Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN PHẠM THANH HIẾU PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-NĂM 2016 Công trình hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thu Thủy GS TS Nguyễn Bường Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp đại học tại: Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên Ngày tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia - Trung tâm học liệu, Đại học Thái Nguyên - Thư viện trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên Mở đầu Cho H không gian Hilbert, C tập lồi đóng H F : H → H ánh xạ Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (classical variational inequality), ký hiệu CVI(F, C), phát biểu sau: Tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn: F x∗ , x − x∗ ≥ ∀x ∈ C (0.1) Bài toán bất đẳng thức biến phân nhà toán học người Italia, Stampacchia (Lions Stampacchia, 1967; Stampacchia, 1964), nghiên cứu đưa vào cuối năm 60 đầu năm 70 kỷ trước Từ đến nay, bất đẳng thức biến phân chủ đề nghiên cứu mang tính thời sự, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu vai trò quan trọng toán lý thuyết toán học nhiều ứng dụng thực tế Bất đẳng thức biến phân công cụ quan trọng để nghiên cứu toán cân chẳng hạn toán cân mạng giao thông, toán cân thị trường độc quyền nhóm, toán cân tài toán cân di cư Các nghiên cứu bất đẳng thức biến phân chia theo hai hướng bao gồm nghiên cứu tồn nghiệm (Chen, 1992; Giannessi, 2000) phương pháp giải bất đẳng thức biến phân Cho đến người ta thiết lập nhiều kĩ thuật giải bất đẳng thức biến phân, chẳng hạn phương pháp chiếu Lions (1977), nguyên lý toán phụ Cohen (1980), phương pháp điểm gần kề Martinet (1970), phương pháp điểm gần kề quán tính Alvarez Attouch (2001) đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov (Browder, 1966; Tikhonov, 1963) Ở Việt Nam, số năm trở lại bất đẳng thức biến phân trở thành chủ đề nghiên cứu sôi động nhà nghiên cứu toán giải tích toán ứng dụng Một số tác giả nước có nhiều công trình nghiên cứu bất đẳng thức biến phân kể đến N Bường N T T Thủy (Buong, 2012; Thuy, 2015), N Đ Yên (Lee đtg, 2005; Tam đtg, 2005), L D Mưu P N Anh (Anh đtg, 2005, 2012 , P H Sách (Sach đtg, 2008; Tuan Sach, 2004) P Q Khánh (Bao Khanh, 2005, 2006), Ngoài ra, bất đẳng thức biến phân số toán liên quan điểm bất động toán cân đề tài nghiên cứu nhiều tác giả tiến sĩ nghiên cứu sinh nước L T T Dương (Buong Duong, 2011), N Đ Lạng (Buong Lang, 2011), T M Tuyên (Tuyen, 2012), N Đ Dương (Bường Duong, 2011), D V Thông (Thong, 2011), N T H Phương (Buong Phuong, 2013), Đ D Thành (Anh đtg, 2015), N S Hà (Buong đtg, 2015) P D Khánh (Khanh, 2015), Khi tập ràng buộc C toán (0.1) cho dạng ẩn tập điểm bất động chung ánh xạ không giãn họ ánh xạ không giãn toán có nhiều ứng dụng toán thực tế xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh, kiểm soát lượng hệ thống mạng CDMA, phân phối băng thông toán điều khiển tối ưu (Iiduka, 2008, 2010, 2012, 2013) Đối với lớp toán này, phương pháp lai ghép đường dốc Yamada đề xuất năm 2001 để giải (0.1) tỏ phương pháp hiệu ánh xạ F : H → H thỏa mãn điều kiện đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz khắc phục khó khăn việc thực phép chiếu mêtric lên tập ràng buộc C toán dùng dãy lặp Picard dạng xn+1 = PC (xn −λn F xn ) để giải (0.1) Dựa cách tiếp cận Yamada, có nhiều nghiên cứu nhằm mở rộng cải biên thuật toán lai ghép dạng đường dốc cho toán phức tạp chẳng hạn bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc C tập điểm bất động chung họ hữu hạn, họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn nửa nhóm ánh xạ không giãn Chẳng hạn, C := ∩∞ i=1 Fix(Ti ), với {Ti}∞ i=1 họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn H , Yao cộng (2010) Wang (2011) sử dụng phương pháp lai ghép đường dốc kết hợp với W -ánh xạ để thiết lập dãy lặp hội tụ mạnh nghiệm bất đẳng thức biến phân (0.1) Khi C = F := ∩s≥0 Fix(T (s)) tập điểm bất động chung nửa nhóm không giãn {T (s) : s ≥ 0} H , Yang đồng tác giả (2012) sử dụng ánh xạ tích phân Bochner dãy lặp để giải bất đẳng thức biến phân cổ điển tập ràng buộc F Tuy nhiên, phương pháp kể đến thiết lập không gian Hilbert H Ta biết rằng, không gian Banach, không gian Hilbert H không gian có tính chất "khá đẹp" chẳng hạn tính chất hình bình hành, tồn phép chiếu mêtric PC từ H lên tập lồi đóng C , Những tính chất làm cho việc nghiên cứu toán không gian Hilbert trở nên đơn giản so với việc nghiên cứu toán không gian Banach tổng quát Cũng cần nói thêm rằng, số vấn đề toán học thiết lập nghiên cứu không gian Banach có liên quan đến bất đẳng thức biến phân chẳng hạn phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng, phương trình toán tử toán điểm bất động không gian Banach chủ đề nghiên cứu quan trọng Toán học Do việc nghiên cứu đề xuất phương pháp giải bất đẳng thức biến phân không gian Banach mở rộng kết nghiên cứu có cho phương pháp giải bất đẳng thức biến phân từ không gian Hilbert sang không gian Banach vấn đề thu hút nhiều quan tâm nhà toán học Việc mở rộng bất đẳng thức biến phân không gian Banach xét hai trường hợp Trường hợp thứ xét ánh xạ F : E → E ∗ biến đổi E vào không gian đối ngẫu E ∗ Một số phương pháp giải cho toán kể đến phương pháp chiếu (Alber, 1996; Iiduka Takahashi, 2008; Zeidler, 1985) phương pháp hiệu chỉnh (Alber, 1983; Buong, 1991; Ryazantseva, 2002) Trường hợp thứ hai xét ánh xạ F : E → E từ không gian Banach E vào Một số kết nghiên cứu công bố gần theo hướng kết đến Ceng đtg (2008); Chen He (2008); Thong (2011) Tuyen (2012), với phương pháp lặp ẩn lặp dựa phương pháp lai ghép đường dốc kĩ thuật lặp tìm điểm bất động chẳng phương pháp lặp Mann (Mann, 1953) Tuy nhiên điều quan trọng đảm bảo cho hội tụ mạnh kết ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian Banach E phải thỏa mãn tính chất liên tục yếu theo dãy Người ta p không gian l , < p < ∞, thỏa mãn tính chất không gian Lp [a, b], < p < ∞ lại không thỏa mãn Một vấn đề tự nhiên nảy sinh liệu xây dựng phương pháp giải bất đẳng thức biến phân không gian Banach mà không đòi hỏi tính chất liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc? Nếu vấn đề giải phạm vi áp dụng thuật toán mở rộng sang không gian Banach tổng quát không gian lp , < p < ∞, chẳng hạn không gian Lp [a, b], < p < ∞ Một khía cạnh khác bất đẳng thức biến phân tính đặt không chỉnh toán Do việc xây dựng phương pháp giải ổn định cho bất đẳng thức biến phân nội dung cần quan tâm phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov tỏ phương pháp hữu hiệu để giải nhiều lớp toán đặt không chỉnh Năm 2012, Buong Phuong đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder−Tikhonov cho toán bất đẳng thức biến phân j -đơn điệu tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn {Ti }∞ i=1 không gian Banach E việc sử dụng V -ánh xạ cải tiến W -ánh xạ phương trình hiệu chỉnh Rất gần đây, Thuy (2015) cải tiến V -ánh xạ cách sử dụng S -ánh xạ có cấu trúc đơn giản V -ánh xạ Trong trường hợp tập ràng buộc bất đẳng thức biến phân j -đơn điệu tập điểm bất động nửa nhóm không giãn chưa có kết phương pháp hiệu chỉnh để giải lớp toán Có thể khẳng định rằng, toán bất đẳng thức biến phân nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhằm xây dựng phương pháp giải hữu hiệu cho toán Việc xây dựng phương pháp giải bất đẳng thức biến phân không gian Banach vấn đề nảy sinh cách tự nhiên cần thiết để làm phong phú hoàn thiện thêm cho lý thuyết toán quan trọng Vì lí phân tích trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án "Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm không giãn không gian Banach" Mục đích luận án nghiên cứu phương pháp lai ghép đường dốc phương pháp hiệu chỉnh để giải bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Banach E mà không cần đến tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E Cụ thể, luận án quan tâm giải vấn đề sau: Xây dựng phương pháp lai ghép đường dốc dạng ẩn dạng cho bất đẳng thức biến phân j -đơn điệu không gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux Nghiên cứu thiết lập phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân j -đơn điệu đồng thời kết hợp phương pháp hiệu chỉnh với phương pháp điểm gần kề quán tính để xây dựng phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính cho bất đẳng thức biến phân không gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux đều; sử dụng kĩ thuật lặp kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh để xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp cho toán tương tự không gian Banach q -trơn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận án trình bày ba chương Trong Chương 1, trình bày số kiến thức chuẩn bị quan trọng cho việc trình bày kết chương sau gồm số đặc trưng hình học không gian Banach, ánh xạ loại đơn điệu, ánh xạ liên tục Lipschitz, bất đẳng thức biến phân cổ điển toán bất đẳng thức biến phân không gian Banach Chương xây dựng để trình bày phương pháp lặp ẩn lặp tương ứng cho bất đẳng thức biến phân j -đơn điệu dựa tư tưởng phương pháp lai ghép đường dốc không gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux Trong Chương 3, đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov kết hợp phương pháp với phương pháp điểm gần kề quán tính để thiết lập phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính cho bất đẳng thức biến phân; sử dụng kĩ thuật lặp kết hợp phương pháp hiệu chỉnh để thiết lập phương pháp hiệu chỉnh lặp cho bất đẳng thức biến phân không gian Banach q -trơn Ví dụ số mang tính chất minh họa cho phương pháp nghiên cứu đề cập cuối Chương Chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương luận án giới thiệu kiến thức phục vụ cho việc trình bày kết nghiên cứu đạt chương sau luận án Cụ thể, chương gồm mục: Mục 1.1 dành cho việc trình bày số đặc trưng hình học không gian Banach, định nghĩa số tính chất ánh xạ j -đơn điệu ánh xạ liên tục Lipschitz Mục 1.2 giới thiệu nửa nhóm không giãn ứng dụng nửa nhóm không giãn nghiên cứu nghiệm toán Cauchy Trong Mục 1.3, phát biểu toán bất đẳng thức biến phân cổ điển số toán liên quan toán hệ phương trình, toán bù, toán cực trị toán điểm bất động Mục 1.4 xây dựng để giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu bất đẳng thức biến phân j -đơn điệu không gian Banach Đồng thời mục trình bày phương pháp lai ghép đường dốc Yamada đề xuất để giải bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc tập điểm động họ ánh xạ không giãn Mục 1.5 dùng để phát biểu toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm không giãn không gian Banach (ký hiệu toán VI∗ (F, F)) chứng minh tồn tại, nghiệm toán 1.5 Phát biểu toán Cho E không gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux Cho F : E → E ánh xạ η -j -đơn điệu mạnh γ -giả co chặt thỏa mãn η + γ > Cho {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm không giãn E với F := ∩s≥0Fix(T (s)) = ∅, F tập điểm bất động nửa nhóm {T (t) : t ≥ 0} Chúng xét toán sau: Tìm điểm p∗ ∈ F cho : F p∗, j(x − p∗) ≥ 0, ∀x ∈ F (1.1) Mệnh đề 1.1 Cho E không gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux Cho F : E → E ánh xạ η -j -đơn điệu mạnh γ -giả co chặt với η, γ ∈ (0, 1) thỏa mãn η + γ > cho {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm không giãn E cho F := ∩s≥0 Fix(T (s)) = ∅ Khi đó, toán (1.1) tồn nghiệm p∗ ∈ F Trong chương sau luận án đề xuất số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân dựa phương pháp lai đường dốc phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc tập điểm bất động chung nửa nhóm không giãn không gian Banach Chương Phương pháp lai ghép đường dốc cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm không giãn Chương gồm mục Cụ thể, Mục 2.1, đề xuất ba phương pháp lặp ẩn dựa tư tưởng phương pháp lai ghép đường dốc cho bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, F) Mục 2.2 đưa dạng tương ứng cho phương pháp lặp ẩn xét Mục 2.1 Ví dụ số minh họa cho phương pháp đề xuất trình bày Mục 2.3 Các kết chương lấy từ báo (2) (3) Danh mục công trình công bố liên quan đến luận án 2.1 2.1.1 Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc Mô tả phương pháp Các phương pháp lặp ẩn để giải bất đẳng thức biến phân nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu lợi phương pháp điều kiện đặt lên dãy tham số dãy lặp nhẹ hội tụ phương pháp lặp ẩn đảm bảo dựa nguyên lý ánh xạ co Banach Một số kết nghiên cứu phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ ánh xạ không giãn tác giả khác kể đến kết Ceng đồng tác giả (2008), Chen He (2007), Shioji Takahashi (1998), Suzuki (2005) Xu (2005) Các phương pháp xét đến không gian Hilbert H không gian Banach E có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy Ta biết rằng, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian Hilbert H ánh xạ đồng I thỏa mãn tính chất liên tục yếu theo dãy không gian Banach quen thuộc, tính chất 11 Gâteaux với cấu trúc thuật toán tương tự (2.3) ánh xạ Tk thay ánh xạ V -ánh xạ Như vậy, coi phương pháp lặp ẩn (2.3), (2.4) (2.5) xét đến Định lý 2.1, 2.2 Định lý 2.3 mở rộng phương pháp Buong va Phuong (2013) theo nghĩa từ tập ràng buộc tập điểm bất động họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn sang trường hợp tập ràng buộc tập điểm bất động họ vô hạn không đếm ánh xạ không giãn Chú ý 2.1 Kĩ thuật chứng minh dùng giới hạn Banach Ceng (2008) sử dụng tác giả xây dựng phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc để giải bất đẳng thức biến phân j -đơn điệu tập điểm bất động ánh xạ không giãn 2.2 2.2.1 Phương pháp lặp lai ghép đường dốc Mô tả phương pháp Khi xây dựng kĩ thuật lặp ẩn xét Mục 2.2, nhận thấy khó khăn gặp phải phương pháp thực hành tính toán bước lặp thứ k , ta phải thực bước giải phương trình dạng ẩn để tìm nghiệm xấp xỉ xk sau số hữu hạn bước lặp ta thu nghiệm xấp xỉ xk gần với nghiệm xác toán Xuất phát từ ý tưởng khắc phục đặc điểm phương pháp lặp ẩn, thiết lập hai phương pháp lặp dựa hai phương pháp