SKKN một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

A: Đặt vấn đề Toán học môn khoa học tự nhiên , toán học có vai trò quan trọng lình vực khoa học , toán học nghiên cứu nhiều đa dạng phong phú , toán bất đẳng thức toán khó , để giải đợc toán bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng thức, phải nắm đợc phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phơng pháp để chứng minh bất đẳng ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Mỗi toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác , có phải phối hợp nhiều phơng pháp cách hợp lí Bài toán chứng minh bất đẳng thức đợc vận dụng nhiều vào dạng toán giải biện luận phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đặc biệt , tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức đợc sử dụng nhiều ôn tập , ôn thi ngoại khoá Vì học sinh cần thiết phải nắm đợc kiến thức bất đẳng thức Trong thực tế giảng dạy trờng THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán liên quan bất đẳng thức , toán chứng minh bất đẳng thức thờng cách giải mẫu , không theo phơng pháp định nên học sinh không xác định đợc hớng giải toán Mặt khác nhận thức học sinh THCS có nhiều hạn chế khả t cha tốt học sinh lúng túng nhiều vận dụng kiến thức vào giải dạng tập khác Trong nội dung đề tài xin đợc tập trung giới thiệu số phơng pháp hay đợc sử dụng chứng minh bất đẳng thức nh : dùng định nghĩa , biến đổi tơng đơng , dùng bất đẳng thức đà biết , phơng pháp phản chøng vµ mét sè bµi tËp vËn dơng , nh»m giúp học sinh bớt lúng túng gặp toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh hứng thú học bất đẳng thức nói riêng môn Toán nói chung Qua đề tài ((một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức )) muốn giúp học học sinh có thêm số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức lý chọn đè tài , nghiên cứu không tránh khỏi hạn chế mong đợc góp ý thày cô giáo để đề tài đợc hoàn thiện , xin chân thành cảm ơn B giải vấn đề phần I: điều trathực trạng trớc nghiên cứu Khigiảng dạy lớp gặp số tập bất đẳng thức thấy học sinh nhiều lúng túng việc làm tập ,hay định hớng cách làm ,đặc biệt học sinh học mức độ trung bình Thực việc kiểm tra vài tập nội dung đề tài thấy Số lượng học sinh Điểm giỏi Điểm Điểm trung bìnhĐiểm yếu Điểm kém30056136 Trớc vấn đề thấy việc cần thiết phải hớng dẫn học sinh số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức việc cần thiết cho học sinh , để giúp học sinh có thêm kiến thức bất đẳng thức , taođiều kiện cho học sinh làm tập bất đẳng thức Phần II: phơng pháp nghiên cứu Phơng pháp điều tra Phơng pháp đối chứng Phơng pháp nghiên cứu tài liệu Phần III: nội dung đề tài i : Các kiến thức cần lu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thøc + a nhá h¬n b , kÝ hiƯu a < b + a lín h¬n b , kÝ hiƯu a > b , + a nhỏ b , kÝ hiƯu a < b, + a lín b , kí hiệu a > b , 2, Một số tính chất bất d¼ng thøc : a, TÝnh chÊt 1: a > b b < a b, TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c c, TÝnh chÊt 3: a > b a + c > b + c HƯ qu¶ : a > b a - c > b - c a + c > b a > b - c d, TÝnh chÊt : a > c vµ b > d => a + c > b + d a > b vµ c < d => a - c > b - d e, TÝnh chÊt 5 : a > b vµ c > 0 => ac > bd a > b vµ c < 0 => ac < bd f, TÝnh chÊt : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd g, TÝnh chÊt : a > b > 0 => an > bn a > b an > bn víi n lỴ h, TÝnh chÊt : a > b ; ab > 0 => 3, Một số bất đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : Với số dơng a , b ta cã : a+b ≥ ab DÊu đẳng thức xảy : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với số a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu đẳng thøc x¶y a b = x y c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : a + b a +b Dấu đẳng thức xảy : ab 0 II : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp : Dùng định nghĩa - Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xÐt hiÖu A - B råi chøng minh A - B > 0 - Lu ý : A2 ≥ 0 víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y A = 0 - VÝ dơ : Bµi 1.1 : Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) Gi¶i : Ta xÐt hiƯu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 ≥ 0 víi mäi x (y - 1)2 ≥ 0 víi mäi y (z - 1)2 ≥ 0 víi mäi z => H ≥ 0 víi mäi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) víi mäi x, y, z DÊu b»ng x¶y x = y = z = Bµi 1.2 : Cho a, b, c, d, e lµ c¸c sè thùc : Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) Gi¶i : XÐt hiƯu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) a a a a = ( − b )2 + ( − c )2 + ( − d )2 + ( − e )2 a Do ( − b )2 ≥ 0 víi mäi a, b a Do( − c )2 ≥ 0 víi mäi a, c a Do ( − d )2 ≥ 0 víi mäi a, d a Do ( − e )2 ≥ 0 víi mäi a, e => H ≥ 0 víi mäi a, b, c, d, e DÊu '' = '' x¶y b = c = d = e = Bµi 1.3 : Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : a2 + b2  a + b  ≥    10 a Gi¶i : XÐt hiƯu : H = = = a2 + b2  a + b  −    2(a + b ) − (a + 2ab + b ) 1 (2a + 2b − a − b − 2ab) = (a − b) ≥ 4 Víi mäi a, b DÊu '' = '' x¶y a = b Phơng pháp ; Dùng phép biến ®ỉi t¬ng ®¬ng - KiÕn thøc : BiÕn ®ỉi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh - Một số bất đẳng thức thêng dïng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 …………………………… VÝ dơ : Bµi : Cho a, b lµ hai sè d¬ng cã tỉng b»ng Chøng minh r»ng : Gi¶i: 1 + ≥ a +1 b +1 Dùng phép biến đổi tơng đơng ; 3(a + + b + 1) ≥ 4(a + 1) (b + 1)  ≥ 4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1)  ≥ 4ab +  ≥ 4ab (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh Bài 2: Cho a, b, c số dơng tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a) ≥ a3b3c3 Gi¶i: Tõ : (a + b)2 ≥ 4ab , (a + b + c)2 = [ (a + b) + c] ≥ 4(a + b)c => 16 ≥ 4(a + b)c => 16(a + b) ≥ 4(a + b)2c ≥ 16 abc => a + b ≥ abc T¬ng tù : b + c ≥ abc c + a ≥ abc 11 => (a + b)(b + c)(c + a) ≥ a3b3c3 Bµi 2.3 : Chøng minh bất đẳng thức : a + b3 a + b  ≥    ; ®ã a > 0 ; b > 0 Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : Víi a > 0 ; b > 0 => a + b > 0 a + b3  a + b  ≥     a+b  a + b   a + b 2  .