Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian hilbert

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC ! ! Bạn muốn đọc nhanh thông tin cần thiết ? Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào đề mục để đọc toàn dòng bị che khuất ) ! Chọn đề mục muốn đọc nháy chuột vào ! ! Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ trang báo cáo hình ? Chọn, nháy chuột vào kích th thưước có sẵn Menu , ! Mở View Menu, Chọn Zoom to ! Chọn tỷ lệ có sẵn hộp kích th thưước muốn,, Nhấn OK tự điền tỷ lệ theo ý muốn Chúc bạn hài lòng với thông tin đđưược cung cấp I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC NGUYN C LI BT NG THC BIN PHN TRấN TP IM BT NG CA NH X KHễNG GIN TRONG KHễNG GIAN HILBERT LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN - NM 2014 S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC NGUYN C LI BT NG THC BIN PHN TRấN TP IM BT NG CA NH X KHễNG GIN TRONG KHễNG GIAN HILBERT Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mó s: 60 46 01 12 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC TS NGUYN TH THU THY THI NGUYấN - NM 2014 S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mc lc Li cm n ii Bng ký hiu iii M u 1 Bt ng thc bin phõn khụng gian Hilbert 1.1 Khụng gian Hilbert thc 1.2 Bt ng thc bin phõn khụng gian Hilbert 3 11 Phng phỏp lp xp x nghim bt ng thc bin phõn khụng gian Hilbert 15 2.1 Mụ t phng phỏp 18 2.2 S hi t mnh 19 Kt lun 30 Ti liu tham kho 32 i LI CM N Lun ny c hon thnh ti trng i hc Khoa hc - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn ca TS Nguyn Th Thu Thy Tỏc gi xin by t lũng bit n v s tn tõm v nhit tỡnh ca Cụ sut quỏ trỡnh tỏc gi thc hin lun Trong quỏ trỡnh hc v lm lun vn, t bi ging ca cỏc Giỏo s, Phú Giỏo s cụng tỏc ti Vin Toỏn hc, Vin Cụng ngh Thụng tin - Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam, trng i hc Khoa hc T nhiờn - i hc Quc gia H Ni, cỏc Thy Cụ i hc Thỏi Nguyờn, tỏc gi ó trau di thờm rt nhiu kin thc phc v cho vic nghiờn cu v cụng tỏc ca bn thõn Tỏc gi xin by t lũng cm n sõu sc ti cỏc Thy Cụ Tỏc gi xin chõn thnh cm n Ban giỏm hiu, Phũng o to, Khoa Toỏn - Tin trng i hc Khoa hc - i hc Thỏi Nguyờn ó quan tõm v giỳp tỏc gi sut thi gian hc ti Trng Cui cựng tụi xin gi li cm n ti gia ỡnh, bn bố, lónh o n v cụng tỏc v ng nghip ó ng viờn, giỳp v to iu kin tt nht cho tụi hc v nghiờn cu Tỏc gi Nguyn c Li ii BNG Kí HIU R trng s thc rng Rn khụng gian Euclide n-chiu |x| giỏ tr tuyt i ca x ||x|| chun ca vộct x x, y tớch vụ hng ca hai phn t x v y B(x, ) hỡnh cu m tõm x, bỏn kớnh > B(x, ) hỡnh cu úng tõm x, bỏn kớnh > int C