lặp ẩn (2.3) (2.5) Phương pháp 2.4 Xuất phát từ điểm x1 ∈ E tùy ý, xây dựng dãy {xn } sau: xn+1 = γnFnxn + (1 − γn)Tnxn, n ≥ 1, x1 ∈ E (2.6) Phương pháp 2.5 Xuất phát từ điểm x1 ∈ E tùy ý, xây dựng dãy {xn } sau: xn+1 = (1 − γn)xn + γnTnFnxn (2.7) Các ánh xạ Tn Fn (2.6) (2.7) xác định Tn x = tn tn T (s)xds, (2.8) 12 Fnx = (I − λnF )x, với x ∈ E, (2.9) {γn }, {λn }, {tn } dãy tham số thỏa mãn điều kiện sau: ∞ λn ∈ (0, 1), λn → 0, λn = ∞, (2.10) |tn+1 − tn| = 0, n→∞ tn+1 (2.11) n=1 lim tn = ∞, lim n→∞ γn ∈ (0, 1) cho < lim inf γn ≤ lim sup γn < n→∞ 2.2.2 (2.12) n→∞ Sự hội tụ Mệnh đề 2.1 Giả sử F : E → E là ánh xạ η -j -đơn điệu mạnh γ -giả co chặt với η + γ > cho {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm không giãn E , với E không gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux đều, cho F := ∩t≥0 Fix(T (t)) = ∅ Nếu tồn dãy bị chặn {xn } thỏa mãn limn→∞ xn − T (t)xn = 0, với t ≥ 0, tồn dãy {yk } cho p∗ = limk→∞ yk , {yk } xác định (2.3), tức yk = γk (I − λk F )yk + (1 − γk ) tk tk T (s)yk ds, lim sup F p∗, j(p∗ − xn) ≤ (2.13) n→∞ Định lí 2.4 Cho E, F, {T (s) : s ≥ 0} F giả thiết Định lý 2.1 Từ điểm x1 ∈ E bất kỳ, xây dựng dãy lặp {xn } (2.6) điều kiện (2.10)-(2.12) thỏa mãn Khi dãy lặp {xn } hội tụ mạnh đến p∗ ∈ F nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) Chú ý 2.2 Chúng cải tiến kết (2.6) theo hướng không sử dụng t tích phân Bochner Tn x = t1n n T (s)xds mà thay ánh xạ T (tn ) xác định từ nửa nhóm {T (s) : s ≥ 0} Khi phương pháp (2.6) trở thành xn+1 = γn(I − λnF )xn + (1 − γn)T (tn)xn, n ≥ 1, x1 ∈ E (2.14) 13 với λn ∈ (0, 1], γn ∈ (0, 1) tn > thỏa mãn limn→∞ tn = limn→∞ γtnn = Sự hội tụ mạnh phương pháp (2.14) chứng minh với điều kiện đặt lên không gian Banach E , ánh xạ F nửa nhóm không giãn {T (s) : s ≥ 0} tương tự Định lý 2.4 Hệ 2.1 Cho E, F, {T (s) : s ≥ 0} F giả thiết Định lý 2.1 Từ điểm x1 ∈ E bất kỳ, xây dựng dãy lặp {xn } (2.14) điều kiện sau thỏa mãn (i) λn ∈ (0, 1], γn ∈ (0, 1) tn > 0; (ii) limn→∞ tn = limn→∞ γtnn = Khi dãy lặp {xn } hội tụ mạnh đến điểm p∗ ∈ F nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) Phương pháp lặp (2.14) dạng tương ứng phương pháp (2.4) xét Định lý 2.2 Tiếp theo phát biểu chứng minh định lý hội tụ mạnh phương pháp lặp (2.7) Định lí 2.5 Giả sử E , F , F giả thiết Định lý 2.1 Từ điểm x1 ∈ E bất kỳ, thiết lập {xn } (2.7) điều kiện (2.10)-(2.12) thỏa mãn Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh đến p∗ ∈ F nghiệm (1.1) n → ∞ Nhận xét 2.2 (a) Phương pháp (2.6) dạng tương ứng cho phương pháp (2.3) xét Định lý 2.1 phương pháp (2.14) dạng tương ứng dãy lặp ẩn (2.4) xét Định lý 2.2 (b) Một số kết nghiên cứu theo hướng tiếp cận xây dựng phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm không giãn tác giả khác kể đến kết Ceng cộng (2008), Chen He (2007), Yang đồng nghiệp (2012), Yao đồng tác giả (2010) Sự hội tụ mạnh phương pháp lặp (2.6), (2.7) (2.14) chứng minh mà không cần dùng đến tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian Banach E Các phương pháp kể đến tác giả xét đến không gian Hilbert không gian Banach có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 14 liên tục yếu theo dãy Sự hội tụ mạnh phương pháp lặp (2.6), (2.7) (2.14) Định lý 2.4, Định lý 2.5 Hệ 2.1 chứng minh không cần dùng đến tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian Banach E Như khẳng định kết phương pháp lặp (2.6), (2.7) (2.14) có tính cải tiến mở rộng kết đề cập đến (c) Tích phân Bochner toán tử T (s), s ≥ bước lặp thứ n phương pháp lặp ẩn (2.3), (2.4), (2.5) phương pháp lặp (2.6), t (2.7), (2.14) xác định Tn xn = n T (s)xn ds tính gần tổng Riemann (Neerven, 2002) 2.3 Ví dụ số minh họa Trong mục trình bày ví dụ số nhằm minh họa cho thuật toán lặp ẩn (2.3), (2.4), (2.5), phương pháp lặp (2.6), (2.7) (2.14) để giải toán bất đẳng thức biến phân ngôn ngữ MATLAB 7.0 chạy thử nghiệm máy tính DELL INSPIRON, CORE i5, RAM 1,7GHz Xét toán cực trị có ràng buộc ϕ(p∗) = ϕ(x), x∈C (2.15) với C tập khác rỗng lồi đóng không gian Euclid RN , với ϕ : RN → R hàm lồi thường liên tục RN có dạng ϕ(x) = x − a 2, x ∈ RN , a = (1, 1, , 1)T ∈ RN Khi đó, ta có gradient ϕ : RN → RN hàm ϕ ϕ(x) = 2(x − a), điều kiện tối ưu cho toán (2.15) bất đẳng thức biến phân sau: ϕ(p∗), x − p∗ ≥ 0, ∀x ∈ C (2.16) Xét trường hợp N = 100 C = F tập điểm bất động chung nửa 15 nhóm ánh xạ không giãn {T (t) : R100 → R100 , t ≥ 0} sau:  cos(αt) − sin(αt)   sin(αt)         T (t)x =           cos(αt) 0 0 0 0 cos(αt) − sin(αt) sin(αt) cos(αt) 0 0 0 0 0 0 0  x1      x2         0 x       x4  0     0   x5  ,         x  0   98    x  cos(βt) − sin(βt) 99   x100 sin(βt) cos(βt) 0 với x = (x1 , x2 , , x100 )T ∈ R100 α ∈ R cố định Khi dễ dàng kiểm tra {T (t) : t ≥ 0} thỏa mãn tính chất nửa nhóm không giãn F = {x ∈ R100 : x = (0, , 0, x5 , , x98 , 0, 0)T } tập điểm bất động chung nửa nhóm không giãn {T (t) : t ≥ 0} Nghiệm toán (2.15) điểm p∗ = (0, 0, 0, 0, 1, , 1, 0, 0)T ∈ F ⊂ R100 Chúng sử dụng phương pháp lặp ẩn (2.3), (2.4) (2.5); phương pháp lặp (2.7) (2.6) để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.16) nghiệm toán (2.15) với hàm F (x) = ϕ(x) có tính chất 2-đơn điệu mạnh 1-liên tục Lipschitz 16 Chương Phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm không giãn Trong chương này, nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh cho toán VI∗ (F, F) Nội dung chương trình bày mục Trong Mục 3.1 Mục 3.2, đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính cho toán (1.1) Trong Mục 3.3, kết hợp phương pháp hiệu chỉnh Mục 3.1 với kĩ thuật lặp để xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm không giãn không gian Banach q -trơn Mục 3.4, đưa ví dụ số mang tính chất minh họa cho phương pháp đề xuất Các kết chương lấy từ báo (1), (4) (5) Danh mục công trình công bố liên quan đến luận án 3.1 Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov Những nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh không gian Banach xuất phát từ nhiều quan điểm Toán học khác nhau: mặt, tồn nhiều ứng dụng thực hành mà việc sử dụng mô hình toán học thiết lập không gian Hilbert, chẳng hạn phương trình toán tử không gian L2 [a, b], không thực tế thích hợp Những ứng dụng đòi hỏi đến mô hình toán học tổng quát xét không gian Banach Lp [a, b], không gian Sobolev, không gian hàm liên tục; mặt khác, công cụ toán học kĩ thuật điển hình không gian Banach giúp vượt qua hạn chế toán thiết lập không gian Hilbert Thực tế cho thấy không 17 gian Banach cho phép thiết lập mô hình cho ứng dụng cụ thể môi trường tổng quát so với xét mô hình không gian Hilbert Chẳng hạn, người ta xét đến toán ứng dụng nhiễu xạ tia X , toán xác định tham số phương trình đạo hàm riêng, hay toán ngược tài Ta biết bất đẳng thức biến phân không gian Banach nói chung toán đặt không chỉnh Do phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân không gian Banach chủ đề nghiên cứu cần quan tâm Xét bất đẳng thức biến phân j -đơn điệu, F : E → E j -đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz tập ràng buộc C := ∩∞ i=1 Fix(Ti ), năm 2012, sử dụng V -ánh xạ, Buong Phuong đưa phương trình hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov cho toán Sau đó, tác giả Thuy (2015) cải tiến kết cho toán tương tự cách sử dụng S -ánh xạ có cấu trúc đơn giản V -ánh xạ Mở rộng kết Buong Phuong (2012) Thuy (2015) từ C := ∩∞ i=1 Fix(Ti ) lên C := F = ∩s≥0 Fix(T (s)), ta xây dựng phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, F) không gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux sau Phương pháp 3.1 Phương trình hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân (1.1) cho Anxn + εnF xn = 0, n ≥ (3.1) An = I − Tn , Tn xác định Tn x = tn tn T (s)xds với x ∈ E, (3.2) {tn }, {εn } dãy tham số dương thỏa mãn tn → ∞ εn → n → ∞ Định lí 3.1 Cho E không gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux Cho F : E → E ánh xạ η -j -đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz với η and L tham số dương Cho {T (s) : s ≥ 0} : E → E nửa nhóm không giãn E cho F = ∩s≥0 Fix(T (s)) = ∅ Khi đó, 18 (i) Với tn > εn > 0, phương trình hiệu chỉnh (3.1) có nghiệm xn (ii) Nếu dãy tham số tn εn chọn cho lim tn = +∞ n→∞ lim εn = 0, n→∞ dãy {xn } hội tụ mạnh đến p∗ ∈ F thỏa mãn bất đẳng thức biến phân (1.1) (iii) Hơn nữa, ta có đánh giá sau: xn − xm ≤ |εm − εn| |tm − tn| M1 +2 εn εntm η (3.3) M1 tham số dương, xn , xm nghiệm hiệu chỉnh (3.1) với dãy tham số tương ứng tn , εn tm , εm Chú ý 3.1 Đánh giá (3.3) Định lý 3.1 dùng để chứng minh kết Định lý 3.2 Định lý 3.5 Ngoài ra, tham số tn, tm εn, εm chọn thích hợp vế phải (3.3) hội tụ n, m → ∞, chẳng hạn m = n + tn , εn thỏa mãn điều kiện (i) (iv) Định lý 3.2 phát biểu sau 3.2 Phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính Dựa vào phương pháp hiệu chỉnh (3.1), kết hợp hiệu chỉnh với phương pháp điểm gần kề quán tính để thiết lập phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính sau Phương pháp 3.2 Xuất phát từ hai điểm z0 , z1 ∈ E bất kỳ, ta xây dựng dãy {zn } xác định phương trình đây: cn(An + εnF )(zn+1) + zn+1 − zn = γn(zn − zn−1), (3.4) {cn } {γn } dãy tham số dương Định lí 3.2 Giả sử E , F , F thỏa mãn điều kiện Định lý 3.1 Giả sử dãy tham số cn , εn , tn γn chọn 19 cho (i) < m < cn < M, ≤ γn < γ0; ≥ εn 0, tn → ∞; ∞ (ii) bn = +∞, bn = ηcnεn/(1 + ηcnεn); n=1 (iii) lim γnb−1 zn − zn−1 = 0; n n→∞ |tn − tn+1| εn − εn+1 = lim = n→∞ n→∞ ε2n ε2ntn+1 (iv) lim Khi đó, dãy lặp {zn } xác định (3.4) hội tụ mạnh điểm p∗ ∈ F nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) n → +∞ Nhận xét 3.1 (a) Trong trường hợp {T (s) : s ≥ 0} nửa nhóm không giãn tập lồi đóng khác rỗng C E , xét phương trình hiệu chỉnh sau: (I − TnQC )xn + εnF xn = (3.5) Với điều kiện tương tự Định lý 3.1, thu kết tương tự (i), (ii) (iii) Định lý 3.1 Hệ 3.