ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ HIỂN PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG, BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ HIỂN PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG, BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2019 3 Möc löc B£ng ký hi»u và các chú vi¸t tt 1 Mð đ¦u 2 Chương 1 Bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán cân b¬ng 1.1 Bài toán điºm b§t đëng 5 5 1.1.1 Ánh x¤ không giãn 6 1.1.2 Toán tû chi¸u trong không gian Hilbert 6 1.1.3 Bài toán điºm b§t đëng (FP) 8 1.2 Bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân 9 1.2.1 Toán tû đơn đi»u 9 1.2.2 Bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân (VI) 10 1.3 Bài toán cân b¬ng 16 1.3.1 Song hàm đơn đi»u 16 1.3.2 Bài toán cân b¬ng (EP) 16 Chương 2 Phương pháp lai ghép tìm nghi»m chung cõa bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán cân b¬ng 19 2.1 Phương pháp lai ghép trong không gian Hilbert 19 2.2 2.1.1 Nûa nhóm ánh x¤ không giãn 19 2.1.2 Phương pháp lai ghép 23 Sü hëi tö 24 2.2.1 Đành lý hëi tö m¤nh 25 4 2.2.2 Mët sè h» qu£ 33 K¸t luªn 36 Tài li»u tham kh£o 37 1 B£ng ký hi»u và các chú vi¸t tt R Tªp hñp các sè thüc R+ Tªp hñp các sè thüc không âm Rn Không gian vec tơ thüc Euclide n chi·u N∗ Tªp hñp các sè tü nhiên khác không H Không gian Hilbert thüc ∅ Tªp réng D(A) Mi·n xác đành cõa toán tû A R(A) Mi·n £nh cõa toán tû A A−1 Toán tû ngưñc cõa toán tû A I Toán tû đçng nh§t C[a, b] Không gian các hàm liên töc trên đo¤n [a, b] lim supn→∞ xn Giîi h¤n trên cõa dãy sè {xn } lim inf n→∞ xn Giîi h¤n dưîi cõa dãy sè {xn } xn → x0 Dãy {xn } hëi tö m¤nh tîi x0 xn * x0 Dãy {xn } hëi tö y¸u tîi x0 arg min{f (x) : x ∈ C} Ph¦n tû cüc tiºu hàm f trên C Fix(T ) Tªp điºm b§t đëng cõa ánh x¤ T EP Bài toán cân b¬ng (Equilibrium Problem) VI Bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân (Variational Inequality Problem) FP Bài toán điºm b§t đëng (Fixed Point Problem) 2 Mð đ¦u Cho C là mët tªp con lçi, đóng, khác réng cõa không gian Hilbert thüc H, G : C × C → R là song hàm thäa mãn tính ch§t cân b¬ng G(x, x) = 0 vîi måi x ∈ C Xét bài toán Tìm ph¦n tû x∗ ∈ C sao cho G(x∗ , y) ≥ 0, (1) ∀y ∈ C, ký hi»u là EP(G, C) Bài toán (1) đưñc Nikaido và Isoda đ· xu§t l¦n đ¦u tiên vào năm 1955 nh¬m têng quát hóa bài toán cân b¬ng Nash (xem [14]) Năm 1972 nó đưñc Ky Fan nghiên cùu dưîi d¤ng b§t đ¯ng thùc minimax (xem [8]) Tên gåi bài toán cân b¬ng đưñc các tác gi£ Muu và Oettli đưa ra vào năm 1992 (xem [13]) Điºm lý thú cõa bài toán cân b¬ng EP(G, C) là nó bao hàm nhi·u bài toán riêng l´ khác nhau, ch¯ng h¤n bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân, bài toán điºm b§t đëng v.v Ch¯ng h¤n, n¸u ta chån G(x, y) := hA(x), y − xi, A : C → C là mët ánh x¤ (2) thì bài toán cân b¬ng (1) s³ trð thành