SKKN Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc Phần A: đặt vấn đề I. lí do: Mục tiêu giáo dục hiện nay là nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày một nâng cao. Muốn đáp ứng được yêu cầu đó thì nhiệm vụ của giáo viên và học sinh là: Phải dạy và học thế nào để đạt hiệu quả cao nhất. Cùng với các môn học khác, môn toán là môn học giữ vai trò rất quan trọng. Thông qua môn toán học sinh nắm vững kiến thức toán học, từ đó có cư sở thuận lợi để học các môn học khác, cũng như ứng dụng các kiến thức đ• học vào thực tiễn. Dạy toán tức là dạy phưưng pháp suy luận. Học toán là rèn luyện khả năng tư duy logic. Giải toán là hoạt động hấp dẫn và bổ ích. Nó giúp các em nắm vững thêm kiến thức, phát triển từng bước năng lực tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo. Đối với học sinh bậc trung học cư sở hiện nay thì nhiều phần trong môn đại số là rất khó. Một trong các phần đó là phần bất đẳng thức. Các bài toán về bất đẳng thức thường khó nhưng lại hay, loại toán này rất đa dạng và phong phú, có nhiều ứng dụng, đặc biệt rèn luyện tốt tư duy sáng tạo, kĩ năng suy luận. Để giải tốt loại toán này cần vận dụng rất nhiều kiến thức một cách linh hoạt. Trong sách giáo khoa không đề cập nhiều đến dạng toán này, tuy nhiên trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào trung học phổ thông thì lại thường xuyên có loại toán này. Bên cạnh đó nếu học tốt các bất đẳng thức sẽ giúp học sinh học tốt hưn các phần khác. Qua tìm hiểu thực tế tôi thấy học sinh rất “sợ” dạng bài chứng minh bất đẳng thức. Trước thực trạng như vậy chúng ta không khỏi băn khoăn, trăn trở phải làm thế nào để tháo gỡ giúp các em bớt đi khó khăn khi gặp các bài toán về bất đẳng thức. Trong phạm vi nhỏ hẹp này tôi xin được trình bày một số ý kiến nhỏ mà qua thực tế giảng dạy tôi thấy đ• làm giảm bớt khó khăn cho học sinh khi giải các bài toán về bất đẳng thức, làm cho các em say mê, hứng thú học toán hưn. II. Cơ sở lí luận và thực tiễn: Bất đẳng thức là một vấn đề lớn trong chưưng trình toán phổ thông. Vấn đề này được đưa vào một cách xuyên suốt từ lớp một trở lên. Nhưng ở các lớp dưới bất đẳng thức chưa được trình bày một cách cụ thể mà thường được thể hiện dưới dạng “ẩn”. Cụ thể là: - ở lớp một, lớp hai, lớp ba thể hiện dưới dạng bài tập : Điền dấu < , > , = thích hợp vào ô trống: 4 2 . . . - ở lớp bốn, lớp năm còn có thêm dạng: tìm số tự nhiên x biết rằng: 34 < x < 38 Trang 1 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức - lp sỏu, lp by bt ng thc th hin di dng: so sỏnh lu tha, so sỏnh phõn s, so sỏnh hai s hu t. Trong hỡnh hc 7 thỡ cú bt ng thc tam giỏc. - n lp tỏm, SGK mi chớnh thc dnh riờng mt mc trỡnh by nh ngha v mt vi tớnh cht ca bt ng thc, thng ch dng n gin ngn gn. Cng t ú lng bi tp v bt ng thc cng nhiu v khú hn, chng hn: chng minh biu thc luụn dng hay luụn õm, tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca mt biu thc . . . Do va mi c lm quen v cha i sõu nghiờn cu v nú, SGK cng khụng nờu ra cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc nờn khi gii bi tp hc sinh thng mc sai lm v nhiu khi khụng bit bt