Phương pháp chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HỒNG ANH PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM NGỌC ANH Thái Ngun - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Cơng trình được hồn thành tại Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Phạm Ngọc Anh Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun Ngày tháng năm 2014 Có thể tìm hiểu tại Thư Viện Đại Học Thái Ngun Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC Lời cảm ơn 3 Lời nói đầu 4 Một số kí hiệu - chữ viết tắt 7 Chương 1. Các kiến thức cơ bản về ánh xạ khơng giãn và bất đẳng thức biến phân 9 1.1. Khơng gian Hilbert và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Điểm bất động của ánh xạ khơng giãn 11 1.3. Bài tốn Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1. Phép chiếu trực giao . . 14 1.3.2. Bài tốn bất đẳng thức biến phân . . 14 1.3.3. Một vài ứng dụng . . . . 20 1.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. Phương pháp chiếu dạng ẩn để giải bài tốn VIFIX 27 2.1. Phát biểu bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Phương pháp chiếu mở rộng 29 2.3. Phương pháp ánh xạ co 32 2.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Chương 3. Phương pháp chiếu dạng hiện để giải bài tốn VIFIX 44 3.1. Phương pháp chiếu mở rộng 45 3.2. Phương pháp tối ưu hóa điểm bất động 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 3.3. Ứng dụng 54 3.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Kết luận chung 61 Tài liệu tham khảo 62 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS. Phạm Ngọc Anh (Học viện Cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng), người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua. Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cơ giáo trong Khoa Tốn - Tin, Phòng Đào tạo, các bạn học viên lớp Cao học Tốn K6B trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun, và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong q trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân ln khuyến khích, động viên tác giả trong suốt q trình học tập và làm luận văn. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp q báu của các thầy cơ và bạn đọc để luận văn được hồn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Ngun, 2014 Trần Thị Hồng Anh Học viên Cao học Tốn K6B, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Ngun Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI NĨI ĐẦU Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60, là một cơng cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu các bài tốn cân bằng. Theo Harker và Pang, bài tốn bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 bởi Hartman và Stampacchia. Những nghiên cứu đầu tiên về bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các bài tốn biến phân, bài tốn điều khiển tối ưu và các bài tốn biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng. Bài tốn biến phân trong khơng gian vơ hạn chiều và các ứng dụng của nó được giới thiệu trong cuốn sách "An introduction to variational inequalities and their application" của Kinderlehrer và Stampacchia xuất bản năm 1980 và trong cuốn sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to free boundry problems" của Baiocchi và Capelo xuất bản năm 1984. Bài tốn bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với các bài tốn tối ưu khác. Bài tốn bù phi tuyến, xuất hiện vào năm 1964 trong ln án tiến sĩ của Cottle, là một trường hợp đặc biệt của bài tốn bất đẳng thức biến phân. Gần đây, bài tốn bất đẳng thức biến phân cũng là một đề tài được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Nhiều tác giả đã quan tâm và xây dựng các kỹ thuật để giải quyết bất đẳng thức biến phân và vấn đề tối ưu hóa liên quan. Một ứng dụng quan trọng của bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ khơng giãn là mơ hình định tuyến lưu lượng mạng điện thoại CDMA (Viết tắt của Code - Division mutiple access data network) được đăng trong bài báo "Fixed point optimization algorithm and its Application to power control in CDMA data networks", Iiduka, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 H. (2010), Mathematical Programming, Series A, doi 10.1007/s10107- 010-0427-x.