( a − ab + b ) ≥            a - ab + b ≥ 2 a +b       4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2  3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 3(a2 - 2ab + b2) ≥ 0 Bất đẳng thức cuối ; suy : a + b3  a + b  ≥    Bµi 2.4: Cho sè a, b tho¶ m·n a + b = CMR a3 + b3 + ab ≥ Gi¶i : Ta cã : a3 + b3 + ab ≥ a3 + b3 + ab - (a + b)(a2 - ab + b2) + ab a2 + b2 - ≥ ≥ ≥ 0 0 0 V× a + b = 2a2 + 2b2 - ≥ 0 2a2 + 2(1-a)2 - ≥ 0 ( v× b = a -1 ) 4a2 - 4a + ≥ 0 ( 2a - )2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối VËy a3 + b3 + ab ≥ DÊu '' = '' x¶y a = b = Bài 2.5 : Chứng minh bất đẳng thức : a + b3  a + b  ≥    Trong ®ã : a > 0 , b > 0 Gi¶i : 12 Víi a > 0 , b > 0 => a + b > 0 a + b3  a + b  ≥    Ta cã : a +b  a + b  a + b    a − ab + b ≥         a +b a − ab + b ≥     ( ) 2 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2 3(a2 - 2ab + b2 ) ≥ 0 3(a - b)2 0 Bất đẳng thức => a + b3  a + b  ≥    DÊu '' = '' xảy a = b Bài 2.6 : Víi a > 0 , b > 0 Chứng minh bất đẳng thức : a a b b b a Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : a a b ( [(    ≥ b− b a a a + b b ) − ab ( a + b ) ] ≥ 0 a )3 + ( b )3 − ab ( a + b ) ≥ ( a + b )(a − ab + b) − ab ( a + b ) ≥ ( a + b )( a − ab + b) ≥ ( a + b )( a − b ) ≥ Bất đẳng thức cuối ; suy : a − a b ≥ b− b a Ph¬ng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi chứng minh , Một số hệ từ bất đẳng thøc trªn : x2 + y2 ≥ 2xy Víi a, b > 0 , Các ví dụ : Bài 3.1 : Giả sử a, b, c số dơng , chøng minh r»ng: a b c + + >2 b+c c+a a+b 13 a b + ≥2 b a Giải áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c)  ≥ a (b + c ) a 2a ≥ b+c a +b+c T¬ng tù ta thu đợc : b 2b c+a a +b+c c 2c ≥ a+b a+b+c , DÊu b»ng cña ba BĐT đồng thời xảy , ®ã cã : a = b + c , b = c + a , c = a + b nªn a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c số dơng ) Từ suy : a b c + + >2 b+c c+a a+b Bµi 3.2: Cho x , y số thực thoả mÃn : x2 + y2 = x − y + y − x Chøng minh r»ng : 3x + 4y ≤ 5 Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta cã : 1 (x2 + y2)2 = ( x − y + y − x )2 ( x ≤ ; y ≤ ) ≤ (x2 + y2)(1 - y2 + - x2) => x2 + y2 ≤ Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 ≤ (32 + 42)(x2 + y2) ≤ 25 => 3x + 4y 5 2 Đẳng thức xảy  §iỊu kiƯn :  2 x + y =  x > 0, y >  x y  3=4   x =  y =  5 ≤x≤ 2 Bµi 3: Cho a, b, c ≥ 0 ; a + b + c = Chøng minh r»ng : a, a + b + b + c + c + a ≤ b, a +1 + b +1 + c +1 < 3,5 Gi¶i a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với sè ta cã : ( a +b + b +c + c +a 1) ≤(1 +1 +1)( a +b ) +( b +c ) +( c +a )   => ( a +b + b +c + c + a ) ≤ 3.