phn ca hp C C biờn ca hp C D(F ) xỏc nh ca ỏnh x F iii M u Bt ng thc bin phõn c Stampacchia [7] a nghiờn cu vo nhng nm u ca thp k 60 nghiờn cu bi toỏn biờn ca phng trỡnh o hm riờng K t ú bt ng thc bin phõn v phng phỏp gii bi toỏn ny luụn l mt ti thi s, c nhiu nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu Bi toỏn bt ng thc bin phõn khụng gian Hilbert H c phỏt biu nh sau: Tỡm phn t u C cho : F (u ), v u 0, v C, (1) õy C l mt li, úng, khỏc rng ca H v F : C H l mt ỏnh x phi tuyn Bt ng thc bin phõn (1) tng ng vi bi toỏn im bt ng: u = PC (u àF (u )), (2) ú PC l phộp chiu mờtric t H lờn C v > l hng s tựy ý Nu ỏnh x F n iu mnh v liờn tc Lipschitz trờn C v hng s > nh, thỡ ỏnh x c xỏc nh bi v phi ca (2) l ỏnh x co Do ú, nguyờn lý ỏnh x co Banach bo m rng dóy lp Picard xn+1 = PC (xn àF (xn )) hi t mnh ti nghim nht ca bi toỏn (1) Phng phỏp ny c gi l phng phỏp chiu Phng phỏp chiu khụng d dng thc thi vỡ nú ph thuc vo phc ca li C bt k khc phc nhc im ny, Yamada [9] (xem thờm [5]) ó xut phng phỏp lai ng dc nht vo nm 2001 gii bt ng thc bin phõn trờn im bt ng ca ỏnh x khụng gión khụng gian Hilbert H T ú n ó cú nhiu cụng trỡnh m rng hng nghiờn cu ca Yamada gii bi toỏn bt ng thc bin phõn trờn im bt ng ca ỏnh x khụng gión theo hng lm gim nh iu kin t lờn thut toỏn ny hoc m rng cho bi toỏn tng quỏt hn i vi h hu hn, h vụ hn m c hay h vụ hn khụng m c cỏc ỏnh x khụng gión Mc ớch ca lun l trỡnh by mt ci biờn ca phng phỏp lai ng dc nht gii bt ng thc bin phõn trờn im bt ng chung ca mt h vụ hn m c cỏc ỏnh x khụng gión khụng gian Hilbert trờn c s bi bỏo [6] cụng b nm 2012 Ni dung ca lun c trỡnh by hai chng Chng trỡnh by mt s kin thc c bn v khụng gian Hilbert thc v bi toỏn bt ng thc bin phõn khụng gian Hilbert cựng phng phỏp lai ng dc nht gii bi toỏn ny Trong chng trỡnh by hai phng phỏp lp xp x nghim bt ng thc bin phõn trờn im bt ng chung ca mt h vụ hn m c cỏc ỏnh x khụng gión khụng gian Hilbert Chng Bt ng thc bin phõn khụng gian Hilbert Chng ny chỳng tụi trỡnh by mt s kin thc v kt qu c bn v khụng gian Hilbert thc, ỏnh x khụng gión v bt ng thc bin phõn khụng gian Hilbert Cỏc kin thc ca chng ny c vit da trờn cỏc ti liu [1], [2] v [7] 1.1 Khụng gian Hilbert thc nh ngha 1.1 Khụng gian tuyn tớnh H xỏc nh trờn trng s thc R c gi l khụng gian tin Hilbert nu ú xỏc nh mt hm hai bin ã, ã : H ì H R tha cỏc tớnh cht sau: (i) x, x 0, x H v x, x = x = 0; (ii) x, y = y, x , x, y H; (iii) x + y, z = x, z + y, z , x, y, z H; (iv) x, y = x, y , x, y H, R Hm ã, ã tha bn tớnh cht trờn c gi l tớch vụ hng trờn H v x, y l tớch vụ hng ca hai phn t x v y Nhn xột 1.1 Mi