ứng dụng nguyên lý dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - - - - - - - - - - - - - - - - - Bùi Thị Lan Hương ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 1 Mục lục Mở đầu 2 1 Sơ lược về chứng minh bất đẳng thức 4 1.1 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức . . . . . . 5 1.2.1 Phương pháp biển đổi tương đương . . . . . . . . . 5 1.2.2 Phương pháp phản chứng . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Sử dụng tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.5 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . 16 1.2.6 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski . . . . . . . . . 19 1.2.7 Sử dụng bất đẳng thức Karamata . . . . . . . . . . 22 1.2.8 Vận dụng tính chất của hàm số đơn điệu vào chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.9 Vận dụng tính chất hình học vào chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức 32 2.1 Tổng quan về nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.1 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.2 Một số dạng phát biểu nguyên lý Dirichlet . . . . . . 32 2.2 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức 35 2.2.1 Ý tưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Bài tập tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 2 Mở đầu Bất đẳng thức là chuyên đề quen thuộc và quan trọng đối với Toán học và người làm Toán, học Toán. Các bài toán về bất đẳng thức có mặt trong hầu hết đề thi học sinh giỏi, Đại học, Olympic Trong phân phối chương trình chuyên sâu Toán 10 Trung học phổ thông do Bộ giáo dục ấn hành, ngoài nội dung bắt buộc, chuyên đề bất đẳng thức chiếm khoảng 12 tiết trong số 55 tiết chuyên đề. Tuy nhiên đây là chuyên đề khó vì đòi hỏi người làm Toán phải có vốn kiến thức vững vàng, đồng thời linh hoạt, sáng tạo vận dụng kiến thức khi giải Toán. Cũng chính vì lí do đó mà các bài toán về bất đẳng thức vô cùng phong phú, đa dạng. Nó khơi gợi óc sáng tạo, tư duy, góp phần hình thành, củng cố và phát triển năng lực phân tích, giải quyết vấn đề của người học Toán. Nguyên lý Dirichlet được phát biểu đầu tiên bởi nhà toán học Đức Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) như sau: “nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất 2 con thỏ”. Đây là phương pháp thông dụng và hiệu quả để giải nhiều dạng toán. Hiện nay có một số đề tài đã tìm hiểu và ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải một vài dạng toán nhưng chưa có ai tập trung khai thác rõ việc vận dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức. Mặt khác vấn đề này đã được nêu trong tạp chí như tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, nhưng mới chỉ dừng ở ý tưởng, vài ví dụ đơn giản và đưa ra các bài tập. Vì những lí do trên nên tôi chọn đề tài “Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức” làm đề tài luận văn Thạc sĩ. Luận văn gồm hai nhiệm vụ nghiên cứu chính • Tổng quan về bất đẳng thức ở phổ thông. • Vận dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh một vài bất đẳng thức. 3 Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm hai chương Chương 1: Sơ lược về chứng minh bất đẳng thức Nội dung chương 1 giới thiệu vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức kèm theo ví dụ minh họa cho từng phương pháp ở trường phổ thông. Chương 2: Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức Nội dung chương 2 nêu tổng quan về nguyên lý Dirichlet, ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức và một số ví dụ minh họa chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng nguyên lý Dirichlet. Cuối chương 2 là một số ví dụ để độc giả tham khảo và tự chứng minh. Trong quá trình làm