u t õu. Vỡ th, hc sinh rt s cỏc bi tp chng minh bt ng thc. Do ú giỏo viờn v hc sinh rt vt v trong vic nghiờn cu, su tm v tuyn chn cỏc bi tp ca dng toỏn ny. Trong nhng nm trc khi dy ụn thi, bi dng HSG thỡ phn bt ng thc tụi ch hng dn cỏc em qua cỏc bi tp c th m khụng tng hp, phõn dng cho cỏc em. Vi cỏch lm nh vy, tụi thy khi phi lm cỏc bi tp khỏc tng t cỏc em rt lỳng tỳng khi tỡm li gii, mc dự vn cú mt s em lm c. Vi mong mun khc phc tỡnh trng ny mt trong nhng bin phỏp tụi th nghim thy hiu qu hn ú l: a ra phng phỏp gii ri ỏp dng. Cỏch lm ú to cho cỏc em hiu v ghi nh cú h thng, t ú s d dng hn khi gii bi tp v bt ng thc. III . i tng, phng phỏp ngnhim v 1. i tng v phng phỏp nghiờn cu *i tng nghiờn cu : hc sinh THCS *Phng phỏp nghiờn cu : + iu tra, thc nghim, kho sỏt kt qu hc tp ca hc sinh. + Thc nghim ging dy bi dng hc sinh gii lp 8, 9. + Trao i trong cỏc nhúm chuyờn mụn. + iu tra, ỏnh giỏ kt qu ca hc sinh sau khi thc nghim ti. 2. Nhim v ca ti - a ra nhng kin thc c bn nht v bt ng thc. - xut mt s phng phỏp chng minh bt ng thc. - Rốn cho hc sinh k nng phõn tớch tỡm li gii bi toỏn chng minh bt ng thc. - Rốn cho hc sinh bit la chn phng phỏp gii hp lớ cho mi bi toỏn. Mun vy phi rốn kh nng phõn tớch, xem xột bi toỏn di nhiu gúc khỏc nhau, cng nh tớnh c thự ca mi bi toỏn, t ú m la chn cỏch gii phự hp. Nú giỳp phỏt huy kh nng t duy sỏng to, linh hot, to c lũng say mờ, t tin v khụng ngi ngựng khi gp bi ton v bt ng thc. Trang 2 mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc IV.nội dung đề tài I : Các kiến thức cần nắm vững. II : Một số phưưng pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức. III : Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng. IV : Phần B: nội dung i: các kiến thức cần nắm vững 1-Định nghĩa: Hai số a và b bất kỳ: a > b a - b > 0 a < b a - b < 0 Chú ý: với dấu “ ” cũng tưưng tự. 2 . Tính chất: 2.1 a > b b < a 2.2 nếu a > b và b > c thì a > c 2.3 nếu a > b, c bất kỳ thì a + c > b + c 3. Hệ quả: a + c > b + c a > b a + c > b a > b - c a > b; c > 0 ac > bc a > b; c < 0 ac < bc 4. Một số kiến thức bổ sung : 4.1 a > b; c > d a + c > b + d 4.2 a > b; c < d a – c > b - d 4.3 a > b 0; c > d 0 ac > bd 4.4 Nếu a > b và a.b > 0 thì 4.5 a > b > 0 a n > b n ( n N*) 4.6 a > b a n > b n (n N*, n lẻ ) an > bn (n N*, n chẵn ) 4.7 So sánh hai lũy thừa cùng cư số m > n, m; n N* Nếu a > 1 thì am > an Trang 3 mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc Nếu a = 1 thì am = an Nếu 0 < a < 1 thì am < an 4.8 a2 0 a ;- a2 0 a dấu “ = “ xảy ra a = 0 4.9 dấu “ = “ xảy ra a = 0 4.10 - dấu “ = “ xảy ra a = 0 4.11 dấu “=”xảy ra ab 0 dấu “=” xảy ra ab 0 và 4.12 a2 +b2 2ab a ,b 4.13 4.16 2(a2+b2) (a+b)2 a,b 4.17 3(a2+b2+c2) (a+b+c)2 4.18 (Bất đẳng thức Côsi) Đối với hai số không âm: Dấu”=” xảy ra Mở rộng đối với n số không âm : . Dấu “=’ xảy ra 4.19 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Đối với bốn số bất kì: Mở rộng đối với 2n số bất kì : Dấu “=” xảy ra II: một số phưưng pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng Trong kinh nghiệm này tôi chỉ đưa ra cách chứng minh bất đẳng thức dạng A > B, các