[10] Bài tốn đặt ra là tìm một phương án tối ưu lưu lượng trên các đường truyền nhằm đạt được chất lượng dịch vụ tốt nhất cho tất cả các đường truyền kết nối trên mạng với một mạng dữ liệu cho trước. Trong luận văn này, chúng ta xét một số phương pháp giải bài tốn bất đẳng thức biến phân là tìm điểm x ∗ ∈ Fix(T ) sao cho (A − γf)x ∗ , x −x ∗  ≥ 0, ∀x ∈ F ix(T), với T là ánh xạ khơng giãn của tập con lồi, đóng, khác rỗng C của khơng gian Hilbert thực H, A : C → H là tốn tử tuyến tính bị chặn, dương mạnh, và f : C → H là ánh xạ co với hệ số ρ. Luận văn đề cập đến hai thuật tốn để giải quyết bài tốn bất đẳng thức biến phân: Thuật tốn chiếu dạng ẩn x t = T Pr C [I − t(A −γf)]x t , ∀t ∈ (0, 1), và thuật tốn chiếu dạng hiện x n+1 = β n x n + (1 −β n )T P r C [I − α n (A − γf)]x n , ∀n ≥ 0. Đồng thời, luận văn đã chứng minh sự hội tụ mạnh của hai thuật tốn này đến nghiệm duy nhất của bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ khơng giãn (V IF IX) trong khơng gian Hilbert thực. Nội dung chính của luận văn được viết trong bài báo "Algorithms Construction for Variational Inequalities", Yonghong Yao, Yeong - Cheng Liou and Shin Min Kang (2011), Fixed point Theory Appications, doi: 10.1155/ 2011/794203, ID 794203.[11] Chương 1. Các kiến thức cơ bản về ánh xạ khơng giãn và bất đẳng thức biến phân. Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản về khơng gian Hilbert, bài tốn bất đẳng thức biến phân, các ví dụ, các kiến thức về Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 ánh xạ khơng giãn, điểm bất động của ánh xạ khơng giãn, phép chiếu và mối quan hệ với bất đẳng thức biến phân. Chương 2. Phương pháp chiếu dạng ẩn để giải bài tốn (V IFIX). Chương này trình bày phương pháp chiếu mở rộng dạng ẩn và phương pháp ánh xạ co để giải bài tốn (V IFIX). Chương 3. Phương pháp chiếu dạng hiện để giải bài tốn (V IF IX). Chương này trình bày phương pháp chiếu mở rộng, phương pháp tối ưu hóa điểm bất động và ứng dụng của phương pháp này. Thái Ngun, tháng 06 năm 2014 Học viên Trần Thị Hồng Anh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỘT SỐ KÍ HIỆU - CHỮ VIẾT TẮT R n khơng gian Euclide n-chiều H khơng gian Hilbert thực |β| trị tuyệt đối của số thực β x := y x được gán bằng y ∀x với mọi x ∃x tồn tại x  x  chuẩn của véc tơ x x, y tích vơ hướng của hai véc tơ x, y A ⊂ B tập A là tập con thực sự của tập B A ⊆ B tập A là tập con của B A ∪ B A hợp với B A ∩ B A giao với B A × B tích Đề-các của hai tập A và B argmin{f(x) | x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f trên C δ C (·) hàm chỉ trên C x n → x dãy {x n } hội tụ mạnh tới x x n  x dãy {x n } hội tụ yếu tới x P r C (x) phép chiếu mêtric, hay còn gọi là phép chiếu trực giao của điểm x trên tập C lim := lim sup giới hạn trên lim := lim inf giới hạn dưới co bao lồi đóng V I bài tốn bất đẳng thức biến phân Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 8 V IF IX bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động T HV I bài tốn bất đẳng thức biến phân tam cấp BV I bài tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp V I(F, C) bài tốn bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá F trên C DV I(F, C) bài tốn đối ngẫu của bài tốn V I B(O, R) hình cầu tâm O bán kính R CP (F, C) bài tốn bù tuyến tính F nat C ánh xạ giá tự nhiên Sol(F, C) tập nghiệm của bài tốn V I Sol(F, C) ∗ tập nghiệm của bài tốn đối ngẫu DV I I ánh xạ đồng nhất ∂f(x) dưới vi phân của f tại x N C (x) nón pháp tuyến tại điểm x trên tập C F ix(S) tập điểm bất động của ánh xạ S Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... Ta xét bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động: Tìm điểm x∗ ∈ F ix(T ) sao cho (A − γf )x∗ , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ F ix(T ) (2.1) Luận văn trình bày phương pháp chiếu dạng ẩn và dạng hiện để giải bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ khơng giãn Phương pháp chiếu được giới thiệu bởi Korpelevich vào năm 1976 là cơ sở để xây dựng phương pháp chiếu mở rộng được... gọi là ánh xạ giá tự nhiên của F trên C Mối quan hệ giữa nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) nat và ánh xạ giá tự nhiên FC được trình bày trong