Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

LI NểI U Trong mụn Toỏn trng THPT, bt ng thc ngy cng c quan Tr-ờng THPT CHUYÊN QUảNG BìNH tõm ỳng mc v t cú sc hp dn mnh m nh v p v tớnh c ỏo ca phng phỏp v k thut gii chỳng cng nh yờu cu cao v t cho ngi gii Bt ng thc l mt nhng dng toỏn hay v khú i vi hc sinh quỏ trỡnh hc cng nh cỏc k thi, trc ht l k thi i hc m hu ht hc sinh THPT u phi vt qua Ngoi bt ng thc ti nghiờn cu khoa hc cng l mt dng thng gp cỏc k thi hc sinh gii toỏn cỏc cp tnh, Quc gia, Olympic khu vc v Olympic quc t Cỏc bi toỏn bt ng thc khụng nhng rốn luyn t sỏng to, trớ thụng minh m cũn em li say mờ v yờu thớch mụn Toỏn ca ngi hc PHƯƠNG PHáP CHứNG MINH Trong ti nghiờn cu khoa hc ny, th lp 10 Toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh xin trỡnh by mt s v bt ng thc, mt s BấT ĐẳNG THứC phng phỏp chng minh bt ng thc ti gm cỏc bi vit ca cỏc nhúm tỏc gi c trỡnh by di dng cỏc chuyờn Nhúm tỏc gi Giỏo viờn hng dn : Nguyễn Chiến Thắng Nhóm tác giả: Tập thể chuyên Toán khóa 2012-2015 -2- 1.Bt ng thc Cauchy-schwarz .43 MC LC LI NểI U MC LC 1.1 nh lớ 43 1.2 Chng minh .43 1.3 H qu 45 BT NG THC AM-GM V NG DNG Vớ d .45 Bt ng thc AM-GM Bi t gii 78 1.1 nh lớ BT NG THC CHEBYSHEV 82 1.2 Chng minh 1.Bt ng thc Cheybyshev .82 1.3 Cỏc dng thng gp Vớ d Bi t gii 23 BT NG THC MINKOWSKI V NG DNG 24 Bt ng thc Minkowski 24 1.1 Bt ng thc Minkowski dng 24 1.1.1 nh lớ 24 1.1.2 Chng minh 24 1.2 Bt ng thc Minkowski dng 25 1.2.1 nh lớ 25 1.2.2 Chng minh 25 Vớ d .25 Bi t gii 28 BT NG THC HOLDER V NG DNG 29 Bt ng thc Holder .29 1.1 Dng tng quỏt 29 1.1.1 nh lớ 29 1.1.2 Chng minh 29 1.2 M rng ca bt ng thc Holder 30 1.3 M rng ca bt ng thc Holder 30 1.1 nh lớ 82 1.2 Chng minh .82 Vớ d .83 Bi t gii 96 BT NG THC MUIRHEAD 97 Gii thiu bt ng thc Muirhead 97 Mt s khỏi nim liờn quan n Bt ng thc Muirhead .97 2.1 B tri 97 2.2 Trung bỡnh loi [a] .98 2.3 Tng hoỏn v .98 2.4 Tng i xng 98 2.5 Lc Young 99 nh lý Muirhead .99 K thut s dng nh lớ Muirhead 101 Phng phỏp chung 101 S dng nh lý Muirhead vi AM GM, Holder, ASYM, Schur 102 5.1 Bt ng thc AM GM 102 5.2 Bt ng thc Holder 102 5.3 Bt ng thc ASYM 102 5.4 S dng nh lý Muirhead vi bt ng thc Schur 102 1.4 M rng ca bt ng thc Holder 30 Vớ d 103 Vớ d .30 Bi t gii 112 Bi t gii 41 BT NG THC CAUCHY-SCHWARZ 43 -3- -4- PHNG PHP PQR 114 Kin thc liờn quan 114 1.1 nh ngha v cỏc phộp bin i 114 1.2 Phng phỏp pqr kt hp bt ng thc Schur 114 1.3 M rng phng phỏp pqr kt hp hm s 117 Bi t gii 119 PHNG PHP NHN T LAGRANGE 203 C s lớ thuyt 203 Mt s vớ d 204 Bi dng 215 KT LUN 218 PHNG PHP PHN TCH TNG BèNH PHNG S.O.S 124 Lý thuyt v vớ d 124 1.1 nh lý v cỏc k thut phõn tớch 124 1.2 Cỏc tiờu chun v k thut sp xp bin 130 1.3 ng dng tỡm hng s k tt nht 135 Bi t gii 137 M rng 141 S DNG PHNG PHP S.O.S TRONG CHNG MINH BT NG THC 142 Li núi u 142 Xõy dng nh lớ, tiờu chun 142 Phõn tớch c s 143 Cỏc ng dng ca phng phỏp S.O.S 144 Bi dng 149 Bi dnh cho bn c 151 PHNG PHP DN BIN 153 Kin thc liờn quan 153 Vớ d minh 157 Bi dng 184 S DNG TIP TUYN TRONG VIC CHNG MINH BT NG THC 187 Phng trỡnh tip tuyn tng quỏt 187 S dng tip tuyn chng minh bt ng thc 187 Vớ d 188 -5- -6- BT NG THC AM-GM V NG DNG a1 a2 a p p p a1a2 a p a1 a2 a p p p a1 a p on Quc t Ngụ Hong Thanh Quang Bt ng thc AM-GM Theo nguyờn lớ quy np ta cú bt ng thc ỳng vi mi n 2, n 1.1 nh lớ nh lớ (Bt ng thc AM-GM) Vi mi s thc dng a1 , a2 , , an ta cú bt ng ng thc xy v ch a1 a2 an 1.3 Cỏc dng thng gp thc a1 a2 an n a1a2 an n n n2 n3 n4 iu kin a, b a, b, c a, b, c, d Dng ab ab abc abc abcd abcd Dng ab ab abc abc abcd abcd Du bng a b a bc a bc d ng thc xy v ch a1 a2 an 1.2 Chng minh Phng phỏp Quy np Cauchy a a Vi n : a1a2 a1 a2 2 a1 a2 a1a2 (ỳng) Gi s bt ng thc ỳng vi n k ta s chng minh bt ng thc ỳng vi n 2k S dng gi thit quy np ta cú: Vớ d 1: (Bt ng thc Nesbit) Chng minh rng vi mi s thc khụng õm a, b, c ta cú a1 a2 a k a1 a2 ak ak ak a2 k 2k k 2k k a1a2 ak k ak 1ak a2k Vớ d k a b c bc a c a b a1 ak k ak a2k 2k a1a2 ak a2k Gii: Xột cỏc biu thc sau Gi s bt ng thc ỳng vi n p ta s chng minh bt ng thc ỳng vi a b c bc a c a b b c a M bc a c a b c a b N bc a c a b S n p Tht vy, xột p s: a1 , a2 , , ap S dng gi thit quy np vi n p ta cú: a1 a2 a p p a1a2 a p p p a1 a p p a1 a p p a1a2 a p Ta cú M N Mt khỏc theo bt ng thc AM-GM thỡ a1 a2 a p p a1a2 a p p p a1a2 a p -7- -8- ng thc xy v ch a b c (pcm) ab bc ca bc ac ab ac ab bc N S bc ac ab M S Nhn xột: õy l dng bi ỏnh giỏ im ri t AM sang GM Nu nhng mi ch tip xỳc qua bt ng thc AM-GM thỡ cú th nhn xột rng vic tỡm Vy M N 2S 2S hay ỏnh giỏ a b c bc a c a b a2 bc a2 b c a cú v mang nhiu tớnh may mn Nhng bc bc khụng phi vy, chỳng ta cựng ý, im ri ca bt ng thc trờn ti a b c Khi ú ng thc xy v ch a b c (pcm) Nhn xột: Bi ny cũn nhiu cỏch gii khỏc nhng cú l õy l cỏch hay nht vỡ vic ngh cỏc biu thc M , N khụng phi l d dng a a2 a , chỳng ta phi to mt biu thc va cú giỏ tr bng , va bc cú th loi c mu ca biu thc a2 Hn na, v ca bt ng thc l ng bc bc 1, t ú d dng nhn biu thc thờm vo phi l Vớ d trờn phn no cho ta thy c sc mnh v s tinh t ca bt ng thc AM- bc GM, nhng ú ch mi l mt vớ d n gin Chỳng ta s xột n k thut thờm bt S dng kt qu bi ny ta cú th lm bi toỏn sau: bt ng thc AM-GM qua vớ d sau Vớ d 3: [IMO 1995] Cho a, b, c tha abc Chng minh rng: Vớ d 2: Chng minh rng vi mi s thc khụng õm a, b, c ta cú 1 a b c b3 a c c a b a2 b2 c2 a bc bc a c a b Gii: Bt ng thc cn chng minh tng ng vi: Gii: S dng bt ng thc AM-GM, ta cú: abc abc abc 11 1 a b c b3 a c c a b a b c a2 bc a2 b c a bc bc 1 2 11 1 a b c 1 1 1 a b c b c a c a b b2 ac b2 a c b ac ac c2 ab c2 a b c ab ab 1 t x , y , z , ta quay tr li vớ d a b c Cng theo v bt ng thc trờn ta cú: Nhn xột: Bi ny cú th gii bng bt ng thc Cauchy Schwarz m chỳng ta s xột phn sau a2 b2 c2 a bc abc bc a c a b Hay (1) Vớ d 4: Cho a, b, c Chng minh rng: a2 b2 c2 a bc bc a c a b ab bc ca a bc a b 2c b c 2a c a 2b -9- - 10 - Gii: Ta cú: b3 b3 a c ab ab 1 ab a b 2c a c b c 4ac bc c3 bc bc 1 bc b c 2a a b b c a b bc c a b 3 b2 a b2 c 2 c2 a b2 c 2 Cng ba bt ng thc theo v ta c iu phi chng minh ca ca 1 ca c a 2b a b b c a b bc ng thc xy v ch a b c Cng theo v bt ng thc trờn ta c iu phi chng minh ng thc xy v ch a b c Nhn xột: Bi toỏn trờn thuc dng bi ỏnh giỏ im ri ca bt ng thc t biu thc GM sang AM im khú ca vớ d trờn l nm ch i bin v tỡm bt ng thc ph (1) Bi trờn cũn cú th gii bng bt ng thc Cauchy-Schwarz Nhn xột: Trong vớ d trờn chỳng ta ó s dng bt ng thc AM-GM dng cng Vớ d [diendantoanhoc.net] Cho s thc dng a, b, c tha ab bc ca mu s: Cho a1 , a2 , , an l cỏc s thc dng Ta cú: Chng minh rng: 1 n2 a a a n 1 1 1 ab bc ca a b c a1 a2 an Gii: Bt ng thc cn chng minh tng ng vi: ng thc xy v ch a1 a2 an ab bc ca ab bc ca ab bc ca a ab bc ca ab bc ca a2 cyc Vớ d 5: Cho s a, b, c khụng õm, chng minh rng: a3 a b c 3 b3 b a c 3 c3 c a b 3 a b cyc b cyc a cyc a b a c a.a Gii: Xột bt ng thc ph sau: x3 M theo bt ng thc AM-GM thỡ x2 x Tht vy, theo bt ng thc AM-GM, ta cú: x x x2 x3 a b a c a.a cyc x x x x 2 a b cyc b cyc a (1) Cn chng minh a b b a cyc (hin nhiờn ỳng theo AM-GM) cyc p dng vo bi toỏn ta cú: Vy bt ng thc ó cho c chng minh a3 a2 a b2 c 1bc bc a a a3 b c ng thc xy v ch a b c Tng t ta cú - 11 - - 12 - Nhn xột: Vi bi toỏn trờn, nu khộo lộo s dng gi thit ab bc ca thỡ bi minh mt s bt ng thc ỏp dng trc tip AM-GM thỡ b ngc du rt hiu toỏn s tr nờn n gin qu Vớ d 7: Cho cỏc s thc dng a, b, c Chng minh: Vớ d [ Bulgarian TST 2003] Cho cỏc s thc dng a, b, c tha a b c Chng minh: a b c a b bc c a b c a c a a b b c Gii: t S a b c x, y, z Khi ú, ta cú: b c a Gii: Bin i v s dng bt ng thc AM-GM ta cú: a b yz y y c a z z a ab ab ab a a a 2 b b 2b b bc bc bc b b b c2 c2 2c c ca ca ca c c a a2 a2 2a Bi toỏn quy v vic chng minh: x y z y z x Cng theo v bt ng thc trờn ta cú: x z y x z y S a b c x2 z z y y x x2 y z x y z x z z y y x 3 x3 y z x2 y z x y z 1 ab bc ca ab bc ca 2 Mt khỏc: a b c ab bc ca ab bc ca D thy theo bt ng thc AM-GM ta cú: ` a b c b2 c a 2 T ú suy S 2 x y z (vỡ x y z ) ng thc xy v ch a b c Nhn xột: bt ng thc ban u, nu ta ỏp dng trc tip bt ng thc AM- Kt thỳc chng minh.ng thc xy v ch a b c GM thỡ s b ngc du Vớ d: Nhn xột: ý rng biu thc v phi ca bt ng thc cha phộp cng gia bin c t v mu nờn vic s dng bt ng thc AM-GM mt cỏch trc tip l vụ cựng khú khn Do ú phng ỏn kh d nht l i bin to bt ng thc mi S 3 abc abc 3 (sai) 2 2 b c a b c a Ta cú bi toỏn tng quỏt ca bi toỏn trờn: Bõy gi, chỳng ta s xột ti mt k thut mi vic chng minh bt ng thc bng AM-GM, ú l k thut ỏnh giỏ ph nh K thut ny c dựng chng Cho cỏc s thc dng a1 , a2 , , an tha a1 a2 an n Chng minh rng: a a1 a2 n n a2 a32 a1 - 13 - - 14 - Vớ d 9: Cho a, b, c l cỏc s thc dng Chng minh: a b c abc Vớ d 10 [IMO 2005]: Cho cỏc s dng x, y , z tha x y z Chng minh rng: ab bc ca 2 28 a b c x5 x y5 y z5 z 2 x y z y z x z x2 y Gii: Theo bt ng thc AM-GM ta cú: Gii: Bt ng thc ó cho c vit li nh sau: ab bc ca a b c a b c ab bc ca a b c 27 x cyc y z x2 y z T õy ta suy ch cn xột trng hp x y z Suy ra: Bt ng thc cn chng minh tng ng vi 27 ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b2 c ab bc ca a b c a b c a b c Cn chng minh: abc 27 ab bc ca x a b c 28 x6 x6 x x x5 Theo bt ng thc AM-GM ta cú: t a x , b y , c z Suy ra: a b c a b c 27 ab bc ca ab bc ca 5 a b c 55 (1) 12 4 27 abc 27 abc 27 abc a b c a b c 2 Bt ng thc cn chng minh tr thnh 2a Mt khỏc, ta cú: 23 27abc 23 (2) cyc a T (1) v (2) ta cú iu phi chng minh cyc ng thc xy v ch a b c Nhn xột: Trong bi toỏn trờn nu khụng quan sỏt k lng m ỏp dng bt a b c abc cyc ng thc AM-GM thỡ s dn n ngc du vỡ 1 x2 Theo bt ng thc AM-GM ta cú: 12 cyc 27 nhng ab bc ca Qua ú cho chỳng ta thy c v p v sc mnh ca phi hp a b2 c2 a3 a 1 2a a 2a a 2a 3a 2a a 2a 3 (1) Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a b c , suy a c Xột trng hp: +TH1: b c 1, suy a , ú: hai bt ng thc ng bc ngc chiu - 15 - - 16 - 2a 3a Bi toỏn ny cú th gii bng mt s cỏc khỏc nh Cauchy-Schwarz, S.O.S, 2b3 3b U.C.T 2c 3c Tip theo, chỳng ta s xột mt s vớ d v s kt hp gia bt ng thc AM-GM vi mt s bt ng thc cng nh phng phỏp khỏc Suy ra, (1) ỳng u tiờn chỳng ta s xột ti s kt hp gia bt ng thc AM-GM v CauchySchwarz: +TH2: b c 1, suy a , ú: 2a a 2a a 2a3 a 3a Vớ d 11 [diendantoanhoc.net] Cho s thc dng a, b, c Chng minh rng: 1 a 3a 2b b 3b 2c c 3c 2a 5abc 3 a3 a a3 a a a 2 Suy 1 Gii: t a , b , c Bt ng thc cn chng minh tr thnh: x y z a 1 Cn chng minh: 2a3 a 2a x x x zx yz xy zx yz xy b c 2b3 b2 2b 