Sử dụng đạo hàm khảo sát bất phương trình và chứng minh bất đẳng thức

Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HUỆ SỬ DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2016 Footer Page of 126 Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HUỆ SỬ DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2016 Footer Page of 126 Header Page of 126 i Mục lục Mở đầu Một số kiến thức hàm 1.1 Hàm liên tục hàm khả vi 1.1.1 Hàm liên tục 1.1.2 Hàm khả vi 1.1.3 Công thức Taylor 1.2 Hàm đơn điệu hàm bị chặn 1.3 Hàm lồi, hàm lõm 1.4 Hàm đa thức 1.4.1 Đa thức Chebyshev 1.4.2 Đa thức lượng giác 1.4.3 Nội suy Lagrange số Bất đẳng thức, bất phương trình lớp hàm khả vi 2.1 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm quan trọng 2.1.1 Bất đẳng thức Jensen dạng liên quan 2.1.2 Bất đẳng thức lớp hàm lồi bậc cao 2.1.3 Bất đẳng thức Landau Landau-Kolmogorov 2.2 Bất đẳng thức chứa đạo hàm lớp đa thức đại số 2.3 Một số dạng toán cực trị lớp hàm khả vi 2.4 Một số dạng bất phương trình lớp hàm khả vi Các dạng toán bất phương trình bất đẳng thức qua thi Olympic 3.1 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 3.2 Bất đẳng thức toán cực trị 3.2.1 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số 3.2.2 Ứng dụng tính chất hàm lồi 3.2.3 Ứng dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi khả vi 5 11 13 13 14 15 17 17 17 23 26 29 36 42 kỳ 48 48 56 56 65 70 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 Footer Page of 126 Header Page of 126 Mở đầu Bất đẳng thức, bất phương trình phần quan trọng chương trình toán phổ thông toán bất đẳng thức, bất phương trình thường toán khó đòi hỏi tính tư sáng tạo cao Các toán bất đẳng thức, bất phương trình toán có mặt hầu hết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, đề thi Olympic Toán quốc tế Để giải toán bất đẳng thức, bất phương trình có nhiều cách khác phương pháp vạn để giải toán.Tuy nhiên, phương pháp sử dụng đạo hàm tính chất hàm số công cụ hữu hiệu để giải toán tìm điều kiện tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đó, để chứng minh bất đẳng thức hay toán tìm cực trị biểu thức Bên cạnh đó, bất đẳng thức lớp hàm khả vi quan tâm giới thiệu tài liệu tiếng Việt như: Bất đẳng thức Landau, bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng thức Markov-Bernsterin số bất đẳng thức khác liên quan đến hàm lồi khả vi Đây bất đẳng thức khó xuất rải rác số tài liệu Việc giới thiệu bất đẳng thức cần thiết cho việc bồi dưỡng nâng cao kiến thức người dạy toán bất đẳng thức liên quan đến hàm số khả vi Vì lý chọn đề tài "Sử dụng đạo hàm để khảo sát bất phương trình chứng minh bất đẳng thức" làm luận văn khoa học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Cấu trúc luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương Một số kiến thức hàm số Trong chương trình bày định nghĩa hàm số liên tục, hàm số khả vi, hàm số đơn điệu, hàm số bị chặn, hàm lồi, hàm lõm số kết liên quan; công thức Taylor, đa thức Chebyshev tính chất, đa thức lượng giác, Footer Page of 126 Header Page of 126 toán nội suy Lagrange Chương