SKKN ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Đạo hàm khái niệm quan trọng giải tích, công cụ sắc bén để nghiên cứu tính chất hàm số Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức cho phép giải số dạng toán chứng minh bất đẳng thức Nhằm giúp cho số đồng nghiệp có thêm tài liệu tham khảo giảng dạy, học sinh THPT có thêm phương pháp giải toán bất đẳng thức hiểu biết thêm công dụng đạo hàm Nay viết đề tài không mục đích nêu với tiêu đề đề tài là: Trong đề tài cố gắng đưa nhiều dạng tập có tính chọn lọc có hướng dẫn giải, với số tập tương tự để người đọc tự giải Mặc dù có nhiều cố gắng song tránh khỏi thiếu xót Rất mong nhận góp ý chân thành từ đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Krông Bông, ngày 20 tháng năm 2011 Người viết Phan Minh Phước Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Khi ứng dụng đạo hàm để chứng minh toán bất đẳng thức, vấn đề ở cần đặt biến (nếu có) chọn hàm số cho hợp lý, sau khảo sát biến thiên hàm số Dựa vào biến thiên dẫn dắt chúng ta đến bất đẳng thức cần chứng minh Tùy theo tính chất toán, trình thực kết hợp với nhiều bất đẳng thức khác như: Bất đẳng thức Cauchuy, Bunhiacôpski, Trêbưsép……kết hợp với chứng minh quy nạp toán học Sau là một số bài toán về bất đẳng thức dùng phương pháp để giải: Bài 1: Cho hai số a, b thỏa mãn: Hướng dẫn: Đặt Chứng minh rằng: Khi Xét hàm số: Ta có: BBT: - Vậy + BĐT chứng minh Tổng quát hơn: 1/ Cho hai số a, b thỏa mãn: a + b = k Chứng minh bất đẳng thức: , 2/ Cho hai số a, b thỏa mãn Chứng minh: Bài 2: Cho a, b số không âm Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Ta có bất đẳng thức: Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức - Nếu a = thì (1) đúng với - Nếu a > thì Đặt BBT: - + Vậy BĐT chứng minh Bài 3: Cho Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Với ta có: Cần chứng minh: hay Xét hàm số Ta có đồng biến Do với ta có BĐT chứng minh Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu x > 0, n số nguyên dương thì ta có: Hướng dẫn: Đặt Cần chứng minh - Ta có: - Giả sử Ta chứng minh Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Thật vậy: Do Vậy hàm số đồng biến ta có BĐT chứng minh Bài 5: Cho có góc nhọn, chứng minh rằng: Hướng dẫn: BĐT (1) Xét hàm số Ta có: Xét hàm số Ta có: hàm số nghịch biến hay hàm số Suy Từ giả sử thì nghịch biến hay Áp dụng BĐT Trêbưsép cho dãy số: ( ta có BĐT cần chứng minh hoctoancapba.com Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu phương trình thì có nghiệm Dấu đẳng thức xảy nào? Hướng dẫn: Giả sử phương trình có nghiệm x0 thì Đặt ta phương trình: Do đó: Xét hàm số: , với Ta có BBT: Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức + Vậy BĐT dấu đẳng thức xảy khi: Bài 7: Chứng minh rằng: Nếu thì Hướng dẫn: Xét hàm số: Với thì hay , dấu “=” xảy , dấu “=” xảy Suy ra: Vậy với Bài 8: Gọi V, S thể tích diện tích xung quanh hình nón tròn xoay Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Ta có: ( bán kính đáy; đường sinh, (1) Đặt xét hàm số: Ta có BBT: + Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Vậy ta có Bài 9: Cho BĐT chứng minh thỏa mãn Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Từ giả thiết suy ra: ( Xét hàm số: với Tương tự ta có: Lần lượt thay vào (2) cộng vế theo vế ta BĐT (1) Bài 10: Chứng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? hoctoancapba.com Hướng dẫn: BĐT cho (1) Xét hàm số: Đặt Nếu Đặt thì thì từ hàm số hàm số đồng biến BĐT chứng minh Dấu đẳng thức xảy hay Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Bài 11: Cho Chứng minh rằng: Hướng dẫn: BĐT (1) Đặt (1) (2) BĐT (2) nên  Chứng minh: Đặt Do với nghịch biến thì  Chứng minh: Đặt Chứng minh tương tự ta đồng biến hay Từ suy BĐT cần chứng minh Bài 12: Chứng minh rằng: Với thì Hướng dẫn: Đặt (1) với Ta có: (1) + Vậy Bài 13: Cho 0 BĐT cần chứng minh Chứng minh rằng: + ta có: Hướng dẫn: Xét hàm số: Ta có: Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Với thì hàm số đồng biến hàm số Suy đồng biến Do Vậy BĐT chứng minh Bài 14: Chứng minh rằng: Áp dụng chứng minh rằng: Nếu số thỏa mãn (1) thì: Hướng dẫn: Xét hàm số: Ta có: BBT: x - + BĐT (1) Suy chứng minh Áp dụng: * Nếu Nếu thì (2) thỏa mãn thì (2) Đặt thì ta có Bài 15: Cho số BĐT (2) chứng minh Chứng minh rằng: hoctoancap ba.com + Hướng dẫn: Đặt Xét hàm số: + Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Ta có: hàm số đồng biến Ta xét trường hợp sau:  TH 1: , Ta có:  TH 2: , Ta có:  TH 3: có dấu thay đổi - Ta có BBT: + Suy ra: Mà Vậy nên  Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Bài 1: Chứng minh rằng: Với Bài 2: Cho ta có bất đẳng thức: (HD: Xét hàm số: , với (HD: Xét hàm số: , với có góc nhọn, chứng minh rằng: HD: Xét hàm số: Bài 3: Cho Bài 4: Cho với Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: HD: Xét hàm số: với chứng minh nghịch biến Bài 5: Cho HD: Đặt Chứng minh rằng: Xét hàm số: Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu Bài 7: Với , Chứng minh rằng: Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông thì + , với Trang 10 hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức  Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 11 hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 12 [...]...hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức  Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 11 hoctoancapba.com Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 12