bất đẳng thức dạng khác cũng chứng minh tưưng tự 1. Dùng định nghĩa. Để chứng minh A > B ta xét hiệu A- B và chứng minh A- B > 0 *Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 4ab với mọi a, b R Hướng dẫn: Xét hiệu: (a + b)2- 4ab = a2 + 2ab + b2 - 4ab = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 Vì (a – b)2 0 với mọi a, b R nên (a + b)2 4ab với mọi a, b R Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b Trang 4 mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc Vậy (a + b)2 4ab với mọi a, b R *Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi a, b ta có : Hướng dẫn: Xét hiệu : a4 +b4 – a3b - ab3 = a3 (a-b) - b3( a-b) = (a-b) (a3- b3) = (a –b)2(a2 +b2 +ab) = (a-b)2 Dấu “=” xảy ra khi a = b. Vậy a4 + b4 a3b + ab3 2. Dùng các phép biến đổi tưưng đưưng Muốn chứng minh A > B ta biến đổi A > B (1) A > B … A > B (2) Trong đó (1) là bất đẳng thức cần chứng minh. (2) là bất đẳng thức đ• có (đề bài cho hoặc là hằng bất đẳng thức). *Ví dụ 3: Cho các số dưưng a và b thỏa m•n điều kiện: a + b = 1. Chứng minh rằng: Hướng dẫn: ab +a+b+1 9ab (vì ab > 0) a+b+1 8ab 2 8ab (vì a + b =1) 1 4ab (a+b)2 4ab (vì a + b =1) (a-b)2 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi là tưưng đưưng . Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. *Ví dụ 4: Cho các số a, b > 0 chứng minh rằng: (1) Hướng dẫn: Do a > 0; b > 0 nên ta có thể chia hai vế của bất đẳng thức cho (1) ( Do ) (2) Trang 5 mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc Ta thấy (2) đúng với mọi a, b > 0. Do đó (1) đúng Dấu “=” xảy ra a = b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. *Ví dụ 5: Cho các số a, b > 0. Chứng minh rằng: (1) Hướng dẫn: Vì a > 0; b > 0 Cả hai vế của (1) không âm, bình phưưng hai vế ta được Ta thấy (2) đúng nên (1) đúng Chứng tỏ a > 0; b > 0 thì Dấu “=” xảy ra a = b 3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức - Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi dữ kiện đề bài cho thành điều phải chứng minh. - Sử dụng tính chất bắc cầu Để chứng minh A > B ta chứng minh A > C > D > … > M > B. Từ đó suy ra A > B. Chú ý: Một số bước trung gian có thể xảy ra dấu “=” hoặc *Ví dụ 6: Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 Hướng dẫn Từ các bất đẳng thức: a2 – 2ab +b2 với mọi a, b (1) a2 – 2ac +c2 với mọi a, c (1) b2 – 2bc +c2 với mọi b, c (3) Do a + b + c = 1 (4) Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4) ta được *Ví dụ 7 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng Hướng dẫn: Vì a > 0 , b > 0 nên Với hai số dưưng a, b và hai số dưưng ta có: (Theo Côsi) Vì các vế của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dưưng, nhân từng vế ta được: = 4 Trang 6 mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b Vậy với a, b > 0 thì *Ví dụ 8: Cho 0 < a, b, c, d < 1. Chứng minh rằng: (1- a).(1- b).(1- c).