Phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với P0 ánh xạ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HẠNH PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI P0 ÁNH XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN, 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Bất đẳng thức biến phân 1.1 1.2 Một số khái niệm 1.1.1 Toán tử đơn điệu 1.1.2 Bất đẳng thức biến phân Bài toán đặt không chỉnh 10 1.2.1 Khái niệm toán đặt chỉnh đặt không chỉnh 1.2.2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn 10 điệu 11 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với P0 ánh xạ 14 2.1 Thuật toán hiệu chỉnh 14 2.2 Áp dụng 18 2.2.1 Áp dụng vào mô hình cân Walrasian 18 2.2.2 Áp dụng vào mô hình cân Oligopolistic 23 Kết Luận 28 Tài liệu tham khảo 29 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bất đẳng thức biến phân lớp toán nảy sinh từ nhiều vấn đề toán học ứng dụng phương trình vi phân, toán vật lý toán, tối ưu hóa Ngoài nhiều vấn đề thực tế toán cân mạng giao thông đô thị, mô hình cân kinh tế mô tả dạng bất đẳng thức biến phân Rất tiếc toán bất đẳng thức biến phân, nói chung, lại toán đặt không chỉnh, tức nghiệm chúng không ổn định theo kiện ban đầu Vì đặt yêu cầu phải có phương pháp giải ổn định toán đặt không chỉnh, cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm lại gần với nghiệm toán xuất phát Cho K V tập hợp lồi, khác rỗng không gian Euclid thực Rn , K ⊆ V , cho G : V → Rn ánh xạ Kí hiệu a, b tích vô hướng phần tử a, b Rn Xét toán bất đẳng thức biến phân: tìm x∗ ∈ K thỏa mãn G(x∗ ), x−x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K (0.1) Mục đích lụận văn nhằm trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân (0.1) với P0 ánh xạ, đồng thời trình bày áp dụng kết cho hai mô hình kinh tế tổng quát mô hình cân Walrasian mô hình cân Oligopolistic Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu toán tử đơn điệu P0 ánh xạ trường hợp đặc biệt xét không gian hữu hạn chiều Đồng thời trình bày số kiến thức toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với P0 ánh xạ, đồng thời trình bày áp dụng kết cho hai mô hình kinh tế tổng quát mô hình cân Walrasian mô hình cân Oligopolistic Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS Nguyễn Bường-Viện Công nghệ Thông tin - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, người hướng dẫn, dạy tận tình để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo công tác trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam truyền thụ kiến thức cho suốt trình học tập vừa qua Tôi xin cảm ơn quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Tác giả Phạm Thị Hạnh 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bất đẳng thức biến phân 1.1 Một số khái niệm Trong chương trình bày khái quát kiến thức toán tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân, toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu Các kết chủ yếu trích dẫn tài liệu [1], [4], [5] 1.1.1 Toán tử đơn điệu Cho X không gian Banach phản xạ với không gian liên hợp X ∗ Cả hai có chuẩn ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ điểm x ∈ X ký hiệu x∗ , x Cho toán tử A với miền xác định D(A) ⊆ X miền ảnh R(A) ⊆ X ∗ Định nghĩa 1.1 Toán tử A gọi