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach lồi trơn E cho {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm không giãn C cho F = ∩t≥0 Fix(T (t)) = ∅ Cho F : E → E ánh xạ η -j -đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz với η L số thực dương cố định Khi ta có: (i) Với tn > εn > 0, phương trình hiệu chỉnh (3.5) có nghiệm xn (ii) Nếu tham số tn εn chọn cho limn→∞ tn = limn→∞ εn = dãy nghiệm hiệu chỉnh {tn} hội tụ mạnh điểm p∗ ∈ F nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) (iii) Hơn nữa, với xn xm nghiệm hiệu chỉnh ứng với tham số tn , εn tm , εm ta có đánh giá sau: |tm − tn| M1 |εm − εn| xn − xm ≤ +2 εn εntm η 20 (b) Khi E ≡ H , nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Browder– Tikhonov phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh cho toán tìm điểm bất động chung nửa nhóm không giãn {T (s) : s ≥ 0} tập C lồi đóng không gian Hilbert H có F = ∩s≥0 Fix(T (s)) = ∅ mà không dùng đến tích phân Bochner Bài toán phát biểu dạng sau: Tìm điểm p ∈ F thỏa mãn x∗ − p = x∗ − y , (3.6) y∈F x∗ điểm thuộc H không thuộc F Xuất phát từ ý tưởng hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm không giãn dạng (3.1), xây dựng phương pháp hiệu chỉnh để tìm nghiệm toán (3.6) mà không t dùng đến tích phân Bochner Tn x = t1n n T (s)xds dạng sau: tìm phần tử xn ∈ H cho AC (tn)xn + εn(xn − x∗) = 0, AC (tn) = I − T (tn)PC , (3.7) I ánh xạ đồng H , PC ánh xạ chiếu mêtric từ H lên tập C {tn }, {εn } hai dãy thực dương thỏa mãn số điều kiện xác định Định lí 3.3 Cho H không gian Hilbert, C tập khác rỗng lồi đóng H , {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm không giãn C thỏa mãn F = ∩t≥0 Fix(T (t)) = ∅ Khi ta có: (i) Với εn, tn > 0, phương trình (3.7) có nghiệm xn (ii) Nếu εn tn chọn cho lim inf tn = 0, lim sup tn > 0, lim (tn+1 − tn) = lim εn = 0, n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ lim xk = p, nghiệm toán (3.6) k→∞ Ngoài ra, ta có đánh giá cho xn − xm với xn , xm nghiệm hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh tương ứng εn εm bổ đề sau Bổ đề 3.1 dùng để chứng minh hội tụ phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề phương pháp hiệu chỉnh lặp cho nửa nhóm không giãn mà ta xét Định lý 3.4 Định lý 3.6 (xem (4) Danh mục công trình công bố để biết thêm chi tiết) 21 Bổ đề 3.1 Cho H, C, {T (t) : t ≥ 0} F giả thiết Định lý 3.3 Cho xn xm nghiệm hiệu chỉnh phương trình (3.7) với tham số hiệu chỉnh tương ứng εn εm Nếu T (t)x − T (h)x ≤ |t − h|γ(x) với x ∈ C , γ(x) hàm bị chặn |εn − εm| |tn − tm| y − x∗ + γ1 εn εn với εn , εm , tn , tm > 0, y ∈ F , số dương γ1 xn − xm ≤ Phương pháp thứ hai thiết lập dựa việc kết hợp phương pháp điểm gần kề Rockafellar (1976) đề xuất với phương pháp hiệu chỉnh (3.7) gọi phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề Ý tưởng để xây dựng thuật toán thứ hai thiết lập dãy lặp {zn } cho toán (3.6) sau Từ điểm z0 ∈ H , dãy {zn } xác định từ phương trình: cn[AC (tn)zn+1 + εn(zn+1 − x∗)] + zn+1 = zn, n ≥ 0, (3.8) với {cn } thực dương dãy bị chặn Định lí 3.4 Cho H không gian Hilbert, C tập khác rỗng lồi đóng H , {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm không giãn C thỏa mãn F = ∩t≥0 Fix(T (t)) = ∅ Giả sử tham số cn , tn εn chọn cho (i) < m < cn < M ; (ii) lim inf tn = 0, lim sup tn > 0, lim (tn+1 − tn) = 0; n→∞ (iii) εn ≤ 1, n→∞ ∞ n=0 n→∞ |εn −εn+1 | ε2n n→∞ εn = +∞, với lim |tn −tn+1 | ε2n n→∞ = lim = 0; T (t)x − T (h)x ≤ |t − h|γ(x) với x ∈ C , γ(x) hàm bị chặn Khi đó, dãy {zn } xác định (3.8) hội tụ mạnh đến thành phần p ∈ F thỏa mãn toán (3.6), n → +∞ Chúng thu hội tụ mạnh phương pháp (3.7) (3.8) điểm p nghiệm có x∗ chuẩn nhỏ F Trong trường hợp C ≡ H phương pháp (3.7) (3.8) có dạng sau: (I − T (tn))xn + εn(xn − x∗) = 0, cn[(I − T (tn))zn+1 + εn(zn+1 − x∗)] + zn+1 = zn, n ≥ 22 3.