(1- d) >1- a- b- c- d (1) Hướng dẫn: Ta có (1- a)(1- b) = 1- a - b + ab Do a > 0; b > 0 nên ab > 0 từ đó suy ra: (1 - a)(1 - b)>1- a - b (1) Do c <1 nên 1- c > 0 nhân cả hai vế của (1) với 1- c ta được : (1- a)(1- b)(1- c) >(1- a- b)(1- c)=1- a - b - c + ac + bc Do a, b, c > 0 nên ac + bc > 0 vì vậy 1- a- b - c + ac + bc > 1- a- b- c Do đó (1- a)(1- b)(1- c) > 1- a- b - c (2) Nhân hai vế của (2) với 1- d > 0 ta được : (1- a)(1- b)(1- c)(1- d) > (1- a- b - c)(1- d) Mà 1- a- b- c- d + ad + bd + cd > 1-a-b-c-d (vì ad + bd + cd > 0) Vậy (1- a)(1- b)(1- c)(1- d) >1- a - b - c - d *Ví dụ 9: Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) với mọi a, b, c Hướng dẫn áp dụng ví dụ 1 Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. *Ví dụ 10: Chứng minh bất đẳng thức: <1 Hướng dẫn Ta có: suy ra 4. Sử dụng một số bất đẳng thứcđ• biết Xuất phát từ các bất đẳng thức đ• biết như bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacôpxki, … để chứng minh bất đẳng thức đ• cho. Trang 7 mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức đ• cho cần xét đến điều kiện. * Ví dụ 12: Cho a, b là 2 số dưưng. Chứng minh (a + b) .(ab + 1) ³ 4ab. * Hướng dẫn: Vì a > 0, b > 0 ị ab > 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 cặp số dưưng (a, b) và (ab;1) ta có: Vì 2 của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dưưng nên ta có Vậy (a + b) . (ab + 1) ³ 4ab Dấu "=" xảy ra khi * Ví dụ 13: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki chứng minh: a - Cho x, y ẻ R thoả m•n x2 + y2 = 1. Chứng minh: b- Cho x, y ẻ R thoả m•n x + 2y = 2. Chứng minh: Hướng dẫn: a) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: (x + y)2 = (1 . x + 1 . y)2 Ê (12 + 12) . (x2 + y2) Û (x + y) 2Ê 2(x2 + y2) Û (x + y)2Ê 2 ( Vì x2 + y2 = 1) Đó là điều phải chứng minh: b) Từ đầu bài x + 2y = 2 suy ra (x + 2y)2 = 4 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: 4 = (x + 2y)2 = (1x + 2y)2 Ê (12 + 22)(x2 + y2) = 5(x2 + y2) Vậy (Điều phải chứng minh) Đẳng thức xảy ra khi * Ví dụ 14: Chứng minh: Với a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC; p = (a + b + c) / 2. Hướng dẫn: Do P là nửa chu vi của tam giác ABC nên. p – a > 0; p - b > 0; p - c > 0 áp dụng bất đẳng thức ta có: Trang 8 mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có: Vậy Đó là điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 5. Dùng phản chứng: Muốn chứng minh A > B (1) Ta giả sử A B, từ đó ta chỉ ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc một tính chất đúng nào đó. Do đó điều giả sử trên là sai. Vậy bất đẳng thức (1) đúng. *Ví dụ 15: Cho x2 + y2 Ê 2. Chứng minh rằng: x + y Ê 2 Hướng dẫn: Giả sử x + y > 2 ị x2 + y2 + 2xy > 4 Mà x2 + y2 ³ 2xy ị 2(x2 + y2) ³ x2 + y2 + 2xy > 4 ị x2 + y2 > 2 (mâu thuẫn với giả thiết). Vậy giả sử trên là sai. Do đó nếu x2 + y2 Ê 2 thì x + y Ê 2. 6. Dùng bất đẳng thức trong tam giác. Tam giác ABC bất kỳ luôn có BC – AC < AB < BC + AC *Ví dụ 16: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng: a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 (a + b) Ê a3 + b3 + c3 + 3abc. Hướng dẫn: Vì a, b, c có vai trò như nhau, không giảm tính tổng quát. Giả sử: a ³ b ³ c > 0 Xét hiệu 3abc + a3 + b3 + c3 - a2 (b + c) - a2(b + c) - b2(c + a) - c2(a + b) = 3abc + a3 + b3 + c3 - a2b - a2c - b2c - b2a - c2a - c2b = a2(a - b) + b2(b - a) + c(2ab + a2 - b2) + c (c2 - bc + ab - ac) = (a - b) (a2 + b2) - c(a - b)2 + c(c - a)(c - b) = (a - b)2(a + b - c) + c(b - c)(a - c) ³ 0 (Vì: a ³ b; a + b > c; a ³ c; b ³ c; c > 0) Vậy bất đẳng thức đ• cho đ• được chứng minh. Trang 9 mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. *Ví dụ 17: Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 + 2abc < a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b) (1) Hướng dẫn: Ta có: (1) Û [a3 - a2 (b + c)] + [b3 + c3 - b2c - c2b] + [2abc - b2a - c2a] < 0 Û a2 (a - b - c) + (b - c) (b2 - c2) - a(b - c)2 < 0 Û a2 (a - b - c) + (b - c)2 (b + c - a) < 0 Û (a - b - c) [a2 - (b - c)2] < 0 Û (a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) < 0 (2) Vì b + c > a ; a + b > c ; a + c > b nên (2) đúng. Vậy chứng tỏ (1) đúng (Điều phải chứng minh) 7. Phưưng pháp quy nạp áp dụng với các bài tập tổng quát Ta thử vào bất đẳng thức với giá trị nhỏ nhất theo dữ kiện của bài. Giả sử bất đẳng thức đúng với k. Chứng minh bất đẳng thức đúng với k + 1. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. *Ví dụ 18: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dưưng n > 1. Ta đều có: Hướng dẫn: Đặt: Xét n = 2 ta có: Bất đẳng thức đúng khi n = 2 Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 2 Nghĩa là: Ta đi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 Thật vậy với n = k + 1 ta có: Trang 10 [...].. .một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Do ú Vy bt ng thc c chng minh *Vớ d 19: Chng minh rng: 2n > n2 (1) ("n N, n 5) Hng dn: + Vi n = 5 bt ng thc (1) ỳng vỡ 25 > 52 + Gi s bi toỏn ỳng vi n = k; k 5 Tc l ta cú: 2k > k2 Ta phi i chng minh: 2k+1> (k+1)2 Tht vy: Ta cú 2k > k2 2k+1 > 2k2 (2) Ta i chng minh: 2k2 > (k+1)2 Xột hiu: 2k2 - (k+1)2 = k2 -... Sau ú chng minh bt ng thc theo bin mi l ỳng Kt lun bt ng thc cho l ỳng *Vớ d 21: Cho a + b + c = 1 Chng minh rng a 2 + b2 + c2 Hng dn: Trang 11 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức t a = +x, b = +y, c = +z Vỡ a + b + c = 1 nờn x + y + z = 0 a 2+ b2+c2= ( +x)2+( +y)2+( +z)2 Du ''='' x = y = z = 0 +Ta cng cú bi tỏn tng quỏt Cho Nhn xột chung: Trờn õy l mt s phng phỏp ph bin dựng chng minh bt ng... ha, bb, hc l 3 chiu cao ca tam giỏc k t A, B, C Chng minh rng: Hng dn: K AH ^ BC, A'K ^ AB AH = ha, A'K = a1 Trong D AA'B cú BA' ha = c.a1 = 2SAA'B Do AA' l phõn giỏc ca ABC nờn ta cú: Trang 17 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Tng t: Nh vy: Cỏc bi tp t luyn tp: Bi s 1: Chng minh rng: Bi s 2: Gi a, b, c l di 3 cnh ca mt tam giỏc Chng minh: a) abc (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b) b) a(b... s 7: Chng t Bi s 8: Chng minh rng vi mi m, n khụng õm ta luụn cú mn.( m + n) m3 + n3 Bi s 9: Cho hai s dng a v b Chng minh rng a4 + b4 ab.