Tøc lµ: NÕu trõ vÕ víi vÕ cđa bất đẳng thức ngợc chiều ta đợc bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ Chú ý: Không đợc trừ vế với vế bất đẳng thức chiều f) Nếu a > b c > ac > bc Nếu a > b c < ac < bc Tức là: Nhân vế bất đẳng thức với cung số dơng thf bất đẳng thức không đổi chiều Nhân vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức đổi chiỊu g) NÕu a > b > vµ c > d > ac > bd Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức chiều có vế dơng ta đợc bất đẳng thức cung chiều Chú ý: Không đợc nhân vế với vế hai bất đẳng thức ngợc Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng chiều h) Nếu a > b > th× 1 > >0 b a Tøc là: Nếu nhân vế bất đẳng thức dơng phép lấy nghịch đảo dổi chiều bất đẳng thức k) Nếu a > b > n nguyên dong a n > b n Nếu a > b n nguyên dong a n + > b n +1 Một số bất đẳng thøc th«ng dơng + A ≥ 0( A = ⇔ A = 0); A = A + A ≤ B ⇔ − B ≤ A ≤ B (B ≥ 0) A ≥ B  A ≤ −B A + B ≤ A + B DÊu “=” xảy A, B Cùng dấu A − B ≤ A − B DÊu “=” xảy A B hc A≤B≤0 A > B ⇔ A > B2 a ≥ (a = ⇔ a = 0) a + b ≥ 2ab (Dấu = xảy a = b ) a b + ≥ (Víi a, b cïng dÊu) b a + A ≥B⇔  + + + + + + Chó ý: §Ĩ chøng minh bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào dạng toán Sau số cách thờng dùng II> phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Pơng pháp sử dụng định nghĩa Để chøng minh A ≥ B (hc A > B ) ta chøng minh A − B ≥ (hc A − B > ) - Lu ý : A2 ≥ víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y A = - VÝ dơ : Bài toán 1.1 Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Chứng minh bất đẳng thức Côsi hai số thực không âm ( gọi bất đẳng thức Ơclit ) a + b ≥ ab a,b ∈ R* DÊu = xảy a = b ThËt vËy, a + b ≥ ab ⇔ a + b − ab ≥ ⇔ ( a − b)2 ≥ Víi mäi a,b ≥ Dấu = xảy a = b Bài toán 1.2 a + b + c2 ≥  a + b + c  Chøng minh víi mäi sè thùc a, b, c 3 ữ Phân tích: Đây đẳng thức quen thuộc, ta giải cách xét hiệu vế trái vÕ ph¶i Lêi gi¶i: XÐt hiƯu a + b + c2  a + b + c  3a + 3b2 + 3c2 − (a + b + c)2 − = ÷   (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = a + b + c2 ≥  a + b + c  VËy  3 ữ Dấu = xảy a = b = c a + b + c2 ≥  a + b + c Do 3 ữ Khai thác toán: - Bằng phơng pháp xét dấu hiệu A B ta xét đợc đắn bất đẳng thức A B Để ý với số thực u, v ta cñng cã: u + v2 ≥  u + v   ÷ Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng - tơng tự nh chứng minh ta chứng minh toán sau Bài toán 1.3 Với số : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) Lêi gi¶i: Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 ≥ víi mäi x (y - 1)2 ≥ víi mäi y (z - 1)2 ≥ víi mäi z => H ≥ víi