( 2a + 2b + ac) = 14 2    => a +b + b +c + c +a ≤ DÊu '' = '' x¶y : a = b = c = b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : (a + 1) + a = +1 2 b b +1 ≤ +1 ; a +1 ≤ T¬ng tù : c +1 c +1 ≤ Cộng vế bất đẳng thức ta ®ỵc : a +1 + b +1 + c +1 a+b+c + = 3,5 Dấu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái víi gi¶ thiÕt : a + b + c = VËy : a +1 + b +1 + c +1 < 3,5 Bài 3.4 : Cho số dơng a , b , c tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : 1 + + ≥9 a b c Gi¶i : Ta cã : Ta cã : a b + > , a , b > 0 b a 1 1 1 1 + + = ( + + ) = ( + + ) (a a b c a b c a b c a a b b c c =1 + b + c + a + + c + a + b + a b b c c a 3+( + ) +( + ) +( + ) ≥ b a c b a c 1 => a + b + c ≥ : a = b = c = = DÊu ''='' xảy + b + c) 3+2+2+2=9 Bài 3.5 1 + ≥ x y x+y Cho x , y > 0 Chøng minh r»ng : Gi¶i áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : x + y ≥ xy 1 + x y => (x + y)( 1 + x y ) ≥4 15 ≥ xy 4a(1 - b) > ; 4b(1 - c) > ; 4c(1 - a ) > Híng dÉn : t¬ng tù nh : Bài 7.4 : ( Phủ định suy trái với điều ) Cho a3 + b3 = Chøng minh r»ng : a + b ≤ Gi¶i : Gi¶ sư : a + b > => (a + b )3 > => a3 + b3 + 3ab(a + b) > => + 3ab(a + b) > ( V× : a3 + b3 = ) => ab(a + b) > => ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = ) Chia hai vế cho số dơng a, b ta đợc : ab > a2 - ab + b2 => 0 > (a - b)2 V« lý VËy : a + b Phơng pháp : §ỉi biÕn sè - KiÕn thøc : Thùc hiƯn ph¬ng pháp đổi biến số nhằm đa toán đà cho dạng đơn giản , gọn , dạng toán đà biết cách giải Các ví dơ : Bµi : Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > 0 th× : a b c + + ≥ b+c c+a b+a Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = => a = y+z−x x+ y+z , b= z+x−y , c= x+ y−z Khi ®ã : VT = = y+z−x z+x−y x+y−z + + 2x 2y 2z y x z x z y 3 ( + ) + ( + ) + ( + ) − ≥ +1 +1 − = x y x z y z 2 a b c + + b+c c+a b+a = Bµi 8.2 : Chøng minh r»ng ; víi mäi sè thùc x, y ta có bất đẳng thức : 21 - ( x − y )(1x y ) ≤ ≤ (1 + x ) (1 + y ) Gi¶i: §Ỉt : a = x2 − y2 (1 + x )(1 + y ) => ab = vµ b = ( x − y )(1 − x y ) (1 + x ) (1 + y ) Ta cã dÔ thấy với a, b : Mà : (a - b) = (a + b) = Suy : - 1− x2 y2 (1 + x )(1 + y )   1 − x + 1     1 −  y +1  ≤ ab ≤ 1 (a − b) ≤ ab ≤ (a + b) 4 Bµi 8.3 : Cho a, b, c > 0 ; a + b + c ≤ Chøng minh r»ng : 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Giải : Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi ®ã : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 ≤ Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z ≤ Cøng minh r»ng : 1 + + ≥9 x y z Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( 1 + + ) ≥9 x y z Theo bất đẳng thức Côsi Mà : x + y + z ≤ nªn suy 1 + + ≥9 x y z 9.Phơng pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức với n > phơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức với n = (n = n0) 22 + Giả sử bất đẳng thức víi n = k > (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức với n = k + + Kết luận bất đẳng thức với n > (n > n0) - VÝ dô : Bài 9.1 : Chứng minh với số nguyên dơng n 2n > 2n + (*) Gi¶i : + Víi n = , ta cã : 2n = 23 = ; 2n + = 2.3 + = ; > Vậy đẳng thức (*) với n = + Giả sử (*) với n = k (k ∈ N ; k ≥ 3) , tøc : 2k > 2k + ta phải chứng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + hay : 2k+1 > 2k + (**) + ThËt vËy : 2k+1 = 2.2k , mµ 2k > 2k + ( theo giả thiết quy nạp ) : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + ( V× : 2k - > 0) VËy (**) ®óng víi mäi k ≥ + KÕt luËn : 2n > 2n + với số nguyên dơng n ≥ Bµi 9.2 : Chøng minh r»ng : 2n −1 ≤ 2n 3n +1 (*) (n lµ sè nguyên dơng ) Giải : + Với n = , ta cã : VT = VP = VËy (*) ®óng víi n = + Giả sử (*) với n = k ta cã : Ta cần chứng minh (*) với n = k + , tøc lµ : ®ã chØ cÇn chøng 2k −1 ≤ 2k 2k +1 2k −1 2k +1 2(k +1) ≤ 3k +1 2(k +1) 2k 2k +1 minh : 3k +1 2(k +1) ≤ 3(k +1) +1 dïng phÐp biÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng , ta cã : (2k + 1)2(3k + 4) ≤ (3k + 1)4(k +1)2  12k3 + 28k2 + 19k + ≤ 12k3 + 28k2 + 20k +4  k ≥ 0 => (**) ®óng víi mäi k ≥ 23 3k + Vậy (*) dúng với số nguyên dơng n 10 Phơng pháp 10 : Chứng minh bất đẳng thức hình học phẳng Bài 10.1 :CMR tam giác nhọn tổng trung tuyến lớn 4lần bán kính đờng tròn ngoại tiếp C A1 B1 G A B C1 Gi¶i: Gäi ma, mb, mc độ dài ba đờng trung tuyến R bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC, ta phải chứng minh ma+ mb+mc>4R Vì ABC tam giác nhọn nên tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác nằm tam giác ABCnếu G trọng tâm tam giác ABC tâm 0 nằm ba tam gi¸c tam gi¸c GAB, tam gi¸c GAC ,tam giác GBC Giả sử tâm 0 nằm tam giác GAB 0A +0B=2R GA+ GB > 2R mµ GA= AA1= 3 ma ,GB= BB1 = mb Nªn GA+GB > 2R ⇒ (ma+mb) >2R ⇒ ma+mb >3R Mµ tam gi¸c 0CC1 cã CC1 >0C ⇒ mc >R Do ®ã ma+ mb+ mc > 3R+R=4R VËy ma+mb+ mc >4R Bài 10 2: Một đờng tròn tiếp xúc với hai cạnh tam giác vuông đỉnh A hai điểm B C , kẻ tiếp tuyến với đờng tròn cắt cạnh AB AC M N , chứng minh AB + AC AB + AC < MB+NC< Gi¶i 24 A N C l M B Gäi I lµ tiếp điểm tiếp tuyến MN với đờng tròn tâm 0 tÝnh chÊt tiÕp tuyªn cho ta MB=MI ,NC=NI Tõ MN=MB+NC nhng tam giác vuông AMN MN< AM+AN Nªn 2MN < AM+AN +BM+ CN =AB +AC ⇒ MN< AB + AC Ngoài tam giác vuông AMN ta có cạnh huyền MN>AM MN> AN 2MN > AM+AN Vì MN=BC+CN Nên 3MN > AM+AN +BM+CN ®ã 3MN > AB+AC ⇒ MN > VËy AB + AC AB + AC < MB+NC< AB + AC 11 Ngoài có số phơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức nh : Phơng pháp làm trội , tam thức bậc hai ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Trong phạm vi nhỏ đề tài không hệ thống phơng pháp iii : ứng dụng bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị - Kiến thức : Nếu f(x) m f(x) có giá trị nhỏ m Nếu f(x) M f(x) có giá trị lớn M Ta thờng hay áp dụng bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiểm tra trờng hợp xảy dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị biểu thức có dạng đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , số bất đẳng thức Tìm cực trị biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối A + B A +B Chú ý : 25 X¶y dÊu '' = '' AB ≥ 0 A ≥0 DÊu ''= '' x¶y A = 0 Bài : Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a b thoả m·n : a + b = Gi¶i B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 Ta cã : 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 = => a2 + b2 ≥ VËy B = a = b = 2 Bài 2: a, Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) b, Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y Gi¶i a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Đặt : t = x2 + x - => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - ≥ - DÊu b»ng x¶y : t = 0  x2 + x - = 0 (x - 2)(x + 2) = 0  x = -2 ; x = => A = - x = -2 ; x = ; b, Tơng tự Bài : Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc a, C = x −3 + x −1 b, D = x + x +3 + x + x −6 c, E = x −1 + x −2 + x −3 + x Giải : a, áp dụng BĐT : A + B ≥ A +B DÊu '' = ''x¶y AB ≥ 0 => C = x −3 +1 −2 x ≥ x −3 +1 −2 x = −2 2 =2 DÊu '' = '' x¶y (2x - 3)(1 - 2x) ≥ 0  VËy minC = ≤x≤ 2 b, T¬ng tù : minD = : -3 ≤ x ≤ 26 ≤x≤ 2 c, minE = : ≤ x ≤ Bµi : Cho a < b < c < d , t×m : b c Minf(x) = x −a + x − + x − + x −d Híng dÉn : t¬ng tù : minf(x) = d + c - b - a b ≤ x ≤ c Bài : Cho ba số dơng x , y , z thoả mÃn : Tìm giá trị lớn nhÊt cđa tÝch : P = xyz Gi¶i : 1+ x ≥ (1 - T¬ng tù : 1+ y 1+ y )+(1- ≥2 1+ z ≥2 Bµi : )= y 1+ y + + z 1+ z 1+ y ≥2 + ≥ 1+ z yz (1 + y )(1 + z ) xy (1 + x )(1 + y ) x = y = z = Cho số dơng a, b, c thảo mÃn : a + b + c = Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc : F = 1 ( a + ) + (b + ) + ( c + ) a b c Gi¶i: Ta cã : F = (a2 + b2 + c2) + ( 1 + + 2)+6 a b c Vận dụng bất đẳng thức Bunhiac«pxki , ta cã : (a.1 + b.1 + c.2)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 ≥ 1 1 1 ( + + )2 ≤ ( + + ) a b c a b c 1 1 1 1 kh¸c : + + = ( + + ).1 = ( + + )(a + b + c) a b c a b c a b c a b b c c a =3+( + )+( + )+( + ) ≥3+2+2+2 b a c b a c 1 => + + ≥ a b c 1 => ( + + ) ≥ 81 a b c Tơng tự : Mặt zx (1 + x )(1 + z ) Tõ ®ã suy : P = xyz ≤ MaxP = 1+ z 1+ x => ( 1 + + ) ≥ 27 a b c 27 =9 F≥ + 27 + = 33 Dấu '' = '' xảy : a = b = c = Vậy MinF = 33 : a = b = c = Bài : Cho G = yz x −1 + zx 3 y − + xy z − xyz Tìm giá trị lớn G : Giải : Tập xác định : x ≥ ; y ≥ ; z ≥ Ta cã : G = x −1 x y −2 y + Theo BĐT Cơsi ta có : T¬ng tù : => G ≤ y −2 ≤ y 2 ; + x −1 ≤ z −3 z x −1 + => x −1 ≤ x z −3 ≤ z 1 + + 2 2 VËy MaxG = 1 + + 2 2 đạt đợc x = ; y = ; z = Bài a, Tìm giá trị nhỏ H = x x −1 víi x > b Tìm giá trị lớn K = x x HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi làm tơng tự nh 5 : - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình - Kiến thức : Nhờ vào tính chất bất đẳng thức , phơng pháp chứng minh bất ®¼ng thøc , ta biÕn ®ỉi hai vÕ ( VT , VP ) phơng trình sau suy luận để nghiệm phơng trình Nếu VT = VP giá trị ẩn ( thoả mÃn TXĐ) => phơng trình có nghiệm Nếu VT > VP VT < VP giá trị ẩn => phơng trình vô nghiệm - Các ví dụ : Bài : Giải phơng trình : 13 x + x +1 = 16x Giải: 28 Điều kiện : x ≥ (*) C¸ch : ¸p dơng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 = 13.2 x −1 + 3.2 ≤ 13( x - + ) + 3(x + + x −1 +9 x +1 x +1 ) = 16x DÊu '' = '' x¶y   x −1 =   x +1 =  x= tho¶ m·n (*) Phơng trình (1) có nghiệm dấu '' = '' ë (2) x¶y VËy (1) cã nghiƯm