bài toán Tìm ph¦n tû x∗ ∈ C sao cho hA(x∗ ), y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C (3) Đây là bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân, vîi ánh x¤ giá A và tªp ràng buëc C, ký hi»u là VI(A, C) N¸u ánh x¤ A : C → C đưñc xác đành bði A(x) := x − T (x), (4) ð đây T : C → C là mët ánh x¤ thì bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân VI(A, C) đưñc đưa v· bài toán điºm b§t đëng FP(T, C): Tìm ph¦n tû x∗ ∈ C sao cho x∗ = T (x∗ ) (5) 3 Các phương pháp gi£i và các k¸t qu£ nghiên cùu cõa bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân v.v có thº đưñc mð rëng và têng quát hóa đº áp döng trð l¤i gi£i bài toán cân b¬ng Các nghiên cùu chính v· bài toán cân b¬ng EP(G, C) đưñc chia làm hai hưîng (a) Các nghiên cùu đành tính: nghiên cùu sü tçn t¤i nghi»m, c§u trúc tªp nghi»m, sü ên đành nghi»m; (b) Các nghiên cùu đành lưñng: các phương pháp, thuªt toán gi£i, tèc đë hëi tö, áp döng vào thüc t¸ Ngoài ra, vi»c k¸t hñp bài toán cân b¬ng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân, bài toán điºm b§t đëng luôn là mët đ· tài lý thú B¬ng vi»c k¸t hñp các bài toán này, ta tªn döng đưñc các kÿ thuªt đã có trong lý thuy¸t điºm b§t đëng đº đ· xu§t và chùng minh sü hëi tö cõa các thuªt toán mîi cho bài toán cân b¬ng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân Mët trong nhúng chõ đ· nhªn đưñc sü quan tâm cõa nhi·u nhà toán håc là bài toán tìm nghi»m chung cõa bài toán cân b¬ng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán điºm b§t đëng Möc tiêu cõa đ· tài luªn văn là trình bày mët sè phương pháp lai ghép tìm nghi»m (nghi»m chung) cõa bài toán cân b¬ng (EP - Equilibrium Problem), bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân (VI - Variational Inequality Problem) và bài toán điºm b§t đëng (FP - Fixed Point Problem) trong không gian Hilbert thüc H trong bài báo [17] công bè năm 2015 Nëi dung cõa đ· tài đưñc trình bày trong hai chương Chương 1 vîi tiêu đ· "Bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán cân b¬ng", giîi thi»u v· bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán cân b¬ng cùng mèi liên h» giúa các bài toán này Chương 2 "Phương pháp lai ghép tìm nghi»m chung cõa các bài toán EP, VI, FP" trình bày mët sè phương pháp k¸t hñp tìm nghi»m chung cõa các bài toán EP, VI, FP Nëi dung cõa chương này đưñc vi¸t trên cơ sð bài báo 4 [17] công bè năm 2015 Luªn văn đưñc hoàn thành t¤i Trưíng Фi håc Khoa håc – Фi håc Thái Nguyên Trong quá trình håc tªp và thüc hi»n luªn văn này, Trưíng Фi håc Khoa håc đã t¤o måi đi·u ki»n tèt nh§t đº tác gi£ håc tªp, nghiên cùu và làm luªn văn Tác gi£ xin đưñc bày tä lòng bi¸t ơn chân thành đ¸n các th¦y, cô trong khoa Toán – Tin, trong Trưíng Фi håc Khoa håc – Фi håc Thái Nguyên Đ°c bi»t, em xin bày tä lòng bi¸t ơn sâu sc tîi Phó Giáo