BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ I CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Yêu cầu chứng minh: f(x) > g(x) +) Chuyển hết số hạng vế ( cho có dạng f(x) > 0) +) Chứng minh f(x) đồng biến nghịch biến TXĐ +) Sử dụng tính chất đồng biến hay nghịch biến để chứng minh Bài tập ví dụ VD1: Chứng minh sin x x x Hƣớng dẫn giải sin x x x sin x +) Gọi f(x) = x – sinx x 0; f ' x cos x Vì 1 cos x cos x f ' x x Hàm số f(x) đồng biến +) Ta có: x > f(x) > f(0) x – sinx > x > sinx (đpcm) VD2: Chứng minh cos x x2 x Hƣớng dẫn giải x2 x2 cos x 2 x2 )f x cos x )f ' x x sin x cos x )g x x sin x Làm tương tự VD1 ta có: x – sinx > f’(x) > Hàm số đồng biến x x2 +) x > f(x) > f(0) cos x (đpcm) II CÁCH CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM +) Bước 1: Đưa phương trình dạng f(x) = nhẩm nghiệm phương trình +) Bước 2: Nhận xét f(x) ln đồng biến nghịch biến Phương trình có nghiệm Bài tập ví dụ VD1: Chứng minh x x3 3x2 4x có nghiệm Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Hƣớng dẫn giải ĐK: x x x3 3x 4x x x3 3x 4x +) Gọi f x x x3 3x2 4x Dễ thấy f(2) = Phương trình có nghiệm x = 3x 6x x 1 f ' x 3x 6x x 1 f ' x x 2x 1 x 1 f ' x 3 x 1 x 1 f ' x f(x) đồng biến với x x = nghiệm phương trình VD2: Chứng minh rằng: x5 x2 2x có nghiệm Hƣớng dẫn giải x x 2x x5 x 2x x5 x 1 ) x 1 x x x 1 x x 2 +) Đặt f x x5 x2 2x Xét f(x) (1; 2) f 1 3 f 1 f 2 69 Ta có f 2 23 Vì hàm số liên tục (1; 2) Phương trình f(x) = có nghiệm thuộc (1;2) )f ' x 5x 2x x 4x 4x 2x x 4x x x f(x) đồng biến tập xác định Vậy phương trình f(x) = có nghiệm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: a) sin x x với x x2 với x Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! b) cos x c) 2sin x tan x 3x với x 0; 2 d) tan x x x3 với x 0; 2 Câu 2: Chứng minh phƣơng trình sau có nghiệm a) cos x 1 2sin x x b) x3 x2 3x HƢỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM Câu 1: a) sin x x với x Xét hàm số f x sin x x 0; ta có: f ' x cos x Do 1 cos x 1 cos x 2 cos x f ' x x hữu hạn điểm Hàm số f x sin x x nghịch biến R Do hàm số f x sin x x nghịch biến 0; Mà x f x f 0 sin x 0; Vậy f x sin x x sin x x với x b) cos x x2 với x Xét hàm số f x cos x x2 R \ 0 Ta có : f ' x sin x x g x Ở ý a) ta chứng minh hàm số h x sin x x nghịch biến R g x sin x x đồng biến R Với x g x g 0 f ' x Với x g x g 0 f ' x Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Hàm số đồng biến 0; nghịch biến ;0 x f x f cos x f x f 0 Vậy với x f x cos x x2 x2 cos x 2 c) 2sin x tan x 3x với x 0; 2 2cos3 x 3cos x Xét hàm số f x 2sin x tan x 3x 0; ta có f ' x 2cos x cos x cos x 2 Đặt t cos x t 0;1 , xét hàm số f t 2t 3t 0;1 ta có : t ; f ' t t 0;1 Hàm số nghịch biến 0;1 f ' t 6t 6t t f f t f 1 t 0;1 f t t 0;1 cos3 x 3cos x x 0; f ' x x 0; 2 2 Vậy hàm số y f x đồng biến 0; 2 f f x f x 0; 2 2 f x x 0; 2 2sin x tan x 3x x 0; 2sin x tan x x x 0; 2 2 x3 d) tan x x với x 0; 2 x3 Xét hàm số f x tan x x 0; ta có : 2 f ' x x tan x x tan x x tan x x tan x x cos x Với x 0; tan x x 2 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! 1 Xét hàm số g x tan x x 0; ta có : g ' x cos x 2 1 Với x 0; cos x 0;1 cos x 0;1 1 1 cos x cos x 2 Hàm số đồng biến 0; 2 g g x g x 0; g x g 2 2 tan x x x 0; f ' x x 0; 2 2 Hàm số f x tan x x x3 đồng biến 0; 2 x f x f x 0; tan x x x 0; 2 2 Câu : a) cos x 1 2sin x x Xét hàm số f x cos x 1 2sin x x ta có f x nghiệm phương trình Ta có f ' x 3sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x sin x cos x 1 cos x f ' x x R Hàm số đồng biến R Phương trình có nghiệm x b) x3 x2 3x Xét hàm số f x x3 x 3x ta có 2 1 1 f ' x 3x x 3 x x 3 x x R 9 3 Hàm số nghịch biến R Ta có f 0 2; f 1 1 f f 1 Phương trình có nghiệm x0 0;1 c) x5 x3 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Xét hàm số f x x5 x3 ta có : f ' x 5x4 3x2 x2 5x2 3 Hàm số y f x đồng biến R Ta có f 1 5; f 33 f 1 f Phương trình có nghiệm x0 1; Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ... 3 x 1 x 1 f ' x f(x) đồng biến với x x = nghiệm phương trình VD2: Chứng minh rằng: x5 x2 2x có nghiệm Hƣớng dẫn giải x x 2x x5 x 2x x5 x ... f(x) đồng biến tập xác định Vậy phương trình f(x) = có nghiệm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: a) sin x x với x x2 với x Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/... 2sin x tan x 3x với x 0; 2 d) tan x x x3 với x 0; 2 Câu 2: Chứng minh phƣơng trình sau có nghiệm a) cos x 1 2sin x x b) x3 x2 3x HƢỚNG DẪN GIẢI