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Bằng cách kết hợp phương pháp hiệu chỉnh với phương pháp lặp hiện, đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp để xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân (1.1) điểm w1 ∈ E dạng sau: wn+1 = wn − βn[Anwn + εnF wn], n ≥ 1, (3.9) với An = I − Tn dãy {βn } thỏa mãn vài điều kiện xác định Định lí 3.5 Cho E không gian Banach lồi q -trơn với số cố định q : < q ≤ Cho F F thỏa mãn điều kiện Định lý 3.1 Giả sử |tn − tn+1| |εn − εn+1| = lim = 0, n→∞ n→∞ ε2nβn βnε2ntn ∞ p q−1 (2 + εn L) εnβn = ∞, lim sup Cq βn (ii) < 1, ε η n→∞ n n=0 (i) < βn < β0, εn 0, lim với Cq số q -trơn E Khi đó, dãy lặp {wn } xác định (3.9), hội tụ mạnh điểm p∗ , thỏa mãn bất đẳng thức biến phân (1.1) Nhận xét 3.2 (a) Các tác giả Buong–Phuong (2012) Thuy (2015) sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp với cấu trúc thuật toán tương tự (3.9) để tìm nghiệm xấp xỉ cho toán (1.1), đó, Buong Phuong (2012) sử dụng V -ánh xạ Vn Thuy (2015) sử dụng S -ánh xạ Sn thay cho ánh xạ Tk (3.9) tập F = ∩∞ i=1 Fix(Ti ) tập điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Banach lồi trơn Phương pháp hiệu chỉnh lặp xét Định lý 3.5 mở rộng cho kết Tuy nhiên kết cần thêm tính trơn không gian Banach E (b) Dựa ý tưởng kết hợp phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov với lược đồ lặp để thiết lập phương pháp hiệu chỉnh lặp cho toán tìm điểm bất động chung nửa nhóm không giãn phát biểu dạng 23 (3.6) không gian Hilbert, xây dựng chứng minh hội tụ mạnh dãy {xn } xác định lược đồ lặp sau đây: wn+1 = wn − βn[AC (tn)wn + αn(wn − x∗)], n ≥ 0, w0 ∈ H, (3.10) {βn } dãy thực dương thỏa mãn số điều kiện xác định Định lí 3.6 Cho H, C, {T (t), t ≥ 0}, F giả thiết Định lý 3.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: |tn −tn+1 | n+1 | (i) βn ≤ 4+4ααnn+4α2 với n, lim |αnα−α = lim = 0, 2β α2 βn n ∞ n=0 n→∞ n n n→∞ n αnβn = +∞, αn → 0; (ii) lim inf tn = 0, lim sup tn > 0, lim (tn+1 − tn) = 0; n→∞ n→∞ n→∞ (iii) T (t)x − T (h)x ≤ |t − h|γ(x) với x ∈ C , γ(x) hàm bị chặn Khi đó, dãy {wn } xác định (3.10) hội tụ mạnh điểm p ∈ F thỏa mãn (3.6), n → +∞ 3.4 Ví dụ số minh họa Trong mục này, sử dụng phương pháp hiệu chỉnh (3.1), (3.4) (3.9) để giải bất đẳng thức biến phân (2.16) phương pháp hiệu chỉnh (3.7), (3.8) (3.10) để tìm điểm bất động nửa nhóm không giãn xét toán (2.15) Chương ngôn ngữ MATLAB 7.0 chạy thử nghiệm máy tính DELL INSPIRON, CORE i5, RAM 1,7GHz 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết đạt luận án bao gồm: (1) Nghiên cứu xây dựng phương pháp lặp ẩn lặp tương ứng dựa phương pháp lai ghép dạng đường dốc cho bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc tập điểm bất động chung nửa nhóm không giãn không gian Banach E mà không cần dùng đến tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j E Kết làm mở rộng lớp không gian Banach áp dụng cho thuật toán (2) Thiết lập phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder−Tikhonov phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính cho bất đẳng thức biến phân j -đơn điệu không gian Banach lồi trơn đồng thời xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng cho bất đẳng thức biến phân không gian Banach q -trơn (3) Đưa phương pháp hiệu chỉnh để tìm điểm bất động chung nửa nhóm không giãn không gian Hilbert không cần dùng đến tích phân Bochner (4) Đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp đề xuất Kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo: (1) Nghiên cứu nhằm giảm nhẹ điều kiện đặt lên hàm F , chẳng hạn, điều kiện đơn điệu giả đơn điệu (2) Nghiên cứu tiêu chuẩn dừng phương pháp lặp đề xuất từ có sở để so sánh tốc độ hội tụ phương pháp lặp đề xuất so với kết số tác giả khác (3) Nghiên cứu giải toán bất đẳng thức biến phân tách (bất đẳng thức biến phân nhiều bậc) 25 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN (1) Phạm Thanh Hiếu (2014), "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân không gian Banach", Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, Tập 126, số 12, tr 87-92 (2) Nguyen Buong, Nguyen Thi Thu Thuy, Pham Thanh Hieu (2013), "An explicit iteration method for a class of variational inequalites in Banach spaces", Kỷ yếu Hội thảo khoa học quốc gia lần thứ XV số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin Truyền thông, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội (3) Nguyen Thi Thu Thuy, Pham Thanh Hieu (2013), "Implicit iteration methods for variational inequalites in Banach spaces", Bull Malays Math Sci Soc., (2) 36(4), pp 917-926 (SCIE) (4) Pham Thanh Hieu, Nguyen Thi Thu Thuy (2015), "Regularization methods for nonexpansive semigroups in Hilbert spaces", Vietnam J Math., DOI 10.1007/s10013-015-0178-3 (SCOPUS) (5) Nguyen Thi Thu Thuy, Pham Thanh Hieu, Jean Jacques Strodiot (2016), "Regularization methods for accretive variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups", Optimization, DOI 10.1080/02331934.2016.1166501 (SCIE) [...]