luận văn, chúng tôi đã tham khảo, sử dụng các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo trình của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu, Tạp chí Toán học và tuổi trẻ từ năm 1964, đề thi Đại học từ năm 1970 đến nay, một số đề thi Olympic Toán Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, khoa Toán - Tin, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Trịnh Thanh Hải, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Mặc dù luận văn đã hoàn thành nhưng không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những lời đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn về những mặt tích cực và hạn chế để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Học viên Bùi Thị Lan Hương 4 Chương 1 Sơ lược về chứng minh bất đẳng thức 1.1 Bất đẳng thức • Khái niệm bất đẳng thức Định nghĩa 1.1. Cho hai số thực a và b. a được gọi là lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu hiệu a − b là một số dương; a được gọi là lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu a ≥ b nếu hiệu a − b là một số không âm; a được gọi là nhỏ hơn b, kí hiệu a < b nếu hiệu a − b là một số âm; a được gọi là nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu a ≤ b nếu hiệu a − b là một số không dương. • Một vài tính chất của bất đẳng thức Với các số thực a, b, c và số tự nhiên n luôn có tính chất a > b ⇐⇒ a −b > 0. a > b ⇐⇒ a + c > b + c. a > b ⇐⇒ a 2n+1 > b 2n+1 . | a |>| b | ⇐⇒ a 2n > b 2n . a ≥ b ⇐⇒ a = b hoặc a > b. Với a > b, c > 0 ⇐⇒ ac > bc. Với a > b, c < 0 ⇐⇒ ac < bc. a > b, b > c ⇐⇒ a > c. | a |≤ α ⇐⇒ α ≥ 0 và −α ≤ a ≤ α. 5 1.2 Một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1.2.1 Phương pháp biển đổi tương đương • Ý tưởng - Để chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương ta sử dụng một số biến đổi sơ cấp để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức mới, trong đó bất đẳng thức mới hiển nhiên đúng hoặc ta có thể chứng minh được. A > B ⇔ C > D (trong đó C > D là bất đẳng thức hiển nhiên đúng hoặc ta có thể chứng minh được.) - Có 2 phương pháp biến đổi tương đương là biến đổi tương đương trực tiếp hoặc đặt ẩn phụ rồi biến đổi tương đương. • Ví dụ minh họa Ví dụ 1.1 (JMO 2004 - [5]). Cho a, b, c > 0, a + b + c = 1. Chứng minh rằng 1 + a 1 − a + 1 + b 1 − b + 1 + c 1 − c ≤ 2  b a + c b + a c  . (1.1) Nhận xét 1.1. Các số hạng ở vế trái đều có dạng 1 + x 1 − x nên ta viết 1 + x 1 − x = 1 + 2x 1 − x . Giải Ta biến đổi bất đẳng thức (1.1) (1.1) ⇔ 3 + 2a 1 − a + 2b 1 − b + 2c 1 − c ≤ 2  b a + c b + a c  ⇔ 2a  1 c − 1 1 − a  + 2b  1 a − 1 1 − b  + 2c  1 b − 1 1 − c  ≥ 3 ⇔ a  1 c − 1 b + c  + b  1 a − 1 c + a  + c  1 b − 1 a + b  ≥ 3 2 ⇔ ab c(b + c) + bc a(c + a) + ca b(a + b) ≥ 3 2 . 6 Ta có   ab c +  bc a +  ac b  2 =   ab c(b + c) · √ b + c +  bc a(c + a) · √ c + a +  ac b(a + b) · √ a + b  2 . Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có   ab c(b + c) · √ b + c +  bc a(c + a) · √ c + a +  ac b(a + b) · √ a + b  2 ≤  ab c(b + c) + bc a(c + a) + ac b(a + b)  [2(a + b + c)] nên   ab c +  bc a +  ac b  2 ≤  ab c(b + c) + bc a(c + a) + ac b(a + b)  [2 (a + b + c)] . Theo bất đẳng thức AM-GM ta có (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca) nên   ab c +  bc a +  ac b  2 ≥ 3   ab c · bc a +  bc a · ac b +  ac b · ab c  = 3(b + c + a). Suy ra 3(a + b + c) ≤  ab c(b + c) + bc a(c + a) + ac b(a + b)  [2 (a + b + c)] . Hay ab c(b + c) + bc a(c + a) + ac b(a + b) ≥ 3 2 . Ta suy ra 1 + a 1 − a + 1 + b 1 − b + 1 + c 1 − c ≤ 2  b a + c b + a c  . Bất đẳng thức (1.1) được chứng minh. 7 Ví dụ 1.2 (IMO 1995 - [5]). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 1 a 3 (b + c) + 1 b 3 (c + a) + 1 c 3 (a + b) ≥ 3 2 . (1.2) Nhận xét 1.2. Vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức là như nhau. Mặt khác vế trái của bất đẳng thức chứa a 2 , b 2 , c 2 và a, b, c nhưng không có bậc hai dạng ab, bc, ca. Do đó ta đặt ẩn phụ cho ab, bc, ca. Giải Đặt bc = x, ca = y, ab = z. Khi đó theo giả thiết abc = 1 ta được 1 a = x, 1 b = y, 1 c = z. Suy ra a = 1 x , b = 1 y , c = 1 z . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, kết hợp với giả thiết abc = 1 ta có x + y + z = 1 a + 1 b + 1 c ≥ 3 3  1 abc = 3. Biến đổi bất đẳng thức (1.2) ta có (1.2) ⇔ x 3 1 y + 1 z + y 3 1 z + 1 x + z 3 1 x + 1 y ≥ 3 2 ⇔ x 3 .yz y + z + y 3 .zx z + x + z 3 .xy x + y ≥ 3 2 ⇔ x 2 y + z + y 2 z + x + z 2 x + y ≥ 3 2 . Do vai trò của a, b, c cũng như của x, y, z là như nhau, không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c > 0. Suy ra 0 < x ≤ y ≤ z. 8 Khi đó        x 2 ≤ y 2 ≤ z 2 1 y + z ≤ 1 z + x ≤ 1 x + y . Suy ra x 2 y + z + y 2 z + x + z 2 x + y ≥ x 2 y + x + y 2 z + y + z 2 x + z và x 2 y + z + y 2 z + x + z 2 x + y ≥ x 2 x + z + y 2 y + x + z 2 z + y . Cộng vế với vế ta được x 2 y + z + y 2 z + x + z 2 x + y ≥ 1 2  x 2 + z 2 x + z + y 2 + x 2 y + x + z 2 + y 2 z + y  . Theo bất đẳng thức AM-GM thì x 2 + z 2 ≥ (x + z) 2 2 y 2 + x 2 ≥ (y + x) 2 2 z 2 + y 2 ≥ (z + y) 2 2 và kết hợp với x + y + z ≥ 3 ta được 1 2  x 2 + z 2 x + z + y 2 + x 2 y + x + z 2 + y 2 z + y  ≥ 1 2 (x + y + z) ≥ 3 2 . Suy ra x 2 y + z + y 2 z + x + z 2 x + y ≥ 3 2 . Vậy 1 a 3 (b + c) + 1 b 3 (c + a) + 1 c 3 (a + b) ≥ 3 2 . Bất đẳng thức (1.2) được chứng minh. 9 1.2.2 Phương pháp phản chứng • Ý tưởng Phương pháp phản chứng để chứng minh bất đẳng thức thường dùng khi điều kiện bài toán thì phức tạp, còn bất đẳng thức cần chứng minh thì đơn giản. Khi đó ta đảo điều kiện và kết luận của bài toán cho nhau. Muốn chứng minh bất đẳng thức A ≥ B bằng phương pháp phản chứng, ta giả sử A < B. Bằng lập luận ta suy ra điều mâu thuẫn. Do đó điều giả sử là sai. Vậy nên bất đẳng thức A ≥ B đúng. • Ví dụ minh họa Ví dụ 1.3 (IMO 2001 - [1]). Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a √ a 2 + 8bc + b √ b 2 + 8ca + c √ c 2 + 8ab ≥ 1. (1.3) Nhận xét 1.3. Để mất dấu căn thức ở vế trái của bất đẳng thức ta đặt ẩn phụ cho từng số hạng. Giải Đặt x = a √ a 2 + 8bc y = b √ b 2 + 8ca z = c √ c 2 + 8ab . Vì a, b, c là các số thực dương nên x, y, z cũng là các số thực dương. Mặt khác ta có x = a √ a 2 + 8bc < a √ a 2 = 1 y = b √ b 2 + 8ca < b √ b 2 = 1 z = c √ c 2 + 8ab < c √ c 2 = 1. Do đó x, y, z ∈ (0; 1). [...]... 2.2 2.2.1 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức Ý tưởng • Mệnh đề Từ nguyên lý Dirichlet có một mệnh đề có ý nghĩa ứng dụng hết sức quan trọng “Trong 3 số thực bất kì x, y, z luôn tìm được hai số có tích không âm.” Khi ta đã chọn được “điểm rơi” (tức là đẳng thức của bài toán) thì ta có thể áp dụng mệnh đề trên để chứng minh bất đẳng thức • Định hướng chứng minh bất đẳng thức bằng... 32 Chương 2 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức 2.1 2.1.1 Tổng quan về nguyên lý Dirichlet Nguyên lý Dirichlet Nguyên lý Dirichlet, còn gọi là nguyên lý chim bồ câu (The Pigeonhole Principle), hay nguyên lý những cái lồng nhốt thỏ, nguyên lý sắp xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle) đưa ra một nguyên tắc về sự phân chia phần tử các lớp Nguyên lý này được Dirichlet phát... a2 b2 + a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 + c2 d2 Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d hoặc a = 0; b = c = d và các hoán vị 27 1.2.9 Vận dụng tính chất hình học vào chứng minh bất đẳng thức • Ý tưởng Để chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp vận dụng tính chất