phương phap chứng minh bất đẳng thức

19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Sưu tầm và tuyển chọn 1 19 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Sưu tầm và tuyển chọn 2 PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1/Định nghĩa 0 0 A B A B A B A B            2/Tính chất + A>B AB  + A>B và B >C CA  + A>B  A+C >B + C + A>B và C > D  A+C > B + D + A>B và C > 0  A.C > B.C + A>B và C < 0  A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D  0 < A.C < B.D + A > B > 0  A n > B n n + A > B  A n > B n với n lẻ + A > B  A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1  A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1  A m < A n +A < B và A.B > 0  BA 11  3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A n  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + 0A với A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + - A < A = A + A B A B   ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + BABA  ( dấu = xảy ra khi A.B < 0) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Sưu tầm và tuyển chọn 3 PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2  0 với M Ví dụ 1  x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3  2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = 2 1 .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx) = 2 1   0)()()( 222  zyzxyx đúng với mọi x;y;z R Vì (x-y) 2  0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z) 2  0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z) 2  0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 2 0 đúng với mọi x;y;z R Vậy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2  0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng : a) 2 22 22          baba ; b) 2 222 33          cbacba c) Hãy tổng quát bài toán Giải: a) Ta xét hiệu 2 22 22          baba =   4 2 4 2 2222 bababa    =   abbaba 222 4 1 2222  =   0 4 1 2  ba Vậy 2 22 22          baba . Dấu bằng xảy ra khi a=b b)Ta xét hiệu 2 222 33          cbacba =         0 9 1 222  accbba .Vậy 2 222 33          cbacba Dấu bằng xảy ra khi a = b =c 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Sưu tầm và tuyển chọn 4 c)Tổng quát 2 21 22 2 2 1          n aaa n aaa nn Tóm lại các bước để chứng minh A  B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2 Bước 3:Kết luận A  B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Giải: 01 4444 2 2 2 2 2 2 2                                      m m qmq m pmp m nmn m 01 2222 2222                              m q m p m n m (luôn đúng) Dấu bằng xảy ra khi                01 2 0 2 0 2 0 2 m q m p m n m               2 2 2 2 m m q m p m n       1 2 qpn m Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : )( 444 cbaabccba  Giải: Ta có : )( 444 cbaabccba  , 0,,  cba                         0 0)2( )2()2( 0222 222 0222222 0 222 2 22 2 22 2 22 22222 2222222222 2 22 2 22 2 22 222 22 2 2222 2 2222 2 22 222444 222444        acabacbcbcabaccbba abaacba abcaccbacbcbbaaccbba abcacbbca caaccbcbbaba abcacbbcacba abcacbbcacba Đúng với mọi a, b, c. Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Nếu A < B  C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B . 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Sưu tầm và tuyển chọn 5 Chú ý các hằng đẳng thức sau:   22 2 2 BABABA    BCACABCBACBA 222 222 2    3223 3 33 BABBAABA  Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng a) ab b a  4 2 2 b) baabba  1 22 c)   edcbaedcba  22222 Giải: a) ab b a  4 2 2 abba 44 22  044 22  baa   02 2  ba (BĐT này luôn đúng). Vậy ab b a  4 2 2 (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b) baabba  1 22  )(21(2 22 baabba  012122 2222  bbaababa 0)1()1()( 222  baba Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy baabba  1 22 . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c)   edcbaedcba  22222      edcbaedcba  44 22222          044444444 22222222  cacadadacacababa          02222 2222  cadacaba Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng:       4488221010 babababa  Giải:       4488221010 babababa   128448121210221012 bbabaabbabaa       0 22822228  abbababa  a 2 b 2 (a 2 -b 2 )(a 6 -b 6 )  0  a 2 b 2 (a 2 -b 2 ) 2 (a 4 + a 2 b 2 +b 4 )  0 Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 và x  y Chứng minh yx yx   22  22 Giải: yx yx   22  22 vì :x  y nên x- y  0  x 2 +y 2  22 ( x-y)  x 2 +y 2 - 22 x+ 22 y  0  x 2 +y 2 +2- 22 x+ 22 y -2  0  x 2 +y 2 +( 2 ) 2 - 22 x+ 22 y -2xy  0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2  (x-y- 2 ) 2  0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= 01269 222  yxyyyx Ryx  , b/ cbacba  222 (gợi ý :bình phương 2 vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Sưu tầm và tuyển chọn 6        zyx zyx zyx 111 1 Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( zyx 111  )=x+y+z - ( 0) 111  zyx (vì zyx 111  < x+y+z theo gt)  2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương. Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1 Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 21        ca c cb b ba a Giải: Ta có : )1( 11 cba a ba a cbaba cbaba         Tương tự ta có : )2( cba b cb b    , )3( cba c ca c    Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : 1      ca c cb b ba a (*) Ta có : )4( cba ca ba a baa      Tương tự : )5( cba ba cb b     , )6( cba bc ac c     Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : 2      ca c cb b ba a (**) Từ (*) và (**) , ta được : 21        ca c cb b ba a (đpcm) Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) xyyx 2 22  b) xyyx  22 dấu( = ) khi x = y = 0 c)   xyyx 4 2  d) 2 a b b a Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ:   xyyx 4 2  Tacó   abba 4 2  ;   bccb 4 2  ;   acac 4 2  19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Sưu tầm và tuyển chọn 7    2 ba    2 cb   2 ac     2 222 864 abccba   (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : 0, ba , ta có: abba 2 . Dấu “=” xảy ra khi a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : n n n n nn n aaa aaa aaanaaa          21 21 2121 Dấu “=” xảy ra khi n aaa  21 Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm. Ví dụ 1 : Giải phương trình : 2 3 42 2 12 4 14 2       xx x x x x x Giải : Nếu đặt t =2 x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt 0,, 4 2         ba b a x x Khi đó phương trình có dạng : 2 31 11       baa b b a Vế trái của phương trình:           3 1 1 1 1 1 11 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 31 1 1 1 1 1                                                                                   baab baab baab cba ba ba a ba b ba baa b b a         2 3 3 11 3 .113 2 1 3 3    baba baba Vậy phương trình tương đương với : 0142111  xbababa xx . Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P = 111      z z y y x x Giải : P = 3- ( 1 1 1 1 1 1      zyx ) = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Sưu tầm và tuyển chọn 8   cbacba cba cba abccba abccba             9111 9 111 1 3 111 3 3 3 Suy ra Q = 1 1 1 1 1 1      zyx 4 9   -Q 4 9  nên P = 3 – Q  3- 4 9 = 4 3 Vậy max P = 4 3 .khi x = y = z = 3 1 . Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng: abc cba abcacbbca 2 111 222        Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :          acab bca bca bcabca 11 2 112 2 2 2 Tương tự : abc cba abcacbbca bcac abc abc abbc acb acb 2 222 11 2 112 11 2 112 222 2 2                         Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : 3      cba c bac b acb a (*) Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : )1( ))()(( 3 3 cbabacacb abc cba c bac b acb a        Cũng theo bất đẳng thức Côsi : )2()( 2 1 ))(( cbacacbbacacb  Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được )3(1 ))()(( ))()((     cbabacacb abc abccbabacacb Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều . Ví dụ 5: Cho      zyx cba ,,0 0 . Chứng minh rằng:       2 2 4 zyx ac ca c z b y a x czby           Giải: Đặt 0)()( 2  acxcaxxf có 2 nghiệm a,c Mà: 0)(0)( 2  acbcabbfcba 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Sưu tầm và tuyển chọn 9          zyxca c z b y a x aczcybxa zcaycaxca c z aczc b y acyb a x acxa yca b y acybca b ac b                  )()()( Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:                  )( 4 4 2 2 2 22 đpcmzyx ac ca c z b y a x aczcybxa zyxca c z b y a x aczcybxa zyxca c z b y a x aczcybxa                           Phương pháp 5 Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: Cho 2n số thực ( 2n ): nn bbbaaa , ,,,, , 2121 . Ta luôn có: ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa  Dấu “=” xảy ra khi n n b a b a b a  2 2 1 1 Hay n n a b a b a b  2 2 1 1 (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 ) Chứng minh: Đặt        22 2 2 1 22 2 2 1 n n bbbb aaaa  Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.  Nếu a,b > 0: Đặt:   ni b b a a i i i i , 2,1,   , Thế thì: 22 2 2 1 22 2 2 1 nn   Mặt khác:   22 2 1 iiii   Suy ra: babababa nn nnnn 1) ( 2 1 ) ( 2 1 2211 22 2 2 1 22 2 2 12211    Lại có: nnnn babababababa  22112211 Suy ra: ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa  Dấu”=” xảy ra   n n nn ii b a b a b a dáucùng ni       , ,2,1 2 2 1 1 11   Ví dụ 1 : Chứng minh rằng: Rx , ta có: 8 1 cossin 88  xx 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Sưu tầm và tuyển chọn 10 Giải: Ta có: Rxxx  ,1cossin 22 Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:        2 44 44 224422 cossin 4 1 cossin 2 1 11cossin1.cos1.sin1 xx xx xxxx    Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:        8 1 cossin 11cossin 4 1 1.cos1.sin 4 1 44 2288 2 44    xx xx xx Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của: ACCBBAP tan.tan1tan.tan1tan.tan1  Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: ), ,2,1)(, ,,( micba iii  Thế thì: ) )( )( () ( 222111 2 212121 m m m m m m mmmmmm mmm cbacbacbacccbbbaaa  Dấu”=” xảy ra  bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì  i t sao cho: iiiiii ctcbtbata  , ,, , Hay nnn cbacbacba ::: ::: :: 222111  Ví dụ 1: Cho      2, 3 22 2 2 1 nZn aaa n Chứng minh rằng: 2 1 32 21    n a aa n Giải: * Nk  ta có:                  2 1 2 1 1 4 1 11 2 2 kk k k 3 2 2 1 1 2 3 1 2 1 1 2 1 1 2 7 1 2 5 1 2 5 1 2 3 11 3 1 2 1 2 1 1 2 1 11 222 2                                              n nn n kk k Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski: [...]...   , x  R Phương pháp 16: Chứng minh phản chứng Kiến thức: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p  q” Muốn chứng minh p  q (với... Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0 ta thực hiện các bước sau : 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n  n0 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 – kết luận BĐT đúng với mọi n  n0 21 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương. .. c a b 1 Vậy giá trị lớn nhất của  =999+ khi a=d=1; c=b=999 c d 999 a/ Nếu :b  998 thì Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn 16 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2   un Ta cố gắng biến đổi số hạng... (1)  2 2x 2y 2z Ví dụ1: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng 19 Sưu tầm và tuyển chọn 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức y z y x x z z x x y z  1  1  1  3  (  )  (  )  (  x y x z y x x y y z z z x y x z   2; Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2;  x z x y y  y )6 z y  2 nên ta có điều z phải chứng minh Ví dụ2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c 0 Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a Ví dụ 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 1/ a2+b2+c2 . 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Sưu tầm và tuyển chọn 3 PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A >. b, c. Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B . 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Sưu tầm và tuyển chọn 5 Chú ý các hằng đẳng thức sau: