MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ CHỨA BIỂU THỨC XYZ Bài toán: “Chứng minh bất đẳng thức BĐT có chứa biểu thức xyz trong đó x,y,z là các số thực không âm, có vai trò bình đ
Trang 1MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC CÓ CHỨA BIỂU THỨC XYZ
Bài toán: “Chứng minh bất đẳng thức (BĐT) có chứa biểu thức xyz
trong đó x,y,z là các số thực không âm, có vai trò bình đẳng và BĐT tương đương với (xyz)n P(x,y,z) với *
N
n ; P(x,y,z)là đa thức” thường gây rất nhiều khó khăn cho học sinh vì việc đánh giá (xyz)n P(x,y,z) là “không thuận lợi”
Trong bài viết này, tác giả xin giới thiệu một số kĩ năng để giải bài toán dạng này
1 Sử dụng BĐT: “Với x, y, z là các số thực không âm tùy ý, ta có
(x y z x)( z y y)( z x) xyz” (1)
Thí dụ 1 Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x y z 1 Chứng minh rằng
27
7 2
(Đề thi IMO năm 1984)
Lời giải Áp dụng (1) và giả thiết, ta có
xyz xyz zx
yz xy z
y x xyz
z y
x)( 1 2 )( 1 2 ) 1 2 ( ) 4 ( ) 8 2
1
Suy ra
4
1
2xyz xyz zx
yz
xy (2)
Mặt khác, ta có
27
1 3
3
z y x xyz (3)
Từ (2) và (3) suy ra
27
7
2xyz
zx yz
Ngoài ra, từ giả thiết suy ra 0 x,y,z 1
Do đó xy yz zx 2xyz xy( 1 z) yz( 1 x) zx 0
2 Sử dụng tính chất: “Trong ba số x,y,z luôn tồn tại ít nhất hai số sao cho chúng cùng không lớn hơn a hoặc cùng không nhỏ hơn a, với a là số thực tùy ý” (4)
Thí dụ 2 Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn xy yz zx xyz 4 (*) Chứng minh rằng: x y z xy yz zx Đẳng thức xảy ra khi nào
(Đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm 1996)
Lời giải Theo tính chất (4) và vai trò x,y,z trong bài toán bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
1
1
y
x
hoặc
1
1
y
x
Khi đó, ta có ( 1 x)( 1 y) 0 xy 1 x y
Suy ra z(xy 1 ) z(x y) xyz z xz yz xyz xy z xy yz zx (5)
Ta sẽ chứng minh: x y z xyz xy z (6) Thật vậy: ( 6 ) x y z 4 xy yz zx xy z (x y)(z 1 ) 4 (7)
Trang 2Nếu x y 0 (*) trở thành 0 =4 vô lí Do đó x y xy 0 và từ (*) ta có:
z =
xy y x
xy
4
Vì thế : ( 7 ) ( )( 1 4 ) 4
xy y x
xy y
(x y)(x y 4 ) 4 (x y xy) (Vì x y xy 0) (x y)2 0, đúng
Từ (5) và (6) suy ra điều phải chứng minh
Trong trường hợp này đẳng thức xảy ra khi
x = y = z = 1 hoặc x = y = 2, z = 0
Do đó đẳng thức xảy ra khi:
x = y = z = 1 hoặc x = y = 2, z = 0 hoặc x = z = 2 , y = 0 hoặc z = y = 2 , x = 0
3 Đánh giá rồi đặt ẩn phụ
Thí dụ 3 Giả sử x, y, z là các số thực thỏa mãn x2 y2 z2 2 Chứng minh x y z 2 xyz
(Poland 1991)
Lời giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki, ta có
) 1 ( 1 )
( ) 1 ( 1 ).
) 2 2 )(
2 ( ) (x y z xyz 2 x2 xy y2 z2 x2y2 xy
) 2 2 )(
1 ( 2 ) (x y z xyz 2 xy x2y2 xy (8)
2 2
.
