SKKN một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 2

hoctoancapba.com MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý thực đề tài: 1, Cơ sở lý luận: Bất đẳng thức phần quan trọng chương trình tốn phổ thơng Nó có mặt tất mơn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác Giải tích Các tốn bất đẳng thức tỏ có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo phương pháp giải chúng Chính bất đẳng thức chuyên đề người quan tâm đến nhiều Tuy nhiên, việc giải tốn chứng minh bất đẳng thức khơng đơn giản, yêu cầu không nắm vững kiến thức bản, mà phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo phương pháp học kết hợp với kỹ biến đổi, suy luận, dự đoán, 2, Cơ sở thực tiễn: Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” nhắc đến bất đẳng thức, cho bất đẳng thức phần khó khơng thể giải Nguyên nhân học sinh cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải tốn đơn giản trở nên “vơ khó” em Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy học bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn bất đẳng thức, tơi nghiên cứu đề tài: “Sử dụng bất đẳng thức đơn giản việc chứng minh bất đẳng thức” II Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lý luận; Phương pháp điều tra thực tiễn; Phương pháp thực nghiệm sư phạm; Phương pháp thông kê hoctoancapba.com III Đối tượng nghiên cứu: Các toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức 1 1    an  a1 a a1  a   a n      n ,  a1, a2, , an >  B PHẦN NỘI DUNG I Bất đẳng thức Côsi: Cho a1, a2, , an số khơng âm Khi ta có: a1  a2   an n  a1a2 an n Dấu “=” xảy khi: a1 = a2 = = an Ví dụ áp dụng: Cho a1, a2, , an > Chứng minh rằng: 1 1    an  a1 a    n  a1  a   a n   (*) Bài giải: Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có: a1  a   a n n  a1 a a n n (1) 1    a1 a an n n a1 a a n (2) Do hai vế (1) (2) số dương, nên nhân vế (1) (2) suy điều phải chứng minh a  a   a n Dấu xảy   1  a  a   a n   a  a   a n Hai dạng riêng bất đẳng thức Đó a, b, c > 0, ta có: 1 (a + b)    ≥ a b (**) (Ứng với n = 2) hoctoancapba.com 1 (a + b + c)     ≥ a b c (***) (Ứng với n = 3) Bất đẳng thức (*) đơn giản lại vơ thơng dụng Để thấy rõ hiệu lực bất đẳng thức tơi đưa loạt tốn minh họa sau II Các toán: Bài toán 1: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1     2    p a p b p c a b c  Chứng minh: Áp dụng (**), ta có:    p  a     pa    p  b  4   p  b ( p  a )  ( p  b) c 4   p  c ( p  a)  ( p  c) b 4   p  c ( p  b)  ( p  c ) a Cộng vế ba bất đẳng thức suy ra: 1 1 1     2    p a p b p c a b c  Dấu xẩy  p - a = p - b = p - c  a = b = c  ABC tam giác Bài toán 2: Chứng minh tam giác ta có: hoctoancapba.com + hb + hc ≥ 9r, ha, hb, hc ba chiều cao tam giác cịn r bán kính đường trịn nội tiếp Chứng minh: Ta biết tam giác có hệ thức sau: 1 1    hb hc r hoctoancapba.com Áp dụng (***) suy ra:  1 1     h  a hb hc  ha  hb  hc   + hb + hc ≥ 9r Dấu xẩy  = hb = hc  a = b = c  ABC tam giác Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức Nesbit sau đây: Cho a, b, c > Chứng minh: a b c    bc ca ab Chứng minh: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau: a b c 1 1  1  bc ca ab  1       2(a  b  c) b  c c  a a  b    1       ( b  c)  (c  a )  (a  b) b  c c  a a  b   (1) hiển nhiên (***)  đ.p.c.m Dấu xẩy  b + c = c + a = a + b  a = b = c  ABC tam giác Bài toán 4: Cho a, b, c > Chứng minh: a bc a2 b2 c2    bc c  a a b Chứng minh: b  c  x  c  a  y   Đặt:  a  b  z  a  b  c  p   x + y + z = 2p (1) (1) hoctoancapba.com Khi a = p – x; b = p – y; c=p–z Vậy:  p  x 2   p  y 2   p  z 2  p x y z 1 1 p  p      p  ( x  y  z )  x y z 1 1  p      p x y z 1 1  ( x  y  z )     x y z (2) (2) theo (***)  (1)  đ.p.c.m Bài toán 5: Cho tam giác ABC với a, b, c cạnh tương ứng với đỉnh A, B, C R