Bất đẳng thức biến phân với họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN THỊ QUỲNH TRANG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 11/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN THỊ QUỲNH TRANG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS TRẦN XUÂN QUÝ THÁI NGUYÊN, 11/2018 iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Xấp xỉ nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert 1.1 Ánh xạ đơn điệu không gian Hilbert 1.1.1 Phép chiếu mêtric 1.1.2 Ánh xạ không giãn, ánh xạ đơn điệu 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 10 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 10 1.2.2 Phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 11 Chương Xấp xỉ nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach 20 2.1 Ánh xạ j-đơn điệu không gian Banach 20 2.1.1 Giới hạn Banach 20 2.1.2 Không gian Banach trơn 22 2.1.3 Ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ j-đơn điệu 22 2.2 Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach 25 2.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 25 2.2.2 Một phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 29 2.2.3 Ứng dụng 34 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 Bảng ký hiệu H E E∗ SE R R+ N ∀x D(A) R(A) A−1 I C[a, b] d(x, C) lim supn→∞ xn lim inf n→∞ xn xn → x0 xn x0 J j Fix(T ) không gian Hilbert thực không gian Banach không gian đối ngẫu E mặt cầu đơn vị E tập số thực tập số thực không âm tập số tự nhiên với x miền xác định toán tử A miền ảnh toán tử A toán tử ngược toán tử A toán tử đồng tập hàm liên tục đoạn [a, b] khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C giới hạn dãy số {xn } giới hạn dãy số {xn } dãy {xn } hội tụ mạnh x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị tập điểm bất động ánh xạ T Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian vô hạn chiều nhà toán học người Italia G Stampacchia đồng nghiệp đưa lần vào năm đầu thập niên 60 kỉ XX nghiên cứu toán biên tự (xem [11, 13, 14]) Bất đẳng thức biến phân có vai trò quan trọng nghiên cứu toán học lý thuyết toán tối ưu, toán điều khiển, toán cân bằng, toán bù, toán giá trị biên (xem [7, 10, 18] tài liệu trích dẫn đó) Do đó, việc nghiên cứu phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đề tài thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học nước nhiều kết sâu sắc thiết lập Bên cạnh đó, bất đẳng thức biến phân có nhiều ứng dụng tốn thực tế mơ hình cân kinh tế, giao thơng, tốn khơi phục tín hiệu, tốn cơng nghệ lọc khơng gian, tốn phân phối băng thơng Cho đến nay, nhiều vấn đề khó liên quan đến bất đẳng thức biến phân toán tối ưu, mà điều kiện cần cực trị chúng viết dạng bất đẳng thức biến phân, quan tâm nghiên cứu cơng cụ tốn học đại Một hướng nghiên cứu quan trọng xây dựng phương pháp giải bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn, tập không điểm chung họ ánh xạ loại j-đơn điệu, tập nghiệm chung toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân, tốn điểm bất động khơng gian Hilbert không gian Banach Mục tiêu đề tài luận văn trình bày phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert không gian Banach từ báo [8] [9] Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày phương pháp xấp xỉ nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert với tập ràng buộc tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn Nội dung chương tham khảo từ số tài liệu Giải tích hàm báo [9] cơng bố năm 2008 Chương trình bày phương pháp xấp xỉ nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach với tập ràng buộc tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn Nội dung chương viết sở kết [8] công bố năm 2018 Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy TS Trần Xuân Quý, xin cám ơn cô thầy tận tình hướng dẫn dành cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô, người tận tâm giảng dạy bảo cho suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Đào tạo, khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt trình học tập nghiên cứu khoa học Cuối tơi xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tơi q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, ngày 22 tháng 11 năm 2018 Tác giả luận văn Trần Thị Quỳnh Trang Chương Xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Chương trình bày phương pháp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert Nội dung chương viết sở báo Iemoto Takahashi [9] công bố năm 2008 1.1 Ánh xạ đơn điệu khơng gian Hilbert Mục trình bày khái niệm số tính chất khơng gian Hilbert thực H, khái niệm ánh xạ đơn điệu, liên tục Lipschitz, ánh xạ khơng giãn số tính chất 1.1.1 Phép chiếu mêtric Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng ·, · chuẩn · cho C tập lồi đóng H Ta ký hiệu hội tụ mạnh hội tụ yếu dãy {xn } tới x ∈ H xn → x xn x Định nghĩa 1.1.1 Dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim xn , y = x, y , n→∞ ∀y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian l = ∞ 2 {xn } ⊂ R : n=1 |xn | < ∞ {en } ⊂ l cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en bất đẳng thức Bessel, ta có 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ ∞ | en , y |2 < y < ∞ n=1 Suy limn→∞ en , y = 0, tức en Tuy nhiên, {en } không hội tụ 0, en = với n ≥ (xem [2]) Bổ đề 1.1.2 (xem [2]) Trong khơng gian Hilbert thực H ta có bất đẳng thức sau: x + y ≤ x + x + y, y ∀x, y ∈ H Mệnh đề 1.1.3 (xem [2]) Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, với x ∈ H, tồn phần tử PC x ∈ C cho x − PC x ≤ x − y với y ∈ C (1.1) Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf x − u Khi đó, tồn {un } ⊂ C u∈C cho x − un → d n → ∞ Từ đó, un − um = (x − un ) − (x − um ) = x − un ≤ 2( x − un 2 + x − um + x − um un + um −4 x− 2 ) − 4d → 0, 2 n, m → ∞ Do {un } dãy Cauchy H Suy tồn u = lim un ∈ C Do chuẩn hàm số liên tục nên x − u = d Giả sử tồn n→∞ v ∈ C cho x − v = d Ta có u−v = (x − u) − (x − v) = 2( x − u ≤ 2 + x − v 2) − x − u+v 2 Suy u = v Vậy tồn phần tử PC x ∈ C cho x − PC x = inf u∈C x − u Định nghĩa 1.1.4 Phép cho tương ứng phần tử x ∈ H phần tử PC x ∈ C xác định (1.1) gọi phép chiếu mêtric chiếu H lên C Ví dụ 1.1.5 Cho C = {x ∈ H : x, u = y}, với u = Khi y − x, u u u PC x = x + Mệnh đề cho ta điều kiện cần đủ để ánh xạ PC : H → C phép chiếu mêtric Mệnh đề 