Ứng dụng định thức và ma trận vào việc giải quyết lớp các bài toán chứng minh đẳng thích và bất đẳng thức

đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học PHạM QUANG NGọC ứNG DụNG ĐịNH THứC Và MA TRậN VàO VIệC GIảI QUYếT LớP CáC BàI TOáN CHứNG MINH ĐẳNG THứC Và BấT ĐẳNG THứC Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên 2012 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mc lc M u Túm tt lý thuyt ma trn nh thc v mt s kin thc liờn quan 1.1 Ma trn, tớnh cht v cỏc phộp toỏn 1.1.1 Cỏc nh ngha 1.1.2 Tớnh cht v cỏc phộp toỏn 1.2 nh thc ca ma trn vuụng 1.2.1 Cỏc nh ngha v tớnh cht 1.2.2 nh lý 1(Laplace) 1.2.3 a thc c trng, giỏ tr riờng v vộc t riờng 1.3 Ma trn i xng v dng ton phng 1.3.1 Ma trn i xng v cỏc tớnh cht 1.3.2 Dng ton phng 12 ng dng lý thuyt nh thc v ma trn vo lp cỏc bi toỏn chng minh ng thc v bt ng thc 15 2.1 Chng minh ng thc 15 2.1.1 ng thc Bine - Cauchy di dng nh thc 15 2.1.2 Chng minh ng thc bng cỏch tớnh nh thc 18 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.3 p dng ng thc |A.B| = |A| |B| 21 2.1.4 p dng phng trỡnh ma trn 26 2.1.5 p dng vo ng thc tớch phõn suy rng 27 2.2 Chng minh bt ng thc 28 2.2.1 p dng nh lý 6(nh lý Bine-Cauchy) 28 2.2.2 p dng nh lý Sylvestrer (nh lý 2) 29 2.2.3 p dng nh lý v nh lý 31 2.2.4 p dng nh lý Schur 32 2.2.5 p dng bt ng thc lừm |A| 34 2.2.6 p dng bt ng thc Adamar 35 2.3 Bi ngh v hng dn gii 36 Ti liu tham kho 41 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn M u Lý thuyt i s tuyn tớnh núi chung v lý thuyt nh thc v ma trn núi riờng l kin thc c bn ca toỏn hc Nú l c s nghiờn cu cỏc lý thuyt khỏc ca toỏn hc nh hỡnh hc cao cp, gii tớch, toỏn kinh t v.v Ngoi nú cũn cú ng dng vic nghiờn cu mt s nghnh khoa hc nh vt lý, c lý thuyt, húa hc v mt s nghnh k thut khỏc Hin cỏc bi toỏn v ng thc v bt ng thc ta thng gp rt nhiu cỏc giỏo trỡnh, cỏc k thi hc sinh gii v cú rt nhiu phng phỏp gii hay v c ỏo Trong phm vi ti ny chỳng tụi mnh dn trỡnh by mt phng phỏp tip cn khỏc ú l phng phỏp gii da trờn lý thuyt ca ma trn v nh thc B cc ca lun nh sau lun ngoi cỏc phn m u, kt lun v ti liu tham kho lun gm cú hai chng: Chng 1: Lý thuyt ma trn, nh thc v mt s kin thc cú liờn quan Chng 2: ng dng lý thuyt ma trn v nh thc vo lp cỏc bi toỏn chng minh ng thc v bt ng thc Lun c hon thnh ti Trng i hc Khoa hc - i hc Thỏi Nguyờn hon thnh lun ny, tỏc gi ó c nhn s hng dn, giỳp tn tỡnh ca PGS.TS Nụng Quc Chinh Nhõn õy, tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ti thy, ngi ó quan tõm, hng dn v úng gúp nhiu ý kin qỳy bỏu sut quỏ trỡnh hon thnh lun ca tỏc gi Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ti th cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn HKH - H Thỏi Nguyờn vỡ s dy d, giỳp tỏc gi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny Cui cựng tỏc gi xin chõn thnh cm n gia ỡnh v bn bố ó giỳp v l ngun ng viờn tinh thn ln sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun Kt qu t c bn lun ny cũn nhiu khiờm tn v chc hn khụng th trỏnh nhng thiu sút Do vy, tỏc gi rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca thy cụ v cỏc bn bố lun c hon thin hn Tỏc gi xin chõn thnh cm n ! S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Thỏi Nguyờn, thỏng 08 nm 2012 Hc viờn Phm Quang Ngc S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chng Túm tt lý thuyt ma trn nh thc v mt s kin thc liờn quan 1.1 Ma trn, tớnh cht v cỏc phộp toỏn 1.1.1 Cỏc nh ngha Ma trn A cp m ì n l mt bng m hng ( hay dũng ), n ct c vit c nh nh sau: A = (ai j )mìn a11 a12 a1n a21 a22 a2n = am1 am2 amn ( vi i = 1,2, ,m; j =1,2, n ; aij R hoc aij