sư, Ti¸n sĩ Nguy¹n Thà Thu Thõy đã giúp đï và ch¿ b£o em tªn tình Cô không ch¿ truy·n đ¤t tri thùc, kĩ năng c¦n thi¸t mà còn d¤y em phương pháp làm vi»c khoa håc đçng thíi cô cũng là ngưíi truy·n lûa đam mê, nhi»t huy¸t và sü tªn töy trong công vi»c Tác gi£ cũng xin đưñc gûi líi c£m ơn tîi Ban giám hi»u trưíng Trung Håc Phê Thông Gia Bình sè 1 - Bc Ninh đã đëng viên, khích l» và t¤o måi đi·u ki»n đº em hoàn thành vi»c håc chương trình th¤c sĩ M°c dù đã r§t cè gng xong b£n luªn văn này không thº tránh khäi nhúng thi¸u sót và h¤n ch¸, em r§t mong nhªn đưñc sü góp ý cõa các th¦y cô và các b¤n håc viên Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019 Tác gi£ luªn văn Nguy¹n Thà Hiºn 5 Chương 1 Bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán cân b¬ng Chương này giîi thi»u v· bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán cân b¬ng trong không gian Hilbert thüc H và trình bày mèi liên h» giúa chúng Nëi dung cõa chương gçm ba ph¦n Ph¦n đ¦u tiên trình bày v· khái ni»m ánh x¤ không giãn, toán tû chi¸u trong không gian Hilbert và bài toán điºm b§t đëng cõa ánh x¤ không giãn Ph¦n thù hai giîi thi»u v· bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân vîi toán tû đơn đi»u trong không gian Hilbert Ph¦n cuèi cõa chương giîi thi»u v· bài toán cân b¬ng vîi song hàm đơn đi»u và trình bày mèi liên h» giúa bài toán cân b¬ng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán điºm b§t đëng Nëi dung cõa chương đưñc vi¸t trên cơ sð têng hñp ki¸n thùc tø các tài li»u [2], [3], [10] và [12] 1.1 Bài toán điºm b§t đëng Cho H là mët không gian Hilbert thüc vîi tích vô hưîng h., i và chu©n k.k, tương ùng Cho {xn } là mët dãy trong không gian H Ta ký hi»u xn * x nghĩa là dãy {xn } hëi tö y¸u đ¸n x và xn → x nghĩa là dãy {xn } hëi tö m¤nh đ¸n x 6 1.1.1 Ánh x¤ không giãn Đành nghĩa 1.1.1 (xem [3]) Cho C là mët tªp con khác réng cõa không gian Hilbert thüc H (i) Ánh x¤ T : C → H đưñc gåi là ánh x¤ L-liên töc Lipschitz trên C n¸u tçn t¤i h¬ng sè L > 0 sao cho kT (x) − T (y)k ≤ Lkx − yk, (1.1) ∀x, y ∈ C (ii) Trong (1.1), n¸u L ∈ [0, 1) thì T đưñc gåi là ánh x¤ co; n¸u L = 1 thì T đưñc gåi là ánh x¤ không giãn (iii) Ánh x¤ T đưñc gåi là không giãn vúng trên C n¸u vîi måi x, y ∈ C, Chương 2 Phương pháp lai ghép tìm nghi»m chung cõa bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán cân b¬ng Trong toàn bë chương này ta xét bài toán tìm nghi»m (nghi»m chung) cõa bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán cân b¬ng Bài toán đưñc phát biºu như sau: Tìm mët ph¦n tû x∗ thuëc S, (2.1) trong đó S = F ∩ ΩA ∩ SG , (2.2) ð đây F là tªp điºm b§t đëng chung cõa nûa nhóm ánh x¤ không giãn, ΩA là tªp nghi»m cõa bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân vîi ánh x¤ giá A và SG là tªp nghi»m cõa bài toán cân b¬ng vîi song hàm G 2.1 2.1.1 