mäi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) víi mäi x, y, z DÊu b»ng x¶y x = y = z = Khai thác toán: Tơng tự ta chứng minh toán sau: Cho a, b, c, d, e số thùc : Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) Bài toán 1.4 Chứng minh rằng: a + b ≥ víi mäi a, b cïng dÊu b a Lêi gi¶i: 2 a + b − = a + b − 2ab = (a − b) Ta cã: b a ab ab (a − b) a, b cïng dÊu ⇒ ab > ⇒ ≥0 ab a b VËy + ≥ dÊu = xảy a b = hay a = b b a Khai th¸c toán: 1.4.1 Chứng minh tơng tự nh ta chứng minh đợc Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Toán sau Chứng minh với x thoả mÃn ≤ x ≤ 5, ta cã : - x + x − ≥ Híng dÈn: 5- x + x −1 ≥ ⇔ ( ) - x + x − ≥ ≥ ⇔ + ( − x )( x − 1) ≥  x =   ⇔ ( − x )( x − 1) ≥  § óng dÊu b»ng   x = 1    1.4.2 Chøng minh bất đẳng thức: ab + bc + ca < c với a ,b cạnh 2 góc vuông tam giác ABC, c cạnh huyền Hớng dẩn: Ta cã : ab + bc + ca < 2.c2 hay ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 XÐt: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = ( 2a + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca ) = 2 ( a − b ) + (b − c) + (c − a) > ( ) Bài toán 1.5 Chứng minh nÕu a.b ≥ th×: + ≥ 1+ a 1+ b2 1+ ab Ph©n tÝch: Cđng cã thĨ xÐt hiƯu vÕ th× míi sư dụng đợc giả thiết a.b ( ab −1 ≥ ) Lêi gi¶i: XÐt hiƯu: Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức øng dông + − = − + − 1+ a 1+ b2 1+ ab 1+ a 1+ ab 1+ b2 1+ ab (b − a)2 (ab −1) ≥ = (1+ ab)(1+ a )(1+ b2 ) Khai thác toán: - Với số dơng a, b, c mà abc , bất đẳng thức sau hay sai? Chúng ta phát triển toán tổng quát hay không? Nếu đợc, hÃy phát biểu toán tổng qu¸t + + ≥ 1+ a 1+ b2 1+ c2 1+ abc - Víi sè x, y mµ x + y ≥ ta cã: + ≥ y x + + + 2x + y Phơng pháp biến đổi tơng đơng - Để chứng minh A B ta biến đổi tơng đơng A B C D bất đẳng thức cuối C D bất đẳng thức hiển nhiên bất đẳng thức đơn giản bất đẳng thức A B Sau khẳng định đợc tính đắn bấtđẳng thức C D ta kết luận bất đẳng thức A B - Một số đẳng thức thờng dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 Bài toán 2.1 Chứng minh r»ng ∀a, b, c, d ∈ R th× a + b2 + c2 + d + e2 a(b +c +d +e) Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Lời giải Bất đẳng thức xét tơng đơng với bấ đẳng thức sau: (nhân hai vế với 4, chuyển vế) (a − 4ab + 4b2 ) + (a − 4ac + 4c2 ) + (a − 4ad + 4d ) +(a − 4ae + 4e2 ) ≥ ⇔ (a − 2b)2 + (a − 2c)2 + (a − 2d)2 + (a − 2e)2 ≥ Bài toán 2.2 Cho a, b, c số thực Chứng minh rằng: a + b2 +1 ≥ ab + a + b Lời giải: Bất đẳng thức a + b2 +1 ≥ ab + a + b ⇔ (a + b +1) − 2(ab + a + b) ≥ ⇔ (a − 2ab + b2 ) + (a − 2a +1) + (b − 2b +1) ≥ ⇔ (a − b)2 + (a −1)2 + (b 1)2 Điều cần chứng minh Khai thác toán: Tơng tự