C) Nu m = n thỡ ta núi A l ma trn vuụng cp n, kớ hiu A = (aij )n Ma trn At = (aji )nìm thu c t ma trn A = (aij )mìn bng cỏch chuyn dũng thnh ct, ct thnh dũng gi l ma trn chuyn v ca ma trn A Ma trn vuụng A c gi l ma trn i xng nu aij = aji , i, j = 1, n Ma trn vuụng A gi l ma trn phn i xng nu aij = aji , i, j = 1, n S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma trn vuụng A c gi l ma trn n v nu mi phn t nm trờn ng chộo chớnh u bng 1, cỏc phn t cũn li bng v ta kớ hiu In 1.1.2 Tớnh cht v cỏc phộp toỏn i) Phộp nhõn ma trn vi mt s Tớch ca ma trn A vi mt s k l mt ma trn B = k.A c xỏc nh nh sau: B = (bi j )mìn ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n = kam1 kam2 kamn ii) Phộp cng ma trn Tng ca hai ma trn A = (aij )mìn v B = (bij )mìn l mt ma trn C = (cij )mìn vi cij = aij + bij , i = 1, m, j = 1, n a + b11 b b1n a a1n 11 11 11 a21 a2n b21 b2n a21 + b21 = + am1 + bm1 bm1 bmn am1 amn a1n + b1n a2n + b2n amn + bmn Hin nhiờn ta cng thy phộp cng hai ma trn cng cú tớnh giao hoỏn v kt hp Tớnh giao hoỏn: A + B = B + A Tớnh kt hp : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C iii) Phộp nhõn cỏc ma trn Tớch ca hai ma trn A = (aik )mìn v B = (bkj )nìp l mt ma trn C = (cij )mìp c nh ngha nh sau: n C = A.B = aik bkj k=1 mìp Ta chỳ ý phộp nhõn ma trn A vi ma trn B ch thc hin c nu s ct ca ma trn A bng s dũng ca ma trn B S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Phộp nhõn ma trn núi chung khụng cú tớnh cht giao hoỏn Tc l A.B = B.A Tuy nhiờn phộp nhõn ma trn cú tớnh cht kt hp:(A.B).C = A.(B.C) Ma trn vuụngA = (aij )n c gi l ma trn kh nghch nu tn ti ma trn vuụng B = (bij )n cho A.B = B.A = In Ma trn vuụng A gi l ma trn trc giao nu A.At = In Nhn xột : Ta thy hp cỏc ma trn vuụng cp n cựng vi phộp cng v nhõn ma trn lp thnh mt vnh khụng giao hoỏn vi phn t khụng l ma trn O v phn t n v l ma trn n v In Hn na nu thờm vo phộp nhõn vụ hng, nú to thnh mt i s trờn trng K Kớ hiu cỏc ma trn vuụng cp n l M at(n, K), õy K l trng R hoc C 1.2 1.2.1 nh thc ca ma trn vuụng Cỏc nh ngha v tớnh cht nh thc ca ma trn vuụng A = (aij )n l mt s kớ hiu l det(A) hoc |A| c xỏc nh nh sau: det (A) = a11 a12 a1n a21 a22 a2n = sgn ()a(1)1 a(n)n Sn am1 am2 amn T nh ngha ta cú mt s tớnh cht v kt qu sau: a) Nu mt ct(mt hng) ca nh thc cú nhõn t chung thỡ ta a c nhõn t chung ngoi Vớ d: S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn a11 pa1i + qb1i a1n a21 pa2i + qb2i a2n =p a11 a1i a1n a21 a2i a2n +q b1i a1n a21 b2i a2n b) i ch hai ct ca nh thc thỡ nh thc khụng i du c) nh thc cú mt ct bng 0, nh thc cú hai ct bng nhau, nh thc cú mt ct l t hp tuyn tớnh ca cỏc ct cũn li thỡ bng d) Nu cng thờm vo mt ct mt t hp tuyn tớnh ca cỏc ct cũn li thỡ nh thc khụng thay i e) det (In ) = f) det (A.B) = det (A) det (B) g) Ma trn A kh nghch (khụng suy bin ) v ch det (A) = h) det (A) = det (At ) 1.2.2 nh lý 1(Laplace) Cho A = (aij )n vi cỏc s nguyờn q < n, i1 < < iq n, j1 < < j j n Gi i11 iqq (A) l nh thc ca ma trn cp q to bi cỏc phn t giao cỏc jq j j dũng i1 , , iq , vi cỏc ct j1 , , jq Cũn i11 iqq (A) l nh thc ca ma trn cũn li t A sau xúa i cỏc dũng i1 , , iq , v cỏc ct j1 , , jq nhõn vi (1)i1 + +iq +j1 + +jq v j j j j c gi l nh thc bự ca i11 iqq (A) Ta gi ( i11 iqq (A) l phn bự i s ca j j i11 iqq (A)) Gi s ó chn q dũng ( tng ng, q ct ) mt nh thc cp n(1 q < n) Khi ú, nh thc ó cho bng tng tt c cỏc nh thc cp q ly t q dũng ( tng ng, q ct ) ó chn vi phn bự i s ca chỳng Núi cỏch khỏc ta cú : (i) Cụng thc khai trin nh thc ca ma trn A theo q dũng i1 , , iq : j j j j (1)i1 + +iq +j1 + +jq i11 iqq (A) i11 iqq (A) det A = j1 <