1.1.6 (xem [2]) Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, điều kiện cần đủ để ánh xạ PC : H → C phép chiếu mêtric từ H lên C x − PC x, PC x − y ≥ với x ∈ H y ∈ C (1.2) Chứng minh Giả sử PC phép chiếu mêtric Khi với x ∈ H, y ∈ C t ∈ (0, 1), ta có ty + (1 − t)PC x ∈ C Do đó, từ định nghĩa phép chiếu mêtric, suy x − PC x 2 ≤ x − ty − (1 − t)PC x ∀t ∈ (0, 1) Bất đẳng thức tương đương với x − PC x ≤ x − PC x − 2t x − PC x, y − PC x + t2 y − PC x , với t ∈ (0, 1) Từ đó, x − PC x, PC x − y ≥ − t y − PC x 2 ∀t ∈ (0, 1) Cho t → 0+ , ta nhận x − PC x, PC x − y ≥ Ngược lại, giả sử x − PC x, PC x − y ≥ với x ∈ H y ∈ C Khi đó, với x ∈ H y ∈ C, ta có x − PC x = x − PC x, x − y + y − PC x = x − PC x, y − PC x + x − PC x, x − y ≤ x−y + y − PC x, x − PC x + PC x − y = x−y + y − PC x, x − PC x − y − PC x ≤ x − y Suy PC phép chiếu mêtric từ H lên C Hệ 1.1.7 (xem [2]) Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert H PC phép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, với x, y ∈ H, ta có PC x − PC y ≤ x − y, PC x − PC y Chứng minh Với x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.1.6, ta có x − PC x, PC y − PC x ≤ 0, y − PC y, PC x − PC y ≤ Cộng hai bất đẳng thức ta nhận điều phải chứng minh 1.1.2 Ánh xạ không giãn, ánh xạ đơn điệu Định nghĩa 1.1.8 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Ánh xạ T : C → H gọi ánh xạ không giãn, Tx − Ty ≤ x − y ∀x, y ∈ C (1.3) Ta ký hiệu tập điểm bất động ánh xạ không giãn T Fix(T ), tức Fix(T ) = {x ∈ C : T x = x} Tính chất tập điểm bất động Fix(T ) ánh xạ không giãn T cho mệnh đề Mệnh đề 1.1.9 (xem [3]) Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H T : C → H ánh xạ khơng giãn Khi đó, Fix(T ) tập lồi đóng H Chứng minh (a) Giả sử Fix(T ) = ∅ Trước hết, ta Fix(T ) tập đóng Thật vậy, T ánh xạ không giãn nên T liên tục C Giả sử 23 ∗ Định nghĩa 2.1.10 Ánh xạ J s : E → 2E , s > (nói chung đa trị) xác định J s (x) = x∗ ∈ E ∗ : x∗ , x = x∗ x , x∗ = x s−1 x ∈ E, gọi ánh xạ đối ngẫu tổng quát không gian Banach E Khi s = 2, ánh xạ J ký hiệu J gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E Ký hiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị j Ví dụ 2.1.11 Trong khơng gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ánh xạ đơn vị I Tính đơn trị ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có mối liên hệ với tính khả vi chuẩn không gian Banach khẳng định định lý sau Định lý 2.1.12 (xem [3]) Cho E không gian Banach với ánh xạ đối ∗ ngẫu chuẩn tắc J : E → 2E Khi khẳng định sau tương đương: (i) E không gian trơn; (ii) J đơn trị; (iii) Chuẩn E khả vi Gâteaux với x = x −1 Jx Định lý 2.1.13 (xem [3]) Cho E khơng gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux Khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j : E → E ∗ liên tục mạnh-yếu∗ tập bị chặn E Bổ đề 2.1.14 (xem [6, Bổ đề 2.2]) Giả sử E khơng gian Banach trơn Khi đó, x ≤ x + y, j(x + y) , − x − y, j = x − y − x, j + y, j = x − y − x, j + y = x + y − x, j x + y −2 x j x + y −2 x y + y, j(x) ≤ x + y ∀x, y ∈ E Chứng minh.Thật vậy, ta có x − y ( x − y )2 24 Vậy ta có bất đẳng thức x − y − x − y, j với x, y ∈ E j ∈ Jy (2.2) Từ bất đẳng thức (2.2), ta thay x x + y y x + y ta thu hai bất đẳng thức cần chứng minh Tiếp theo, chúng tơi trình bày ánh xạ j−đơn điệu khái niệm liên quan Định nghĩa 2.1.15 Cho A : E → E ánh xạ đơn trị Ánh xạ A : E → E gọi (i) j-đơn điệu với x, y ∈ E, tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho A(x) − A(y), j(x − y) ≥ 0; (ii) η-j-đơn điệu mạnh tồn số η > cho với x, y ∈ E, tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho A(x) − A(y), j(x − y) ≥ η x − y ; (iii) m-j-đơn điệu ánh xạ j-đơn điệu R(rA + I) = E với r > 0, R(A) ký hiệu miền ảnh ánh xạ A I ánh xạ đơn vị E Nhận xét 2.1.16 Nếu E khơng gian Hilbert H ánh xạ j-đơn điệu, η-j-đơn điệu mạnh ánh xạ đơn điệu η-đơn điệu mạnh tương ứng Định nghĩa 2.1.17 Ánh xạ A : E → E gọi γ-giả co chặt theo nghĩa Browder Petryshyn tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho A(x) − A(y), j(x − y) ≤ x − y − γ (I − A)(x) − (I − A)(y) thỏa mãn với x, y ∈ E với γ > Nhận xét 2.1.18 Rõ ràng, A ánh xạ γ-giả co chặt, A ánh xạ L-liên tục Lipschitz với L = + 1/γ, tức A(x) − A(y) ≤ L x − y với x, y ∈ E Bổ đề 2.1.19 (xem [6, Mệnh đề 2.1]) Cho E không gian Banach trơn A : E → E ánh xạ η-j-đơn điệu manh γ-giả co chặt với η + γ > Khi đó: 25 (i) Với λ ∈ (0, 1), I − λA ánh xạ co với số − λτ, τ = − (1 − η)/γ (ii) Khi λ = 1, I − A ánh xạ co với số τ1 = 2.2 2.2.1 (1 − η)/γ Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Banach Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu không gian Banach E, ký hiệu VI∗ (A, C) phát biểu sau: Cho C tập hợp lồi đóng, khác rỗng khơng gian Banach thực X, A : E → E ánh xạ xác định E Tìm phần tử x∗ ∈ C cho A(x∗ ), j(x − x∗ ) ≥ ∀x ∈ C (2.3) Trong mục này, ta xét toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (A, C) trường hợp A : E → E ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh, γ-giả co chặt ∞ ∅ = C := Fix(Ti ) (2.4) i=1 với {Ti }∞ i=1 họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn E Bổ đề 2.2.1 [5, Bổ đề 3]) Giả sử Q tập lồi đóng không gian Banach lồi chặt E Cho {Ti }∞ i=1 dãy ánh xạ không giãn ∞ Fix(Ti ) khác rỗng Cho {ti }∞ i=1 dãy Q Giả sử ∞ i=1 ti = Khi ánh xạ T Q xác định số thực dương với i=1 ∞ T (x) = ti Ti (x) i=1 ∞ với x ∈ Q ánh xạ không giãn Fix(T ) = Fix(Ti ) i=1 Mệnh đề 2.2.2 (xem [8]) Cho E không gian Banach thực phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux Cho F : E → E ánh xạ 26 η-j-đơn điệu mạnh γ-giả co chặt cho η + γ > cho S : E → E ánh xạ không giãn E cho C = Fix(S) khác rỗng Với t ∈ (0, 1), chọn số λt ∈ (0, 1) tùy ý cho λt → t → cho {yt } định nghĩa yt = (I − λt F )S(yt ) (2.5) Khi đó: (i) Tồn nghiệm p∗ ∈ C toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, C) (ii) Dãy {yt } hội tụ mạnh tới nghiệm p∗ toán VI∗ (F, C) t → Bổ đề 2.2.3 (xem [8]) Cho E F Mệnh đề 2.2.2 Giả sử {Ti } ∞ họ vô hạn ánh xạ không giãn E cho C := Fix(Ti ) = i=1 ∅ Định nghĩa T k := s˜k k si Ti , k ≥ 1, với si định nghĩa (2.9) i=1 k s˜k = si Khi đó: i=1 (a) Tồn ánh xạ không giãn T : E → E định nghĩa T (x) = lim T (x) = k→∞ s˜ ∞ k ∞ x∈E i=1 ∞ i Fix(T ) = với si Ti (x), i=1 Fix(Ti ) = Fix(T ) i=1 (b) Với tập đóng B E , ta có lim