bán kính đường trịn ngoại tiếp Chứng minh 1 1    ab bc ca R Chứng minh: Ta ln có 1     9 (ab + bc + ca)   ab bc ca   (Theo (***)) 1    ab bc ca ab  bc  ca Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunyakovski (ab + bc + ca)2 ≤ (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + a2) Dẫn đến ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 Với tam giác ABC ta có bất đẳng thức a2 + b2 + c2 ≤ 9R2  1 1    ab bc ca R (đ.p.c.m) a, b, c  Bài toán 6: Cho  a  b  c  hoctoancapba.com Chứng minh rằng: 1   9 a  2bc b  2ca c  2ab Chứng minh: Theo BĐT (***)   1   9  a  2bc b  2ca c  2ab  [(a2 + 2bc) + (b2 + 2ca) + (c2 + 2ab)]    1      (a + b + c)2   a  2bc b  2ca c  2ab  Mà < (a + b + c)2   1   9 a  2bc b  2ca c  2ab Bài tốn 7: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA1, BB1, CC1 trực tâm H Chứng minh rằng: AH BH CH   6 A1 H B1 H C1 H Chứng minh: A AH BH CH   6 A1 H B1 H C1 H C1  AH   BH   CH   1    1     A1 H   B1 H   C1 H   AA1 BB1 CC1   9 A1 H B1 H C1 H AA BC 2  HA1 BC      BB1 CA  HB1 CA H B CC1 AB 9 HC1 AB S ABC S ABC S ABC   9 S HBC S HCA S HAB  1     S HBC  S HCA  S HAB    S S S  HBC HCA HAB  hiển nhiên (***)  đ.p.c.m B1 A1 C hoctoancapba.com Bài toán 8: (Đề thi chọn HSG toán lớp 10 Tỉnh Thái Nguyên năm 2010) Cho tam giác ABC điểm G tam giác Các đường thẳng AG, BG, CG cắt cạnh BC, CA, AB M, N, P Chứng minh AG BG CG    G trọng tâm tam giác ABC MG NG PG Chứng minh: A Theo định lí Seva ta có: P MG NG PG   1 MA NB PC N G Áp dụng (***), ta có: B M  MA NB PC   MG NG PG        9  MG NG PG   MA NB PC   MA NB PC   9 MG NG PG  MG  AG NG  BG PG  CG   9 MG NG PG  AG BG CG   6 MG NG PG Dấu xẩy  MG NG PG    MA NB PC  G trọng tâm tam giác ABC Bài toán 9: Chứng minh rằng: logb+ca2 + logc+ab2 + loga+bc2 ≥ ,  a, b, c > Chứng minh: Vì b, c >  bc > 2.max(b, c) ≥ b + c ln a ln a 2 ln a Do đó: logb+ca =   ln( b  c) ln bc ln b  ln c Tương tự: logc+ab2  ln b ln c  ln a loga+bc2  ln c ln a  ln b C hoctoancapba.com Từ ta có: logb+ca2 + logc+ab2 + loga+bc2 ≥ (Ở sử dụng toán 3: ln a ln b ln c + + ≥ = ln b  ln c ln c  ln a ln a  ln b x y z    y z z x x y x, y, z  )  đ.p.c.m Bài toán 10: (Vô địch Nam Tư năm 1976)  log b c log c a log a b   ca ab  bc Chứng minh rằng:   log b c log c a log a b   b  c c  a a b  Chứng minh:     với a, b, c >  abc     a bc  log c log c a log a b   (b  c)  (c  a )  (a  b)  b   9 ca a  b   bc Theo bất đẳng thức CơSi ta có: (b  c)  (c  a)  (a  b)   log b c log c a log a b    ca ab  bc (b  c) (c  a ) (a  b)  log b c log c a log a b   3 (b  c) (c  a ) (a  b)  Nhân vế hai bất đẳng thức ta được: (b  c)  (c  a)  (a  b)  log b c  log c a  log a b   log b b  bc ca ab  9 Suy đ.p.c.m Bài toán 11: Đặt S = 2010 2010 i 1 i 1  Chứng minh  S   2010  2010 với a1, a2, , a2010 > Chứng minh: 2010  i 1 S   2010  2010  2010  i 1 S  2010  2010 2010 2010  i 1   1  a  a i 1 i i 1 S  ai  2010 i Đúng theo BĐT (*) ứng với n = 2010    2010  2010  2010  2010  hoctoancapba.com Bài tốn 12: (Vơ địch UCRAINA) a1 , , a n  a1   a n 1 Cho  n 2a Chứng minh rằng: i 1  i n 2n  Chứng minh: n 2a i 1 n  i 1  i n  2n  n  i 1  2n    2n   (2n  1) n  i 1  1   a n  i 1 i  n 2n   n 2n   2n  1 n2   2n  1  n2   n n i 1 i 1  2     n2  Bất đẳng thức theo (*)  đ.p.c.m Bài toán 13: (Đề thi đề nghị Olympic 30 tháng lần thứ VIII) Tam giác ABC có đặc điểm nếu: hoctoancapba.com cosA + cosB + cosC  2p  a 2p  b 2p  c   2p  a 2p  b 2p  c (1) (p nửa chu vi) Lời giải: Ta chứng minh cosA + cosB + cosC  Ta có:  AB AB cosA + cosB + cosC + cos = 2cos cos + 2cos 2   C  AB  2 cos  cos 2     2.2 cos A B C   cos C         A B C    3  cos  cos   cosA + cosB + cosC  cos C  = 2  hoctoancapba.com AB C    1; < cos     1; < cos Vì < cos 2 6 A  B C  A-B  cos     C Dấu “=” xẩy cos 1    A  B-C 1 cos  Vậy cosA + cosB + cosC = Ta chứng minh (2)    A=B=C  ΔABC 2p  a 2p  b 2p  c    2p  a 2p  b 2p  c (2) 2p  a 2p  b 2p  c 1  1  1  2p  a 2p  b 2p  c 4p 4p 4p    2p  a 2p  b 2p  c  1    p 2p   2p  a 2p  b      c  2 p  a  p  b  p  c    2p   2p  a 2p  b    c (Vì 2p = a + b + c) Bất đẳng thức theo (***) Vậy (2) Do (1) xẩy  VT = VP =  ΔABC Bài tốn 14: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên đơi vng góc với Gọi α, β, γ góc đường cao xuất phát từ đỉnh cạnh bên hình chóp Chứng minh: cos  cos  cos     2 2 2 sin   sin  sin   sin  sin   sin  10 hoctoancapba.com S Chứng minh: α Vẽ chiều cao SH Đặt ASH = α; BSH = β, CSH = γ Rõ ràng ta có: 1 1    2 SH SA SB SC (1) A C H Nhân hai vế (1) với SH2 ta có cos2α + cos2β + cos2γ = (2) B Đặt sin2 β + sin2 γ = a; sin2 α + sin2 γ = b; sin2 α + sin2 β = c, Khi dựa vào (2) ta có a + b + c = 2(sin2α + sin2β + sin2γ) = Ta có cos2α = - sin2 α = – (2 - sin2β - sin2γ) = a – Tương tự cos2β = b – 1; cos2γ = c – Vậy bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức a 1 b 1 c 1 1 hay       a b c a b c (3) 1 Theo (***) có: (a + b + c)     ≥ 9, mà a + b + c = 4, a b c Vậy (3)  đ.p.c.m Dấu “=” xẩy  a = b = c  α = β = γ  SA = SB = SC Bài toán 15: Cho tứ diện ABCD, M điểm tứ diện Các đường thẳng AM, BM, CM, DM cắt mặt đối diện với đỉnh A, B, C, D hình chóp A’, B’, C’, D’ Chứng minh: A MA MB MC MD     12 MA' MB' MC' MD' Chứng minh: Gọi H, I hình chiếu M A, M lên mp(BCD) Ta có H, I, A’ thẳng hàng Gọi V, V1, V2, V3, V4 B A’ H thể tích tứ diện ABCD hình chóp đỉnh M với đáy 11 C I D hoctoancapba.com tam giác BCD, ACD, ABD, ABC AH S BCD AA' AH V    Ta có: HA' MI V1 MI S BCD  MA V  V V   1 MA' V1 V1 Tương tự: MB V MC V MD V   1;   1;  1 MB' V2 MC ' V3 MD' V4 Từ suy ra: 1 MA MB MC MD 1      V       MA' MB' MC ' MD'  V1 V2 V3 V4  1 1     - ≥ 16 – = 12 = (V1 + V2 + V3 + V4)    V1 V2 V4  V3 (đ.p.c.m) III Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b, c > Chứng minh: 2    bc ca a b a bc Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi O1, O2, O3 tâm đường trịn bàng tiếp góc A, B, C Gọi S1, S2, S3 diện tích tam giác O1BC, O2CA, O3AB Chứng minh: S1 + S2 + S3 ≥ 3S Bài 3: Cho tam giác ABC Chứng minh: absin C A B + bcsin + casin ≥ 3S 2 Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Ba chiều cao AA’, BB’, CC’ cắt đường tròn tâm O A1, B1, C1 Chứng minh: AA' BB ' CC '    AA1 BB1 CC1 Bài 5:  a1, a2, ,a2010 > Chứng minh rằng: a2010 a1 a2 2010     a2  a3   a2010 a1  a3   a2010 a1  a2   a2009 2009 n2  Bài 6: Đặt S =  Chứng minh rằng:   a1, a2, ,an > (n  1) S i  S  i 1 n n 12 hoctoancapba.com C KẾT LUẬN I Kết ứng dụng: Phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng từ bất đẳng thức đơn giản, quen thuộc vận dụng bồi dưỡng cho học sinh bất đẳng thức Kết em có thiện cảm chuyên đề này, số em tỏ hào hứng làm toán bất đẳng thức II Lời kết: Trên nghiên cứu kinh nghiệm thân Hy vọng đề tài góp phần để việc dạy học bất đẳng thức đạt hiệu Rất mong nhận đóng góp bạn đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Sông Công, ngày 15 tháng 05 năm 2010 Người viết Phạm Thị Ánh Tuyết 13 hoctoancapba.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, Nhà xuất Giáo dục – 1995 Vũ Đình Hịa, Bất đẳng thức hình học, Nhà xuất Giáo dục – 2006 Phan Huy Khải, 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, Nhà xuất Hà Nội – 1997 Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh đại số 10, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội – 1998 Trần Phương, Các phương pháp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, Nhà xuất Thành phố Hồ Chí Minh – 2000 Sở giáo dục đào tạo TP Hồ Chí Minh, trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Tuyển tập đề thi Olympic 30-4 Toán 10 lần thứ VIII - 2002, Nhà xuất Giáo dục – 2002 14