(a2 + b2) Bi s 10: Cho tam giỏc ABC, O l im tu ý trong tam giỏc Cỏc tia AO, BO, CO ct cỏc cnh tam giỏc ABC th t A', B', C' Tỡm v trớ O : iv kt qu thc hin: Trang 18 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Khi ging dy mt s phng phỏp chng minh bt ng thc, tụi thy khi... ú l iu phi chng minh Nhn xột: - Nhỡn vo bi toỏn hc sinh tng rng rt khú v rt phc tp Nhng ch cn nhỡn nhn rng vai trũ ca x, y, z l i xng thỡ mu cht ca bi toỏn c thỏo g - i n ỏp dng bt ng thc Bunhiacụpxki Hc sinh phi phõn tớch v tỡm c hai dy s x - y; y - z v 1; 1 thỡ mi ỏp dng v i n kt qu c Bi s 6: Cho 3 s dng a, b, c Hy chng minh Hng dn: Trang 15 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Nhỡn vo bi... phng phỏp dựng nh ngha: Hng dn: Xột hiu Trang 12 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức (Vỡ: ab > 0; bc > 0; ac > 0) do a, b, c > 0 T ú suy ra Du ng thc xy ra khi A = 0 a-b=b-c=a-c=0 a=b=c Phng phỏp ny n gin nhng ch ỏp dng c vi cỏc bi toỏn d + Cỏch 2 : La chn phng phỏp bt ng thc Cụsi, kt hp vi tớnh cht ca bt ng thc Hng dn: õy bt ng thc cn chng minh l tớch ca hai tng khụng õm vỡ a, b, c > 0 Do... (a + b) > c (a + b) c > c2 (1) (a + c) > b (a + c) b > b2 (2) (b + c) > a (b + c) a > a2 (3) Cng t v ca (1); (2); (3) ta cú: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) iu phi chng minh Bi s 3: Trang 13 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Cho hm s f(x) = (x + 3) (5 - x) vi -3 ấ x ấ 5 Xỏc nh x sao cho f(x) t giỏ tr ln nht * S dng bt ng thc Cụsi Chỳ ý: 1 Tng ca hai s khụng õm m khụng i thỡ tớch hai s ln... din tớch ca tam giỏc Hy chng minh a2 + b2 + c2 + 2abc Hng dn: Bi toỏn t ra l tam giỏc ABC cú chu vi bng 2 ngha l a + b + c = 2 Suy ra: Max (a; b; c) < 1 Suy ra 1 - a > 0; 1 - b > 0; 1 - c > 0 n õy ta cú th ỏp dng bt ng thc Cụsi cho 3 s dng 1 - a; 1 - b; 1 - c M: a + b + c = 2 Trong bt ng thc (1) thỡ du bng xy ra khi a = b = c = Trang 14 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Ta cú: (1 - a)(1 - b)(1... bi toỏn chng minh bt ng thc v mt s dng toỏn cú liờn quan Vỡ dng toỏn ny c ỏnh giỏ l khú do ú khi hng dn hc sinh giỏo viờn cng cn chỳ ý iu ny hiu qu ca ti cng nh vic ging dy c cao hn Mc dự bn thõn cú nhiu c gng song khụng th trỏnh khi nhng thiu sút Rt mong nhn c s úng gúp ý kin xõy dng ca ng nghip ti c hon thin Tụi xin chõn thnh cm n! Trang 19 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Trang 20... 0 (2) Xy ra du "=" x = y = z = 0 Vy x = y = z = 0 l nghim ca phng trỡnh Bi s 9: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A = x - 2006+x - 2007 Hng dn: ỏp dng bt ng thc a + b a + b Trang 16 một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Ta cú:A = x - 2006 + x - 2007 = x - 2006 + 2007 - x x - 2006 + 2007 - x = 1 A1 Du "=" xy ra (x - 2006)(2007 - x) 0 2006 ấ x ấ 2007 Vy Min A = 1 2006 ấ x ấ 2007 Bi s 10: Cho . suy ra 4. Sử dụng một số bất đẳng thức • biết Xuất phát từ các bất đẳng thức đ• biết như bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacôpxki, … để chứng minh bất đẳng thức đ• cho. Trang 7 mét. 2n số bất kì : Dấu “=” xảy ra II: một số phưưng pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng Trong kinh nghiệm này tôi chỉ đưa ra cách chứng minh bất đẳng thức dạng A > B, các bất đẳng thức. ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc IV.nội dung đề tài I : Các kiến thức cần nắm vững. II : Một số phưưng pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức. III : Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và