sup T k (x) − T (x) = k→∞ x∈B (c) Cố định α ∈ (0, 1), ta định nghĩa S k := αI + (1 − α)T k , k ≥ S := αI + (1 − α)T Nếu dãy {xk } E bị chặn lim xk − k→∞ S(xk ) = 0, lim sup F (p∗ ), j(p∗ − xk ) ≤ 0, k→∞ p∗ ∈ C nghiệm toán VI∗ (F, C) (2.6) 27 Chứng minh (a) Theo Bổ đề 2.2.1, tồn ánh xạ không giãn T : E → E cho T (x) = lim T (x) = k→∞ s˜ ∞ k ∞ x∈E i=1 ∞ i Fix(T ) = với si Ti (x), i=1 Fix(Ti ) = Fix(T ) i=1 (b) Giả sử B tập đóng E Khi đó, tồn số dương ˜ ˜ với x ∈ B Từ đó, với x ∈ B p ∈ C, ta M cho x ≤ M ˜ Ti (x) − p = Ti (x) − Ti (p) ≤ x − p ≤ x + p ≤ K ∀i ∈ N, ˜ =M ˜ + p < ∞ Điều đảm bảo K M = sup{ Ti (x) : x ∈ B, i ∈ N} < ∞ Khi đó, với k ∈ N, ta có k sup T (x) − T (x) x∈B = sup ˜k x∈B s ≤ ≤ k i=1 si Ti (x) − s˜ 1 − sup s˜k s˜ x∈B 1 − s˜k s˜ k i=1 si Ti (x) i=1 si Ti (x) + sup s˜ x∈B k si M + i=1 ∞ s˜ ∞ si Ti (x) i=k+1 ∞ si M i=k+1 Vậy, lim sup T k (x) − T (x) = k→∞ x∈B (c) Với α ∈ (0, 1) cố định, ta định nghĩa S k := αI + (1 − α)T k , k ≥ Chú ý S k không giãn với k ≥ cố định Giả sử {xk } dãy bị chặn E cho lim xk − S(xk ) = Ta thấy k→∞ ∞ k dãy {S (xk ) : k ∈ N} bị chặn Thật vật, với p ∈ Fix(Ti ), ta có i=1 k S (p) = p, từ S k (xk ) − p = α(xk − p) + (1 − α)(T k (xk ) − T k (p)) ≤ xk + p Hơn nữa, {F S k (xk )} bị chặn Lấy ym = ytm , định nghĩa theo (2.5), {tm } dãy (0, t0 ) hội tụ tới m → ∞ Theo định 28 nghĩa ym , ta viết xk − ym = xk − (I − λm F )S(ym ) = (1 − λm )(xk − S(ym )) + λm (xk − S(ym ) + F S(ym )) Từ xk − ym = (1 − λm )(xk − S(ym )) + λm (xk − S(ym ) + F S(ym )), j(xk − ym ) = (1 − λm ) xk − S(ym ), j(xk − ym ) +λm xk − S(ym ) + F S(ym ), j(xk − ym ) = (1 − λm ) xk − S(xk ) + S(xk ) − S(ym ), j(xk − ym ) +λm xk − ym + ym − S(ym ) + F S(ym ), j(xk − ym ) ≤ (1 − λm )( xk − S(xk ) + S(xk ) − S(ym ) ) xk − ym +λm [ xk − ym + ym − S(ym ) + F S(ym ), j(xk − ym ) ] ≤ (1 − λm ) xk − S(xk ) xk − ym +(1 − λm ) S(xk ) − S(ym ) x k − y m + λm x k − y m +λm ym − S(ym ) + F S(ym ), j(xk − ym ) ≤ xk − S(xk ) x k − ym +(1 − λm ) xk − ym + λm xk − ym +λm ym − S(ym ) + F S(ym ), j(xk − ym ) ≤ x k − ym + xk − S(xk ) x k − ym +λm ym − S(ym ) + F S(ym ), j(xk − ym ) , điều cho thấy F S(ym ), j(ym −xk ) ≤ xk −S(xk ) λm xk −ym + ym −S(ym ) xk −ym Từ {xk } {ym } bị chặn xk − S(xk ) → 0, lấy giới hạn bất đằng thức trên, ta lim sup F S(ym ), j(ym − xk ) ≤ ym − S(ym ) lim sup xk − ym k→∞ k→∞ Giả sử cho ε > Từ ym − S(ym ) → 0, tồn m10 ∈ N cho ε lim sup F S(ym ), j(ym − xk ) < , m ≥ m10 (2.7) k→∞ 29 Mặt khác, từ {xk − ym } bị chặn ánh xạ đối ngẫu j liên tục yếu tập bị chặn không gian Banach E có chuẩn khả vi Gâteaux, ta suy (sử dụng điều kiện ym → p∗ ) F S(ym ) → F (p∗ ) | F (p∗ ), j(xk − p∗ ) − F S(ym ), j(xk − ym ) | = | F (p∗ ), j(xk − p∗ ) − j(xk − ym ) + F (p∗ ) − F S(ym ), j(xk − ym ) | ≤ | F (p∗ ), j(xk − p∗ ) − j(xk − ym ) | + F (p∗ ) − F S(ym ) xk − ym → m → ∞ Khi tồn m20 ∈ N cho ε F (p∗ ), j(p∗ − xk ) < F S(ym ), j(ym − xk ) + , Đặt m0 = max{m10 , m20 } Sử dụng (2.7), ta có ∀k ∈ N and m ≥ m20 lim sup F (p∗ ), j(p∗ − xk ) k→∞ ≤ lim sup F S(ym ), j(ym − xk ) + k→∞ ε ≤ ε ∀m ≥ m0 Từ ε tùy ý, ta thu lim sup F (p∗ ), j(p∗ − xk ) ≤ k→∞ 2.2.2 Một phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu Mục trình bày hội tụ mạnh phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung ánh xạ không giãn không gian Banach Dãy lặp xây dựng sau:    x1 ∈ E k (2.8)  x = (I − λ F ) αI + (1 − α) (s /˜ s )T (x ), k ≥ 1,  k i k i k  k+1 i=1 si thỏa mãn ∞ si = s˜ < ∞ si > (2.9) i=1 k si , α ∈ (0, 1) số cố định dãy tham số lặp {λk } thỏa s˜k = i=1 mãn điều kiện 30 (L1) λk ∈ (0, 1), lim λk = 0; k→∞ ∞ λk = ∞ (L2) k=1 Định lý 2.2.4 (xem [8]) Cho E, F giống Mệnh đề 2.2.2 cho {Ti } họ vô hạn ánh xạ không giãn E cho C := ∞ Fix(Ti ) = ∅ Lấy giá trị cố định α ∈ (0, 1) Giả sử λk si i=1 thỏa mãn điều kiện (L1), (L2) (2.9) tương ứng Khi đó, dãy {xk }, định nghĩa theo (2.8), hội tụ mạnh tới p∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, C) với C xác định (2.4) Chứng minh Ta chứng minh theo bước sau Bước Chứng minh dãy {xk } bị chặn Với p ∈ C, từ (2.8) Bổ đề 2.1.19, ta có xk+1 − p ≤ (I − λk F )S k (xk ) − S k (p) ≤ (1 − λk τ ) xk − p + (I − λk F )S k (p) − S k (p) = (1 − λk τ ) xk − p + λk F (p) = (1 − λk τ ) xk − p + λk τ F (p) /τ ≤ max { x1 − p , F (p) /τ }, S k = αI + (1 − α)T k với T k định nghĩa k k T = k (si /˜ sk )Ti , s˜k = i=1 τ = − si (2.10) i=1 (1 − η)/γ Vì vậy, dãy {xk } bị chặn Bước Chứng minh xk+1 − xk → k → ∞ Từ dãy {xk } bị chặn, suy dãy {S k (xk )}, {S k+1 (xk )}, {Ti (xk )} với i ≥ 1, {F S k (xk )} {F S k+1 (xk )} bị chặn Khơng tính tổng qt ta giả sử chúng bị chặn số dương M1 Hơn nữa, từ (2.8), ta viết xk+1 = λk (I − F )S k (xk ) + (1 − λk )S k (xk ) = λk (I − F )S k (xk ) + (1 − λk ) αxk + (1 − α)T k (xk ) = hk xk + (1 − hk )zk , (2.11) 31 hk = (1 − λk )α λk (I − F )S k (xk ) (1 − λk )(1 − α)T k (xk ) zk = + − hk − hk Từ zk+1 − zk = C1 + (1 − α)C2 , λk+1 (I − F )S k+1 (xk+1 ) λk (I − F )S k (xk ) C1 := − − hk+1 − hk λk+1 = (I − F )S k+1 (xk+1 ) − (I − F )S k+1 (xk ) − hk+1 λk+1 + (I − F )S k+1 (xk ) − (I − F )S k (xk ) − hk+1 λk+1 λk − (I − F )S k (xk ), + − hk+1 − hk (1 − λk+1 )T k+1 (xk+1 ) (1 − λk )T k (xk ) − − hk+1 − hk − λk+1 k+1 = T (xk+1 ) − T k+1 (xk ) − hk+1 − λk+1 k+1 + T (xk ) − T k (xk ) − hk+1 − λk+1 − λk k T (xk ), − + − hk+1 − hk C2 := T k+1 k (xk ) − T (xk ) = k+1 s˜k+1 i=1 si Ti (xk ) − s˜k k si Ti (xk ) i=1 k sk+1 = − si Ti (xk ) + Tk+1 (xk ) s˜k+1 s˜k i=1 s˜k+1 sk+1 sk+1 sk+1 ≤ M1 + M1 = M1 , s˜k+1 s˜k+1 s˜k+1 ta có zk+1 − zk ≤ C1 + C2 (1 − α) λk+1 τ1 λk+1 λk xk+1 − xk + 2M1 + − 2M1 ≤ − hk+1 − hk+1 − hk (1 − λk+1 )(1 − α) sk+1 + xk+1 − xk + M1 − hk+1 s˜k+1 32 − λk+1 − λk − M1 (1 − α) − hk+1 − hk λk+1 τ1 (1 − λk+1 )(1 − α) + xk+1 − xk + ck , ≤ − hk+1 − hk+1 + τ1 = ck = M1 (1 − η)/γ λk+1 τ1 λk λk+1 +2 − − hk+1 − hk+1 − hk sk+1 (1 − λk+1 )(1 − α) − λk+1 − λk +2 + − (1 − α) s˜k+1 − hk+1 − hk+1 − hk Ta đặt c˜k := (1 − λk+1 )(1 − α) λk+1 τ1 + −1 − hk+1 − hk+1 xk+1 − xk + ck Từ đó, ta thu zk+1 − zk ≤ xk+1 − xk + c˜k Rõ ràng hơn, từ điều kiện (L1) (2.9), ta có hk → α, sk → s˜k → s˜ > k → ∞ Vì vậy, lim k→∞ λk+1 τ1 (1 − λk+1 )(1 − α) 1−α + −1 = −1=0 − hk+1 − hk+1 1−α λk λk+1 τ1 λk+1 +2 − k→∞ − hk+1 − hk+1 − hk − λk+1 − λk sk+1 (1 − λk+1 )(1 − α) + − +2 (1 − α) s˜k+1 − hk+1 − hk+1 − hk 1 = M1 − (1 − α) = 1−α 1−α lim ck = M1 