2c3 c 2c Ta cú b : Vi mi x 1, ta cú: x x3 x x (2) x y z z 3x y 5x y z y 3z x Theo bt ng thc AM-GM v Cauchy-Schwarz, ta cú: Ta cú (2) tng ng vi: x3 x x cyc + Nu x x x x y 5z z 3x y cyc , ta cú iu phi chng minh 2 x y z x 3x y z y x y z z x y 3z + Nu x , ta cú: x3 x x x3 x x3 x x x x (pcm) Bt ng thc (1) ó c chng minh ng thc xy v ch a b c Nhn xột: im khú ca bi toỏn ny l vic a bt ng thc v dng (1) nh bt ng thc AM-GM - 17 - x y z x y z xy yz zx x y z x2 y z 20 xy yz zx xy yz zx 3 x y z x2 y z 2 x y z 203 xy yz zx 3 x y z x y z xy yz zx - 18 - Nhn xột: Trong vớ d trờn, nu khụng phỏt hin bt ng thc ph (1) thỡ vic Bt ng thc ó c chng minh gii l rt khú khn Vớ d trờn cũn cú th gii quyt bng phng phỏp dn bin ng thc xy v ch a b c Tip theo s l s kt hp y ngon mc gia bt ng thc AM-GM v Schur qua vớ d sau õy: Vớ d 12 [Vasile Cirtoaje]: Cho cỏc s khụng õm a, b, c cho a b c 3 Cui cựng, ta s xột n s kt hp gia bt ng thc AM-GM v phng phỏp kho sỏt hm s Chng minh rng: Vớ d 13 [Vit Nam TST 2005]: Cho cỏc s a, b, c Chng minh: a3 a4b4 b4c4 c4a4 b3 a b b c c3 c a Gii: Theo bt ng thc AM-GM ta cú: Gii: t b3 c a bc 3 (1) b c a x, y, z, xyz a b c Bt ng thc cn chng minh tr thnh: 4b3c3 a3b3c3 bc T ú suy ra: 4 Tng t ta cú: a 4b 4a3b3 a3b3c3 c4a4 4c3a3 a3b3c3 Cn chng minh: a3b3 b3c3 c3a3 x y a3b3 b3c3 c3a3 1 y 1 z Theo bt ng thc AM-GM ta cú: Cng bt ng thc trờn theo v ta c: a 4b b c c a x a3b3c3 z a3b3 b3c3 c3a3 3a3b3c3 Ta cú : Mt khỏc, theo bt ng thc Schur, ta cú: 1 1 z 1 33 8 y y y x x 1 33 8 x x Ta cn chng minh: a3b3c3 1 x 1 33 8 z z 1 y 1 y 1 z a3b3 b3c3 c3a3 a3 b3 c3 9a3b3c3 a3 b3 c3 Suy ra: a3b3 b3c3 c3a3 3a3b3c3 VT(1) (1) x, y xy xy x y xy 2 (luụn ỳng) 1 z z2 z 2 xy z z 1 z z 2z Gi s z max x, y, z z Vy bt ng thc trờn ó c chng minh Xột hm s: ng thc xy v ch a b c - 19 - f ( z) z2 z z 2z - 20 - 10 x3 y z x5 y z 25 16 10 x x x 27 25 16 16 25 y 10 x x x 10 y y 27 27 25 16 10 z z z 27 Nhn xột: ý rng du ng thc xy ngoi b x y z thỡ cũn cú b x 1; y z Chớnh iu ny ó gõy nờn im khú khn cho bi toỏn Chỳng ta hóy xem xột li gii sau õy: Bng vic s dng phng phỏp U.C.T , ta d oỏn cú bt ng thc sau: 10 x3 x5 Hay 10 x3 y z x5 y z Kt thỳc chng minh Du ng thc xy x y z 25 16 (1) x 27 ; x 1; y z cựng cỏc hoỏn v tng ng x 27 x3 18 x 21x 16 Khỏc vi nhng vớ d u tiờn thỡ rừ rng l bt ng thc va thu c khụng phi luụn ỳng Tớnh ỳng n ca nú ph thuc vo du ca f x 27 x3 18 x 21x 16 Phng trỡnh f x cú nghim x0 145 30 25 9 10 145 30 Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s x max x; y; z Xột trng hp: ;1 , hay x ;1 10 10 Trng hp Trong s cú s 10 x x y, z 0; 10 y y 10 10 z z Do ú ta cn chng minh 4x5 hay x ( ỳng) Khi ú, ỏp dng bt ng thc (1) ta cú: 10 Trng hp 2: x, y, z 0; - 201 - - 202 - PHNG PHP NHN T LAGRANGE Nguyn Trn Duy Mai Xuõn Sn Mt s vớ d Vớ d 1: Vi x, y dng tho x y 10 Tỡm giỏ tr ln nht ca: x y C s lớ thuyt - Cc tr cú iu kin ca hm hai bin Gii f ( x; y) l cc tr ca hm ny vi iu kin rng buc ( x, y) Thit lp hm Lagrange L( x, y, ) x y ( x3 y 10) - tỡm cc tr ca hm trờn cú iu kin rng buc, ta thit lp hm nhõn t x x im cc tr l nghim ca h y y x y 10 Lagrange L(x;y; ) f (x; y) .(x; y) T phng trỡnh th nht v th hai ta suy Vi 2x 2y 3x y lm mt nhõn t hng cha xỏc nh, gi l nhõn t Lagrange L 'x ( x, y, ) f 'x ( x, y) . 'x ( x, y) L ' y ( x, y, ) f ' y ( x, y) . ' y ( x, y) '( x, y ) 25 Ta cú cc tr xy v ch x y , t õy cú im dng 5, 5, 15 iu kin cn ca cc tr l h ba phng trỡnh x Giỏ tr ln nht ca x y l 25 (*) y x3 y x3 y3 Chỳ ý: Vi vớ d ny, du bng xy ti tõm nờn khụng khú ta cú th ngh c tớnh ca cc tr cú iu kin cú th gii bng cỏch xột du vi phõn cp hai ca hm Lagrange ti im P0 ( x0 , y0 ) v vi x0 ; y0 ; l nghim ca h im dng, hoc xột mt b x1 ; y1 khỏc tho iu kin ri so sỏnh f x0 ; y0 vi cỏch gii sau: Theo bt ng thc Holder: x f x1 ; y1 kim tra im dng l cc i hay cc tiu - Khi gii mt bi toỏn s dng phng phỏp nhõn t Lagrange, ta thc hin cỏc bc c bn: y (1 1) x3 y x3 y 200 x y 25 Ta cựng xột mt vớ d n gin na sau õy Thit lp hm Lagrange Vớ d 2: Cho a, b, c, d tho a b c d Tỡm Min P a2 2b2 2c2 3d 2 Gii h phng trỡnh (*) tỡm im dng Li gii 3.Xột b x1 ; y1 khỏc tho iu kin ri so sỏnh f x0 ; y0 vi f x1 ; y1 Thit lp hm Lagrange Ta cựng xem xột cỏc vớ d sau L(a, b, c, d , ) a 2b 2c 3d (a b c d 2) - 203 - - 204 - 2a 4b im cc tr l nghim ca h 4c d a b c d Khi ú P s dng c iu kin a b c d , ta cn cú 2 2 a b tng ng vi: c d 12 (1) a 2b M theo iu kin du bng ca bt ng thc AM-GM 2c 3d Thay (2) vo (1): a2 4b2 4c2 9d Chỳ ý rng a, b, c, d nờn a 2b 2c 3d 12 Kt lun: Min P (2) 7 T ú cựng vi a b c d thỡ a ; b ; c ; d 12 3 ti a ; b ; c ; d 7 7 7 Qua cỏc bi toỏn trờn, ta ó thy c s tin li s dng phng phỏp 3 Chỳ ý rng sau bit giỏ tr Min ca P xy b a ; b ; c ; d 7 7 nhõn t Lagrange Nhng s cú ý kin cho rng phng phỏp Lagrange cha tht s bng phng phỏp nhõn t Lagrange thỡ cú th ngh cỏch li gii sau: cỏch nhanh chúng, nhng vi nhng bi toỏn cú iu kin du bng phc tp, cỏc thuyt phc, vỡ s dng cỏc phng phỏp n gin hn cú th gii quyt mt phng phỏp khỏc lp tc s gp khú khn, xột bi toỏn sau Li gii Vớ d 3: (British Mathematical Olympiad 1996) Ta thy 2 Cho a, b, c thc tho a b c v a2 b2 c2 Tỡm giỏ tr ln nht 3 a b c d 7 7 12 84 12 84 12 2 2 a 2b 2c 3d a b c d 49 49 ca biu thc : A a2b b2c c2a Hoc khụng