ứng dụng định thức và ma trận vào việc giải quyết lớp các bài toán chứng minh đẳng thích và bất đẳng thức

Ứng dụng lý thuyết định thức và ma trận vào lớp các bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức 15 2.1.. Mở đầuLý thuyết Đại số tuyến tính nói chung và lý thuyết định thức và ma trận

đại học tháI nguyên

Tr-ờng đại học khoa học

Mục lục

1 Tóm tắt lý thuyết ma trận định thức và một số kiến thức liên quan 5

1.1 Ma trận, tính chất và các phép toán 5

1.1.1 Các định nghĩa 5

1.1.2 Tính chất và các phép toán 6

1.2 Định thức của ma trận vuông 7

1.2.1 Các định nghĩa và tính chất 7

1.2.2 Định lý 1(Laplace) 8

1.2.3 Đa thức đặc trưng, giá trị riêng và véc tơ riêng 9

1.3 Ma trận đối xứng và dạng toàn phương 9

1.3.1 Ma trận đối xứng và các tính chất 9

1.3.2 Dạng toàn phương 12

2 Ứng dụng lý thuyết định thức và ma trận vào lớp các bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức 15 2.1 Chứng minh đẳng thức 15

2.1.1 Đẳng thức Bine - Cauchy dưới dạng định thức 15

2.1.2 Chứng minh đẳng thức bằng cách tính định thức 18

2.1.3 Áp dụng đẳng thức |A.B| = |A| |B| 21

2.1.4 Áp dụng phương trình ma trận 26

2.1.5 Áp dụng vào đẳng thức tích phân suy rộng 27

2.2 Chứng minh bất đẳng thức 28

2.2.1 Áp dụng định lý 6(định lý Bine-Cauchy) 28

2.2.2 Áp dụng định lý Sylvestrer (định lý 2) 29

2.2.3 Áp dụng định lý 3 và định lý 4 31

2.2.4 Áp dụng định lý Schur 32

2.2.5 Áp dụng bất đẳng thức độ lõm |A| 34

2.2.6 Áp dụng bất đẳng thức Adamar 35

2.3 Bài tập đề nghị và hướng dẫn giải 36

Mở đầu

Lý thuyết Đại số tuyến tính nói chung và lý thuyết định thức và ma trận nói riêng

là kiến thức cơ bản của toán học Nó là cơ sở để nghiên cứu các lý thuyết khác củatoán học như hình học cao cấp, giải tích, toán kinh tế v.v Ngoài ra nó còn có ứngdụng trong việc nghiên cứu một số nghành khoa học như vật lý, cơ lý thuyết, hóa học

và một số nghành kỹ thuật khác

Hiện nay các bài toán về đẳng thức và bất đẳng thức ta thường gặp trong rất nhiềucác giáo trình, trong các kỳ thi học sinh giỏi và có rất nhiều phương pháp giải hay vàđộc đáo Trong phạm vi đề tài này chúng tôi mạnh dạn trình bày một phương pháptiếp cận khác đó là phương pháp giải dựa trên lý thuyết của ma trận và định thức

Bố cục của luận văn như sau luận văn ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệutham khảo luận văn gồm có hai chương:

Chương 1: Lý thuyết ma trận, định thức và một số kiến thức có liên quan.Chương 2: Ứng dụng lý thuyết ma trận và định thức vào lớp các bài toán chứngminh đẳng thức và bất đẳng thức

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã được nhận sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tìnhcủa PGS.TS Nông Quốc Chinh

Nhân đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã quan tâm,hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến qúy báu trong suốt quá trình hoàn thành luậnvăn của tác giả

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tập thể các thầy cô giáo trong khoaToán ĐHKH - ĐH Thái Nguyên vì sự dạy dỗ, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

và hoàn thành luận văn này

Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã giúp đỡ và là nguồnđộng viên tinh thần lớn trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Kết quả đạt được trong bản luận văn này còn nhiều khiêm tốn và chắc hẳn khôngthể tránh khỏi những thiếu sót Do vậy, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ýkiến của thầy cô và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn !

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012.

Học viênPhạm Quang Ngọc

Nếu m = n thì ta nói A là ma trận vuông cấp n, kí hiệu A = (aij)n.

Ma trận At= (aji)n×m thu được từ ma trận A = (aij)m×n bằng cách chuyển dòng thànhcột, cột thành dòng gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A

Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu aij = aji, ∀i, j = 1, n

Ma trận vuông A gọi là ma trận phản đối xứng nếu aij = −aji, ∀i, j = 1, n

Ma trận vuông A được gọi là ma trận đơn vị nếu mọi phần tử nằm trên đường chéochính đều bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 và ta kí hiệu In.

Phép nhân ma trận nói chung không có tính chất giao hoán Tức là A.B 6= B.A.Tuy nhiên phép nhân ma trận có tính chất kết hợp:(A.B).C = A.(B.C).

Ma trận vuôngA = (aij)n được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông

B = (bij)n sao cho A.B = B.A = In

Ma trận vuông A gọi là ma trận trực giao nếu A.At = In

Nhận xét : Ta thấy tập hợp các ma trận vuông cấp n cùng với phép cộng và nhân

ma trận lập thành một vành không giao hoán với phần tử không là ma trận O và phần

tử đơn vị là ma trận đơn vị In Hơn nữa nếu thêm vào phép nhân vô hướng, nó tạothành một đại số trên trường K Kí hiệu tập các ma trận vuông cấp n là M at(n, K),

ở đây K là trường R hoặc C

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

= X

σ∈S n

sgn (σ)aσ(1)1 aσ(n)n.

Từ định nghĩa ta có một số tính chất và kết quả sau:

a) Nếu một cột(một hàng) của định thức có nhân tử chung thì ta đưa được nhân tửchung ra ngoài

Ví dụ:

= p

a11 b1i a1n

a21 b2i a2n

am1 bmi amn

b) Đổi chỗ hai cột của định thức thì định thức không đổi dấu

c) Định thức có một cột bằng 0, định thức có hai cột bằng nhau, định thức có một cột

là tổ hợp tuyến tính của các cột còn lại thì bằng 0

d) Nếu cộng thêm vào một cột một tổ hợp tuyến tính của các cột còn lại thì định thứckhông thay đổi

e) det (In) = 1

f) det (A.B) = det (A) det (B)

g) Ma trận A khả nghịch (không suy biến ) khi và chỉ khi det (A) 6= 0

h) det (A) = det (At)

i 1 i q (A) là định thức của ma trận còn lại từ

A sau khi xóa đi các dòng i1, , iq, và các cột j1, , jq nhân với (−1)i1 + +i q +j 1 + +j q

vàđược gọi là định thức con bù của ∆j1 j q

i 1 i q (A) Ta gọi ( e∆j1 j q

i 1 i q (A) là phần bù đại số của

(ii) Công thức khai triển định thức của ma trận A theo q cột j1, , jq :

1.2.3 Đa thức đặc trưng, giá trị riêng và véc tơ riêng

Định nghĩa 2 Đa thức Pλ(A) = det (A − λIn) được gọi là đa thức đặc trưng của matrận A Hiển nhiên Pλ(A) là đa thức biến λ bậc n và ta có:

Pλ(A) = (−1)nλn+ (−1)n−1b1λn−1+ + bn−1(−λ) + bn

trong đó bk là tổng của định thức con chính cấp k của ma trận A,∀k = 1, n

Định nghĩa 3 Nghiệm của phương trình Pλ(A) = 0 được gọi là giá trị riêng của matrận A

Định nghĩa 4 Véc tơ x = (x1, x2, , xn) 6= 0 thuộc Kn được gọi là véc tơ riêng ứng

với giá trị riêng λ của ma trận A nếu A [x] = λ [x] với [x] =

1.3.1 Ma trận đối xứng và các tính chất

Tính chất 1 Mọi nghiệm của phương trình đặc trưng của ma trận đối xứng A trêntrường số thực đều là thực