nh toán hÃy chứng minh bất đẳng thức sau: Cho a, b, c số thực Chứng minh rằng: a + b + c ≥ 2 + +  bc ca ab  a b c ÷ Bài toán 2.3 x, y chứng minh x + y4 ≥ xy3 + x y Lêi gi¶i: Ta cã: VËy x + y4 − xy3 − yx = x (x − y) − y3 (x − y)   = (x − y)2  (x + y )2 + 3y  ≥   4 3 x + y ≥ xy + x y 10 Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức øng dông Hay (b − c) − 4a(a + b + c) > ⇔ (b − c) < 4a(a + b + c) Suy điều cần chứng minh 27> Tù gi¶i 28> Tù gi¶i 29> Híng dÈn: a) Dùng bất đẳng thức Côsi cho phần tử b) TÝnh hiÖu a b c , , b c a a + b + c − (ab + bc + ac) = 1 ( a − b) + ( a − c) + ( b − c)  ≥  2 30> Hớng dẩn: a) Bình phơng vế b) Chuyển vế, đa a b nên ab ≥ ( b − a ) ( ab − 1) ( + ab ) ( + a ) ( + b ) 31> Hớng dẩn: a) áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho ba phần tử a, b, c vµ 1 , , a b c b) Bình phơng vế để đến kết ab + cd abcd 32> Híng dÈn: a) V× a m + b m > 0,a n + b n > nên bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với (a n + b b )(a m − b m ) > (a m + b m )(a n − b n ) Khai triển ta đợc bất đẳng thức b) §Ỉt a = + x,b = − x a,b > 87 Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng n 2n = (a + b) n = na 4−1b +2 nab n −1 + b n 44 + 43 Ta cã: A Do a,b > nªn A > VËy > a n + b n (ĐPCM) n 33> Hớng dẩn: a) Nhân hai vế với 2, ta có bất đẳng thức ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) ≥ b) Nhân hai vế với 2, ta có bất đẳng thøc ®óng ( a − b ) + ( a − ) + ( b − ) a c) Tơng đơng víi  − b + c ÷ ≥ , h»ng ®óng 2  34> Híng dÈn: Dïng tam thøc bËc hai víi Èn x cã ∆ lµ tam thøc bËc hai ®èi víi y , Ta cã ∆ y < , từ suy điều phải chứng minh 35> Híng dÈn: ChØ cÇn chøng minh cho trêng hợp a, b có dấu dơng Trờng hợp trái lại bất đẳng thức hiển nhiên Ta có a + b = ( a + b ) − 2ab = − ab a + b = (a + b) − 2a b = (1 − 2ab) − 2a b (1) V× a + b = a + b ab nên ab ≤ Thay ab = vµo (1) ta ®ỵc: 1 1 4 2  a + b = (1 − 2ab) − 2a b ≥ 1 − ÷−  ÷ = 4  4 36> Híng dÈn: a) Dïng bất đẳng thức Côsi cho hai số x + b) Dùng bất đẳng thức Côsi cho hai sè x − > vµ c) Dùng bất đẳng thức Côsi, ta có 88 Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dơng a + b ≥ ab vµ ab + ab Nhân vế, ta có ĐPCM 37> Híng dÈn: a) Ta cã a + b ≥ ab , c + b ≥ cb , a + c ≥ ac Nh©n vÕ víi bất đẳng thức trên, ta đợc ĐPCM b) Khai triển vế trái, dùng bất đẳng thức Côsi cho số để ý 6 a b6c6 6abc, ∀a, b, c 38> Híng dÈn: a) Dïng bÊt đẳng thức Côsi-Bunhacôpski, ta có ( x + y ) ≤ ( 12 + 22 ) ( x + y2 = ) (do x + y = ) VËy x + y ≤ b) Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski, ta có ( 2x + 3y ) ≤   ( 2x ) +( ) ( ) ( 3) ( ) 2 2 3y   +  = 2x + 3y 2   Tõ ®ã suy ĐPCM 39> Hớng dẩn: Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski cho số 1;1;sin x + ( sin x ;cos x + cos x ta cã 2      +  sin x + ÷ +  cos x + ≥ ÷  sin x   cos x      2 ) 2 1     ≥  sin x + + cos x + = 1 + ÷ ≥ ÷  sin x cos x   sin x  ≥ ( + ) = 25 Từ suy ĐPCM 40> Hớng dẩn: 89 Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski cho số x,a, b x, x, ta cã: ( x + ax + b ) ≤ ( x + a + b2 ) ( x + x + 1) (1) ) ≤ ( x + c2 + d2 ) ( x + x + 1) (2) ¸p dơng cho x, c, d vµ x, x, ta cã: (x + cx + d Céng vÕ víi vÕ (1) vµ (2) ta cã: ( x + ax + b ) ( + x + cx + d ) ≤ ( x + 1) ( x + a + b2 + c2 + d ) = ( 2x + ) 41> Híng dÈn: a) ta cã 1 ≥ n + 2n 1 ≥ n + 2n 1 ≥ n + 2n Cộng vế theo vế ta thu đợc điều cần chøng minh b) ta cã 1 22 1 1 < = − 32 2.3 1 1 < = − 3.4 4 < Céng vÕ víi vế với vế ta đợc điều cần chứng minh 90 Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng 42> Hớng dẩn: a) Dùng bất đẳng thức Côsi cho n số dơng b) Dùng bất đẳng thức Côsi cho n số dơng a12 ,a 2 ,a 32 , ,a n chất khai bậc đợc bất đẳng thức có hai vế dơng 43> Hớng dẩn: - Cách 1 1 1 1 Ta cã : = ≤ ( + )≤ ( + 2x + y + z (x + y) + (x + z) y+z 16 x x+y 1 + + ) y z z T¬ng tù: 1 −b ± ≤ x + 2y + z 16 1 ≤ ( + x + y + 2z 16 x Céng theo vÕ BĐT trên: b 4ac 1 1 ( + + + ) y z z x 2a 1 + + ) y z z 1 1 1 1 + + ≤ 4( + + + ) 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z y z z 16 x 1 1 + + + =4 y z z x 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Mà Vậy Dấu = xảy x = y = z = - C¸ch 2: Ta cã 1 1 1 1 1 = ≤ ( + )≤ + ( + )= + 2x + y + z 2x + (y + z) 2x y + z 8x 16 y z 8x 1 + 16y 16z 91 Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Tơng tù: 1 1 ≤ + + x + 2y + z 16x 8y 16z 1 1 ≤ + + x + y + 2z 16x 16y 8z Cộng theo vế BĐT: 1 1 1 ≤ + + ( + + )=1 x + 2y + z x + y + 2z 2x + y + z y z x 1 ≤1 VËy + + x + 2y + z x + y + 2z 2x + y + z 44> Hãng dÈn: x − y ≤ 10 x ≤ 10 + y ⇒ x ≤ 100 + y + 20 y XÐt x - 2y ≤ - y + 20 y +100 = ( ) y − 10 + 200 ≤ 200 45> Hãng dÈn: Theo gi¶ thiết: x + y < xy Ta đa dạng: (x - 1).(y - 1) > ⇒ x > 1; y > 1; Theo biĨu thøc C«si ta cã: ( x − 1) + ( y − 1) ≥ ( x − 1) ( y − 1) > x+y>4 46> Hãng dÈn: Ta cã x + y ≥ x + y3 (∗), gi¶ sư x + y ≤ x + y3 theo gi¶ thiÕt: x + y ≤ x + y3 ⇒ (x+x ) +( y + y ) < 2y + 2y3 điều ngợc víi x + x ≥ 2x vµ y + y ≥ 2y 2 Tõ (∗) ta cã: x + y ≥ x + y ≥ x3 + y ⇒ x + y ≥ x + y + x3 + y 4 2 3 Mặt khác: ( + x ) + ( + y ) ≥ x + y ≥ x + y + x + y ⇒ ⇒ + x + y ≥ x + y + x + y ⇒ ĐPCM 92 Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng 47> Hóng dẩn: Biến đổi biĨu thøc vỊ d¹ng: ) ( 2 2 2 15 