Bất đẳng thức, bất phương trình lớp hàm khả vi Trong chương trình bày bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi khả vi dạng liên quan, bất đẳng thức Landau, bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng thức Landau-Kolmogorov, số bất đẳng thức hàm lồi bậc cao, bất đẳng thức đạo hàm hàm đa thức, bất đẳng thức Markov-Bernsterin; toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm khả vi; bất phương trình lớp hàm khả vi Chương Các dạng toán bất phương trình bất đẳng thức qua kỳ thi Olympic Trong chương hệ thống toán đề thi đại học, học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; toán đề thi cấp quốc gia, Olympic toán quốc tế theo chuyên đề: Ứng dụng tính đơn điệu, ứng dụng tính chất hàm lồi khả vi, ứng dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi khả vi Trong thời gian thực luận văn, tác giả nhận hướng dẫn bảo tận tình GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc trân trọng công lao, quan tâm, động viên tận tình bảo thầy Nguyễn Văn Mậu Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ -Tin học dạy bảo tận tình; chân thành cảm ơn thầy cô Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, văn phòng khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian tác giả học tập thực luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Huệ Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương Một số kiến thức hàm số Trong chương trình bày định nghĩa hàm số liên tục, hàm số khả vi, hàm số đơn điệu, hàm số bị chặn, hàm lồi, hàm lõm số kết liên quan; công thức Taylor, đa thức Chebyshev tính chất, đa thức lượng giác, toán nội suy Lagrange Nội dung chương dựa theo tài liệu [1], [2], [5], [6] 1.1 1.1.1 Hàm liên tục hàm khả vi Hàm liên tục Định nghĩa 1.1 (Hàm liên tục) Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a, b), x0 ∈ (a, b) Hàm f (x) gọi liên tục x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Định nghĩa 1.2 Hàm số f (x) gọi liên tục khoảng (a, b) liên tục điểm thuộc khoảng Định nghĩa 1.3 Hàm số f (x) gọi liên tục đoạn [a, b] liên tục khoảng (a, b) lim+ f (x) = f (a), lim− = f (b) x→a x→b Định lý 1.1 Nếu hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b] f (a)f (b) < tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = Định lý 1.2 Nếu hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b] f (x) nhận giá trị trung gian f (a) f (b) Tức là, với M ∈ [min{f (a); f (b)}, max{f (a); f (b)}] tồn giá trị c ∈ [a, b] cho f (c) = M Định lý 1.3 Nếu hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b] hàm số đạt giá trị nhỏ lớn đoạn [a, b] Tức là, tồn x1 , x2 ∈ [a, b] cho ∀x ∈ [a, b] ta có f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) Footer Page of 126 Header Page of 126 1.1.2 Hàm khả vi Xét hàm số f (x) xác định (a, b) x0 ∈ (a, b) Định nghĩa 1.4 (Hàm khả vi) Hàm số f (x) gọi khả vi x0 tồn f (x) − f (x0 ) Giới hạn gọi đạo hàm hàm số x→x0 x − x0 f (x) x0 ký hiệu f (x0 ) giới hạn hữu hạn lim Định nghĩa 1.5 Hàm số f (x) gọi khả vi phải x0 tồn giới hạn f (x) − f (x0 ) Giới hạn gọi đạo hàm bên phải hàm số x − x0 x→x0 f (x) x0 ký hiệu f (x0 +) hữu hạn lim+ Định nghĩa 1.6 Hàm số f (x) gọi khả vi trái x0 tồn giới hạn f (x) − f (x0 ) Giới hạn gọi đạo hàm bên trái hàm số x − x0 x→x0 f (x) x0 ký hiệu f (x0 −) hữu hạn lim− Nhận xét 1.1 Hàm số f (x) có đạo hàm x0 f (x0 +), f (x0 −) tồn Định nghĩa 1.7 Hàm số f (x) gọi khả vi khoảng (a, b) khả vi điểm thuộc khoảng Đạo hàm hàm số f (x) khoảng (a, b) ký hiệu f (x) Định nghĩa 1.8 Cho hàm số f (x) khả vi khoảng (a, b), f (x) khả vị điểm x ∈ (a, b) ta nói f (x) có đạo hàm cấp x ký hiệu f (x) Tương tự, cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp n − 1, ký hiệu f (n−1) (x)(n ∈ N, n ≥ 2) Nếu f (n−1) (x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f (x) ký hiệu f (n) (x) Định nghĩa 1.9 Định lý 1.4 (Định lý Rolle) Cho f (x) hàm số liên tục đoạn [a, b] khả vi khoảng (a, b) Nếu f (a) = f (b) tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (c) = Hệ 1.1 Nếu hàm số f (x) có đạo hàm khoảng (a, b) phương trình f (x) = có n nghiệm (kể bội) thuộc khoảng (a, b) phương trình f (x) = có n − nghiệm (kể bội) thuộc khoảng (a, b) ( Phương trình f (k) (x) = có n − k nghiệm (kể bội) thuộc khoảng (a, b), với k ∈ {1, 2, , n}) Footer Page of 126 Header Page of 126 Nhận xét 1.2 Nếu hàm f (x) hàm đa thức bậc n có n nghiệm thực f (x) có n − nghiệm thực Định lý 1.5 (Định lý Lagrange) Cho f (x) hàm số liên tục đoạn [a, b] khả vi khoảng (a, b) Khi đó, tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) = f (c) b−a Định lý 1.6 (Định lý Cauchy giá trị trung bình) Cho hàm số f (x), g(x) liên tục đoạn [a, b], khả vi khoảng (a, b) g(a) = g(b) Khi đó, tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) f (c) = g(b) − g(a) g (c) Định lý 1.7 (Định lý Darboux) Cho hàm số f (x) khả vi khoảng (a, b) c, d ∈ (a, b) Khi f (x) nhận giá trị trung gian f (c) f (d) Định nghĩa 1.10 Cho hàm số f (x) xác định liên tục khoảng (a, b), điểm x0 ∈ (a, b) gọi điểm cực tiểu địa phương f (x) ∃δ > cho (x0 − δ; x0 + δ) ⊂ (a, b) f (x) ≥ f (x0 ), ∀x ∈ (x0 − δ; x0 + δ) Nếu x0 điểm cực tiểu địa phương −f (x) ta gọi x0 điểm cực đại địa phương f (x) Các điểm cực đại địa phương cực tiểu địa phương gọi chung điểm cự trị địa phương Định lý 1.8 (Định lý Fermat) Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a, b) Nếu f (x) đạt cực trị địa phương x0 f (x) khả vi x0 f (x0 ) = 1.1.3 Công thức Taylor Định lý 1.9 Giả sử f : U(a, δ) → R hàm khả vi liên tục đến cấp n − δ -lân cận U(a, δ) điểm a có đạo hàm hữu hạn cấp n điểm a Khi đó, hàm f biểu diễn dạng n f (x) = k=0 f (k) (a) (x − a)k + o((x − a)n ) k! (1.1) x → a, 0! = 1, f (0) (a) = f (a) Công thức (1.1) gọi công thức Taylor dạng địa phương với phần dư Peano Footer Page of 126 Header Page of 126 Định lý 1.10 Giả sử f : (a, b) → R khả vi liên tục cấp n khoảng (a, b) có đạo hàm cấp n + điểm khoảng (a, b) trừ điểm x0 ∈ (a, b) Khi đó, điểm x0 điểm x ∈ (a, b) bất kỳ, tồn điểm ξ, cho n f (x) = k=0 f (k) (x0 ) (x − x0 )k + Rn+1 (f ; x), k! (1.2) Rn+1 (f ; x) = n!p x − x0 x−ξ p (x − ξ)n+1 f (n+1) (ξ), p ∈ R, p > (1.3) Công thức (1.2) gọi công thức Taylor hàm f với phần dư