Chứng minh Giả sử a + bi là một nghiệm của phương trình |A − λI| = 0 Khi đó

|A − (a + bi) I| = 0 hay |A − aI − ibI| = 0

Tương tự như hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số thực, hệ thuần nhất

có ma trận hệ số A − ai − ibI có một nghiệm không tầm thường

u + iv = (u1+ iv1, , un+ ivn) 6= 0

Bởi vì

(A − aI − ibI) [u + iv] = 0nên tách riêng phần thực phần ảo ta được

(A − aI) [u] + b [v] = 0, (A − aI) [v] − b [u] = 0

Đẳng thức này cho ta b = 0, vì |u|2+ |v|2 6= 0

Vì |A − λI| = 0 là một phương trình đại số bậc n với hệ số thực nên một ma trận đốixứng cấp n có đúng n giá trị riêng kể cả số lần bội Từ đó suy ra điều phải chứng minh.Tính chất 2 Mọi ma trận đối xứng A đều chéo hóa được, tức là tồn tại ma trận trựcgiao T sao cho T∗AT = T−1AT là ma trận chéo

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo cấp của A

Với n = 1 kết quả là hiển nhiên

Giả sử mọi ma trận đối xứng cấp n − 1, n> 2 định lý đúng Xét ma trận A = (aij)nđối xứng cấp n Theo tính chất 1, A có một giá trị riêng λ1 Chọn véc tơ riêng e1 ứngvới giá trị riêng λ1 thỏa mãn |e1| = 1 Khi đó :

Ae1 = λ1e1

Bổ sung vào e1 các véc tơ v2, , vn để được một cơ sở của Rn, sau đó trực giao hóa vàtrực chuẩn hóa, ta được một cở sở trực chuẩn E = {e1, e2, , en} của Rn Gọi B là

ma trận của phép biến đổi tuyến tính A đối với cơ sở E Khi đó

Vì B = S∗AS nên

T1∗S∗AST1 = Dλ.Đặt T = ST1 Vì S, T1 trực giao nên T trực giao và

T∗AT = Dλ

Suy ra điều phải chứng minh

Tính chất 3 Cho A là ma trận đối xứng cấp n Khi đó trong Rn tồn tại một cơ sởtrực chuẩn gồm những véc tơ riêng của A

Chứng minh Theo tính chất 2

AT = T Dλtrong đó T là ma trận trực giao, Dλ là ma trận chéo Gọi E = {e1, e2, , en} là cácvéc tơ cột của T Khi đó E trực chuẩn và Aei = λiei với i = 1, , n Vậy các véc tơthuộc E là các véc tơ riêng của A Mặt khác vì ma trận A đối xứng nên A chéo hóađược, do đó mọi giá trị riêng bội m của A có đúng m véc tơ riêng độc lập tuyến tính.Giả sử λ0 là một giá trị riêng bội m Chọn m véc tơ riêng độc lập ứng với λ0 và sau đótrực chuẩn hóa hệ m véc tơ này ta được một hệ trực chuẩn gồm m véc tơ Hiển nhiên

m véc tơ này cũng là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ0 Tiến hành như vậy đối vớitất cả các giá trị riêng ta được hệ n véc tơ E = {e1, e2, , en} Hệ này là một cơ sởtrực chuẩn của Rn Gọi T là ma trận có các véc tơ của E là các cột thì T trực giao và

là ma trận của dạng toàn phương.

khi sử dụng tích vô hướng của dạng toàn phương Q(x) sẽ được biểu diễn như sau:Q(x) = (x, Ax)

Q(x) được gọi là xác định nếu Q(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0

Q(x) được gọi là xác định dương nếu Q(x) > 0,∀x 6= 0

Định lý 2 (Sylvestrer)

Cho Q(x) là dạng toàn phương xác định trên R và A là ma trận của Q(x)