đơn điệu A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A) Toán tử A gọi đơn điệu chặt dấu đạt x = y Ví dụ 1.1 Hàm số f : R → R đơn điệu đồng biến Định nghĩa 1.2 Tập hợp Gr(A) = {(x, A(x)) : x ∈ X} gọi đồ thị toán tử A 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khái niệm toán tử đơn điệu mô tả dựa đồ thị Gr(A) toán tử A không gian tích X × X ∗ Định nghĩa 1.3 Toán tử A gọi đơn điệu x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ = A(x), y ∗ = A(y) Tập Gr(A) gọi tập đơn điệu thỏa mãn bất đẳng thức Định nghĩa 1.4 Nếu Gr(A) không chứa tập đơn điệu khác X × X ∗ toán tử A gọi toán tử đơn điệu cực đại Ví dụ 1.2 Toán tử A : R4 → R4 xác  39 32  30 34 A =  32 34 58 −20 −5 định ma trận  −20  −5  26 có định thức khác đơn điệu Khi đó, A toán tử đơn điệu cực đại Định nghĩa 1.5 Nếu với x ∈ X ta có Ax, x ≥ A gọi toán tử xác định không âm, ký hiệu A ≥ Nhận xét 1.1 Nếu A toán tử tuyến tính không gian Banach X tính đơn điệu tương đương với tính xác định không âm toán tử Ví dụ 1.3 Toán tử A : R5 → R5 xác định  10 28  5 20 A=  10 28 5 20 28 20 28 20 96 ma trận     xác định không âm Định nghĩa 1.6 Toán tử A gọi d-đơn điệu, tồn hàm không âm d(t), không giảm với t ≥ 0, d(0) = thỏa mãn tính chất A(x) − A(y), x − y ≥ [d( x ) − d( y )]( x 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên − y ), ∀x, y ∈ D(A) http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.7 Toán tử A gọi đơn điệu tồn hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = A(x) − A(y), x − y ≥ δ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A) Nếu δ(t) = CA t2 với CA số dương toán tử A gọi đơn điệu mạnh Nhận xét 1.2 Nếu toán tử A có tính chất tuyến tính A gọi đơn điệu mạnh Ax, x ≥ mA x , mA > 0, ∀x ∈ D(A) Ví dụ 1.4 Hàm số f : R → R xác định f (x) = 2012x toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh Cho L tập N = {1, , n} AL ma trận đường chéo cấp n.n phần tử đường chéo cho aii =   > i ∈ L, = i ∈ / L Khi AN ma trận đường chéo xác định dương Nếu aii = ∀i, AN = In ma trận đơn vị Rn  Định nghĩa 1.8 Ma trận A cỡ n.n gọi a) P -ma trận có định thức dương; b) P0 -ma trận có định thức không âm; c) Z -ma trận có phần tử đường chéo không dương; d) M -ma trận có phần tử đường chéo không dương tồn ma trận nghịch đảo A−1 có phần tử không âm; e) M0 - ma trận P0 -ma trận Z -ma trận Nhận xét 1.3 A M -ma trận A ∈ P ∩ Z Suy ra, M - ma trận P -ma trận, khẳng định ngược lại không trường hợp tổng quát 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề sau đưa tiêu chuẩn cho ma trận A M -ma trận M0 -ma trận Mệnh đề 1.1 Giả sử A Z -ma trận Nếu tồn véc tơ x > thỏa mãn Ax > (hoặc Ax ≥ 0) A M -ma trận (hoặc M0 ma trận) Định nghĩa 1.9 Cho U tập lồi Rn Ánh xạ F : U → Rn gọi a) P -ánh xạ max (xi −yi )(Fi (x)−Fi (y)) > với x, y ∈ U, x = 1≤i≤n y; b) P -ánh xạ chặt tồn γ > thỏa mãn F − γIn P -ánh xạ; c) P -ánh xạ tồn τ > thỏa mãn max (xi − yi )(Fi (x) − Fi (y)) ≥ τ 1≤i≤n x−y với x, y ∈ U ; d) P0 -ánh xạ với x, y ∈ U, x = y tồn số i thỏa mãn xi = yi (xi − yi )(Fi (x) − Fi (y)) ≥ Thực tế, ánh xạ F affin, tức F (x) = Ax + b F P -ánh xạ (P0 -ánh xạ) Jacobi F (x) = A P -ma trận (P0 ma trận) Trong trường hợp không tuyến tính, Jacobi F (x) P -ma trận F P -ánh xạ, nhiên điều khẳng định ngược lại