... Thiết lập phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder−Tikhonov và phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính cho bất đẳng thức biến phân j -đơn điệu trong không gian Banach lồi đều và trơn đồng thời xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng hiện cho bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach q -trơn đều (3) Đưa ra phương pháp hiệu chỉnh để tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert... được trong luận án bao gồm: (1) Nghiên cứu xây dựng các phương pháp lặp ẩn và lặp hiện tương ứng dựa trên phương pháp lai ghép dạng đường dốc cho bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn trong không gian Banach E mà không cần dùng đến tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j của E Kết quả này làm mở rộng lớp các không gian Banach. .. từ tập ràng buộc là tập điểm bất động của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn sang trường hợp khi tập ràng buộc là tập điểm bất động của một họ vô hạn không đếm được các ánh xạ không giãn Chú ý 2.1 Kĩ thuật chứng minh dùng giới hạn Banach cũng đã được Ceng (2008) sử dụng khi tác giả xây dựng phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc để giải bất đẳng thức biến phân j -đơn điệu trên tập điểm bất động. .. Browder–Tikhonov và phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính cho bài toán (1.1) Trong Mục 3.3, chúng tôi kết hợp phương pháp hiệu chỉnh trong Mục 3.1 với kĩ thuật lặp hiện để xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp cho bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Banach q -trơn đều Mục 3.4, chúng tôi đưa ra ví dụ số mang tính chất minh họa cho các phương pháp đã đề... thỏa mãn trong không gian l , 1 < p < ∞ nhưng chưa chắc đã thỏa mãn trong các không gian Lp [a, b], 1 < p < ∞ Vấn đề chúng tôi đặt ra trong chương này là liệu có thể xây dựng các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn mà loại bỏ được tính chất liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach? Xuất phát từ ý tưởng này, trong mục... mạnh đến p∗ ∈ F là nghiệm của (1.1) khi n → ∞ Nhận xét 2.2 (a) Phương pháp (2.6) là dạng hiện tương ứng cho phương pháp (2.3) xét trong Định lý 2.1 và phương pháp (2.14) là dạng hiện tương ứng của dãy lặp ẩn (2.4) xét trong Định lý 2.2 (b) Một số kết quả nghiên cứu theo hướng tiếp cận xây dựng phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn của các tác giả khác có... tính chất của nửa nhóm không giãn và F = {x ∈ R100 : x = (0, , 0, x5 , , x98 , 0, 0)T } là tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn {T (t) : t ≥ 0} Nghiệm đúng của bài toán (2.15) là điểm p∗ = (0, 0, 0, 0, 1, , 1, 0, 0)T ∈ F ⊂ R100 Chúng tôi sử dụng các phương pháp lặp ẩn (2.3), (2.4) và (2.5); các phương pháp lặp hiện (2.7) và (2.6) để tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.16)... nghiệm của bài toán (2.15) với hàm F (x) = ϕ(x) có tính chất 2-đơn điệu mạnh và 1-liên tục Lipschitz 16 Chương 3 Phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu các phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán VI∗ (F, F) Nội dung của chương được trình bày trong 4 mục Trong Mục 3.1 và Mục 3.2, chúng tôi đề xuất phương pháp. .. toán ngược trong tài chính Ta biết rằng bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach nói chung là một bài toán đặt không chỉnh Do vậy các phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach cũng là một chủ đề nghiên cứu cần được quan tâm Xét bất đẳng thức biến phân j -đơn điệu, khi F : E → E là j -đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz và tập ràng buộc C := ∩∞ i=1 Fix(Ti ), năm 2012,... một tập con C lồi đóng của không gian Hilbert H có F = ∩s≥0 Fix(T (s)) = ∅ mà không dùng đến tích phân Bochner Bài toán được phát biểu dưới dạng như sau: Tìm điểm p ∈ F thỏa mãn x∗ − p = min x∗ − y , (3.6) y∈F trong đó x∗ là một điểm thuộc H nhưng không thuộc F Xuất phát từ ý tưởng hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn dưới dạng (3.1), chúng tôi xây dựng phương ... dốc phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc tập điểm bất động chung nửa nhóm không giãn không gian Banach 8 Chương Phương pháp lai ghép đường dốc cho bất đẳng thức biến phân. .. lí phân tích trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án "Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm không giãn không gian Banach" Mục đích luận án nghiên cứu phương pháp. .. cứu đề xuất phương pháp giải bất đẳng thức biến phân không gian Banach mở rộng kết nghiên cứu có cho phương pháp giải bất đẳng thức biến phân từ không gian Hilbert sang không gian Banach vấn đề