lim k→∞ Các giới hạn tính bị chặn {xk } bảm đảm c˜k → k → ∞ Do đó, lim sup zk+1 − zk − xk+1 − xk ≤ k→∞ Theo tính chất Bổ đề 1.2.4, ta có lim xk − zk = k→∞ (2.12) 33 Bây giờ, từ (2.8) (2.11) với (2.12) suy S k (xk ) − xk+1 ≤ λk M1 → 0, k → ∞ lim xk+1 − xk = lim − (1 − λk )α xk − zk = k→∞ k→∞ Bước Chứng minh lim xk = p∗ k→∞ Từ Mệnh đề 2.2.2, tồn nghiệm p∗ ∈ C toán bất đẳng thức biến phân (2.3) Từ B := {xk } định nghĩa theo (2.8) bị chặn, từ Bổ đề 2.2.3(b) suy lim sup T k (x) − T (x) = k→∞ x∈B k lim sup S (x) − S(x) = Chú ý k→∞ x∈B xk − S(xk ) ≤ xk − S k (xk ) + S k (xk ) − S(xk ) ≤ xk − S k (xk ) + sup S k (x) − S(x) x∈B Từ Bước-II, ta có lim xk − S k (xk ) = Vì vậy, ta dễ thấy xk − k→∞ S(xk ) → 0, as k → ∞ Từ đó, theo Bổ đề 2.2.3(c) (xem (2.6)), ta có lim sup F (p∗ ), j(p∗ − xk ) ≤ k→∞ Vì j liên tục tập đóng E, nên lim j(p∗ − xk+1 ) − j(p∗ − xk ) = (2.13) k→∞ Cuối cùng, từ Bổ đề 2.1.19(i) Bổ đề 2.1.14, ta có xk+1 − p∗ = (I − λk F )S k (xk ) − p∗ = (I − λk F )S k (xk ) − (I − λk F )S k (p∗ ) − λk F (p∗ ) ≤ (I − λk F )S k (xk ) − (I − λk F )S k (p∗ ) 2 + −λk F (p∗ ), j(xk+1 − p∗ ) ≤ (1 − λk τ )2 S k (xk ) − S k (p∗ ) − 2λk F (p∗ ), j(xk+1 − p∗ ) ≤ (1 − λk τ ) xk − p∗ − 2λk F (p∗ ), j(xk+1 − p∗ ) ≤ (1 − λk τ ) xk − p∗ + 2λk τ F (p∗ ), j(p∗ − xk ) (2.14) + F (p∗ ), j(p∗ − xk+1 ) − j(p∗ − xk ) /τ = (1 − bk ) xk − p∗ + b k ck , bk = λk τ , ck = F (p∗ ), j(p∗ − xk+1 ) + F (p∗ ), j(p∗ − xk+1 ) − ∞ j(p∗ − xk ) /τ and τ = − (1 − η)/γ Từ λk = ∞, ta thu k=1 34 ∞ bk = ∞ Vì vậy, theo Bổ đề 1.2.4 Bổ đề 2.2.3 với ak = xk − p∗ , k=1 (2.13)-(2.14), từ suy lim xk = p∗ k→∞ 2.2.3 Ứng dụng Ta lấy F = (1 − a)I với số cố định a ∈ (0, 1) Khi đó, F = I − f với f = aI F ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh γ-giả co chặt E với số dương η γ thỏa mãn η + γ > Thật vật, với x, y ∈ E, ta có F (x) − F (y), j(x − y) = (1 − a) x − y = x − y − ax − ay a = x − y − f (x) − f (y) a = x − y − (I − F )(x) − (I − F )(y) a = x − y − γ (I − F )(x) − (I − F )(y) , γ = a1 ∈ (1, ∞) Rõ ràng, η = − a từ η + γ > Bây giờ, thay F (1 − a)I (2.8), ta thu thuật tốn tìm điểm chung cho họ vô hạn ánh xạ không giãn E đây: x1 ∈ E, xk+1 = − (1 − a)λk αI + (1 − α)T k (xk ), k ≥ (2.15) Định lý sau kết trực tiếp Định lý 2.2.4 Định lý 2.2.5 (xem [8]) Cho E không gian Banach phản xạ thực lồi chặt có chuẩn vi phân Gâteaux cho {Ti } họ vô hạn ∞ Fix(Ti ) = ∅ Cho a α hai ánh xạ không giãn E cho C := i=1 số cố định (0, 1) Giả sử λk si thỏa mãn điều kiện (L1), (L2) (2.9), tương ứng Khi dãy {xk }, xác định (2.15), hội tụ mạnh tới p∗ , nghiệm toán bất đẳng thức biến phân p∗ ∈ C : p∗ , j(p∗ − p) ≤ ∀p ∈ C 35 Kết luận Luận văn trình bày hai phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert không gian Banach Cụ thể (1) Trình bày định nghĩa tính chất ánh xạ đơn điệu không gian Hilbert, ánh xạ j-đơn điệu khơng gian Banach (2) Giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert số toán liên quan; toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu không gian Banach; nêu tồn nghiệm tính chất tập nghiệm tốn (3) Trình bày hai phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert không gian Banach, định lý hội tụ mạnh phương pháp 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu (2000), Giải tích lồi, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hồng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật Tiếng Anh [3] R.P Agarwal, D O’Regan, D.R Sahu (2000), Fixed point theory for lipschitzian-type mappings with applications, Springer Dordrecht Heidelberg London New York [4] K Aoyama, Y Kimura, W Takahashi, and M Toyoda (2007), "Approximation of common fixed points of a countable family of nonexpansive mappings in a Banach space", Nonlinear Anal., 67, pp 2350– 2360 [5] R.E Bruck JR (1973), "Properties of fixed-point sets of nonexpansive mappings in Banach spaces", Trans Amer Math Soc., 179, pp 251– 262 [6] L.C Ceng, Q.H Ansari, and J.C Yao (2008), "Mann-type steepestdescent and modified hybrid steepest-descent methods for variational inequalities in Banach spaces", Numer Funct Anal Optim., 29, pp 987–1033 [7] R Glowinski (1984), Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems, Springer–Verlag, New York [8] Ng.S Ha, Ng Buong and Ng.T.T Thuy (2018), "A new simple parallel iteration method for a class of variational inequalities", Acta Math Vietnam, 43(2), pp 239–255 37 [9] S Iemoto, W Takahashi (2008), "Strong convergence theorems by a hybrid steepest descent method for countable nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Sci Math Jpn., 21, pp 555–570 [10] P Jaillet, D Lamberton, B Lapeyre (1990), "Variational inequalities and the pricing of American options", Acta Appl Math., 21, pp 263– 289 [11] D Kinderlehrer, G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, Inc., New York–London [12] I.V Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer Verlag, Berlin, Germany [13] J.-L Lions, G Stampacchia (1967), "Variational inequalities", Comm Pure Appl Math., 20, pp 493–519 [14] G Stampacchia (1964), "Formes bilinéaires coercitives sur les ensembles convexes", (French) C R Acad Sci Paris, 258, pp 4413-4416 [15] T Suzuki (2005), "Strong convergence theorems for infinite families of nonexpansive mappings in general Banach spaces", Fixed Point Theory Appl., 2005, pp 103–123 [16] H.K Xu (2003), "An iterative approach to quadratic optimization", J Optim Theory Appl., 116, pp 659–678 [17] I Yamada (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings", in Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and Their Applications (D Butnariu, Y Censor and S Reich, Eds.), North-Holland, Amsterdam, pp 473–504 [18] E Zeidler (1985), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications III Variational Methods and Applications, Springer–Verlag, New York ... nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Chương trình bày phương pháp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian... − y với x, y ∈ C Đặc biệt, PC (I − ρA) ánh xạ co từ C vào C 1.2 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Bài toán bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân không. .. lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn {Ti }∞ i=1 không gian Hilbert H Bài toán bất đẳng thức biến phân trường hợp phát biểu