không trường hợp tổng quát Ngoài ra, Nếu F P -ánh xạ chặt Jacobi F (x) P -ma trận Tiếp theo, trình bày thêm mối quan hệ P0 P -ánh xạ chặt Bổ đề 1.1 Nếu F : U → Rn P0 -ánh xạ ε > F + εIn P -ánh xạ chặt Chú ý rằng, P -ánh xạ P -ánh xạ chặt điều khẳng định ngược lại không trường hợp tổng quát 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Bất đẳng thức biến phân Cho K V tập hợp lồi, khác rỗng không gian Euclid thực Rn , K ⊆ V , cho G : V → Rn ánh xạ Kí hiệu a, b tích vô hướng phần tử a, b Rn Xét toán bất đẳng thức biến phân: tìm x∗ ∈ K thỏa mãn G(x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K (1.1) Ký hiệu K ∗ tập nghiệm toán (1.1) Chúng ta xét toán (1.1) với giả thiết: (A1 ) G : V → Rn ánh xạ liên tục V tập lồi, khác rỗng Rn (A2 ) Cho K hộp, tức là, n Ki ⊆ V, K= i=1 Ki = [αi ,βi ] ⊆ [−∞, +∞], ∀i = 1, , n Nhận thấy K hiển nhiên tập đóng, lồi, khác rỗng Nếu thêm điều kiện βi < +∞, ∀i ∈ N K tập bị chặn Mệnh đề 1.2 Cho (A1 ) (A2 ) cho G P -ánh xạ chặt Khi ấy, toán (1.1) có nghiệm Mệnh đề 1.3 Cho (A1 ) (A2 ) Nếu G P -ánh xạ K tập hợp bị chặn toán (1.1) có nghiệm Chúng ta xét thêm giả thiết sau: ∼ (A3 ) Giả sử tồn tập hợp D ⊂ D ⊂ Rn cho với ∼ điểm y ∈ K \ D tồn điểm x ∈ D ∩K thỏa mãn max Gi (y)(yi − xi ) > (1.2) i=1, ,n Từ định nghĩa nhận tập nghiệm đặc trưng sau: Bổ đề 1.2 Nếu (A1 )-(A3 ) thỏa mãn K ∗ = ∅ K ∗ ⊆ K ∩ D 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∼ Mệnh đề 1.4 Giả sử (A1 )-(A3 ) thỏa mãn với D = K ∗ , K ∗ tập n ∼ ∼ Ki , Ki nghiệm toán (1.1), K thay tập hợp K = ∼ ∼ i=1 ∼ tập đóng, lồi, khác rỗng với i = 1, , n Nếu D ∩K ⊆ K ⊆ K ∼ ∗ ∼ K = K ∩K ∗ Chứng minh ∼ ∼ ∼ Rõ ràng, K ∩K ∗ ⊆ K ∗ Giả sử tồn điểm y ∈ K ∗ \K ∗ ∼ ∼ ∼ y ∈ K \D Áp dụng (A3 ), suy tồn điểm x ∈ D ∩K ⊆ K ∼ cho (1.2) đúng, nghĩa y ∈ / K ∗ , mâu thuẫn với giả thiết, từ suy điều phải chứng minh Mệnh đề 1.5 Giả sử (A1 )-(A3 ) thỏa mãn D (A3 ) bị chặn Khi i) Bài toán (1.1) giải được, K ∗ ⊆ K ∩ D; ii) Nếu thêm điều kiện G P -ánh xạ K ∗ tập hợp có phần tử 1.2 1.2.1 Bài toán đặt không chỉnh Khái niệm toán đặt chỉnh đặt không chỉnh Khái niệm toán đặt chỉnh J Hadamard đưa nghiên cứu ảnh hưởng điều kiện biên lên nghiệm phương trình elliptic parabolic Việc tìm nghiệm x toán phải dựa vào kiện ban đầu f, có nghĩa x = R(f ) Ta coi nghiệm kiện phần tử thuộc không gian X Y với khoảng cách tương ứng ρX (x1 , x2 ) ρY (f1 , f2 ), x1 , x2 ∈ X, f1 , f2 ∈ Y Định nghĩa 1.10 Giả sử ta có khái niệm nghiệm toán Khi đó, toán tìm nghiệm x = R(f ) gọi ổn định cặp không gian (X, Y ), với số ε > tìm 10 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... đặt chỉnh đặt không chỉnh 1.2.2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn 10 điệu 11 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với P0 ánh xạ 14 2.1 Thuật toán hiệu chỉnh. .. Chương Bất đẳng thức biến phân 1.1 Một số khái niệm Trong chương trình bày khái quát kiến thức toán tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân, toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến. .. Xét toán bất đẳng thức biến phân: tìm x∗ ∈ K thỏa mãn G(x∗ ), x−x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K (0.1) Mục đích lụận văn nhằm trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân (0.1) với P0 ánh xạ, đồng