khụng gian tin Hilbert H l khụng gian tuyn tớnh nh chun vi chun ca x H xỏc nh bi ||x|| = x, x nh ngha 1.2 Khụng gian tin Hilbert y c gi l khụng gian Hilbert Vớ d 1.1 Rn l mt khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng n k k , x, y = k=1 ú x = (1 , , , n ) Rn v y = (1 , , , n ) Rn Vớ d 1.2 l2 = x = (x1 , x2 , ) | |xi |2 < l mt khụng gian i=1 Hilbert vi tớch vụ hng x, y = x i yi i=1 ú x = (x1 , x2 , ), y = (y1 , y2 , ) l cỏc dóy s thc l2 B 1.1 Cho H l khụng gian Hilbert thc Khi ú cỏc biu thc sau ỳng: (i) ||tx + (1 t)y||2 = t||x||2 + (1 t)||y||2 t(1 t)||x y||2 vi mi x, y H v t [0, 1] (ii) ||x + y||2 ||x||2 + y, x + y vi mi x, y H nh ngha 1.3 Dóy {xn } n=1 khụng gian Hilbert H c gi l hi t yu n phn t x H nu lim xn , y = x, y vi mi n y H Dóy {xn } n=1 Ký hiu xn c gi l hi t mnh nu lim ||xn x|| = n x ch s hi t yu, xn x ch s hi t mnh ca dóy {xn } n phn t x H 2.2 S hi t mnh Trc ht ta nhc li b sau õy: B 2.1 Gi s {n } l dóy cỏc s thc khụng õm tha n+1 (1 n )n + n n + n , n = 0, 1, 2, (2.4) ú {n } n=0 (0, 1), {n }n=0 v {n }n=0 tha cỏc iu kin: n = ; (i) n=1 (ii) lim sup n 0; n |n | < (iii) n=1 Khi ú lim n = n nh lý 2.1 Gi s rng F : H H l ỏnh x -n iu mnh v L-liờn tc Lipschitz Ly mt hng s (0, 2/L2 ) v dóy {n } (0, 1) tha cỏc iu kin: (i) lim n = 0; n n = ; (ii) n=0 n = n n+1 n=0 Vi x0 H bt k v xỏc nh dóy {xn } bi (2.3) Khi ú dóy {xn } (iii) |n+1 n | < hoc lim hi t mnh ti nghim nht ca bi toỏn VI(F, F) Chng minh nh lý c chng minh theo ba bc Bc 1: Trc ht ta ch dóy {xn } b chn Tht vy, theo B 1.2, I àF l ỏnh x co vi hng s co , ú = à(2 àL2 ) 19 Vi x Fix(T ) v T : H H l ỏnh x khụng gión thỡ: ||xn+1 x || = ||n (I àF )(xn ) + (1 n )Ln (xn ) x || = ||n [(I àF )(xn ) x ] + (1 n )(Ln (xn ) x )|| = ||n [(I àF )(xn ) x ] + (1 n )(Ln (xn ) Ln (x ))|| n ||(I àF )(xn ) x || + (1 n )||Ln (xn ) Ln (x )|| n ||(I àF )(xn ) x || + (1 n )||xn x || = n ||(I àF )(xn ) (I àF )(x ) àF (x )|| + (1 n )||xn x || n ||(I àF )(xn ) (I àF )(x )|| + n ||àF (x )|| + (1 n )||xn x || n (1 )||xn x || + n ||àF (x )|| + (1 n )||xn x || = (1 n )||xn x || + n à||F (x )|| = (1 n )||xn x || + n ||F (x )||/ max ||xn x ||, ||F (x )|| Bng quy np ta c ||xn+1 x || max ||x0 x ||, ||F (x )|| Suy dóy {xn } b chn Vỡ Ln (n = 1, 2, ) l ỏnh x khụng gión v F l ỏnh x L-liờn tc Lipschitz, nờn ||Ln (xn ) Ln (x )|| max ||x0 x ||, ||F (x )|| v ||F (xn ) F (x )|| L max ||x0 x ||, ||F (x )|| 20 Do ú cỏc dóy {Ln (xn )} v {F (xn )} cng b chn Bc 2: Ta s chng minh lim ||xn T (xn )|| = n Trc ht, t (2.3) ta suy ||xn+1 Ln (xn )|| = ||n (I àF )(xn ) + (1 n )Ln (xn ) Ln (xn )|| = ||n (I àF )(xn ) n Ln (xn )|| n ||(I àF )(xn )|| + n ||Ln (xn )|| Kt hp vi iu kin (i) ca nh lý v cỏc dóy {xn }, {Ln (xn )}, {F (xn )} b chn, ta nhn c ||xn+1 Ln (xn )|| n Tip theo, ta ch rng lim ||xn+1 xn || = Tht vy, t n M = sup[||(I àF )(xn )|| + ||Ln (xn1 )||] < , n t ú ta cú ||xn+1 xn || = ||n (I àF )(xn ) + (1 n )Ln (xn ) n1 (I àF )(xn1 ) (1 n1 )Ln1 (xn1 )|| = ||n (I àF )(xn ) n (I àF )(xn1 ) + (1 n )(Ln (xn ) Ln (xn1 )) + (n n1 )(I àF )(xn1 ) (1 n1 )Ln1 (xn1 ) + (1 n )Ln (xn1 )|| ||n (I àF )(xn ) n (I àF )(xn1 )|| + (1 n )||xn xn1 || + |n n1 |||(I àF )(xn1 )|| + ||(1 n )Ln (xn1 ) (1 n1 )Ln1 (xn1 )|| 21 n (1 )||xn xn1 || + (1 n )||xn xn1 || + |n n1 |(||(I àF )(xn1 )||) + ||(1 n )Ln (xn1 ) (1 n1 )Ln (xn1 ) + (1 n1 )Ln (xn1 ) (1 n1 )Ln1 (xn1 )|| (1 n )||xn xn1 || + |n n1 |(||(I àF )(xn1 )||+||Ln (xn1 )||) + (1 n )||Ln (xn1 ) Ln1 (xn1 )|| (1 n )||xn xn1 || + |n n1 |M + (1 n )||Ln (xn1 ) Ln1 (xn1 )|| Chỳ ý rng vỡ dóy {(xn )} b chn, nờn tn ti hng s M1 > cho sup ||Tk (xl )|| M1 Ta cú k,l1 ||Ln (xn1 ) Ln1 (xn1 )|| = n = || n1 k Tk (xn1 )/Sn k=1 k Tk (xn1 )/Sn1 || k=1 n1 (n )k Tk (xn1 )/Sn Sn1 || = n Tn (xn1 )/Sn + k=1 n1 ||n Tn (xn1 )/Sn || + n k /Sn Sn1 ||Tk (xn1 )|| k=1 n M1 /Sn + n M1 /Sn = 2n M1 /Sn , 22 ú ||Ln (xn1 ) Ln1 (xn1 )|| 2M1 n=1 n=1 ||Ln (xn1 )Ln1 (xn1 )|| cng n /Sn hi t, nờn chui Vỡ chui n /Sn n=1 n=1 hi t S dng B 2.1 suy ||xn+1 xn || n T ú ta cú ||xn T (xn )|| = ||xn xn+1 + xn+1 Ln (xn ) + Ln (xn ) T (xn )|| ||xn+1 xn || + ||xn+1 Ln (xn )|| + ||Ln (xn ) T (xn )|| S dng B 1.7 ta c ||xn T (xn )|| n T B 1.3 suy rng (xn ) Fix(T ) Bc 3: Ta ch lim ||xn x || = Tht vy, s dng B 1.1 n (ii), ta c ||xn+1 x ||2 = ||n (I àF )(xn ) + (1 n )Ln (xn ) x ||2 = ||n (I àF )(xn ) n x + (1 n )(Ln (xn ) Ln (x ))||2 = ||n (I àF )(xn ) n (I àF (x )) n àF (x ) (1 n )(Ln (xn ) Ln (x ))||2 = ||n (I àF )(xn ) n (I àF (x )) (1 n )(Ln (xn )Ln (x ))||2 + n àF (x ), xn+1 x n (1 )||xn x ||2 + (1 n )||xn x ||2 + n àF (x ), xn+1 x (1 n )||xn x ||2 + 2àn F x , xn+1 x 23 Do ú, tn ti mt dóy {xnj } {xn } cho lim sup F x , xn x = lim F x , xnj x j n Khụng gim tng quỏt, ta cú th gi s rng xnj x Fix T Vỡ x l nghim nht ca bi toỏn V I(Fix T, F) Ta c lim sup F x , xn x = lim F x , xnj x = F x , x x j n Cui cựng, kt lun lim ||xn x || = c suy t iu kin (i)-(iii) n ca nh lý v B 2.1 nh lý 2.1 cho ta mt thut toỏn tỡm phn t cú chun nh nht trờn im bt ng chung ca mt h m c cỏc ỏnh x khụng gión H qu 2.1 Cho dóy {xn+1 } c nh ngha bi cụng thc xn+1 = n xn + (1 n )Ln (xn ), (2.5) ú (1, 1) v {n } (0, 1) tha cỏc iu kin sau: (i) lim n = 0; n n = ; (ii) n=0 n = n n+1 |n+1 n | < hoc lim (iii) n=0 Khi