x = Bài 2: a, Tìm giá trị lín nhÊt cđa L = x −3 + x b Giải phơng trình : x −3 + − x - x2 + 4x - = 0 (*) Giải : a Tóm tắt : ( x −3 + − x )2 ≤ 2(2x - + 5 - 2x) =  x −3 + − x ≤ => MaxL = x = b TX§ : ≤x≤ 2 (*)  x −3 + − x = x2 - 4x + VP = (x - 2)2 + ≥ , dÊu '' = '' x¶y x = => víi x = ( thoả mÃn TXĐ ) VT = VP = => phơng trình (*) có nghiệm x = Bài : Giải phơng trình : − x + x + = x2 - 6x + 13 Giải : TXĐ : -2 x ≤ VP = (x - 3)2 + ≥ DÊu '' = '' x¶y x = VT2 = ( − x + x + 1)2 ≤ (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT ≤ , dÊu '' = '' x¶y − x = x +  x = => giá trị x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm Bài : Giải phơng trình : x 12 x +16 + y − y +13 = 5 29 HD : x −12 x +16 ≥2; DÊu '' = '' x¶y : y − y +13 x − =  y − =  ≥ => VT ≥ 5 x =  y = => phơng trình có nghiệm : x = ; y = - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phơng trình : - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi phơng trình cđa hƯ , suy ln vµ kÕt ln nghiƯm Lu ý : Mét sè tÝnh chÊt : a, a2 + b2 ≥ 2ab b a + c < ; c > 0 => a < b c a >1 b nÕu a > b > 0 - C¸c ví dụ : Bài : Giải hệ phơng trình : x3 + y − y + =  2  x + x y − 2y = 3 (1)  x = - - 2(y - 1)  x ≤ -  x ≤ - (*) (2)  x2 ≤ 2y 1+ y2 ≤1 ( v× + y2 ≥ 2y)  -1 ≤ x ≤ (**) Tõ (*) vµ (**) => x = -1 Thay x = -1 vµo (2) ta cã : y = => Hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt : x = -1 ; y = - Kiến thức : Biến đổi phơng trình hệ , sau so sánh với phơng trình lại , lu ý dùng bất đẳng thức quen thuộc Bài : Giải hệ phơng tr×nh :  x+ y+ z =1  4  x + y + z = xyz Gi¶i : áp dụng : BĐT : A2 + B2 2AB dÊu '' = '' x¶y A = B Ta cã : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 => x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) Mắt khác : x2y2 + y2z2 ≥ 2x2yz y2z2 + z2x2 ≥ 2xy2z x2y2 + z2x2 ≥ 2xyz2 => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) ≥ 2xyz(x + y + z) = 2xyz 30 => x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ xyz (**) Tõ (*) vµ (**) => x4 + y4 + z4 ≥ xyz DÊu '' = '' x¶y : x = y = z mµ x + y + z = nªn : x = y = z = Vậy hệ phơng trình có nghiệm : x = y = z = 3 C¸ch 2: áp dụng BĐT Côsi ; - Kiến thức : Dùng phơng pháp Bài : Giải hệ phơng trình  x + y + z = 14  ( + + )( x + y + z ) =  2x 3y 6z  (víi x, y, z > 0) Giải : áp dụng : Nếu a, b > 0 th× : a b + ≥2 b a ( + + )(3 x + y + z ) = 36 x y z x y x z y z  ( y + x ) + 3( z + x ) + 2( z + y ) = 22 x y khác : x, y, z > nªn ( y + x ) ≥ 12 (2)  MỈt x z 3( + ) ≥ z x ( ; 2( z y + ) ≥4 y z x y x z y z + ) + 3( + ) + 2( + ) ≥ 22 y x z x z y DÊu '' = '' x¶y x = y = z , thay vào (1) ta đợc : x + x2 + x3 = 14 (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0 x - = 0 x = Vậy hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt : x = y = z = Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên Ngoài có số ứng dụng khác bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt sáng tạo giải , học sinh phải nắm đợc kiến thức bất đẳng thức vận