Q(x) xác định dương khi và chỉ khi mọi định thức con chính ∆m của A là dương

a11 a12 a1m

a21 a22 a2m

am1 am2 amm

Gọi Xm là các véc tơ con của X sinh bởi các véc tơ cơ sở e1, e2, , em Khi đó

Qm(x) = Q(x), x ∈ Xm cũng là một dạng toàn phương xác định dương (hoặc âm ).Xét

cơ sở mới trong Xm để Q(x) có dạng chính tắc, ma trận của Q(x) trong cơ sở này códạng

Nếu gọi T là ma trận chuyển từ cở sở e1, e2, , em sang cơ sở chính tắc thì ta có

b1b2 bm= ∆m|T |2

Do đó nếu Q(x) xác định dương thì mọi bj > 0, nên ∆m > 0 Nếu Q(x) xác định

âm thì mọi bj < 0, nên ∆m > 0 nếu m chẵn, ∆m < 0 nếu m lẻ

Định nghĩa 6 Giả sử Q(x) xác định dương, A là ma trận của Q(x), khi đó A đượcgọi là ma trận xác định dương

Định lý 3 Nếu A là ma trận xác định dương thì mọi giá trị riêng của A đều dương.Chứng minh Ta có đa thức đặc trưng của A là :

Pλ(A) = det A − λIn) = (−1)nλn+ (−1)n−1b1λn−1+ + bn−1(−λ) + bn

Giả sử tồn tại một nghiệm của Pλ(A) = 0 thỏa mãn λ 6 0.Khi đó đặt µ = −λ ta có :

Pλ(A) = 0 ⇔ µn+ b1µn−1+ + bn−1µ + bn (1)

Do A xác định dương nên các bi > 0, ∀i = 1, n và µ = −λ > 0

suy ra: µn+ b1µn−1+ + bn−1µ + bn > 0 mâu thuẫn với (1), ta có điều phải chứngminh

Chúng ta công nhận mà không chứng minh hai định lí sau:

Định lý 4 Mọi dạng toàn phương Q(x) xác định trên R ta đưa về dạng chính tắc sau:

2.1.1 Đẳng thức Bine - Cauchy dưới dạng định thức

Định lý 6 ( Bine - Cauchy) Cho A = (aij)mn, B = (bij)mn Đặt D = AB0 = (cij)mtrong đó cij =

16i 1 <i 2 < <i m 6m

Ai1i2 imBi1i2 im, ( 1 ).

với m > n thì |D| = 0

Khi có hai chỉ số trùng nhau thì định thức Ak1k2 km(∗) có ít nhất hai cột như nhau nên

nó bằng không.Vì vậy , khi m > n ta có mọi hạng tử đều bị triệt tiêu suy ra |D| = 0.Xét trường hợp m6 n, đối với mỗi bộ chỉ số :1 6 i1 < i2 < < im 6 n, trong tổng(*) xét tất cả các hạnh tử có các chỉ số k1, k2, , km được tạo nên từ một hoán vị nào

16i 1 <i 2 < <i m 6m

Ai1i2 imBi1i2 im, Ta có đẳng thức Bine - Cosi

Ví dụ 1 ( Đẳng thức Cosi)

Cho ai, bi, ci, di ∈ R i = 1, n
chứng minh rằng :

2.1.2 Chứng minh đẳng thức bằng cách tính định thức

Ví dụ 3 Với p ∈ N, x ∈ R đặt :

φp(x) =

... suy điều phải chứng minh. Tính chất Mọi ma trận đối xứng A chéo hóa được, tức tồn ma trận trựcgiao T cho T∗AT = T−1AT ma trận chéo

Chứng minh Ta chứng minh quy nạp... xác định

âm bj < 0, nên ∆m > m chẵn, ∆m < m lẻ

Định nghĩa Giả sử Q(x) xác định dương, A ma trận Q(x), A đượcgọi ma trận xác định. .. phải chứng minh

Tính chất Cho A ma trận đối xứng cấp n Khi Rn tồn sởtrực chuẩn gồm véc tơ riêng A

Chứng minh Theo tính chất

AT = T Dλtrong T ma trận