ú xn PF (0) Chng minh t F = I (2.3), ta c L = v = C nh hng s (0, 2/L2 ) = (0, 2), t ú suy < < t = à, ú (2.3) c vit li di dng (2.5) S dng nh lý 2.1 ta cú dóy {xn } hi t mnh ti nghim nht x ca VI(F, F), 24 tc l x , x x 0, x F (2.6) Suy x , x x 0, x F (2.7) S dng B 1.8 v (2.7), ta c x = PF (0) Bõy gi ta nghiờn cu bi toỏn VI(F, F) vi F l ỏnh x b chn Lipschitz v -n iu mnh C nh im x0 F bt k, t C = B(x0 , 2||F x0 ||/) Ký hiu L l hng s Lipschitz ca F trờn C Hng s tha < < /L2 T nh lý 1.2 suy bi toỏn VI(F, F) cú nht nghim x nh lý 2.2 Gi s rng F : H H l ỏnh x b chn Lipschitz v -n iu mnh Ly im x0 F v t C = B(x0 , 2||F x0 ||/) Ký hiu L l hng s Lipschitz ca F trờn C Ly hng s tha < < /L2 Gi s dóy {n } (0, 1) tha cỏc iu kin sau: (i) lim n = 0; n n = ; (ii) n=0 n = n n+1 n=0 Vi x0 F tựy ý, ta xỏc nh dóy lp {xn } bi (2.3) Khi ú dóy {xn } (iii) |n+1 n | < hoc lim hi t mnh ti nghim nht ca bi toỏn VI(F, F) Chng minh nh lý c chng minh qua ba bc sau õy Bc 1: Ta ch rng xn C vi mi n bng quy np Tht vy, 25 hin nhiờn x0 C Gi s rng ta cú xn C, tc l ||xn x0 || 2||F x0 ||/ (2.8) Theo B 1.2, I àF l ỏnh x co trờn C vi hng s co , ú = à(2 àL2 ) Chỳ ý rng vỡ Ln : H H l ỏnh x khụng gión nờn ta cú ||xn+1 x0 || = ||n (I àF )(xn ) + (1 n )Ln (xn ) x0 || = ||n [(I àF )(xn ) x0 ] + (1 n )(Ln (xn ) x0 )|| = ||n [(I àF )(xn ) x0 ] + (1 n )(Ln (xn ) Ln (x0 ))|| n ||(I àF )(xn ) x0 || + (1 n )||Ln (xn ) Ln (x0 )|| n ||(I àF )(xn ) x0 || + (1 n )||xn x0 || = n ||(I àF )(xn ) (I àF )(x0 ) àF (x0 )|| + (1 n )||xn x0 || n ||(I àF )(xn ) (I àF )(x0 )|| + n ||àF (x0 )|| + (1 n )||xn x0 || n (1 )||xn x0 || + n ||àF (x0 )|| + (1 n )||xn x0 || = (1 n )||xn x0 || + n à||F (x0 )|| = (1 n )||xn x0 || + n ||F (x0 )||/ max{||xn x0 ||, ||F (x0 )||} max{ , ||F (x0 )||} 26 Mt khỏc, vỡ < < /L2 v = 21 à(2 àL2 ) nờn à , = = + ( àL2 ) à(2 àL ) suy ||xn+1 x0 || 2||F x0 ||/ T ú ta nhn c xn+1 C Vỡ vy xn C vi mi n v dóy {xn } b chn Vỡ Ln (n = 1, 2, ) l ỏnh x khụng gión v F l ỏnh x L-liờn tc Lipschitz trờn C nờn ||Ln (xn ) Ln (x0 )|| ||xn x0 || 2||F (x0 )||/ v ||F (xn ) F (x0 )|| L||xn x0 || 2L||F (x0 )||/ Do ú dóy {Ln (xn )} v {F (xn )} cng b chn Bc 2: Ta ch rng lim ||xn T (xn )|| = n Trc ht t (2.3) ta suy ||xn+1 Ln (xn )|| = ||n (I àF )(xn ) + (1 n )Ln (xn ) Ln (xn )|| + ||n (I àF )(xn ) n Ln (xn )|| n ||(I àF )(xn )|| + n ||Ln (xn )|| Kt hp vi iu kin (i) ca nh lý v cỏc dóy {Ln (xn )}, {F (xn )} b chn, ta c ||xn+1 Ln (xn )|| n 27 Tip theo, ta chng minh rng lim ||xn+1 xn || = n Tht vy, t M = sup[||(I àF )(xn )|| + ||Ln (xn )||] < , n ta cú ||xn+1 xn || = ||n (I àF )(xn ) + (1 n )Ln (xn ) n1 (I