Rn+1 dạng Schlomilch - Roche Bằng cách chọn giá trị p > hoàn toàn xác định, ta thu trường hợp riêng phần dư Rn+1 (f ; x) Ta xét trường hợp quan trọng p = n + p = Khi p = n + 1, từ (1.3), ta thu phần dư công thức Taylor dạng Lagrange Rn+1 (f ; x) = f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 , ξ = x0 + θ(x − x0 ), < θ < (n + 1)! (1.4) Khi p = 1, từ (1.3), ta thu phần dư công thức Taylor dạng Cauchy Rn+1 (f ; x) = f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) (x − x0 )n+1 (1 − θ)n , < θ < 1, n! (1.5) ξ = x0 + θ(x − x0 ) Nhận xét 1.3 Công thức Maclaurin với phần dư (1.4) (1.5) có dạng tương ứng Rn+1 (f ; x) = Rn+1 (f ; x) = f (n+1) (θx) n+1 x , < θ < (dạng Lagrange), (n + 1)! f (n+1) (θx) (1 − θ)n xn+1 , < θ < (dạng Cauchy) (n + 1)! Sau ta xét khai triển Maclaurin số hàm sơ cấp đơn giản Ví dụ 1.1 Hàm f (x) = ex , x ∈ R có f (n) (x) = ex ∀x ∈ R Do ex = + x + Footer Page of 126 x2 xn + ··· + + Rn (x), 2! n! Header Page 10 of 126 eθx xn+1 , < θ < (n + 1)! Rn (x) = Ta có |Rn (x)| ≤ |x|n+1 x e → (n → ∞), x ∈ R (n + 1)! Ví dụ 1.2 Hàm f (x) = sin x có f (n) (x) = sin x + n π , n ∈ {0, 1, }, π f (0) = 0, f (0) = 1, f (0) = 0, f (3) (0) = −1, , f (2n) (0) = sin 2n π n sin (2n + 1) = (−1) = 0, f (2n+1) (0) = Do (−1)n−1 x2n−1 x3 x5 + − ··· + + R2n+1 (x), sin x = x − 3! 5! (2n − 1)! R2n+1 (x) = sin θx + (2n + 1) π2 x2n+1 (2n + 1)! , < θ < (1.6) Từ (1.6) suy |R2n+1 (x)| ≤ |x|2n+1 → (n → ∞), ∀x ∈ R (2n + 1)! Ví dụ 1.3 Hàm f (x) = cos x có f (n) (x) = cos x + nπ , f (n) (θx) = cos θx + f (n) (0) = cos nπ , nπ , n ∈ {1, 2, } Công thức Maclaurin theo lũy thừa x với phần dư dạng Lagrange có dạng cos x = − R2n (x) = 1.2 x2 x4 x2(n−1) + − · · · + (−1)n−1 + R2n (x), 2! 4! [2(n − 1)]! x2n π cos θx + 2n (2n)! →0 (n → ∞), ∀x ∈ R Hàm đơn điệu hàm bị chặn Ký hiệu I(a, b) ⊂ R ngầm định bốn tập hợp (a, b), (a, b], [a, b) [a, b] với a < b Footer Page 10 of 126 Header Page 11 of 126 10 Định nghĩa 1.11 Cho hàm số f (x) xác định tập I(a, b), ∀x1 , x2 ∈ I(a, b) (x1 < x2 ) ta suy f (x1 ) ≤ f (x2 ) ta nói f (x) hàm đơn điệu tăng I(a, b) Đặc biệt, ∀x1 , x2 ∈ I(a, b) ta có f (x1 ) < f (x2 ) ⇔ x1 < x2 ta nói f (x) hàm đơn điệu tăng thực I(a, b) hay gọi hàm đồng biến Định nghĩa 1.12 Cho hàm số f (x) xác định I(a, b), ∀x1 , x2 ∈ I(a, b) (x1 < x2 ) ta suy f (x1 ) ≥ f (x2 ) ta nói f (x) hàm đơn điệu giảm I(a, b) Đặc biệt, ∀x1 , x2 ∈ I(a, b) ta có f (x1 ) > f (x2 ) ⇔ x1 < x2 ta nói f (x) hàm đơn điệu giảm thực I(a, b) hay gọi hàm nghịch biến π π 2 Ví dụ 1.4 Hàm y = sin x đồng biến đoạn − , Thật ∀x1 , x2 ∈ − π π , , x1 < x2 , 2 ta có x1 + x2 x2 − x1 sin · 2 π π π x + x2 π x2 − x1 π Vì − ≤ x1 , x2 ≤ , nên − < < < ≤ 2 2 2 Do đó, hai thừa số vế phải (1.7) dương đoạn sin x2 − sin x1 = cos (1.7) − π π , 2 sin x2 > sin x1 Định lý 1.11 Cho hàm số f (x) có đạo hàm khoảng (a, b) (i) Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) hàm số f (x) đồng biến khoảng (ii) Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ (a, b) hàm số f (x) nghịch biến khoảng Định lý 1.12 (Mở rộng định lý 1.11) Cho hàm số f (x) có đạo hàm khoảng (a, b) Nếu f (x) ≥ (hoặc f (x) ≤ 0) đẳng thức xảy số hữu hạn điểm khoảng (a, b) f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng Định nghĩa 1.13 (Hàm bị chặn) Hàm số f (x) với tập xác định Df , gọi bị chặn trên tập Df f (Df ) tập hợp bị chặn trên, tức ∃M : f (x) ≤ M, ∀x ∈ Df Footer Page 11 of 126 Header Page 12 of 126 11 Tương tự, f (x) gọi bị chặn tập Df tập hợp f (Df ) bị chặn dưới, tức ∃m : f (x) ≥ m, ∀x ∈ Df Khi f (x) đồng thời vừa bị chặn bị chặn tập Df ta nói bị chặn (bị chặn hai phía) Từ định nghĩa ta thấy hàm số f (x) bị chặn Df ∃M > : |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ Df Ví dụ 1.5 Hàm số f (x) = x2 x , x ∈ R bị chặn (trên toàn trục thực R) +1 Thật vậy, ta có x |x| = ≤ , ∀x ∈ R x2 + x2 + Nhận xét rằng, hàm số f (x) không bị chặn với số M (M > 0) tuỳ ý, tồn x ∈ Df cho |f (x)| > M Nói cách ngắn gọn hàm số f (x) không bị chặn ∀M > 0, ∃x ∈ Df : |f (x)| > M , x ∈ R \ {0} không bị chặn x2 1 Thật vậy, giả sử M số dương tùy ý Ta có > M ⇔ |x| < √ , x = x M 1 Vậy, ta lấy x = √ thu bất đẳng thức = 4M > M x M Ví dụ 1.6 Hàm số f (x) = Từ nhận xét vừa nêu suy hàm cho không bị chặn 1.3 Hàm lồi, hàm lõm Định nghĩa 1.14 Hàm số f (x) gọi hàm lồi (lồi dưới) I(a, b) ∀x, y ∈ I(a, b) với cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx + βy) ≤ αf (x) + βf (y) Nếu dấu đẳng thức xảy x = y ta nói hàm số f (x) hàm lồi thực I(a, b) Định nghĩa 1.15 Hàm số f (x) gọi hàm lõm (lồi trên) I(a, b) ∀x, y ∈ I(a, b) với cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx + βy) ≥ αf (x) + βf (y) Nếu dấu đẳng thức xảy x = y ta nói hàm số f (x) hàm lõm thực I(a, b) Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 12 Định lý 1.13 Nếu f (x) khả vi cấp I(a, b) f (x) lồi (lõm) I(a, b) f (x) ≥ (f (x) ≤ 0) I(a, b) Nhận xét 1.4 Để ý rằng, f (x) hàm lồi liên tục [a, b] với cặp số dương (α, β) với α + β = xảy đẳng thức αf (a) + βf (b) = f (αa + βb) f (x) hàm số (đa thức) bậc Vì vậy, hàm số f (x) lồi khả vi I(a, b) đồ thị luôn thuộc nửa mặt phẳng tạo nên tiếp tuyến điểm tuỳ ý cho trước đồ thị Nói cách khác, f (x) lồi I(a, b) với cặp x0 , x ∈ I(a, b), ta có f (x) ≥ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) (1.8) Thật vậy, (1.8) tương đương với f (x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) , x > x0 ; x0 , x ∈ I(a, b) x − x0 (1.9) f (x0 ) ≥ f (x) − f (x0 ) , x < x0 ; x0 , x ∈ I(a, b) x − x0 (1.10) Các bất đẳng thức (1.9) (1.10) hiển nhiên (theo Định lí Lagrange) Dễ nhận thấy (1.8) xảy đẳng thức x0 = x Khi hàm số f (x) lõm khả vi I(a, b) đồ thị thuộc nửa mặt phẳng tạo tiếp tuyến điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, tức với cặp x0 , x ∈ I(a, b), ta có f (x) ≤ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) (1.11) Dễ nhận thấy (1.11) xảy đẳng thức x0 = x Định nghĩa 1.16 (Dạng nội suy) Hàm số f (x) gọi n-lồi I(a, b) với n + số phân biệt I(a, b), ta có n f [x0 , x1 , , xn ] := j=0 Footer Page 13 of 126 f (xj ) ≥ 0, ω (xj ) Header Page 14 of 126 13 n (x − xk ) ω(x) := k=0 Tương tự, ta có định nghĩa hàm lõm bậc cao Định nghĩa 1.17 (Dạng nội suy) Hàm số f (x) gọi n-lõm I(a, b) với n + số phân biệt I(a, b), ta có n f [x0 , x1 , , xn ] := j=0 f (xj ) ≤ 0, ω (xj ) n (x − xk ) ω(x) := k=0 Tính chất 1.1 Hàm số f (x) có đạo hàm bậc n I(a, b) n-lồi I(a, b) f (n) (x) ≥ 0, ∀x ∈ I(a, b) 1.4 1.4.1 Hàm đa thức Đa thức Chebyshev Định nghĩa 1.18 Các đa thức Tn (x) (n ∈ N) xác định sau T0 (x) = 1; T1 (x) = x, Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) , ∀n > (1.12) gọi đa thức Chebyshev (loại 1) Định nghĩa 1.19 Các đa thức Un (x) (n ∈ N) xác định sau U0 (x) = 0; U1 (x) = 1, Un+1 (x) = 2xUn (x) − Un−1 (x) , ∀n > (1.13) gọi đa thức Chebyshev (loại 2) A Tính chất đa thức Tn (x) Tính chất 1.2 Tn (x) = cos(n arccos x) với x ∈ [−1, 1] Tính chất 1.3 Tn (x) ∈ Z[x] bậc n có hệ số bậc cao 2n−1 hàm chẵn n chẵn; hàm lẻ n lẻ Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 14 Tính chất 1.4 Tn (x) có n nghiệm phân biệt [-1, ], xk = cos (2k − 1)π , k ∈ {1, 2, , n} 2n Tính chất 1.5 |Tn (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1, 1] |Tn (x)| = x = cos kπ , k ∈ Z n B.Tính chất đa thức Un (x) sin(n arccos x) √ , với x ∈ (−1, 1) − x2 sin nt , cos t = x, đa thức bậc n − có hệ số bậc Tính chất 1.7 Un (x) = Tn (x) = n sin t cao 2n−1 hàm chẵn n lẻ; hàm lẻ n chẵn Tính chất 1.6 Un (x) = Tính chất 1.8 Un (x) có n − nghiệm phân biệt [−1, 1], xk = cos kπ (k = 1, 2, , n − 1) n Tính chất 1.9 |Un (x)| ≤ n, ∀x ∈ [−1, 1] |Tn (x)| ≤ n2 , ∀x ∈ [−1, 1] Xét hàm số 1 cosh x = (ex − e−x ), cosh x = (ex + e−x ) 2 Khi với |x| > Tn (x) = cosh(nt); Un (x) = sinh(nt) , cosh t x = cosh t 1.4.2 Đa thức lượng giác Định nghĩa 1.20 Biểu thức n Ln (x) = a0 + (ak cos kx + bk sin kx), (1.14) k=1 đó: a0 , ak , bk ∈ R (k ∈ {1, 2, , n}); |an | + |bn | = (n ∈ N∗ ), gọi đa thức lượng giác bậc n (cấp n) với hệ số a0 , ak , bk (k ∈ {1, 2, , n}) Định nghĩa 1.21 Nếu đa thức (1.14) tất hệ số bk (k ∈ {1, 2, , n}) ta có đa thức lượng giác cấp n cos: Cn (x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + · · · + an cos nx (an = 0) (1.15) Nếu (1.14) tất hệ số ak (k ∈ {1, 2, , n}) ta có đa thức lượng giác cấp n sin: Sn (x) = b0 + b1 sin x + b2 sin 2x + · · · + bn sin nx (bn = 0, b0 = a0 ) Footer Page 15 of 126 (1.16) Header Page 16 of 126 15 ∗ (x) hai đa thức lượng giác Khi đó: Tính chất 1.10 Cho Sn (x) Sm ∗ (x) đa thức lượng giác bậc k với k ≤ max{n, m} a) Sn (x) + Sm ∗ (x) đa thức lượng giác bậc n + m b) Sn (x).Sm Tính chất 1.11 Với đa thức lượng giác Ln (x) dạng (1.14) luôn tồn đa thức đại số Pk (t) Ql (t) với deg Pk (x) = k ≤ n, deg Ql (x) = l ≤ n − cho Ln (x) = Pn (cos x) + sin xQn−1 (cos x) (1.17) Tính chất 1.12 Với đa thức Cn (x) dạng (1.15) ta có Cn (x) = Pn (cos x), Pn (t) đa thức bậc n t có hệ số bậc cao an = 2n−1 Ngược lại, với đa thức Pn (t) với hệ số bậc cao phép đặt ẩn phụ t = cos x ta biến đổi đa thức Cn (x) dạng (1.15) với an = 21−n Tính chất 1.13 Với Sn (x) dạng (1.16) luôn tồn đa thức đại số Qn−1 (t) để Sn (x) = b0 + sin x.Qn−1 (cos x) 1.4.3 Nội suy Lagrange Ta thường thấy sách giáo khoa hành, dạng tắc đa thức đại số P (x) bậc n (n > 0, thường ký hiệu deg P (x) = n) có dạng