a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) + ( a − bc ) + ( b − ca ) + ( c − ab ) ÷ ≥  ( 2  48> Hãng dÈn: Ta cã: 100a + 10b + c 99a + 9b a + b + c 99a + 9b = + ≤ +1 = a+b+c a +b+c a+b+c a+b 90a 9a + 9b 90a + +1 ≤ + 10 = 90 + 10 = 100 a+b a+b a VËy tØ sè lín nhÊt b»ng 100, dÊu =x¶y c = 0, b = 49> Hãng dÈn: NÕu a = b = c = a + b + c = Ta giả sư a < 1,b > Th× tõ ta cã abc = ab − a − b + = ( a − 1) ×( b − 1) < a +d >c+b 50> Hãng dÈn: BiÕn ®ỉi vÕ trái dạng: 1 1 1    − ÷+  − ÷+  − ÷+ ×××+  − ÷>      10 12   98 100  37 1 1 1 1  1  1 >  − ÷+  − ÷+  − ÷ = + + =      10 12  24 60 120 51> Hãng dÈn: ThËt vËy: a > -b-c > a × (-b-c) > (-b-c) bc > b + 2bc + c ⇒ b + bc + c < (*) 52> Hóng dẩn: Bất đẳng thức đà cho có thĨ viÕt: ( x + y − z ) ×( x − y + z ) ×( − x + y + z ) ≤ 93 Sinh viªn: Ngun Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng x, y, z cạnh tam giác nên nhân tử lớn Vậy bất đẳng thức xảy 53> Hóng dẩn: Biến đổi ( a + b ) ì( b + c ) ×( c + a ) − 5abc = = ab ( a + b − c ) + bc ( b + c − a ) + ca ( c + a − b ) > V× a, b, c dơng, a + b > c, b + c > a, c + a > b VËy (a + b)(b + c)(c + a) > 5abc 54> Hãng dÈn: 4( x12 + x 22 + x 32 + x + x 52 ) - x1 ( x + x + x + x ) = (x 2 2 − 4x1x + 4x ) + ( x1 − 4x1x + 4x ) + (× × ×) ( x1 − 2x ) 2 + ( x1 − 2x ) + ( x1 − 2x ) + ( x1 − x ) ≥ = 55> Híng dÈn: Ta cã a+b>c  ⇒ a − ab + b >  a3 + b3 + 3.abc = (a - b)(a2 – ab + b2) + 3.abc > c.(a2 – ab + b2) + 3.abc = c.(a2 + 2.ab + b2) = c.(a + b)2 > c.c2 = c3 56> Hãng dÈn: Hay XÐt: ab + bc + ca < 2.c2 ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = ( ) ( 2a + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca ) = ( a − b ) + (b − c)2 + (c − a)2 2 57> Híng dÈn: Ta viÕt : ≤ a ≤ b ≤ c ≤ (1 – a ).(1 – b) ≥ ⇒ a + b ≤ + ab ≤ + 2.ab ⇒ a + b + c ≤ a + b + ≤2 + 2.ab ⇒ + ab ≤ + ac + bc 94 Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng a b c a +b+c + + ≤ ≤2 bc + ac + ab + 1 + ab vËy 58> Híng dÈn: 4( − x ) ( − z) ≤ ( − x − z) = ( + y) ⇒ ( − x ) ( − y ) ( − z ) ≤ ( + y ) ( − y ) = ( − y2 ) Cần chứng minh: + y 1-y (đúng) 59> Híng dÈn: C¸ch 1> Ta cã b + c ≥ 2bc;c + d ≥ 2cd;d + a ≥ 2ad; Céng vÕ víi vế ta đợc ( a + b + c + d ) ≥ ( ab + ac + ad + bc + bd + cd ) ⇔ ( a + b + c + d ) ≥ a + b + c + d + ( ab + ac + ad + bc + bd + cd ) ⇔ ( a + b2 + c2 + d ) ≥ ( a + b + c + d ) = ⇔ ( a + b + c + d ) ≥ C¸ch 2 ( a + b + c + d ) = ( 12 + 12 + 12 + 12 ) ( a + b + c + d ) ≥ ( a + b + c + d) = 60> Híng dÈn: 2 1 1   2 a + + b + ÷ 2 + + ÷ 1  1   a b a b = a + ÷ + b + ÷ ≥ a  b 2    2 + ÷ 25 a+b  ≥ = 2 61> Híng dÈn: Ta cã = ( a + b + c ) ≥ ( a + b ) c ⇔ a + b ≥ ( a + b ) c 