àF )(xn1 ) (1 n1 )Ln1 (xn1 )|| = ||n (I àF )(xn ) n (I àF )(xn1 ) + (1 n )(Ln (xn ) Ln (xn1 )) + (n n1 )(I àF )(xn1 ) (1 n1 )Ln1 (xn1 ) + (1 n )Ln (xn1 )|| ||n (I àF )(xn ) n (I àF )(xn1 )|| + (1 n )||xn xn1 || + |n n1 |||(I àF )(xn1 )|| + ||(1 n )Ln (xn1 ) (1 n1 )Ln1 (xn1 )|| n (1 )||xn xn1 || + (1 n )||xn xn1 || + |n n1 |(||(I àF )(xn1 )||) + ||(1 n )Ln (xn1 ) (1 n1 )Ln (xn1 ) + (1 n1 )Ln (xn1 ) (1 n1 )Ln1 (xn1 )|| 28 (1 n )||xn xn1 || + |n n1 |(||(I àF )(xn1 )|| + ||Ln (xn1 )||) + (1 n )||Ln (xn1 ) Ln1 (xn1 )|| (1 n )||xn xn1 || + |n n1 |M + (1 n )||Ln (xn1 ) Ln1 (xn1 )|| Bng chng minh tng t nh chng minh nh lý 2.1, ta nhn c ||xn+1 xn || n p dng bt ng thc tam giỏc, t õy suy ||xn T (xn )|| n Theo B 1.3 ta cú (xn ) Fix(T ) Bc 3: Ta ch lim ||xn x || = Theo B 1.1 (ii), ta cú n ||xn+1 x ||2 = ||n (I àF )(xn ) + (1 n )Ln (xn ) x ||2 = ||n (I àF )(xn ) n x + (1 n )(Ln (xn ) Ln (x ))||2 = ||n (I àF )(xn ) n (I àF (x )) n àF (x ) (1 n )(Ln (xn ) Ln (x ))||2 ||n (I àF )(xn ) n (I àF (x )) (1 n )(Ln (xn ) Ln (x ))||2 + n àF (x ), xn+1 x n (1 )||xn x || + (1 n )||xn x || + n àF (x ), xn+1 x (1 n )||xn x ||2 + 2àn F (x ), xn+1 x Bng cỏch chng minh tng t nh nh lý 2.1 ta cú c 29 lim ||xn x || = n Nhn xột 2.1 Trong tớnh toỏn thc t, ta cú th ly mt im bt Fix(Tk ) l im lp ban u bng vic s dng ng chung k=1 thut toỏn (2.5) H qu 2.1 30 Kt lun Lun ó trỡnh by mt phng phỏp lp hin [6] tỡm nghim cho bt ng thc bin phõn trờn im bt ng chung ca mt h vụ hn m c cỏc ỏnh x khụng gión khụng gian Hilbert Nột mi ca phng phỏp ny l s dng mt ỏnh x n gin v d tớnh toỏn hn so vi mt s phng phỏp lp hin cú úng gúp chớnh ca tỏc gi vit lun l c hiu, nghiờn cu ti liu, h thng kin thc v trỡnh by li cỏc chng minh mt s kt qu chớnh [6] Kt qu ny ó c m rng cho bi toỏn tỡm nghim ca bt ng thc bin phõn trờn im bt ng chung ca mt h vụ hn m c cỏc ỏnh x khụng gión khụng gian Hilbert c cụng b [8] nm 2013 v phỏt trin cho bi toỏn bt ng thc bin phõn tng t khụng gian Banach (xem [4]) Chỳng tụi cng hy vng thi gian ti a mt vớ d s bng vic s dng thut toỏn (2.5) H qu 2.1 gii bt ng thc bin phõn 31 Ti liu tham kho Ting Vit [1] Hong Ty (2013), Hm thc v Gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni, H Ni Ting Anh [2] L.-C Ceng, Q.H Ansari, and J.-C Yao (2008), Mann-type steepest-descent and modified steepest-descent methods for variational inequalities in Banach spaces, Numer Funct Anal Optim., 29(9-10), 9871033 [3] Ng Buong, Ng.T.H Phuong (2013), Strong convergence to solutions for a class of variational inequalities in Banach spaces by implicit iteration methods, J Optim Theory Appl DOI10.1007/s10957-013-0350-4 [4] Ng Buong, Ng.T.H Phuong and Ng.T.T Thuy (2014), Explicit Iteration Algorithms for Solutions of a Class of Variational Inequalities in Banach Spaces, Izv VUZ Matematika (accepted for publication in 2014) [5] F Deutsch and I Yamada (1998), Minimizing certain convex functions over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings, Numer Funct Anal Optim., 19(1-2), 3356 [6] H Songnian and S Wenwen (2012), New hybrid steepest descent algorithms for variational inequalities over the common fixed points set of infinite nonexpansive mappings, Wseas Transact Math., 11, 8392 [7] G Stampacchia (1964), Formes bilineares coercitives sur les ensembles convexes, Compt Rendus lcadộmie Sci., 258, 4413 4416 [8] Ng.T.T Thuy (2013), A new hybrid method for variational inequality and fixed point problems, Vietnam J Math 41, 353366 DOI 10.1007/s10013-013-0027-1 [9] I Yamada (2001), The hybrid steepest-descent method for variational inequalities problems over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings, Inhen Para Algorith Feasibility and Optim Appl., , 473504 [10] Y Yao, M.A Noor and Y.-C Liou (2010), A new hybrid iterative algorithm for variational inequalities, J Appl Math Comput., 216, 822829 33 [...]... xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Chương này trình bày kết quả trong [6] về phương pháp lai đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Cho H là một không gian Hilbert thực, {Tn }∞ n=1 : H → H là một ∞ họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn Đặt F = Fix(Tn ) n=1 Trong chương... toán phức tạp trên các ánh xạ Ti và đòi hỏi quá trình tính toán lớn Trong [6], tác giả đã đưa ra một nghiên cứu mới, bằng việc sử dụng ánh xạ Ln xác định bởi (1.3) trong Bổ đề 1.7 để tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân đơn điệu, liên tục Lipchitz trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Ánh xạ Ln đơn giản hơn ánh xạ Wn và Vn , không chứa... sự phức tạp của tập con lồi, đóng bất kỳ C Để khắc phục khó khăn này, Yamada đã đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất (hybrid steepest descent) vào năm 2001 để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert như sau: Cho H là không gian Hilbert thực và T : H → H là một ánh xạ không giãn sao cho C = Fix(T ) = ∅ Giả sử F : H → H là một ánh xạ η-đơn 2η... minh Cho H là không gian Hilbert thực, C ⊂ H là tập con lồi đóng của H, T : C → C là một ánh xạ, {Tk } : H → H (k = 1, 2, ) là một họ vô hạn đếm được các ánh xạ trên H Ký hiệu Fix(T ) là tập các điểm bất động của ánh xạ T , tức