2 2 2 2 2
z y x y x y x
Do đó đặt t xy, ta có
) ( ) 2 2 )(
1 ( ) 2 2 )(
1
Dễ dàng chứng minh được max ( ) 2
] 1
; 1
Suy ra (xy 1 )(x2y2 2xy 2 ) 2 (9)
Từ (8) và (9) suy ra (x y z xyz)2 4 Vậy x y z xyz 2 hay ta có điều phải chứng minh
4 Đặt ẩn phụ S x y z; P xy yz zx; Q xyz Thí dụ 4 Cho ba số thực không âm x, y, z Chứng minh rằng (x2 2 )(y2 2 )(z2 2 ) 9 (xy yz zx) (10)
(Asian Pacific Math 2004)
Lời giải Ta có
) (
9 8 ) (
4 ) (
2 )
10 ( x2y2z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 xy yz zx (11) Đặt S x y z; P xy yz zx; Q xyz, ta có BĐT (11) trở thành
Q2 2 (P2 2SQ) 4 (S2 2P) 8 9P
0 3 9
35 3
9
8 3
9
10 3
2 2
2 2
P S P
SQ P
S
Trang 3Dễ dàng chứng minh được P2 3SQ, S2 3P suy ra (12) đúng
Vậy ta có điều phải chứng minh
Vận dụng các phương pháp trên Thí dụ 5 Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x3 y3 z3 3 Chứng minh rằng xy yz zx xyz 2
Lời giải 1 Áp dụng (1) và giả thiết, ta có
(x y z)(x z y)(y z x) xyz
) 1 (
) 1 (
) 1 (
6 3
3
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2
3 3 3
x z zx yz
z y xy
y x xyz
x z zx yz z y xy y x xyz z
y x
3 3
3 ) 1 (
) 1 (
) 1
Suy ra 3xyz 6 3 (xy yz zx) Vậy ta có điều phải chứng minh
Lời giải 2 Theo tính chất (4) và vai trò x,y,z trong bài toán bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
1
1
y
x
hoặc
1
1
y
x
Khi đó, ta có ( 1 x)( 1 y) 0 x y xy 1
Suy ra z(x y xy) z xy yz zx xyz xy z (13) Mặt khác, ta có
3
1 1 1
1
; 3
1 1
.
3
3 3
z z y
x y
x
3
3
3 3 3
z y x z
xy (14)
Từ (13) và (14) suy ra điều phải chứng minh
Lời giải 3 Vì vai trò của x, y, z trong bài toán bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử z min x; y; z Khi đó:
3
3 x y z z (Vì x, y, z 0)
1 0
1
3
z
) ( ) 1
xy xyz zx yz
Mà
3
1 1 1
1
; 3
1 1 1
1
; 3
1 1
.
3
3
3 3
y y
x x
x y
x y
x xy
Suy ra
3
) 7 ( 3
) 1 )(
4 ( 3
2 3
2 3
) 1 )(
1
z z y
x xyz zx yz xy
Do đó
3
4 3
3
z z xyz zx yz
xy (15)
Đặt
3
4 3 )
(
3
z z z
Trang 4Dễ dàng chứng minh được max ( ) 2
] 1
; 0
Suy ra : với 0 z 1 ta có f (z) 2 (16)
Từ (15) và (16) suy ra điều phải chứng minh
zx yz xy z y x z y x xyz z
y
Đặt S x y z; P xy yz zx; Q xyz, từ (17) và giả thiết ta có
3 3 ( 2 3 )
P S S
Q (18)
Mà
3
1 1 3
1 1 3
1 1 1
1 1
1 1
1
3 3
3
z y
x z y x
3
6
3 3 3
z y x
S (19)
Từ (18) và (19) suy ra
3 3Q 3 (S2 3P) (Vì S2 3P)
P Q S2 2P 1 (20) Mặt khác, ta có
2 2 2 2
1 1 1
.
S
3
1 3
1 3
3 3
z z y
y x
x
Suy ra:
Từ (20) và (21) suy ra điều phải chứng minh
Các bài tập tự luyện
1 Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x y z 1 Chứng minh rằng 4 (xy yz zx) 9xyz 1
2 Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x2 y2 z2 3 Chứng minh rằng xy yz zx xyz 2
3 Cho ba số thực a ,,b cbất kì Chứng minh rằng
) 1 )(
1 )(
1 ( 3 2
2 2 2
c b a abc
c b
(Marian Tetiva, Mircea Lascu, Gabriel Dospinescu)
4 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1 Chứng minh rằng
4
1 3
9
abc c
b
5 Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện:
4
2 2 2
xyz z
y
(Đề thi USAMO-2001)
6 Cho x, y, z ( 0 ; 1 ), thoả mãn xyz ( 1 x)( 1 y)( 1 z)
Trang 5Chứng minh rằng:
4
3
2 2 2
z y
7 Cho ba số thực bất kì x, y, z Chứng minh rằng
) 1 (
4 ) 3 )(
3 )(
3
(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ)
8 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn xyz 1 Chứng minh rằng x2y2 y2z2 z2x2 3 2 (x y z)