Phương pháp lai ghép trong không gian Hilbert Nûa nhóm ánh x¤ không giãn Đành nghĩa 2.1.1 (xem [3]) Cho C là mët tªp con lçi đóng và khác réng cõa không gian Hilbert thüc H Tªp hñp {T (s) : s ∈ R+ } đưñc gåi là mët nûa nhóm ánh x¤ không giãn (hay nûa nhóm không giãn) trên C n¸u nó thäa mãn: (i) Vîi méi s > 0, T (s) là mët ánh x¤ không giãn trên C; (ii) T (0)x = x vîi måi x ∈ C; (iii) T (s1 + s2 ) = T (s1 ) ◦ T (s2 ) vîi måi s1 , s2 > 0; (iv) Vîi méi x ∈ C, ánh x¤ T (·)x tø (0, ∞) vào C là liên töc Ta ký hi»u F = ∩s≥0 Fix(T (s)) là tªp điºm b§t đëng chung cõa nûa nhóm không giãn {T (s) : s ≥ 0} Ví dö 2.1.2 Cho ánh x¤ T (t) : R → R xác đành bði T (t)x = 3−t x, R x∈ Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là mët nûa nhóm ánh x¤ không giãn trên R vîi tªp điºm b§t đëng chung F = {0} Thªt vªy, vîi t > 0, vîi måi x = y ta có |T (t)x − T (t)y| = 3−t |x − y| < |x − y|, nên T (t)x = 3−t x là ánh x¤ không giãn Hiºn nhiên các đi·u ki»n (ii) và (iv) cõa Đành nghĩa 2.1.1 thäa mãn M°t khác, T (t + s)x = 3−t−s x = 3−t (3−s x), nên đi·u ki»n (iii) cũng đưñc thäa mãn Cuèi cùng, vîi måi t ≥ 0, T (t)x = x tùc là 3−t x = x, hay x = 0 Suy ra tªp điºm b§t đëng chung cõa nûa nhóm ánh x¤ không giãn này là F = {0} Ngoài ra, ta có thº têng quát ví dö trên như sau Ví dö 2.1.3 Cho ánh x¤ T (t) : R → R xác đành bði T (t)x = a−kt x, vîi x ∈ R, a > 1 và dương k là sè nguyên Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là mët nûa nhóm ánh x¤ không giãn trên R vîi tªp điºm b§t đëng chung F = {0} Thªt vªy, vîi t > 0, vîi måi x = y ta có |T (t)x − T (t)y| = a−kt |x − y| < |x − y|, nên T (t)x = a−kt x là ánh x¤ không giãn Ta th§y T (0)x = a−k.0 x = x R ∀x ∈ Tùc là đi·u ki»n (ii) cõa Đành nghĩa 2.1.1 thäa mãn Ngoài ra, đi·u ki»n (iv) cõa Đành nghĩa 2.1.1 cũng đưñc thäa mãn M°t khác, T (t + s)x = a−k(t+s) x = a−kt (a−ks x), nên đi·u ki»n (iii) cũng đưñc thäa mãn Cuèi cùng, vîi måi t ≥ 0, T (t)x = x tùc là a−kt x = x, hay x = 0 Suy ra tªp điºm b§t đëng chung cõa nûa nhóm ánh x¤ không giãn này là F = {0} Ví dö 2.1.4 Cho ánh x¤ T (t) : R3 → R3 xác đành như sau x cos 2t − sin 2t 0 T (t)x = sin 2t cos 2t 0 1x2 , 0 0 1 x3 ð đây t cè đành và x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là mët nûa nhóm ánh x¤ không giãn trên R3 vîi tªp điºm b§t đëng chung F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3 )T } Thªt vªy, vîi måi t ≥ 0 và x, y ∈ R3 ta có T (t)x = (x1 cos 2t − x2 sin 2t, x1 sin 2t + x2 cos 2t, x3 ) T và T (t)y = (y1 cos 2t − y2 sin 2t, y1 sin 2t + y2 cos 2t, y3 )T Suy ra kT (t)x − T (t)yk = p (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2 = kx − yk Như vªy T (t) là ánh x¤ không giãn và đi·u ki»n (i) thäa mãn Ta th§y 1 0 0 x x 1 T (0)x = 0 1 0 x2 = x12 0 0 1 x3 x3 vîi måi x ∈ R3 , do đó đi·u ki»n (ii) thäa mãn Vîi måi t1 , t2 ≥ 0, ta có