là Fix(T ) = {x ∈ C : T (x) = x} và đặt ∞ F := Fix(Tk ) k=1 Sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert H được trình bày trong định lý... sau đây: 7 Định lý 1.1 Cho C ⊂ H là tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng trong không gian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử x¯ ∈ C sao cho T (¯ x) = x¯ Mối liên hệ giữa tập điểm bất động của ánh xạ không giãn và tập điểm bất động của ánh xạ giả co chặt được trình bày trong bổ đề sau Bổ đề 1.5 Giả sử T : H → H là một ánh xạ κ-giả co chặt, và α là một hằng... đã đề cập đến, một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa trên cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung của phương pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ nghiệm thích hợp Bài toán (1.5) tương đương với x∗ = PC (x∗ − µF (x∗ )), (1.7) trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số Nếu F là ánh xạ η-đơn điệu mạnh,... toán tử đồng nhất trong không gian Hilbert H Trong định nghĩa này, nếu κ = 0 thì T là một ánh xạ không giãn Vì thế lớp các ánh xạ không giãn chứa trong lớp các ánh xạ κ-giả co chặt Bổ đề 1.2 Cho H là không gian Hilbert thực, F : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz, hằng số µ cố định thỏa mãn 0 < µ < 2η/L2 Khi đó I − µF là ánh xạ co với hằng số co 1 − τ , 1 trong đó τ = µ(2η... ∀y ∈ C 1.2 (1.4) Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của H Ánh xạ phi tuyến F : C → H là đơn trị Định nghĩa 1.9 Bài toán tìm phần tử x∗ ∈ C thỏa mãn F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C, (1.5) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân ( variational inequality problem), ký hiệu là VI(F, C) Tập nghiệm của bài toán (1.5)... r > 0 là tập đóng Định nghĩa 1.6 Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H, F : C → H là một ánh xạ Ánh xạ F được gọi là: (i) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho ||F (x) − F (y)|| ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ C Nếu 0 < L < 1 thì F được gọi là ánh xạ co, nếu L = 1 thì F được gọi là ánh xạ không giãn; (ii) bị chặn Lipschitz trên C nếu với mỗi tập con bị... f (x) là một hàm thực khả vi trên K = [a, b] Bài toán tìm x0 ∈ K sao cho f (x0 ) = min f (x) x∈K tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân: Tìm x0 ∈ [a, b] sao cho f (x0 )(x − x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ K 11 Bổ đề 1.9 Giả sử C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H, F : C → H là ánh xạ liên tục L-Lipschitz và η-đơn điệu mạnh Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.5) có duy nhất nghiệm