TS247 BG ung dung tinh don dieu de chung minh bat dang thuc 18744 1561431050

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ I CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Yêu cầu chứng minh: f(x) > g(x) +) Chuyển hết số hạng vế ( cho có dạng f(x) > 0) +) Chứng minh f(x) đồng biến nghịch biến TXĐ +) Sử dụng tính chất đồng biến hay nghịch biến để chứng minh Bài tập ví dụ VD1: Chứng minh sin x  x x  Hƣớng dẫn giải sin x  x  x  sin x  +) Gọi f(x) = x – sinx  x  0;      f '  x    cos x Vì 1  cos x    cos x   f '  x   x  Hàm số f(x) đồng biến +) Ta có: x >  f(x) > f(0)  x – sinx >  x > sinx (đpcm) VD2: Chứng minh cos x   x2 x  Hƣớng dẫn giải x2 x2   cos x   2 x2 )f  x    cos x  )f '  x   x  sin x cos x   )g  x   x  sin x Làm tương tự VD1 ta có: x – sinx >  f’(x) >  Hàm số đồng biến  x  x2 +) x >  f(x) > f(0)   cos x   (đpcm) II CÁCH CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM +) Bước 1: Đưa phương trình dạng f(x) =  nhẩm nghiệm phương trình +) Bước 2: Nhận xét f(x) ln đồng biến nghịch biến  Phương trình có nghiệm Bài tập ví dụ VD1: Chứng minh x   x3  3x2  4x  có nghiệm Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Hƣớng dẫn giải ĐK: x  x    x3  3x  4x   x   x3  3x  4x   +) Gọi f  x   x   x3  3x2  4x  Dễ thấy f(2) =  Phương trình có nghiệm x =  3x  6x  x 1  f ' x    3x  6x   x 1  f ' x     x  2x  1  x 1  f ' x    3 x  1   x 1 f ' x    f(x) đồng biến với x   x = nghiệm phương trình VD2: Chứng minh rằng: x5  x2  2x   có nghiệm Hƣớng dẫn giải x  x  2x    x5  x  2x   x5   x  1 )  x  1   x   x    x  1   x   x  2 +) Đặt f  x   x5  x2  2x  Xét f(x) (1; 2)  f 1  3  f 1 f  2  69  Ta có   f  2  23 Vì hàm số liên tục (1; 2)  Phương trình f(x) = có nghiệm thuộc (1;2) )f '  x   5x  2x   x  4x  4x  2x   x  4x  x     x     f(x) đồng biến tập xác định  Vậy phương trình f(x) = có nghiệm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: a) sin x  x với x  x2 với x  Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! b) cos x     c) 2sin x  tan x  3x với x   0;   2 d) tan x  x  x3   với x   0;   2 Câu 2: Chứng minh phƣơng trình sau có nghiệm a)  cos x  1  2sin x  x  b)  x3  x2  3x   HƢỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM Câu 1: a) sin x  x với x  Xét hàm số f  x   sin x  x  0;   ta có: f '  x    cos x  Do 1  cos x   1   cos x   2   cos x    f '  x   x hữu hạn điểm  Hàm số f  x   sin x  x nghịch biến R Do hàm số f  x   sin x  x nghịch biến  0;   Mà x   f  x   f  0  sin   x   0;   Vậy f  x   sin x  x   sin x  x với x  b) cos x   x2 với x  Xét hàm số f  x   cos x   x2 R \ 0 Ta có : f '  x    sin x  x  g  x  Ở ý a) ta chứng minh hàm số h  x   sin x  x nghịch biến R  g  x    sin x  x đồng biến R Với x   g  x   g  0   f '  x   Với x   g  x   g  0   f '  x   Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!  Hàm số đồng biến  0;   nghịch biến  ;0    x   f  x   f    cos       x   f  x   f  0  Vậy với x  f  x    cos x   x2 x2   cos x   2   c) 2sin x  tan x  3x với x   0;   2 2cos3 x  3cos x      Xét hàm số f  x   2sin x  tan x  3x  0;  ta có f '  x   2cos x  cos x cos x  2 Đặt t  cos x  t   0;1 , xét hàm số f  t   2t  3t   0;1 ta có : t  ; f '  t   t   0;1  Hàm số nghịch biến  0;1 f '  t   6t  6t    t   f    f  t   f 1 t   0;1   f  t   t   0;1      cos3 x  3cos x   x   0;   f '  x   x   0;   2  2   Vậy hàm số y  f  x  đồng biến  0;   2      f    f  x   f   x   0;  2  2    f  x   x   0;   2      2sin x  tan x  3x  x   0;   2sin x  tan x  x x   0;   2  2 x3   d) tan x  x  với x   0;   2 x3   Xét hàm số f  x   tan x  x   0;  ta có :  2 f ' x    x   tan x   x  tan x  x   tan x  x  tan x  x  cos x   Với x   0;  tan x  x   2 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!   1 Xét hàm số g  x   tan x  x  0;  ta có : g '  x   cos x  2 1   Với x   0;   cos x   0;1  cos x   0;1  1 1  cos x cos x  2    Hàm số đồng biến  0;   2      g    g  x   g   x   0;   g  x   g    2  2      tan x  x  x   0;   f '  x   x   0;   2  2  Hàm số f  x   tan x  x  x3 đồng biến    0;   2 x      f  x   f    x   0;   tan x  x  x   0;   2  2 Câu : a)  cos x  1  2sin x  x  Xét hàm số f  x    cos x  1  2sin x  x ta có f     x  nghiệm phương trình Ta có f '  x   3sin x  cos x     1  sin x    cos x  1  sin x    sin x  cos x  1  cos x    f '  x   x  R  Hàm số đồng biến R  Phương trình có nghiệm x  b)  x3  x2  3x   Xét hàm số f  x    x3  x  3x  ta có 2 1 1   f '  x   3x  x   3  x  x     3  x     x  R 9 3    Hàm số nghịch biến R Ta có f  0  2; f 1  1  f   f 1   Phương trình có nghiệm x0   0;1 c) x5  x3   Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Xét hàm số f  x   x5  x3  ta có : f '  x   5x4  3x2  x2  5x2  3   Hàm số y  f  x  đồng biến R Ta có f 1  5; f    33  f 1 f     Phương trình có nghiệm x0  1;  Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ...   3 x  1   x 1 f ' x    f(x) đồng biến với x   x = nghiệm phương trình VD2: Chứng minh rằng: x5  x2  2x   có nghiệm Hƣớng dẫn giải x  x  2x    x5  x  2x   x5   x ...  f(x) đồng biến tập xác định  Vậy phương trình f(x) = có nghiệm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: a) sin x  x với x  x2 với x  Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/... 2sin x  tan x  3x với x   0;   2 d) tan x  x  x3   với x   0;   2 Câu 2: Chứng minh phƣơng trình sau có nghiệm a)  cos x  1  2sin x  x  b)  x3  x2  3x   HƢỚNG DẪN GIẢI