x cos 2t2 − x2 sin 2t2 1 T (t1 ) ◦ T (t2 )x = T (t1 ) x1 sin 2t2 + x2 cos 2t 2 x 3 cos 2(t1 + t2 ) − sin 2(t1 + t2 ) 0 x 1 = sin 2(t1 + t2 ) cos 2(t1 + t2 ) 0 x2 = T (t1 + t2 )x 0 0 1 x3 Do đó đi·u ki»n (iii) thäa mãn D¹ th§y đi·u ki»n (iv) thäa mãn L¤i có, T (t)x = x vîi måi t ≥ 0 khi và ch¿ khi (x1 cos 2t − x2 sin 2t, x1 sin 2t + x2 cos 2t, x3 )T = (x1 , x2 , x3 ) T vîi måi t ≥ 0 Đi·u này tương đương vîi x1 = x2 = 0 Do đó tªp điºm b§t đëng chung là F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3 )T } Tương tü ta cũng có thº têng quát ví dö trên như sau Ví dö 2.1.5 Cho k là sè nguyên dương và ánh x¤ T (t) : R3 → R3 xác đành như sau 1 cos kt − sin kt 0 x T (t)x = sin kt cos kt 0 x2 , 0 0 1 x3 ð đây t cè đành và x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là mët nûa nhóm ánh x¤ không giãn trên R3 vîi tªp điºm b§t đëng chung F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3 )T } Thªt vªy, vîi måi t ≥ 0 và x, y ∈ R3 ta có T (t)x = (x1 cos kt − x2 sin kt, x1 sin kt + x2 cos kt, x3 ) T và T (t)y = (y1 cos kt − y2 sin kt, y1 sin kt + y2 cos kt, y3 )T Suy ra kT (t)x − T (t)yk = p (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2 = kx − yk Như vªy T (t) là ánh x¤ không giãn và đi·u ki»n (i) thäa mãn Ta th§y 1 x 1 0 0 x 1 T (0)x = 0 1 0 x2 = x2 0 0 1 x3 x3 vîi måi x ∈ R3 , do đó đi·u ki»n (ii) thäa mãn Vîi måi t1 , t2 ≥ 0, ta có x cos kt2 − x2 sin kt2 1 T (t1 ) ◦ T (t2 )x = T (t1 ) x1 sin kt2 + x2 cos kt 2 x 3 cos k(t1 + t2 ) − sin k(t1 + t2 ) 0 x 1 = sin k(t1 + t2 ) cos k(t1 + t2 ) 0 x2 = T (t1 + t2 )x 0 0 1 x3 Do đó đi·u ki»n (iii) thäa mãn D¹ th§y đi·u ki»n (iv) thäa mãn L¤i có, T (t)x = x vîi måi t ≥ 0 khi và ch¿ khi (x1 cos kt − x2 sin kt, x1 sin kt + x2 cos kt, x3 )T = (x1 , x2 , x3 )T vîi måi t ≥ 0 Đi·u này tương đương vîi x1 = x2 = 0 Do đó tªp điºm b§t đëng chung là F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3 )T } Bê đ· 2.1.6 (xem[16]) Cho C là mët tªp con lçi đóng khác réng cõa không gian Hilbert thüc H và {T (t) : t ∈ R+ } là nûa nhóm không giãn trên C Khi đó vîi h ≥ 0 lim sup T (h) t→∞ y∈C 2.1.2 1 t Z t T (s)yds 1 Z t T (s)yds = 0 − 0 t (2.3) 0 Phương pháp lai ghép Möc này mô t£ mët phương pháp l°p lai ghép trong [17] tìm nghi»m chung cõa bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán cân b¬ng trong không gian Hilbert thüc H Phương pháp 2.1.7 (xem [17]) Dãy l°p {xk } đưñc xác đành như sau: x0 ∈ H chån tùy ý cho trưîc, uk ∈ C : G(uk , y) + 1 huk − xk , y − uk i ≥ 0, rk yk = PC(uk − λkAuk ), ∀y ∈ C, z = (1 − µk )xk + µk Tk PC (uk − λk Ayk ), k Hk = {z ∈ H : kzk − zk ≤ kxk − zk}, Wk = {z ∈ H : hxk − z, x0 − xk i ≥ 0}, xk+1 = PHk ∩Wk (x0 ), k ≥ 0, (2.4) ð đây Tk đưñc xác đành bði Tk x = T (sk )x, và lim inf sk = 0, 0, k→∞ ho°c Tk xác đành bði 1 Tk x = sk ∀x ∈ C (2.5) lim sup sk > 0, k→∞ Z sk 0 T (s)xds, lim (sk+1 − sk ) = k→∞ ∀x ∈ C và sk = +∞, lim (2.6) k→∞ tương ùng 2.2 Sü hëi tö Đº trình bày chùng minh sü hëi tö cõa phương pháp (2.4), trưîc h¸t ta c¦n mët sè bê đ· sau đây Bê đ· 2.2.1 (xem [9]) Måi không gian Hilbert thüc H đ·u có tính ch§t Kadec-Klee, nghĩa là, vîi dãy {xn } ⊂ H, xn * x và kxn k → kxk, thì xn → x Bê đ· 2.2.2 (Nguyên lý đóng) (xem [9]) N¸u C là tªp con lçi đóng cõa không gian Hilbert thüc H, T là mët ánh x¤ không giãn trên C, {xn } là dãy trong C thäa mãn xn * x ∈ C và xn − T xn → 0, thì x − T x = 0 Không gian Hilbert H thäa mãn đi·u ki»n Opial Đành nghĩa 2.2.3 Mët không gian Hilbert H đưñc gåi là thäa mãn đi·u ki»n Opial n¸u dãy {xk } trong H hëi tö y¸u đ¸n x, khi k → ∞, thì lim sup kxk − xk < lim sup kxk − yk, ∀y ∈ H, vîi x = y k→∞ 2.2.1 k→∞ Đành lý hëi tö m¤nh Dưîi đây là đành lý hëi tö m¤nh cõa phương pháp l°p (2.4) Đành lý 2.2.4 (xem [17]) Cho C là mët tªp con lçi đóng khác réng cõa không gian Hilbert thüc H, {T (s) : s ∈ R+ } là mët nûa nhóm không giãn trên C, G là mët song hàm tø C × C vào R thäa mãn đi·u ki»n (A1)– (A4), và A : C → H là mët ánh x¤ đơn đi»u, L-liên töc Lipschitz sao cho F ∩ ΩA ∩ SG = ∅ Gi£ sû {xk }, {uk }, {yk } và {zk } là các dãy sinh bði (2.4) vîi måi k ≥ 0, ð đây {µk } ⊂ [a, 1] vîi méi a ∈ (0, 1), {rk } ⊂ (0, ∞) thäa √ mãn lim inf k→∞ rk > 0, {λk } ⊂ [b, c] vîi méi b, c ∈ (0, 2L) và Tk vîi {sk } 1/ thäa mãn (2.5) ho°c (2.6) Khi đó, các dãy {xk }, {uk }, {yk } và {zk } hëi tö m¤nh đ¸n ph¦n tû p ∈ F ∩ ΩA ∩ SG Chùng minh Ta chùng minh đành lý thông qua các bưîc sau đây Bưîc 1: Ch¿ ra F ∩ ΩA ∩ SG ⊂ Hk vîi måi k ≥ 0 Vì ánh x¤ Tk và dãy {sk } thäa mãn đi·u ki»n (2.5) Ta th§y Hk là tªp đóng và Wk là tªp lçi đóng vîi måi k ≥ 0 Tªp Hk cũng là tªp lçi vîi k ≥ 0 bði vì kz − zk k ≤ kz − xk k tương đương vîi 1 hzk − xk , xk − zi ≤ − kzk − xk k2, 2 (2.7) do đó, Hk ∩ Wk là tªp lçi đóng vîi k ≥ 0 Suy ra dãy {xk } xác đành vîi k ≥ 0 Ta chùng minh F ∩ ΩA ∩ SG ⊂ Hk ∩ Wk vîi måi k ≥ 0 Thªt vªy, vîi méi u ∈ F ∩ ΩA ∩ SG , b¬ng cách đ°t uk = T rk xk và sû döng Bê đ· 1.3.6 ta nhªn đưñc kuk − uk = kT rk xk − T rk uk ≤ kxk − uk (2.8) Đ°t tk = PC (uk − λk Ayk ) vîi måi k ≥ 0 Sû döng (i) trong Bê đ· 1.1.6 và theo (i) trong Bê đ· 1.1.7 vîi x = uk − λk Ayk và y = u, tø tính ch§t đơn đi»u cõa A và u ∈ ΩA ta nhªn đưñc ... HIỂN PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG, BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... (2.3) Phương pháp lai ghép Möc mô t£ mët phương pháp l°p lai ghép [17] tìm nghi»m chung cõa tốn điºm b§t đëng, bi toỏn bĐt ng thực bián phõn v bi toỏn cân b¬ng khơng gian Hilbert thüc H Phương pháp. .. v bi toỏn cõn bơng mèi liên h» giúa toán Chương "Phương pháp lai ghép tìm nghi»m chung cõa tốn EP, VI, FP" trình bày mët sè phương pháp k¸t hđp tìm nghi»m chung cõa tốn EP, VI, FP Nëi dung cõa