P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an , a0 = Đa thức dạng tắc đa thức viết theo thứ tự giảm dần luỹ thừa Bài toán 1.1 (Bài toán nội suy Lagrange) Cho xi , ∈ R, với xi = xj , ∀i = j, (i, j ∈ {1, 2, , n}) Hãy xác định đa thức L(x) có bậc deg L(x) ≤ n − thỏa mãn điều kiện L(xi ) = , ∀i ∈ {1, 2, , n} (1.18) Lời giải Để đơn giản, ta ký hiệu n Li (x) = j=1, j=i x − xj , (i ∈ {1, 2, , n}) xi − xj Khi đó, dễ thấy Li (xj ) = Footer Page 16 of 126 i = j i = j (1.19) Header Page 17 of 126 16 hay Li (xj ) = δij Tiếp theo, ta chứng minh đa thức n (1.20) Li (x) L(x) = i=1 đa thức thỏa mãn điều kiện toán nội suy Lagrange (1.18), ta gọi đa thức đa thức nội suy Lagrange Thật vậy, dễ thấy deg L(x) ≤ n − Ngoài ra, ta có n n aj δij aj Lj (xi ) = L(xi ) = j=1 j=1 hay L(xi ) = , ∀i ∈ {1, 2, , n} Cuối cùng, có đa thức L∗ (x), có bậc deg L∗ (x) với deg L∗ (x) ≤ n − thỏa mãn điều kiện toán (1.18) đó, đa thức P (x) = L(x) − L∗ (x) có bậc deg P (x) ≤ n − thỏa mãn P (xi ) = 0, ∀i ∈ {1, 2, , n} Tức là, P (x) đa thức có bậc deg P (x) với deg P (x) ≤ n − mà lại có n nghiệm phân biệt x1 , x2 , , xn nên P (x) ≡ 0, L(x) = L∗ (x) Footer Page 17 of 126 Header Page 18 of 126 77 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Y.Y Liashko , A C Boiachuk, Ia.G Gai, P Golovak (1970), Giải tích Toán học- Các ví dụ tập, Tập 1, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [2] Nguyễn Thị Dương Kiều (2010),Định lý Rolle số áp dụng, Luận văn Thạc sĩ Toán học, ĐHKH ĐH Thái Nguyên [3] Nguyễn Văn Mậu (1993), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc , NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức định lý áp dụng, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu (2008), Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo dục [7] Nguyễn Kim Toàn (2012), Một số bất đẳng thức đạo hàm ứng dụng, Luận văn Thạc sĩ Toán học, ĐHKH ĐH Thái Nguyên [8] Trịnh Khắc Tuấn (2015), Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT môn Toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tiếng Anh [9] Cerone P., Dragonir S S (2011), Mathematical Inequalities: A perspective, CRS press, Taylor and Francis Group, LLC, USA [10] Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems in real analysis: Advanced calculus on real axis, Springer [11] Victor Prasolov (2001), Polynomial in Algorithms and computation in mathematics, Vol.11, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg Footer Page 18 of 126  ... dạng liên quan, bất đẳng thức Landau, bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng thức Landau-Kolmogorov, số bất đẳng thức hàm lồi bậc cao, bất đẳng thức đạo hàm hàm đa thức, bất đẳng thức Markov-Bernsterin;... Bất đẳng thức, bất phương trình lớp hàm khả vi 2.1 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm quan trọng 2.1.1 Bất đẳng thức Jensen dạng liên quan 2.1.2 Bất đẳng thức lớp hàm lồi bậc... người dạy toán bất đẳng thức liên quan đến hàm số khả vi Vì lý chọn đề tài "Sử dụng đạo hàm để khảo sát bất phương trình chứng minh bất đẳng thức" làm luận văn khoa học chuyên ngành Phương pháp toán