hình học, ta sử dụng tính chất của vector hoặc định lý tính chất cơ bản trong hình học, dùng biểu... thức được chứng minh 1.2.3 Phương pháp quy nạp toán học • Ý tưởng Muốn chứng minh một bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ n0 bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau - Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0 - Giả thiết bất đẳng thức đúng với n = k với k > n0 (gọi là giả thiết quy nạp), rồi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 - Kết luận • Ví dụ minh họa Ví dụ 1.4 (Bất đẳng thức Bernoulli)... i=1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a2 an a1 = = ··· = b1 b2 bn hay ai = kbi , i = 1, , n 1.2.5 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức AM-GM hay gọi ngắn gọn hơn là bất đẳng thức AG là bất đẳng thức giữa giá trị trung bình cộng và trung bình nhân Bất đẳng thức AM-GM được ba nhà toán học Schwarz, Bunhiacovski và Cauchy phát minh ra Tuy nhiên bất đẳng thức này vẫn được gọi là bất đẳng thức Cauchy... Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c = 1 1.2.6 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski Tại Việt Nam và một số nước Đông Âu, bất đẳng thức Bunhiacovski, hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc Cauchy-Bunhiacovski được phát biểu như sau Định lý 1.4 Với mọi bộ số (ai ), (bi ) ta luôn có bất đẳng thức sau 2 n ai b i n n a2 i ≤ i=1 i=1 b2 i i=1 Dấu đẳng. .. i=1 Suy ra (1.4) đúng với n = k + 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an 1.2.4 Sử dụng tam thức bậc hai Bất đẳng thức cơ bản và cũng là quan trọng nhất trong chương trình đại số bậc trung học phổ thông là bất đẳng thức x2 ≥ 0, ∀x ∈ R 13 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 Ta cũng thường gặp bất đẳng thức dạng sau (x1 − x2 )2 ≥ 0, ∀x1 , x2... pháp ứng dụng nguyên lí Dirichlet - Tìm điều kiện xảy ra dấu đẳng thức của bài toán, giả sử a = b = c = k - Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số (a − k), (b − k), (c − k) tồn tại hai số cùng dấu Không làm mất tính tổng quát, giả sử (a−k), (b−k) cùng dấu Khi đó (a − k)(b − k) ≥ 0 - Xuất phát từ giả thiết (a − k)(b − k) ≥ 0 dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh hoặc bất đẳng thức tương đương bất đẳng thức. .. Cauchy tìm ra bất đẳng thức này Tuy nhiên Cauchy là người đưa ra cách chứng minh bất đẳng thức AM-GM rất hay và độc đáo Tên gọi bất đẳng thức AM-GM là chuẩn quốc tế được viết tắt từ Arithmetic Mean-Geometric Mean Định lý 1.3 Giả sử x1 , x2 , xn là các số không âm Khi đó √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 xn n 17 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ x1 = x2 = · · · = xn Để áp dụng tốt bất đẳng thức AM-GM... + xyz) Bất đẳng thức được chứng minh Ví dụ 1.9 ([5]) Cho hàm số liên tục f : [0; 1] −→ [−1; 1] Chứng minh rằng 1 1− 0 2 1 f 2 (x)dx ≤ 1− f (x)dx 0 (1.9) 21 Nhận xét 1.4 Để áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovski dạng tích phân ta thực hiện hai bước sau - Bước 1 Xác định cặp hàm số f (x) và g(x) - Bước 2 Vận dụng định lí để chứng minh bất đẳng thức Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovski cho cặp hàm số . nêu tổng quan về nguyên lý Dirichlet, ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức và một số ví dụ minh họa chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng nguyên lý Dirichlet. Cuối chương. hình học vào chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức 32 2.1 Tổng quan về nguyên lý Dirichlet . thiệu vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức kèm theo ví dụ minh họa cho từng phương pháp ở trường phổ thông. Chương 2: Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức Nội dung chương