dụng đợc Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên Bài : Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : 1 + + x y z =2 31 Giải : Không tính tổng quát , ta giả sử x y ≥ z , ta cã : 2= 1 + + x y z ≤ z => 2z , mà z nguyên dơng Vậy z = Thay z = vào phơng trình ta đợc : 1 + =1 x y Theo giả sư , x ≥ y , nªn = 1 + x y y Y nguyên dơng nên y = y = Với y = không thích hợp Với y = ta cã : x = VËy (2 ; ; 1) nghiệm phơng trình Hoán vị số , ta đợc nghiệm phơng trình : (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) IV:Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hai số x vµ y mµ x+y=1 CMR : ≥ a) x2 +y2 ≥ b) x4+y4 Bµi 2: Cho a,b, c, d ,e số thực CMR a2+b2+c2+d2+e2=a(b+c+d+e) Bài 3: Cho hai số dơng x,y x3+y3 =x-y CMR: x2 +y2 2n+1 Bài 11: Cho a,b,c độ dài cạnh cđa mét tam gi¸c CMR: a −b b −c c −a + + < a+b b+c c+a V : kết đạt đợc Qua việc áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy cho học sinh thấy học sinh đà xác định đợc loại toán cách làm ,nhiều em học sinh đà làm đợc tập bất đẳng thức đà có hớng thú học toán Kết kiểm tra sau áp dụng đề tài Số lượng học sinhĐiểm Giỏi Điểm Điểm trung bình Điểm yếuĐiểm kém30581250 Vi:bài học kinh nghiƯm Qua viƯc híng dÉn häc sinh lµm bµi tập cho thấy phần kiến thức đề tài phần kiến thức mở giáo viên đa vào cuối luyện tập , tự chọn nên nội dung học sinh phức tạp , khó hình dung , cần đa kiến thức cho học sinh cần làm từ dễ đến khó ,kết hợp ôn tập , giao tập nhà , kiĨm tra häc sinh … Sau híng ®Én xong nội dung chuyên đề cần cho học sinh kiến thức cần thiết , đồng thời rèn luyện kỹ làm tập cho học sinh Cần đa nội dung vào dạy cho phù hợp ,tránh dồn Ðp häc sinh tiÕp nhËn kiÕn thøc mét c¸ch thơ động mà đạt kết không mong muốn 33 VII: Phạm vi áp dụng đề tài Chuyên đề ((một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức )) đợc áp dụng cho học sinh lớp 8, thích hợp học sinhlớp với đối tợng học sinh giỏi C: Kết luận Các tập bất đẳng thức thờng tơng đối khó học sinh , nhng hớng dẫn học sinh xong đề tài ((một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức )), học sinh thấy việc làm toán bất đẳng thức rễ Đồng thời đứng trớc toán khó cho dù dạng tập học sinh có hớng suy nghĩ tập suy luận , em có tự tin Chuyên đề còn nhiều thiếu sót , mongđợc ủng hộ thày cô giáo để đề tài ngày hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Tháng năm 2008 34 Mục lục trang đặt vấn đề 35 ... = b Phơng pháp ; Dùng phép biến đổi tơng đơng - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh - Một số bất đẳng thức thờng dùng...Qua đề tài ( (một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức )) muốn giúp học học sinh có thêm số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức lý chọn đè tài , nghiên... b2)(x2 + y2) Dấu đẳng thức xảy a b = x y c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : a + b a +b Dấu đẳng thức xảy : ab 0 II : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp : Dùng định