kết quả dưới đây Mệnh đề 1.3.2 Một điểm x∗ là một nghiệm của bài tốn bất đẳng nat thức V I(F, C) nếu và chỉ nếu nó là khơng điểm của ánh xạ FC , hay nat 0 = FC (x∗ ) Chứng minh Theo định nghĩa nghiệm x∗ của bài tốn bất đẳng thức biến phân V... khơng có tính chất tựa đơn điệu trên C 1.4 KẾT LUẬN Chương 1 chỉ có tính chất bổ trợ, làm cơng cụ phục vụ cho các chương sau của luận văn Cụ thể, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về khơng gian Hilbert, bài tốn bất đẳng thức biến phân, các ví dụ, các kiến thức về ánh xạ khơng giãn, điểm bất động của ánh xạ khơng giãn, phép chiếu và mối quan hệ của nó với bất đẳng thức biến phân Số hóa bởi Trung tâm Học... ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Trong mục này, ta nêu một số khái niệm về ánh xạ khơng giãn và các định lí điểm bất động của ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert thực H với tích vơ hướng ·, · và chuẩn · Định nghĩa 1.2.1 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H Ánh xạ T : C → C là ánh xạ khơng giãn nếu Tx − Ty ≤ x − y , ∀x, y ∈ C Định nghĩa 1.2.2 Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ T nếu... , ∀x ∈ H, y ∈ C Bài tốn bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 1.3.2 Cho C = ∅ là một tập lồi, đóng trong H và F : C → H Khi đó, bài tốn bất đẳng thức biến phân, viết tắt V I(F, C), được phát biểu dưới dạng: Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C (1.3) Như thường lệ, F được gọi là ánh xạ giá Một biểu diễn hình học của bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có dạng: x∗ ∈ C là một Số hóa bởi Trung... biến phân V I(F, C) Định lí 1.3.2 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của khơng gian Hilbert thực H, và một ánh xạ liên tục F : C → H Khi đó, bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại R > 0 sao cho bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C ∩ B(0, R)) có một nghiệm xR thỏa mãn xR < R Chứng minh Giả sử bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có 1 nghiệm x∗ ∈ C... 2 PHƯƠNG PHÁP CHIẾU DẠNG ẨN ĐỂ GIẢI BÀI TỐN VIFIX Chương 2 trình bày phương pháp chiếu dạng ẩn để giải bài tốn (V IF IX) và phương pháp ánh xạ co, đồng thời chứng minh sự hội tụ của phương pháp này Chương này sử dụng một số tài liệu tham khảo [8], [11], [7] 2.1 PHÁT BIỂU BÀI TỐN Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của khơng gian Hilbert thực H, f : C → H là ánh xạ khơng giãn Ta xét bài tốn bất. .. bất đẳng thức này tương đương với x∗ = P rC (x∗ − λF (x∗ )), nat hay x∗ là khơng điểm của ánh xạ giá tự nhiên FC Hầu hết các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) được chứng minh đều dựa vào định lí điểm bất động Browder Định lí 1.3.1 Cho C là một tập con lồi, compact và khác rỗng của khơng gian Hilbert thực H, và một ánh xạ liên tục F : C → H Khi đó, bài tốn bất. .. khơng giãn của T Tương tự, nếu β < λ thì mâu thuẫn: T u − T m < u − m Vậy β = λ nên T m = m Vì mọi điểm trên đoạn nối hai điểm bất động cũng là điểm bất động nên tập hợp các điểm bất động là tập hợp lồi và định lý đã được chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 14 1.3 BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 1.3.1 Phép chiếu trực giao Định nghĩa 1.3.1 Cho C là một tập con... nghĩa rằng xR là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) Hệ quả 1.3.1 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của một khơng gian Hilbert thực H, và một ánh xạ liên tục F : C → H thỏa mãn điều kiện bức, hay tồn tại x0 ∈ C sao cho F (x) − F (x0 ), x − x0 → +∞ khi x → +∞, x ∈ C x − x0 Khi đó, bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm Chứng minh Chọn H và R sao cho H > F (x0 ) , R . IX bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động T HV I bài tốn bất đẳng thức biến phân tam cấp BV I bài tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp V I(F, C) bài tốn bất đẳng thức biến phân. thuật để giải quyết bất đẳng thức biến phân và vấn đề tối ưu hóa liên quan. Một ứng dụng quan trọng của bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ khơng giãn là mơ hình. NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HỒNG ANH PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.01.12 LUẬN