2 95 Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Lại có ( a + b) 62> Híng dÈn: Ta cã ≥ 4ab ⇒ a + b ≥ 16abc ( b2 + c2 ) ⇔ ( − a ) ≥ ( − a ) ⇔ 3a − 4a ≤ ⇔ ≤ a ≤ T¬ng tù 63> Híng dÈn: 4 0≤b≤ ; 0≤c≤ 3 ( + a + b + c) ≥ 4( a + b + c) L¹i cã a ≥ a ;b ≥ b ;c ≥ c VËy ( + a + b + c) ≥ ( a + b + c2 ) 64> Híng dÈn: ¸p dụng bất đẳng thức Côsi Tơng tự a a b a 2b 3a + + ≥3 = b b c bc abc b b c 3b + + ≥3 c c a abc c c a 3c + + ≥3 a a b abc Céng vÕ víi vế ta đợc điều phải chứng minh 65> Hớng dẩn: áp dụng bất đẳng thức Côsi a ( + b ) ( + c ) 3a a3 1+ b 1+ c + + ≥ 3 = 64 ( + b ) ( + c ) ( + b) ( + c) b3 + a + c 3b + + ≥ T¬ng tù + a ) ( + c) 8 ( 96 Sinh viªn: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dông c3 + a + b 3c + + ≥ + a ) ( + b) 8 ( Cộng vế với vế ta đợc: a3 b3 c3 a + b + c 3 abc + + + ≥ ≥ = 2 ( + b) ( 1+ c) ( 1+ a ) ( + c) ( + a ) ( + b) 66> Híng dÈn: 1 ⇔ ab ( a + b ) ≤ ⇔ ab    64 ⇔ ab − ab ≤ ab.( a + b ) ≤ ( ( a+ b ) ) − ab  ≤   ( áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ab 1-2 ab ( ) ab − ab ≤ ( ) ab − ab ≤ ) ab + − ab 1 = ⇔ ab − ab ≤ hay: 2 ( ) 67> Hớng dẩn: Giả sử ngợc lại bốn đẳng thức Nhân ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > => [ a (1 − a ) ] [ b(1 − b) ] [ c(1 − c) ] [ d (1 − d ) ] > 256 (1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức C«si ta cã : a (1 − a ) ≤ a +1− a = 2 => a(1 - a) ≤ 4 c(1 - c) ≤ d(1 - d) ≤ T¬ng tù : b(1 - b) 97 Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Nhân bất đẳng thức ; ta có : [ a(1 − a)] [ b(1 − b)] [ c(1 − c)] [ d (1 − d )] > 256 (2) Từ (1) (2) suy vô lý Điều vô lý chứng tỏ bất đẳng thức cho đầu sai 69> Híng dÈn: Ta cã : p - a = b+c−a >0 T¬ng tù : p - b > ; p - c > ; áp dụng kết tập (3.5) , ta đợc ; T¬ng tù : 1 4 + ≥ = p − a p − b ( p − a ) + ( p − b) c 1 + ≥ p −b p −c a 1 + ≥ p−a p−c b 1 1 1 + + ) ≥ 4( + + ) => 2( p−a p−c p−c a b c => ®iỊu ph¶i chøng minh DÊu '' = '' x¶y : p - a = p - b = p - c ⇔ a = b = c Khi tam giác ABC tam giác iii tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhấ 70> Hớng dẩn: áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta đợc A = x = 71> Híng dÈn: a) A = − x + + x 98 Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Hớng dẩn: Xét A = = x ta đợc A = víi x = ±1 , max A = víi x=0 b) B = x−2 + 6−x Híng dÈn: XÐt B2 = + (x − 2)(6 − x) ta cã x = B = ⇔  x = ¸p dơng bÊt đẳng thức Cô-si a + b ab ta ®ỵc max B = 2 ⇔ x − = ⇔ x = 72> Híng dÈn: ¸p dụnh bất đẳng thức Bunhacôpski ta đợc max A = ⇔ x = 73> Híng dÈn: ¸p dơng bất đẳng thức Côsi Bunhacôpski ta đợc A = −100 ⇔ x = −10,max A = 1000 ⇔ x = 10 74> Híng