s dng nhõn t Lagrange, ta cú th dựng phng phỏp im ri AM- Nhn xột: Vi loi bi toỏn cú iu kin nh th ny, nhõn t Lagrange t vụ GM cựng hu hiu Ta cựng tham kho li gii sau: Ta cn cú , , , dng thc hin cỏc phộp ỏnh giỏ sau bng AM-GM: Xột hm nhõn t Lagrange L(a, b, c, , ) a 2b b2c c a (a b c) (a b2 c 6) a a.2 2b b.2 2c c.2 3d d a 2b 2c 3d a.2 b.2 c.2 d ( ) - 205 - 2ab c 22 a 2bc a 22b im cc tr l nghim ca h 2ca b 22 c a b c a b c - 206 - 2ab c 2bc a a b 2ab c 2b 2abc a Cng v theo v ca ba phng trỡnh u tiờn li, ta c a b c 31 22 (a b c) 2b (b c) c 2b 2bc(b c) (6 b c )(b c) 2ab c 22 a 2bc a 22b T ú 2ca b 22 c a b c a b c Suy ra: 2bc 6b 6c 3b3 b c c Xõy dng ng thc tng t ri cng li, ta c 2bc 2ca 2ab 4(a b3 c3 ) b c c a a 2b 4(a b3 c ) bc ca ab 2(a b3 c ) 2ab c2 2bc a 2ca b2 (quy c mu bng thỡ t bng 0) (*) a b c Vi (1) 2ab c2 2bc a 2ca b2 a b c Ta cú Ta ó tỡm c iu kin xy du bng ca bi toỏn ny, t õy cú th s dng Cauchy Schwarz nh sau 2ab c 3a 2ab2 c 2b 3ab a 2ab c b 2bc a c 2ca b a b c 2ab c 2bc a 2ca b 2 2 2 Xõy dng cỏc ng thc tng t ri cng li ta c Li cú a 2ab c b 2bc a c 2ca b a 2b b 2c c 2b ab2 bc ca ab bc ca V 2ab c 2bc a 2ca a 2(ab bc ca)2 (a b2 c )2 54 2 a b c a b2 c (2) T (1) v (2) ta cú a3 b3 c3 Do ú A Vi Gi ta cn gii tỡm iu kin du bng xy vi b a, b, c nh th no 2ab c 2bc a 2ca b2 a b c Tng t trờn ta cú a3 b3 c3 Ta cú: Tng hp li ta cú h 2ab c2 2bc a 2ca b2 a b c a b c a b c a b c 2 2 2 a b c (b c) b c b c bc a b3 c (b c)3 b3 c bc(b c) a b c a b c a b c 2 2 2 a b c (b c) b c b c bc 3 bc(b c) 3 a b c (b c) b c (2ab c )2 (2bc a )2 (2ca b )2 (2ab c )2 (2bc a )2 (2ca b )2 a2 b2 c2 a b2 c2 2ab c 2bc a 2ca b a b c Li cú Xột h (I) - 207 - - 208 - a b c a b c 2 2 b c bc b c a 3a a bc(b c) abc Nhn xột : Trc gii quyt bi toỏn ny, ta cú nhng nhn xột sau õy: t biu thc bờn du giỏ tr tuyt i l Q thỡ Q nhn c cỏc giỏ tr õm v dng vi iu kin bi toỏn T ú max P max Q , maxQ Mt cỏch tng t, ta cú a, b, c ln lt l ba nghim ca a thc f ( x) x 3x f (1) f ( 2) Vỡ vy cú th i theo ng sau: tỡm giỏ tr ln nht , nh nht ca Q ri so sỏnh giỏ tr tuyt i ca chỳng Hng i ny lm ta ngh n phng phỏp Ta thy f (1) f (1) nhõn t Lagrange tỡm cc tr ca hm nhiu bin cú iu kin f (1) f (2) Gii Nờn nghim ca f ( x) thuc khong (2;2) Chuyn biu thc Q sang n p, q, r ( p a b c ;q ab bc ca ;r abc ) ta cú T ú t x 2cos xột (0; ) , ta cú: Q p pq 2r 8cos3 cos cos (0; ) nờn ta cú nghim x 2cos Xột f (r ) Q , ta cú f (r ) l hm n iu trờn 2 k nờn theo nh lớ ABC, giỏ tr nh nht v ln nht t ba s a, b, c cú hai s bng ; x cos ; x cos 9 Gi s a b , ú Q 2a c a c vi iu kin rng buc 2a2 c2 Xõy dng hm Lagrange L 2a c a 2c (2a c 1) a b c a Xột h (II) b c bc b bc(b c) c T quy c (*) ta suy mt s bng thỡ c s bng 0, trỏi iu kin 6a 2ac 4a 2 im dng l nghim ca h 3c a 2c 2a c a2 b2 c2 Kt lun: A Du bng xy v ch a 2cos ; b cos ; c cos 9 Xột a thỡ a 0, b 0, c v P Khi c thỡ a b v cỏc hoỏn v vũng quanh tng ng Qu vy iu kin ng thc ca loi bi toỏn ny rt phc tp, vic tỡm nú bng cỏc cỏch gii s cp l khụng kh thi, phng phỏp nhõn t Lagrange c , c v P 2 Khi a, b, c khỏc 0, t h im dng ta cú a chớnh gii quyt iu kin du bng, dự phc n õu cng 6a 2ac 3c a 4a 2c 4c 3ac a (a c)(4c a ) tng minh trn Vớ d 4: Cho a, b, c tho a2 b2 c2 Tỡm GTLN ca a c a 4c P a b c abc 3 Kt hp 2a2 c2 1ta cú - 209 - - 210 - a a 4c 2 c 2a c a c a 2 2a c c l li gii s cp, nhng vic ngh li gii ny vụ cựng khú khn, ớt nht l bng 33 33 cỏch no ú, ta phi bit trc iu kin ng thc ca bi toỏn 13 P 33 P 3 Vớ d 5: Cho x, y , z khụng õm tho x y z P x y 3z Thit lp hm nhõn t Lagrange L( x, y, z ) x y 3z ( x y z ) So sỏnh cỏc giỏ tr ca P ta thu c: max P im Max, Min l nghim ca h Kt lun: max P ti b (a, b, c) (0;0;1), (0;0; 1) v cỏc hoỏn v x 81 x y y 81 z z x y z 27 81 Chỳ ý: ta cú th gii bi toỏn ny bng li gii s cp hn, tham kho cỏch lm ca mt thnh viờn diendantoanhoc.net nh sau: S dng bt ng thc Cauchy Schwarz: a b3 c3 abc a b3 c3 abc a3 b3 c(c ab) 2 (a b c ) a b (c ab)2 Khi ú P a b4 c 2c ab a 2b Ta cú ỏnh giỏ sau: 14 6561 Xột cỏc trng hp ti biờn ( a b) Trng hp 1: z Khi ú x y a b 2ab 2 a 2c b2c 2abc a b c 2c ab a b a b c a b b c c a 4 2 4 2 2 2 x 27 x y y 27 x y 27 a b4 c 2(a 2b2 b2c c a ) (a b2 c )2 Vy P 1, ng thc xy v ch a,b,c l mt hoỏn v ca mt hai b (0,0,1) v (0,0,-1) Khi ú P Li gii s cp trờn rt d hiu nhng cú c li gii p ny, thc s ngi lm toỏn cn cú mt k nng ỏnh giỏ iờu luyn, bi cú nhng bc ỏnh giỏ khỏ thiu t nhiờn, nh bc a b b c c a 2(a b b c c a ) Do vy dự õy 2 2 2 2 v L( x, y, 0) x y ( x y ) g ( x, y ) im Max, Min l nghim ca h Vỡ th Tỡm Min v Max ca 2 2 - 211 - 243 11 46 32 ; ; ; ; 243 243 81 81 243 Tng t vi cỏc trng hp cũn li P - 212 - So sỏnh tt c, ta i n ỏp ỏn: Kt lun: MinP Tht vy xột x, y , z l ba cnh tam giỏc: 14 2 v ch x ; y ; z 6561 81 81 27 x yz yzx ( x y z )( y z x) y yzxzx y ( y z x)( z x y ) z MaxP v ch x 0; y ; z 81 zx yx yz ( z x y )( x y z ) x Vớ d (1999 Canada Math Olympiad) Nhõn theo v cỏc bt ng thc trờn ta cú xyz ( x y z)( y z x)( z x y) Cho x, y , z l cỏc s dng tho x y z Chng minh rng: 2 A= x y y z z x xyz Khi x, y , z khụng l ba cnh tam giỏc thỡ cú cỏc trng hp sau xy 27 i Mt tng ( x y z );( y z x);( z x y ) khụng dng, hai tng cũn li dng, gi s tng khụng dng ú l ( x y z) Thỡ v phi ca (*) Gii khụng dng, v trỏi ca (*) dng nờn (*) hin nhiờn ỳng Thit lp hm Lagrange L x y y z z x xyz .