dÈn: C¸ch 1: a b ay bx A = x + y = 1(x + y) =  + ÷(x + y) = a + + +b x y x y  ¸p dơng bÊt đẳng thức Cô-si cho hai số dơng ta đợc x = a + ab  A = a + b + ab = ( a + b) ⇔   y = b + ab  Cách Dùng bất đẳng thức Bunhacôpski a b  a b A = (x + y).1 = (x + y)  + ÷ ≥  x + y ÷ x y x y  75> Híng dÈn: Ta cã x + y ≥ 2x y ; z + y ≥ 2z y ; x + z ≥ 2x z Suy x + y + z ≥ x y + z y + x 2z 99 Sinh viªn: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Mặt khác, để chứng minh a + b + c = th× a + b2 + c2 ≥ Do ®ã VËy 76> Híng dÈn: x y2 + z y2 + x 2z ≥ 3 A = ⇔ x = y = z = ± 3 A = x − y ≥ , ®ã A lín nhÊt vµ chØ A lín nhÊt ( Bunhac«pski) A2 ≤ 77> Híng dẩn: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số x + y + z vµ t   2x x = −  = −2  max A = ⇔ y ⇔ VËy hc  x + 4y =  y =    10  x =   y = −   10 78> Híng dÈn: P( x) = x +x+2 x ( x + 1) + = ( ) x ( x + 1) + + x ( x + 1) + = x ( x + 1) + + x ( x + 1) + ≥2 x = dÊu d¼ng thøc x ( x + 1) + = ⇔   x = −1 79> Híng dẩn: 100 Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng z4 1 P= = + ( x + y4 ) P z + z4 ( x + y4 ) Ta cã x2 y xy z + x z + y = 3z ⇒ xy + + =3 z z2 áp dụng Côsi cho số không âm 2 x8 x2 4 1; ; x ; x cã + + x + x ≥ 4 = z z z z áp dụng Côsi cho số không âm 1 1; ; ; y cã + 14 + 14 + y ≥ 4 y8 = y z z z z z z2 áp dụng Côsi cho số không âm 1; x ; y ; y cã + x + y + y ≥ 4 x y8 = 4xy Céng vÕ víi vế bất đẳng thức ta đợc x2 y  1 4 + + 3.x + 3.y ≥ 4. + + xy ÷ = 12 ⇒ ≥ dÊu b»ng x = y = z = z P  z z  VËy Pmax = x = y = z = 80> Híng dÈn: 2 Tõ (x P= + y3 ) − ( x + y ) ( x − 1) ( y − 1) 2 x ( x − 1) + y ( y − 1) x2 y2 = = + ≥ y −1 x −1 ( x − 1) ( y − 1) 2xy ( x − 1) ( y − 1) x2 y2 x −1 +1 x dÊu b»ng = l¹i cã ( x-1) ≤ = dÊu b»ng x = y −1 x −1 2 y −1 +1 y = dÊu b»ng y = ( y − 1) ≤ 2 2xy ⇒P≥ = dÊu b»ng x = y = x y 2 VËy Pmin = x = y = 81> Híng dÈn: 101 Sinh viªn: Ngun Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán Tin K48 ... tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Bài toán 6.5 Cho a,b,c số dơng chứng minh bất đẳng thức: a + b + c2 ≥ a + b + c b+c c+a a +b Lời giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski Phơng pháp phản chứng. .. + + Chú ý: Để chứng minh bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào dạng toán Sau số cách thờng dùng II> phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Pơng pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh A B (hc... nói chung Qua đề tài (một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức ) muốn giúp học học sinh có thêm số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức lý chọn đè tài này, nghiên cứu