( x y z 1) ii Lx ' Tn ti hai ba tng ( x y z );( y z x);( z x y ) khụng dng, gi s l ( x y z) v ( y z x) , ta cú x y z y x (vụ lớ) im dng ti h Ly ' Vy (*) luụn ỳng L ' z Du bng ch xy x y z T ú im dng ti x y z xy z yz Hay ta cú yz x zx zx y xy f Li cú f Rỳt ta c xy z2 yz yz x2 xz xz y2 xy ( x y )( x y z ) y( x z) Cú h mi ( y z )( y z x) z ( y x) ( z x)( z x y) x( z y) 1 ; ; 3 27 1 ; ; 4 64 27 2 Kt lun ta cú A= x y y z z x xyz 27 Vớ d 7: Cho a, b, c thc tho a b c Chng minh rng: Vi x y z ta cú L 27 a3 b3 c3 (a b2 c2 ) 3abc (*) Vi x, y , z ụi mt khỏc ta cú xyz ( x y z)( y z x)( z x y) Nhn xột: Bi toỏn ny cha cú iu kin rng buc nờn ta cha th s dng Vụ nghim do: xyz ( x y z)( y z x)( z x y) (*) vi mi x, y , z khỏc nhau, phng phỏp nhõn t Lagrange, nhng chỳ ý bt ng thc (*) l bt ng thc dng thun nht, nờn ta cú th lm nh sau - 213 - - 214 - Tng t trờn chng minh cỏc bt ng thc sau vi a, b, c Gii i a (a b)(a c) b (b c)(b a ) c (c a )(c b) ii a k (a b)(a c) b k (b c)(b a ) c k (c a )(c b) Chun hoỏ a2 b2 c2 ta cú (*) tr thnh: a3 b3 c3 3abc Thit lp hm nhõn t Lagrange: L(a, b, c, ) a b3 c3 3abc (a b c 1) Cỏc bi toỏn ny l cỏc dng c bit v tng quỏt ca bt ng thc Schur Cho a, b, c tho a b c v a2 b2 c2 Tỡm giỏ tr nh nht v ln 3a 3bc 2a 3b 3ca 2b im dng l nghim ca h 3c 3ab 2c a b c nht ca : P a3 b3 c3 Hng dn: tng t bi VD2, ta s dựng nhõn t Lagrange tỡm iu kin Rỳt ta c du bng xy ri s dng bt ng thc Cauchy Schwarz Cho n v x1 , x2 , , xn ; y1 , y2 , , yn l 2n s thc tho iu kin 3(a bc) 3(b ac) 3(c ab) 2a 2b 2c (a b)(ab bc ca) a b c (a c)(ab bc ca) ab bc ca (b c)(ab bc ca) 2 n x i i n n i i 1; yi 1; xi yi 2 n n Chng minh rng: xi yi n i i Khi a b c thỡ a3 b3 c3 3abc n n i i Hng dn: t A= xi , B= yi Khi ab bc ca thỡ (a b c) a b c 2(ab bc ca ) Lp nhõn t Lagrange, vit phng trỡnh tỡm im dng tng quỏt Li cú a b c nờn a b c Suy c du bng xy Axi Byi ri phõn tớch thnh tng cỏc T ú a b3 c3 3abc (a b c)(a b c ab bc ca ) bỡnh phng Cho x, y tho iu kin x xy y Bi dng Tỡm giỏ tr nh nht ca: x xy y Cho cỏc s thc dng a,b,c tho a2 b2 c2 Chng minh rng 2(a 2b b c c a ) 15 3(a b c) 4(ab bc ca ) Cho a,b,c,d Chng minh rng a b c d 2abcd a 2b Hng dn: Thit lp hm Lagrange, gii h im dng ta c a b c Cho a, b, c tho a b c Tỡm Max ca P = (2a c)b (a c)(2c a)b Hng dn: xột riờng cỏc trng hp biờn, ri lp hm Lagrange cho trng sym Hng dn: Sau lp hm nhõn t Lagrange v a h im dng, dựng bi toỏn v bt ng thc Schur chng minh rng h cú nghim nht a b c d hoc a 0, b c d v cỏc hoỏn v, t ú i n kt qu hp tng quỏt ỏp s Max P= Cho a, b, c Chng minh: a b3 c3 3abc ab(a b) bc(b c) ca (c a ) Hng dn: Sau thit lp hm Lagrange, gii h im dng c a b c , sau ú xột trng hp biờn - 215 - Cho i 51 a 11 i i Tỡm giỏ tr ln nht ca P i - 216 - KT LUN Hng dn: Tng t bi Bi vit trỡnh by mt s k thut chng minh bt ng thc t c in n Cho i 51 Tỡm giỏ tr nh nht ca P i a 13 i i hin i, cỏc ý tng, vớ d v bi ó c sp xp mt cỏch cú h thng nhm giỳp cho i tng hc sinh cú iu kin ụn tp, nghiờn cu v phỏt trin Hng dn: Tng t bi 10 Cho a, b, c, d , e thc tho a b c d e Chng minh rng Do trỡnh cũn hn ch nờn bi vit khụng th trỏnh nhng sai sút v trỡnh by cng nh v chuyờn mụn Rt mong quý thy cụ v bn c ab bc cd de ea a b2 c d e2 úng gúp ý kin ti cú th tr thnh mt ti liu tham kho tt Ti liu: i Vừ Quc Bỏ Cn Trn Quc Anh S dng phng phỏp Xin chõn thnh cm n Cauchy-Schwarz chng minh bt ng thc ii Trn Phng Nhng viờn kim cng bt ng thc toỏn hc iii Diendantoanhoc.net - 217 - - 218 - BA PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC 5a + 5b + 5c + 5d = 8 ng thc xy a = b = c = d = (pcm) Vớ d (USA 2003) Cho a, b, c l cỏc s thc dng Chng minh rng Do ú f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) + f ( d ) TS Phm Th Bch Ngc Tp Toỏn hc v Tui tr I S dng tớnh cht tip tuyn ca hm s í tng chớnh ca phng phỏp l s dng cụng thc phng trỡnh tip tuyn ca mt th hm s tỡm mt biu thc trung gian cỏc ỏnh giỏ bt ng thc Tớnh cht Cho hm s f ( x ) xỏc nh, liờn tc v cú o hm trờn K Khi ú tip tuyn ti mt im x0 K cú phng trỡnh y = f ' ( x0 )( x x0 ) + f ( x0 ) thng nm trờn (hoc nm di) th hm s f trờn K, nờn ta cú f ( x ) f ' ( x0 )( x x0 ) + f ( x0 ) (hoc f ( x ) f ' ( x0 )( x x0 ) + f ( x0 ) ) vi mi x K T tớnh cht ny, ta thy vi mi x1 , x2 , , xn K ta cú f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) f ' ( x0 )( x1 + x2 + + xn nx0 ) + nf ( x0 ) (2a + b + c )2 2a + (b + c ) + (2b + c + a )2 2b + (c + a ) + (2c + a + b )2 2c + (a + b ) Li gii BT cú tớnh thun nht Khụng mt tng quỏt, ta cú th gi s rng a + b + c = Khi ú BT cn chng minh tr thnh 2 ( a + 1) + ( b + 1) + ( c + 1) vi a, b, c 0;1 ( ) 2 2a + (1 a ) 2b + (1 b ) 2c + (1 c ) ( x + 1) = x + x + , vi x 0;1 t f ( x ) = ( ) 3x x + x + (1 x ) Khi ú bt ng thc cn chng minh tr thnh f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) Ta d oỏn ng thc xy a = b = c = Phng trỡnh tip tuyn ca hoc f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) f ' ( x0 )( x1 + x2 + + xn nx0 ) + nf ( x0 ) Nh vy, nu mt bt ng thc cú dng tng hm nh v trỏi ca bt ng thc trờn, v cú gi thit x1 + x2 + + xn = nx0 vi ng thc xy tt c cỏc bin xi u bng v bng x0 , thỡ ta cú th hi vng chng minh nú bng phng phỏp tip tuyn Vớ d (FRANCE 2007) Cho a, b, c, d l cỏc s thc dng cho a + b + c + d = Chng minh rng ( a + b3 + c + d ) ( a + b2 + c + d ) + 16 16 12 x + l y = f ' x + = 3 3 Bng trc quan hỡnh hc ta thy th hm s y = f ( x ) nm di tip th hm s f ( x ) ti im M ; tuyn khong (0 ; 1) Gi ý ta chng minh BT 12 x + , x ( 0;1) x + x + 12 x + 36 x3 15 x x + ( 3x 1) ( 4x +1) 0, x (0;1) 3x x + f ( x) Bt ng thc cui cựng hin nhiờn l ỳng Li gii T gi thit suy a, b, c, d ( 0;1) t f ( x ) = x3 x , vi x ( 0;1) Suy f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) 12 ( a + b + c ) + 12 = (pcm) Vớ d (NHT BN 1997) Cho a, b, c l cỏc s thc dng Chng minh rng Khi ú bt ng thc tr thnh f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) + f ( d ) (b + c a ) (c + a b ) (a + b c) + + (b + c) + a (c + a ) + b (a + b) + c Ta d oỏn ng thc xy a = b = c = d = Vỡ vy ta tỡm phng 1 32 1 5x Phng trỡnh tip tuyn ú l y = f ' x + = 32 trỡnh tip tuyn ca th hm s f ( x ) ti im M ; Li gii BT cn chng minh cú tớnh thun nht, khụng mt tng quỏt, gi s a + b + c = Khi ú a,b,c( 0;3) v bt ng thc cn chng minh tr thnh Bng cỏch phỏc tho th hm s ta nhn thy tip tuyn ti M nm di th hm s y = f ( x ) khon (0 ; 1) nờn nh hng chng minh BT 5x 5x , x (0;1) x3 x 48 x3 x x + 8 ( x 1) ( x + 1) 0, x ( 0;1) f ( x) 2 ( 2a ) + ( 2b ) + ( 2c ) 2 ( a ) + a2 ( b ) + b2 ( c ) + c 1 + + 2a 6a + 2b 6b + 2c 6c + Hay f (a) + f (b) + f (c) vi f ( x ) = 2x 6x + Phng trỡnh tip tuyn ti im x = ca th hm s f ( x ) = x2 x + 2x + ( x 1) + = 25 25 2x + Ta s chng minh , x ( 0;3) 2x2 6x + 25 3 ( x + x + x ) 0, x ( 0;3) (hay mt biu thc) ú nhm n gin húa bi toỏn l y = f ' (1)( x 1) + f (1) = Vớ d ( thi i hc A nm 2009) Chng minh rng vi mi s thc dng x, y, z tho x ( x + y + z ) = yz , ta cú ( x + y) + (x + z) Theo BT AM GM thỡ x + x +1 x nờn bt ng thc trờn ỳng Do ú suy f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) 3 + ( x + y )( x + z )( y + z ) ( y + z ) Nhn xột Ta cú ( 2a + 3) + ( 2b + 3) + ( 2c + 3) = 25 Mt bt ng thc (hay mt biu thc) cú tớnh thun nht i vi cỏc bin a1 , a2 , , an , gii cú th t bin ph lm gim bin bt ng thc 2 x ( x + y + z ) = yz x + xy + xz = yz ( y + z ) = ( x + y ) + ( x + z ) ( x + y )( x + z ) Vớ d Cho a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc Chng minh rng x+ y x+z x + y x + z Bt ng thc cn chng minh tr thnh + + y+z y+z y + z y + z 1 1 + + + + + a b c a+b+c a+b b+c c+a x+ y x+z , ,b= y+z y+z Li gii Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a + b + c = Vỡ a, b, c l ba cnh ca mt t a = tam giỏc nờn a, b, c 0; Bi toỏn tr thnh: Cho cỏc s thc dng a, b, c tho a + b2 ab = Chng minh rng a + b3 + 3ab Bt ng thc cn chng minh tng ng vi + + f ( a ) + f (b ) + f ( c ) a a b b c c 5x Vi f ( x ) = = , x 0; x x x x2 Ta d oỏn ng thc xy a = b = c = Vỡ vy ta tỡm phng trỡnh tip tuyn ca th hm s f ( x ) ti im M ;3 l y = 18 x Li gii Ta cú a + b2 = + ab a + b 1+ a + b2 a + b 2 Mt khỏc 4ab ( a + b ) ( a + b ) a + b 2, ab Khi ú a + b3 + 3ab = ( a + b ) ( a + b ab ) + 3ab = a + b + 3ab (pcm) Vớ d ( thi i hc A nm 2013) Cho cỏc s thc dng a, b, c tha iu kin ( a + c )( b + c ) = 4c Tỡm giỏ tr Ta s chng minh nh nht ca biu thc P = 5x f ( x) = 18 x 3, x 0; ( x 1) ( x 1) 0, x 0; x x2 Bt ng thc ny ỳng vi x 0; Do ú f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) 18 ( a + b + c ) = (pcm) 32a 32b3 a + b2 + (b + 3c)3 (a + 3c)3 c Nhn xột Ta cú ( a + c )( b + c ) = 4c + + = c c a b ban u l a = b = c a b 32 32 2 c c a b Biu thc P = + + 3 c c b a + + c c II S dng tớnh thun nht t x = , y = Du bng xy a = b = c = , ú du bng xy ca bt ng thc Mt bt ng thc (ng thc hay biu thc) c gi l cú tớnh thun nht i vi cỏc bin a1 , a2 , , an nu thay a1 bi ka1 , a2 bi ka2 , , an bi kan thỡ bt ng thc (ng thc hay biu thc) ú khụng thay i, vi k l s thc tựy ý, khỏc a c b c Bi toỏn tr thnh: Cho cỏc s thc dng x, y, z tho xy + x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 32 x3 ( y + 3) + 32 y ( x + 3) x2 + y2 Li gii Ta cú Nhn xột Bin i bt ng thc cn chng minh 32 x3 x y 1 32 y 1 2 P= + + + + + x2 + y + x + y ( y + )3 2 ( x + )3 2 y+3 x+3 a2 bc a2 b2 +1+ bc ca = xy x y xy + t t = xy , t gi thit suy t + 2t t ( 0;1] a b 4t t 8t + = t 8t + ( t 8t + t + t 8t + ) < 0, t ( 0;1] f ( t ) f (1) = Du bng xy Vớ d Cho cỏc s thc a, b, c [1; 2] Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht a + 4ac + c b + 2bc 15c + a + 3a a2 + c2 bc 4c a b c = = x y z 2 iu phi chng minh f ( x, y ) , ú f ( x, y ) , g ( x, y ) l cỏc g ( x, y ) x biu thc ng cp thỡ ta cú th t x = ty ( y 0) hay t = a P v hm mt y Chỳ ý Khi gp cỏc biu thc cú dng P = bin t Bi toỏn tr thnh: Cho cỏc s thc dng x, y ; , z [1; 2] Chng minh rng P = x + x + y + y 15 + z + 3z x2 + y4 Vớ d Cho x, y tha x, y > 0; xy y Tỡm GTLN ca biu thc P= Li gii Kho sỏt ba hm s f ( x ) = MinP = x 2y ( thi H D nm 2013) 6( x + y ) x y 37 3 x = 1; y = 1; z = a = b = c = 2 81 x = y = 2, z = a = b = 2, c = 10 Li gii Do x, y > 0; xy y < Vớ d Cho cỏc s thc dng a, b, c Chng minh rng x+ y x xy + y y 1 1 1 = = y2 y y y x t +1 t t t = , suy < t Ta cú P = y t t + 6(t + 1) t +1 t 3t Xột hm s f (t ) = (0 < t ) ; f '(t ) = t t + 6(t + 1) (t t + 3)3 2(t + 1) x2 + 4x +1 y + y 15 , x ; ; g ( y ) = , y ; v x +1 y4 h ( z ) = z + z , z [1; 2] Suy MaxP = , ng thc xy (x + y + z) x2 y2 z2 + + = x + xz + yz y + yz + zx z + zy + xy x + xz + yz + y + yz + zx + z + zy + xy t x = , y = , z = a thỡ x, y ; v z[1; 2] c c b Ta cú a b a b + + + 15 c c c c Nhn xột P = + a + 3a b a +1 c c a c a a2 b2 c2 a b c ( a + b + c) + + ( x + y + z ) ( a + b + c ) + + y z x y z x+ y+ z x Vy giỏ tr nh nht ca biu thc P l , t a = b = c p dng BT v ch t = ca P = c2 a2 +1+ ab bc x2 y2 z2 + + x + xz + yz y + yz + zx z + zy + xy 2 ( t 16 ) + 447 b c + Bi toỏn tr thnh: Cho cỏc s thc dng x, y, z Chng minh rng t t 8t + = b2 c2 +1+ ca ab c2 ab t x = , y = , z = , Xột hm s f ( t ) = 3t t 8t + khong (0 ; 1] cú f ' ( t ) = + + b2 ca Vi < t a b c + + a + abc + b3 b3 + abc + c3 c + abc + a thỡ t t + = t (t 1) + < 3; t + > 3t (t t + 3)3 > 3t 1 > ; > 2 3 2(t + 1) 0; 7 Do ú P = f (t ) f = + Khi x = , y = thỡ P = + 30 30 Vy GTLN ca P l + 30 Li gii BT cn chng minh tng ng vi III Phng phỏp tham s hoỏ Khi gp cỏc hm s nhiu bin ta i kho sỏt hm s theo mt bin, cỏc bin cũn li xem nh l tham s Vic chng minh bt ng thc vi bin s mt on no ú, ta quy v chng minh mt bt ng thc n gin hn ng vi bin s nhn ti mt vi giỏ tr c th (thng l cỏc im nỳt ca on ú) Nhn xột Cho f ( x) = mx + n Khi ú ta cú 1) { f (a), f (b)} f ( x) max { f (a), f (b)} vi mi x[a ; b] 2) Nu f (a) 0; f (b) thỡ f ( x) vi mi x[a ; b] 3) Nu f (a) 0; f (b) thỡ f ( x) vi mi x[a ; b] Nhn xột Cho f ( x) = m x + nx + p (m 0) Khi ú f ( x) nhn giỏ tr ln nht, Nhn thy yz Suy f '(t ) > 1 > , tc l hm s f (t ) ng bin trờn giỏ tr nh nht ti x = a hoc x = b hoc x = T y + z = x suy yz(1 2x) + x(1 x) n 2m Nhn xột 1) Nu f ( x) l hm li trờn [a ; b] (tc l f(x) < trờn [a ; b]) thỡ f ( x) { f ( a ); f (b)} vi mi x[a ; b] 2) Nu f ( x) l hm lừm trờn [a ; b] (tc l f(x) > trờn [a ; b]) thỡ f ( x) max { f (a ); f (b)} vi mi x[a ; b] ( y + z) f (t ) = t (1 x) + x(1 x) 27 f (t ) max f (0); m f (0) = x(1 x) 2 (1 x) t yz = t, xột hm s = (1 x) Theo nhn xột thỡ trờn on 0; (1 x ) f 27 27 vi mi x thuc [0 ; 1] T ú suy pcm ng thc xy x = y = z = Vớ d 12 Cho cỏc s dng x, y, z tho iu kin x + y + z = Chng minh rng 4( x + y + z ) +15 xyz Li gii Ta cú ( ) 4( x + y + z ) +15 xyz 1= ( x + y ) 3xy ( x + y ) + z +15 xyz ( ) = (1 z ) 3xy(1 z ) + z +15 xyz 3 = xy( 27 z 12) + z + 4(1 z ) Vớ d 10 Cho x, y, z, t thuc [0 ; 1] Chng minh rng (1 x)(1 y) (1 z)(1 t) + x + y + z + t T gi thit suy xy Li gii Bin i BT cn chng minh thnh (1 x)(1 y) (1 z)(1 t) + x + y + z + t Coi v trỏi l a thc dng f (x) = mx + n Theo Nhn xột thỡ f ( x ) min{ f ( 0) ; f (1)} vi mi x[0;1] Ta cú f (1)= y + z +t ; f (0) = (1 y )(1 z )(1 t ) + y + z +t Xột hm g(y) : = f(0) thỡ g(y) {g(0) ; g(1)} vi mi y [0 ; 1] Ta cú g(1) = z + t ; g(0) = ( y)(1 z)(1 t) + z + t = zt Do ú g(y) vi mi y [0 ; 1] T ú suy f x) (pcm) ng thc xy chng hn ti x = ; y = z = Vớ d 11 Cho ba s dng x, y, z tho iu kin x + y + z = Chng minh rng xy + yz + zx xyz 27 x(y + z) + yz 2xyz x + y z f (t ) = t ( 27 z 12) + z + 4(1 z ) vi t 0; t xy = t, xột (1 z ) Ta cú f(0) = 3(2z 1)2 ; (1 z ) (1 z ) 3z = f ( 27 z 12) + 12 z+ 12 z = (3z 1)2 Vy f(t) vi 4 (1 z ) t 0; Suy BT cn chng minh ng thc xy v ch y=z= x = Vớ d 13 Cho cỏc s a, b, c khụng õm Chng minh rng a +b +c abc ma x{ a b ; ( 27 ) ( ) ( b c ; c a ) f(1) = (1 z)t2 + (z2 1)t + y + y2 z y2 yz2 t f(1) = g(t) cú g(t) = 2(1 z) (do z 1) nờn g(t) max {g(0) ; g(1)} Ta cú g(0) = y + y2 z y2 yz2 = y(1 z )(1 + z y) Li gii Do vai trũ a, b, c nh nhau, khụng gim tng quỏt gi s a b c Ta cn chng minh a +b +c abc t f ( x) = a+ x+c acx ( a c ( a c ) Khi ú ) 2 a 2c f ''( x) = > x5 a 5c5 y +1 z +1+ z y Do + z y > 0, z > nờn g(0) = nờn ) , 27 Vỡ vy g(t) nờn f(x) 27 Cho bn s thc khụng õm a, b, c, d tha iu kin a + b + c + d = Chng minh rng a2 + 2a + ( b + c ) Cho a, b, c b+c bc (b + c ) (b + c ) bc f (0) = + (1 b)(1 c )1= b + c +1 b + c +1 b+c 2 (b + c ) bc < b + c +1 Theo Tớnh cht thỡ VT ng thc xy a = b = c = + b2 + 2b + ( c + a ) + c2 + 2c + ( a + b ) (Trung Quc- 2006) a b c v a + b + c = Chng minh rng + + a + b + c + 10 Cho a, b, c, d > v a + b + c + d = Chng minh rng : 3 3 a b c d + + + a + b + c + d + 27 Cho a, b, c l cỏc s khụng õm tha a + b + c > Chng minh rng a2 Vớ d 15 Cho x, y, z, t thuc [0 ; 1] Chng minh rng 5a + ( b + c ) 27 + b2 5b + ( c + a ) + c2 5c + ( a + b ) Cho a, b, c l cỏc s khụng õm tha a + b + c > Chng minh rng a2 b2 c2 + + 2a + ( b + c )2 2b + ( c + a )2 2c + ( a + b )2 Li gii Gi s y = max{x, y, z, t} t v trỏi l f(x) Ta cú f ( x) = ( y t ) x + (t y ) x + y z + z 2t yt zt cú f(x) = 2(y t) nờn f(x) l hm lừm trờn [0 ; 1] Vy f(x) max {f(0) ,f(1)} Li cú f(0) = z( y t)(y + t z) ; Cho x, y, z l ba s thc thuc on [1; 4] v x y, x z Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 2y mt khỏc f (0) (do y 1) a b c d + + + + 3a + 3b + 3c + 3d 2 Cho a, b, c l cỏc s dng v a + b + c = Chng minh rng a +b+ c + (1 a )(1 b)(1 c) vi mi thuc [0 ; 1] b + c +1 x +b+ c f ( x) = + (1 x)(1 b)(1 c ) thỡ f(1) = b + c +1 x y + y z + z 2t + t x ( xy + yz + zt + tx ) (pcm) BI TP Suy pcm, Vớ d 14 Cho cỏc s a, b, c thuc [0 ; 1] Chng minh rng a b c + + + (1 a)(1 b)(1 c )1 b + c +1 c + a +1 a + b +1 Li gii Gi s a = max {a, b, c} Khi ú t 27 22z 27 Vỡ vy f(a) Tng t f(c) Do ú f(x) vi mi x thuc [a ; c] VT g(1) = (1 z) + (z2 1)+ y + y2 z y2 yz2 = (yz)(1 z)(1 y) a 2c f (a ) = a 2c + ac = a + c + c + a 2c + a 2c + a 2c + ac 3 ac + ac = ( f(x) lừm trờn [a ; c] Theo tớnh cht thỡ f(x) max {f(a) ; f(c)} x y z ( thi i hc A nm 2011) + + 2x + y y + z z + x : Cho x, y tha món: x + y = Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc: 27 10 x + xy ( thi H B -2008) + xy + y Cho s x, y, z tha x3 + y + z 3xyz = Tỡm GTNN ca biu thc P= P = x2 + y2 + z ( thi chn i tuyn d thi IMO ca Inụnờxia -2009) 10 Cho cỏc s thc dng a, b tha món: 2(a + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tỡm a b3 a b + + ( thi H B -2011) a b a b GTNN ca biu thc P = 11 Cho a, b, c l cỏc s dng tho iu kin a + b + c = Chng minh rng 7(ab + bc + ca) + 9abc 12 Cho a, b, c, d , e thuc [p ; q] vi q > p > Chng minh rng p 1 1 ( a + b + c + d + e) + + + + 25 + a b c d e q q p 13 Cho cỏc s x, y, z dng v tho diu kin x + y + z = Chng minh rng a) 9xyz + 4(xy + yz + zx) b) 5(x2 + y2 + z2) 6(x3 + y3 + z3) + 14 Cho n s thuc [0 ; 1] vi n Chng minh rng a1 a2 an + + + + (1 a1 )(1 a2 ) (1 an ) S a1 +1 S a2 +1 S an +1 vi S = a1 + a2 + + an 11 [...]... đẹp, sức mạnh, sự linh hoạt của bất đẳng thức AM-GM trong việc chứng minh bất đẳng thức Sau đây là một số bài tập để giúp các bạn củng cố kiến thức: 3 Bài tập tự giải BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI VÀ ỨNG DỤNG Đoàn Quốc Đạt – Ngô Hoàng Thanh Quang 1 Bất đẳng thức Minkowski 1.1 Bất đẳng thức Minkowski dạng 1 Bài 1 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  1 Chứng minh: 1.1.1 Định lí a b c    abc b... phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  2 Nhân vế theo vế (1) và (2) ta có Bất đẳng thức cuối là một kết quả của bất đẳng thức quen thuộc: x  y  z (1) 1 3 2 Ta cần chứng minh  a  b  c   1 a 1 1 1 1   1      ab  bc  ca      b c  ab bc ca  Nhưng thực chất đây chỉ là một hằng đẳng thức - 53 - - 54 - Kết thúc chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c Ta cần chứng. .. 1 1 1   Chứng minh rằng: a b c ab  bc  ca  Mặt khác, từ giả thiết x  y  z  xy  yz  zx ta có Kết thúc chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1  ab  bc  ca    Ta sẽ chứng minh  Đây chính là bất đẳng thức Schur Ví dụ 8 2 Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có 4 x3 y 3  3x3 y 3 z 3  9 (**)   3 Do đó ta cần chứng minh 4 x3  y 3  z 3 x y z  27 Do đó ta cần chứng minh - 39...  3 a 2 b2 b c c a a b c   a b c S  3 a3  Bất đẳng thức trên chứng minh - 27 - 3 Tìm min: 2 1 3 3 1 3 3 1  b  3  c  3 b3 c a - 28 - 1.2 Mở rộng 1 của bất đẳng thức Holder [ Bất đẳng thức Francis-Lithewood] BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER VÀ ỨNG DỤNG Đoàn Quốc Đạt – Ngô Hoàng Thanh Quang  a , a , , an  Cho 2 bộ số  1 2  b1 , b2 , , bn  1 Bất đẳng thức Holder  a1b1  a2b2   anbn  1.1 Dạng... dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có a a  b 2 4a  b  c 2  ab  b 2  3 2 2 a 2   ab Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: Ta cần chứng minh 4a  b  c 2 2 a   ab 2   4a 12  ab  bc  ca  a  b  c 4  Và theo bất đẳng thức AM-GM:  3   ab  2 a 2   ab 9 a 2  b2  c2  3 2 2 2 2a  b  c  2  Từ hai bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức. ..  bi   i 1   i 1  j 1 1 p p Trong thế giới bất đẳng thức, các bất đẳng thức có chứa căn thức hoặc các lũy thừa không có cách giải quyết vấn đề này; một trong những cách xử lí tốt đó chính là sử dụng bất đẳng thức Holder: - 29 - - 30 - việc sử dụng bất đẳng thức Holder nếu như thay đại lượng nhân thêm  c  b  a  Để hiểu rõ hơn về bất đẳng thức này, chúng ta sẽ đến với ví dụ sau: 2 2 2 bằng... thường: Bất đẳng thức cuối đúng theo bất đẳng thức Schur và AM-GM Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  3 Chứng minh: Ví dụ 5 Kết thúc chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 hoặc a  3; b  c  0 và a b c    3 1  b  bc 1  c  ca 1  a  ab các hoán vị Tuy nhiên, việc biến đổi từ (**) về bất đẳng thức cuối là một bước tốn khá nhiều Phân tích và định hướng lời giải thời gian và chỉ cần một. .. Vậy P  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  2, b  1, c  0 và các hoán vị 4 (1) Giả sử b là số nằm giữa 2 số a, c Ta có: Nhận xét: Trong bài toán trên, nếu ta áp dụng 3 lần bất đẳng thức (*) cho 3 biến  a  b  ,  b  c  ,  c  a  thì bất đẳng thức sẽ rơi vào ngõ cụt, không thể đi tiếp Đến lúc a  b  a  b  c   0  ab 2  a 2 c  a 2b  abc dẫn đến bất đẳng thức (1) là bất đẳng thức một biến... abc   - 23 - - 24 - 1.2 Bất đẳng thức Minkowski dạng 2: HD: Đưa bất đẳng thức (1) về dạng: 1.2.1 Định lí 3  a1 , a2 , , an     b , b , , bn  Cho  1 2 khi đó ta có bất đẳng thức  l , l , , l   n 1 2 a 3b 1 1   3 1  1 a  b     b a a b Sử dụng bất đẳng thức Minkowski loại 2 ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a 2  b  c ... bất đẳng thức đồng bậc ngược chiều đã được giới thiệu qua các ví dụ 8, 9 Sự kết hợp giữa bất đẳng thức AM-GM và các bất đẳng thức khác được giới thiệu trong các ví dụ 11, 12, 13 Cuối cùng, phương pháp cân bằng hệ số hay dấu - 22 - bằng không đối xứng trong bất đẳng thức AM-GM đã được đề cập trong hai ví dụ 14, 15 Qua các ví dụ trên phần nào cho chúng ta thấy vẻ đẹp, sức mạnh, sự linh hoạt của bất đẳng